安徽省淮南市2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期10月月考含解析

Page22安徽省淮南市2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期10月月考（考試時(shí)間：2小時(shí)分值：150分）一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分）1.過(guò)兩點(diǎn)、的直線的傾斜角為，則的值為（）A.4或－1 B.－1 C.2 D.4【答案】D【解析】【分析】依據(jù)斜率與傾斜角之間的關(guān)系得到分式方程，解出值，最終不忘檢驗(yàn).【詳解】由題意得，化簡(jiǎn)得，解得或4，又，，故選：D.2.已知橢圓C：的左右焦點(diǎn)分別為F1、F2，過(guò)左焦點(diǎn)F1，作直線交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，則三角形ABF2的周長(zhǎng)為（）A.10 B.15 C.20 D.25【答案】C【解析】【分析】依據(jù)橢圓的定義求解即可【詳解】由題意橢圓的長(zhǎng)軸為，由橢圓定義知∴故選：C3.點(diǎn)M，N是圓＝0上的不同兩點(diǎn)，且點(diǎn)M，N關(guān)于直線x－y＋1＝0對(duì)稱，則該圓的半徑等于（）A. B. C.3 D.9【答案】C【解析】【分析】依據(jù)題意可得：直線l：x－y＋1＝0經(jīng)過(guò)圓心（－，－1），代入運(yùn)算解得k＝4，再代入求圓的半徑．【詳解】圓＝0的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x＋）2＋（y＋1）2＝5＋，則圓心坐標(biāo)為（－，－1），半徑為因?yàn)辄c(diǎn)M，N在圓＝0上，且點(diǎn)M，N關(guān)于直線l：x－y＋1＝0對(duì)稱，所以直線l：x－y＋1＝0經(jīng)過(guò)圓心，所以－＋1＋1＝0，k＝4．所以圓的方程為：＝0，圓的半徑＝3.故選：C．4.三棱柱中，為棱的中點(diǎn)，若，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用空間向量的線性運(yùn)算法則與空間向量基本定理，求解即可．【詳解】．故選：D．5.“”是“直線與直線相互垂直”的（）A.充分不必要條件 B.充要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】依據(jù)充分條件和必要條件的定義結(jié)合兩直線垂直的性質(zhì)分析推斷.【詳解】∵直線與直線相互垂直∴，∴或，而“”是“或”的充分不必要條件∴“”是“直線與直線相互垂直”的充分不必要條件，故選：A.6.若直線：與曲線：有兩個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】直線恒過(guò)定點(diǎn)，曲線表示右半圓，畫(huà)出草圖可得有兩個(gè)交點(diǎn)，需求臨界相切時(shí)的斜率（1個(gè)交點(diǎn)）與臨界過(guò)點(diǎn)A的直線的斜率（2個(gè)交點(diǎn)）.【詳解】∵直線l：恒過(guò)定點(diǎn)曲線C：即：∴曲線C表示：以（1，1）為圓心，1為半徑的的那部分圓.∵直線l與曲線C有兩個(gè)交點(diǎn)，∴如圖所示，當(dāng)過(guò)點(diǎn)M的直線與圖中這部分圓相切時(shí)有1個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)解得：當(dāng)過(guò)點(diǎn)M的直線也過(guò)點(diǎn)時(shí)有2個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)∴故選：B.7.已知，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，且，則的內(nèi)切圓的半徑（）A.1 B. C. D.2【答案】C【解析】【分析】依據(jù)橢圓方程求出、、的值，即可得到、、的值，從而求出的面積，再利用等面積法求出內(nèi)切圓的半徑.【詳解】解：橢圓中，，，則，、∴，，∴．∵，，∴，∵，∴，解得．故選：C．8.已知點(diǎn)在直線上，過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在圓上，則點(diǎn)到直線距離的最大值為（）A.4 B.6 C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)題意，設(shè)為直線上的一點(diǎn)，由切線的性質(zhì)得點(diǎn)、在以為直徑的圓上，求出該圓的方程，與圓的方程聯(lián)立可得直線的方程，將其變形分析可得直線恒過(guò)的定點(diǎn)，由點(diǎn)到直線的距離分析可得答案．【詳解】依據(jù)題意，設(shè)為直線上的一點(diǎn)，則，過(guò)點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)分別為、，則有，，則點(diǎn)、在以為直徑的圓上，以為直徑的圓的圓心為C，，半徑，則其方程為，變形可得，聯(lián)立，可得圓C和圓O公共弦AB為：，又由，則有，變形可得，則有，解可得，故直線恒過(guò)定點(diǎn)，點(diǎn)在圓上，則點(diǎn)到直線距離的最大值為．故選：B．二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分）9.已知橢圓的上下焦點(diǎn)分別為，左右頂點(diǎn)分別為，是該橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.該橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為B.使為直角三角形點(diǎn)共有6個(gè)C.若點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1，則的長(zhǎng)度為D.若點(diǎn)是異于，的點(diǎn)，則直線與的斜率之積為－2【答案】BCD【解析】【分析】A.由橢圓方程知，則橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為.B.為直角三角形要從分別為直角動(dòng)身考慮.C.求出點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而得到答案.D.把點(diǎn)的坐標(biāo)設(shè)出來(lái)，干脆求直線與的斜率之積，利用橢圓方程把點(diǎn)的縱坐標(biāo)用橫坐標(biāo)表示出來(lái)即可得到答案.【詳解】A.由橢圓方程知，則橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為.故選項(xiàng)A不正確.B.當(dāng)軸時(shí)，滿意為直角三角形，此時(shí)點(diǎn)有2個(gè)；軸時(shí)，滿意為直角三角形，此時(shí)點(diǎn)有2個(gè)；又因?yàn)?，滿意為直角三角形，此時(shí)點(diǎn)可以為左右頂點(diǎn).所以使為直角三角形的點(diǎn)共有6個(gè).故選項(xiàng)B正確.C.若點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1,則，則的長(zhǎng)度為.故選項(xiàng)C正確.D.設(shè)點(diǎn)，則，則直線與的斜率之積.故選項(xiàng)D正確.故選：BCD10.如圖，正方體的棱長(zhǎng)為，、、分別為、、的中點(diǎn)，則（）A.直線與直線垂直 B.直線與平面平行C.平面截正方體所得的截面面積為 D.點(diǎn)與點(diǎn)到平面的距離相等【答案】BC【解析】【分析】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可推斷ABD選項(xiàng)；作出截面，計(jì)算出截面面積，可推斷C選項(xiàng).【詳解】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、、、、、、、、，對(duì)于A選項(xiàng)，，，則，所以，直線與直線不垂直，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，設(shè)平面法向量為，，，則，取，可得，，所以，，即，因?yàn)槠矫?，平面，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，連接、、，因?yàn)椤⒎謩e為、的中點(diǎn)，則，且，所以，四邊形為平行四邊形，則，所以，，所以，、、、四點(diǎn)共面，故平面截正方體所得截面為，且，同理可得，，所以，四邊形等腰梯形，分別過(guò)點(diǎn)、在平面內(nèi)作，，垂足分別、，如下圖所示：因?yàn)椋?，，所以，，故，，因?yàn)椋?，，則四邊形為矩形，所以，，，故，故梯形的面積為，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，，則點(diǎn)到平面的距離為，，則點(diǎn)到平面的距離為，所以，點(diǎn)與點(diǎn)到平面的距離不相等，D錯(cuò).故選：BC.11.在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓上有且僅有四個(gè)點(diǎn)到直線的距離為，則實(shí)數(shù)的取值可能是（）A. B. C. D.【答案】CD【解析】【分析】分析可知直線平行且與該直線間距離為的直線的方程為、，由題意可知，直線、與圓均相交，可得出關(guān)于的不等式組，解出的取值范圍，即可得出合適的選項(xiàng).【詳解】設(shè)與直線平行且與該直線間距離為的直線的方程為，則，解得或，所以，直線、均與圓相交，而圓心為原點(diǎn)，圓的半徑長(zhǎng)為，所以，，解得，故選：CD.12.古希臘聞名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)覺(jué)了平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之比為定值的點(diǎn)的軌跡是圓，此圓被稱為“阿波羅尼斯圓”在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)滿意，設(shè)點(diǎn)的軌跡為圓，則下列說(shuō)法正確的是（）A.圓的方程是B.過(guò)點(diǎn)向圓引切線，兩條切線的夾角為C.過(guò)點(diǎn)作直線，若圓上恰有三個(gè)點(diǎn)到直線的距離為，則該直線的斜率為D.過(guò)直線上的一點(diǎn)向圓引切線，則四邊形的面積的最小值為【答案】ABD【解析】【分析】對(duì)于A，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，依據(jù)代入化簡(jiǎn)，可得A正確；對(duì)于B，設(shè)切線夾角為，可得，解得B正確；對(duì)于C，若圓上恰有三個(gè)點(diǎn)到直線的距離為，可推斷直線與圓相切，進(jìn)而可解得，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由條件可表達(dá)四邊形的面積為，求的最小值，計(jì)算可得D正確.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，點(diǎn)滿意，設(shè)，則，化簡(jiǎn)得，，即，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)?，設(shè)兩條切線的夾角為，所以，解得，則，故B正確；對(duì)于C，易知直線的斜率存在，設(shè)直線l的方程為，即，因?yàn)閳A上恰有三個(gè)點(diǎn)到直線的距離為2，所以圓心到直線的距離，解得，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由題意可得，故只需求的最小值即可，的最小值為點(diǎn)到直線的距離，即，所以四邊形的面積的最小值為，故D正確.故選：ABD.三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13.設(shè)是橢圓：上隨意一點(diǎn)，為的右焦點(diǎn)，的最小值為，則橢圓的離心率為_(kāi)________．【答案】##【解析】【分析】利用已知條件推出，然后求解橢圓的離心率即可．【詳解】解：是橢圓上隨意一點(diǎn)，為的右焦點(diǎn)，的最小值為，可得，所以，即，所以，解得，所以．故答案為：．14.過(guò)點(diǎn)，并且在兩軸上的截距相等的直線方程是______.【答案】或【解析】【分析】先設(shè)出直線方程，然后令，求出兩軸上的截距，再依據(jù)截距相等求出斜率，即可得出直線方程.【詳解】有題意可知，直線的斜率存在且不為0，因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)，所以可設(shè)直線方程為，即為，令可得；令可得，因?yàn)橹本€在兩軸上的截距相等，所以，解得或，代入可得直線方程為或.故答案為：或.【點(diǎn)睛】本題主要考查直線點(diǎn)斜式方程和截距，解題的關(guān)鍵是找出直線的橫縱截距.15.如圖所示，在正四棱柱中，若，，則異面直線與所成角的余弦值為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，求出直線和的方向向量，利用向量夾角公式求向量夾角，由此可得異面直線與所成角的余弦值.【詳解】以點(diǎn)為原點(diǎn)，，，為，，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，，所以，，，，所以，，所以，所以異面直線與所成角的余弦值為，故答案為：.16.平面直角坐標(biāo)系中，，過(guò)點(diǎn)作兩條直線，被圓M截得弦AB，CD，滿意.設(shè)線段AC的中點(diǎn)為N，則的最小值為_(kāi)__________.【答案】【解析】【分析】設(shè)的中點(diǎn)為，依據(jù)題意，確定為定值，再依據(jù)向量的基本運(yùn)算，結(jié)合為定值可確定的軌跡方程，求得的最小值即可【詳解】設(shè)的中點(diǎn)為，因?yàn)?，故，由垂徑定理，，?即，所以，因?yàn)?，且，故，即，故，故的軌跡方程為，所以的最小值為.故答案為：四、解答題（本題共6小題，第17題10分，18-22題每題12分，共70分）17.已知的頂點(diǎn)，邊AB上的中線CM所在直線方程為，邊AC上的高BH所在直線方程為．求：（1）頂點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）直線BC的方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先依據(jù)直線AC與直線BH垂直，斜率乘積為-1，得到，從而利用點(diǎn)斜式求出直線AC方程，與CM所在直線聯(lián)立求出點(diǎn)C坐標(biāo)；（2）先設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)為，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式表達(dá)出點(diǎn)坐標(biāo)，再把B點(diǎn)坐標(biāo)代入BH所在直線，求出，從而求出點(diǎn)B坐標(biāo)，結(jié)合第一問(wèn)求解的點(diǎn)C的坐標(biāo)，求出直線BC的方程【小問(wèn)1詳解】因?yàn)檫匒C上的高BH所在直線方程為∴，且∴∵的頂點(diǎn)∴直線AC方程：，即與聯(lián)立，，解得：所以頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為【小問(wèn)2詳解】因?yàn)镃M所在直線方程為故設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，所以因?yàn)樵贐H所在直線上所以，解得：所以點(diǎn)坐標(biāo)為由第一問(wèn)知：C的坐標(biāo)為故直線BC的方程為，整理得：18.橢圓C：左右焦點(diǎn)為，，離心率為，點(diǎn)在橢圓C上．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）經(jīng)過(guò)點(diǎn)，傾斜角為直線l與橢圓交于B，C兩點(diǎn)，求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用橢圓的離心率，過(guò)點(diǎn)，及，列方程解出即可得橢圓方程；（2）由已知可得直線l的方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系及弦長(zhǎng)公式求解.【小問(wèn)1詳解】解：由題意得，解得，又因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓C上，帶入得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問(wèn)2詳解】解：易得直線l的解析式為，設(shè)，聯(lián)立橢圓的方程得，所以．19.如圖，在直三棱柱中，為的中點(diǎn)，交于點(diǎn)，，.（1）求證：平面；（2）求平面與平面的夾角的余弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）由題意，是的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，可得，再利用線面平行的判定定理即可證明；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以、、為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，分別求得平面的一個(gè)法向量，平面的一個(gè)法向量，由求解.【小問(wèn)1詳解】證明：因?yàn)闉槿庵云矫媸瞧叫兴倪呅?，又交于點(diǎn)，所以是的中點(diǎn)．又為的中點(diǎn)，所以，又平面，平面，所以平面；【小問(wèn)2詳解】解：在直三棱柱中，平面，又，所以、、兩兩相互垂直，所以以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以、、為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示．設(shè)，則，，，，，所以，，，．設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，所以，不妨令，則，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，所以，不妨令，則．所以，所以平面與平面的夾角的余弦值為．20.已知圓E經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，且______.從下列3個(gè)條件中選取一個(gè)，補(bǔ)充在上面的橫線處，并解答.①與y軸相切；②圓E恒被直線平分；③過(guò)直線與直線的交點(diǎn)（1）求圓E的方程；（2）求過(guò)點(diǎn)的圓E的切線方程，并求切線長(zhǎng).【答案】（1）（2）切線方程為或，切線長(zhǎng)【解析】【分析】（1）依據(jù)題意設(shè)出圓的一般方程或標(biāo)準(zhǔn)方程，對(duì)①②③逐個(gè)分析，求出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可；（2）先推斷點(diǎn)P在圓外，知切線有兩條，分狀況探討即可.【小問(wèn)1詳解】選①，設(shè)圓E的方程為，由題意可得，解得，則圓E的方程為選②，直線恒過(guò)，而圓E恒被直線平分，所以恒過(guò)圓心，因?yàn)橹本€過(guò)定點(diǎn)，所以圓心為，可設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由圓E經(jīng)過(guò)點(diǎn)，得，則圓E的方程為選③，由條件易知，設(shè)圓的方程為，由題意可得，解得，則圓E的方程為，即【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，所以點(diǎn)P在圓E外，若直線斜率存在，設(shè)切線的斜率為，則切線方程為，即所以，解得所以切線方程為，若直線斜率不存在，直線方程為，滿意題意.綜上過(guò)點(diǎn)的圓E的切線方程為或，切線長(zhǎng)21.用文具盒中的兩塊直角三角板（直角三角形和直角三角形）圍著公共斜邊翻折成的二面角，如圖和，，，，，將翻折到，使二面角成，為邊上的點(diǎn)，且．（1）證明：；（2）求直線與平面所成角的正弦值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】【分析】（1）取BC中點(diǎn)F，連接，可證明平面，再由線面垂直的性質(zhì)即可得證；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求線面角即可.【小問(wèn)1詳解】取BC中點(diǎn)F，連接，如圖，由已知知；又，則，，，，即，又，平面，平面，.【小問(wèn)2詳解】以F為坐標(biāo)原點(diǎn)建系如圖，