廣西南寧市2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期1月月考期末理VIP

廣西南寧市2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期1月月考（期末）一、選擇題1.已知全集，集合則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先化簡集合，然后利用交集和補(bǔ)集的定義進(jìn)行求解即可【詳解】由可得，解得，所以，因?yàn)?，所以?故選：C.2.設(shè)、、、，則復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)的充要條件是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的乘法與復(fù)數(shù)的概念可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?、、、且為?shí)數(shù)，則.因此，復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)的充要條件是.故選：D.3.函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)函數(shù)定義域的求法求得正確答案.【詳解】由已知得，解得且，所以函數(shù)的定義域?yàn)?故選：B4.在一組樣本數(shù)據(jù)中，正整數(shù)a、b、c、d出現(xiàn)頻率分別為，且，且，則下面四種情形中，對應(yīng)樣本的標(biāo)準(zhǔn)差最大的一組是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】通過計(jì)算方差（標(biāo)準(zhǔn)差）來確定正確答案.【詳解】樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)，依據(jù)選項(xiàng)可知且，所以，樣本數(shù)據(jù)的方差由于，，，所以，所以，所以，所以最大時(shí)，方差最大，也即標(biāo)準(zhǔn)差最大，所以B選項(xiàng)正確.故選：B5.已知平面對量，且，則（）A. B.（0，0）C. D.（1，2）【答案】B【解析】【分析】依據(jù)求得，進(jìn)而求得.【詳解】由于，所以，所以.故選：B6.已知圓及直線，則直線l與圓C的位置關(guān)系是（）A.相交 B.相切 C.相離 D.不確定【答案】A【解析】【分析】求出動直線過的定點(diǎn)，再推斷定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系作答.詳解】直線，即，由解得，于是得直線l恒過定點(diǎn)，而當(dāng)時(shí)，，因此點(diǎn)在圓C內(nèi)，所以直線l與圓C的位置關(guān)系是相交.故選：A7.已知函數(shù)的兩個(gè)相鄰的對稱中心的間距為，現(xiàn)的圖象向左平移個(gè)單位后得到一個(gè)奇函數(shù)，則的一個(gè)可能取值為（）A. B. C.0 D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)給定條件，求出函數(shù)的周期，進(jìn)而求出，再利用給定變換及奇函數(shù)求出作答.【詳解】由于函數(shù)的兩條相鄰的對稱軸的間距為，該函數(shù)的最小正周期為π，即有，則，將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位后，得到函數(shù)，而函數(shù)為奇函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，，D正確，不存在整數(shù)k使得選項(xiàng)A，B，C成立.故選：D8.下列命題正確的是A.若兩條直線和同一個(gè)平面所成的角相等，則這兩條直線平行B.若一個(gè)平面內(nèi)有三個(gè)點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離相等，則這兩個(gè)平面平行C.若一條直線平行于兩個(gè)相交平面，則這條直線與這兩個(gè)平面的交線平行D.若兩個(gè)平面都垂直于第三個(gè)平面，則這兩個(gè)平面平行【答案】C【解析】【詳解】若兩條直線和同一平面所成角相等，這兩條直線可能平行，也可能為異面直線，也可能相交，所以A錯；一個(gè)平面不在同一條直線的三點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離相等，則這兩個(gè)平面平行，故B錯；若兩個(gè)平面垂直同一個(gè)平面兩平面可以平行，也可以垂直；故D錯；故選項(xiàng)C正確.[點(diǎn)評]本題旨在考查立體幾何的線、面位置關(guān)系及線面的判定和性質(zhì)，須要嫻熟駕馭課本基礎(chǔ)學(xué)問的定義、定理及公式.9.在中，，若不等式恒成立，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)給定條件，切化弦，逆用和角的余弦公式求出，再利用均值不等式求出最小值，結(jié)合恒成立的不等式求解作答.【詳解】因?yàn)?，則，即，在中，，因此，又，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，要使不等式恒成立，于是得，解得，所以實(shí)數(shù)t的取值范圍是.故選：A10.德國數(shù)學(xué)家萊布尼茲(1646年-1716年)于1674年得到了第一個(gè)關(guān)于π的級數(shù)綻開式,該公式于明朝初年傳入我國.在我國科技水平業(yè)已落后的狀況下,我國數(shù)學(xué)家?天文學(xué)家明安圖(1692年-1765年)為提高我國的數(shù)學(xué)探討水平,從乾隆初年(1736年)起先,歷時(shí)近30年,證明白包括這個(gè)公式在內(nèi)的三個(gè)公式,同時(shí)求得了綻開三角函數(shù)和反三角函數(shù)的6個(gè)新級數(shù)公式,著有《割圓密率捷法》一書,為我國用級數(shù)計(jì)算π開創(chuàng)了先河.如圖所示的程序框圖可以用萊布尼茲“關(guān)于π的級數(shù)綻開式”計(jì)算π的近似值(其中P表示π的近似值),若輸入,則輸出的結(jié)果是()A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】執(zhí)行給定的程序框圖，輸入，逐次循環(huán)，找到計(jì)算的規(guī)律，即可求解.【詳解】由題意，執(zhí)行給定的程序框圖，輸入，可得：第1次循環(huán)：；第2次循環(huán)：；第3次循環(huán)：；第10次循環(huán)：，此時(shí)滿意判定條件，輸出結(jié)果，故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖的計(jì)算與輸出，其中解答中仔細(xì)審題，逐次計(jì)算，得到程序框圖的計(jì)算功能是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.11.圭表（如圖1）是我國古代一種通過測量正午日影長度來推定節(jié)氣的天文儀器，它包括一根直立的標(biāo)竿（稱為“表”）和一把呈南北方向水平固定擺放的與標(biāo)竿垂直的長尺（稱為“圭”）.當(dāng)正午太陽照耀在表上時(shí)，日影便會投影在圭面上，圭面上日影長度最長的那一天定為冬至，日影長度最短的那一天定為夏至.圖2是一個(gè)依據(jù)北京的地理位置設(shè)計(jì)的圭表的示意圖，已知北京冬至正午太陽高度角（即∠ABC）為29.5°，夏至正午太陽高度角（即∠ADC）為76.5°，圭面上冬至線與夏至線之間的距離（即DB的長）為a，則表高（即AC的長）為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用正弦定理結(jié)合條件即可求得正確答案.【詳解】由題可知，在△BAD中由正弦定理得：，即，又因?yàn)樵谥校?，所?故選：D12.已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別是，，點(diǎn)P是雙曲線C右支上異于頂點(diǎn)的點(diǎn)，點(diǎn)H在直線上，且滿意.若，則雙曲線C的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先推斷出是的角平分線，然后結(jié)合三角形的內(nèi)心、重心以及雙曲線的定義等學(xué)問求得雙曲線的離心率.【詳解】因?yàn)?，所以PH是的角平分線，又因?yàn)辄c(diǎn)H在直線上，且在雙曲線中，點(diǎn)P是雙曲線C右支上異于頂點(diǎn)的點(diǎn)，設(shè)的內(nèi)切圓與軸的切點(diǎn)為，依據(jù)三角形內(nèi)切圓的學(xué)問可知，則是雙曲線的右頂點(diǎn)，所以的內(nèi)切圓圓心在直線，即點(diǎn)H是的內(nèi)心，如圖，作出，并分別延長HP、、至點(diǎn)，使得，可知H為的重心，設(shè)，由重心性質(zhì)可得，即，又H為的內(nèi)心，所以，因?yàn)椋瑒t，所以雙曲線C的離心率.故選：C【點(diǎn)睛】求解雙曲線離心率有關(guān)的問題，解題有兩個(gè)方向，一個(gè)是求得，從而求得雙曲線的離心率；另一個(gè)是求得的關(guān)系式或的關(guān)系式，然后轉(zhuǎn)化成離心率.二、填空題13.在綻開式中，含的項(xiàng)的系數(shù)是___________.【答案】720【解析】【分析】依據(jù)乘法安排律以及組合數(shù)的計(jì)算求得正確答案.【詳解】依據(jù)乘法安排律可知，含的項(xiàng)的系數(shù)是：.故答案：14.是等差數(shù)列{}的前n項(xiàng)和，則n的值是___________.【答案】21【解析】【分析】利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)求解.【詳解】解：因?yàn)閿?shù)列{}是等差數(shù)列，且，所以，解得，故答案為：2115.已知拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)作傾斜角為的直線交于，兩點(diǎn)，過，分別作的切線、，與交于點(diǎn)，，與軸的交點(diǎn)分別為，，則四邊形的面積為______________．【答案】4【解析】【分析】求得焦點(diǎn)的坐標(biāo)，直線的方程，與拋物線的方程聯(lián)立，即可求出、兩點(diǎn)坐標(biāo)；由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求得切線，的方程，求得交點(diǎn)的坐標(biāo)，求得，的坐標(biāo)，可得，再由三角形的面積公式，計(jì)算可得所求值．【詳解】解：拋物線的焦點(diǎn)為且直線的傾斜角為，則，所以直線方程為，即，設(shè)，，不妨設(shè)在第一象限，聯(lián)立，消去得解得、，代入直線方程，則、，因?yàn)橹本€與拋物線相切于點(diǎn)，即，則，所以，同理可得，則可得直線方程為，即，則其與軸交點(diǎn)，令，則，所以，直線的方程為，即，則其與軸交點(diǎn)，令，則，所以，所以，聯(lián)立、的方程，解得，即點(diǎn)坐標(biāo)為，．故答案為：．16.在長方體中，，，點(diǎn)在正方形內(nèi)，平面，則三棱錐的外接球表面積為______.【答案】【解析】【分析】先由平面，得出點(diǎn)為正方形對角線的交點(diǎn)，再由正方體中是等腰直角三角形，設(shè)是中點(diǎn)，則是的外心，取是中點(diǎn)，則三棱錐的外接球的球心在直線上，計(jì)算出和后得在的延長線上，求得球半徑后可得表面積．【詳解】解：如圖所示：平面，連接，又為正方形，點(diǎn)為正方形對角線的交點(diǎn)，則是等腰直角三角形，是直角頂點(diǎn)，設(shè)是中點(diǎn)，則是的外心，取是中點(diǎn)，則，而平面，平面，三棱錐的外接球的球心在直線上，由已知可計(jì)算，，在的延長線上，設(shè)，則由得，解得，，外接球表面積：．故答案為：．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查求球的表面積，關(guān)鍵是確定球心位置求得球半徑．利用三棱錐的性質(zhì)可得球心位置，三棱錐外接球心肯定在過各面外心且與該面垂直的直線上．三、解答題17.設(shè)，有三個(gè)條件：①是2與的等差中項(xiàng)；②，；③．在這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下列問題的橫線上，再作答．（假如選擇多個(gè)條件分別作答，那么按第一個(gè)解答計(jì)分）若數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且______．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若是以2為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）選條件①時(shí)，利用數(shù)列的遞推關(guān)系求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；選條件②時(shí)，利用數(shù)列的遞推關(guān)系求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；選條件③時(shí)，利用與的關(guān)系可求出答案；（2）首先可得，然后利用錯位相減法算出答案即可．【小問1詳解】選條件①時(shí)，由于是2與的等差中項(xiàng)；所以，①當(dāng)時(shí)，解得；當(dāng)時(shí)，②，①②得：，整理得，所以數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列；所以（首項(xiàng)符合通項(xiàng)），所以；選條件②時(shí)，由于，；所以：，①，當(dāng)時(shí)，，②，①②得：，所以數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列；故（首項(xiàng)符合通項(xiàng)），所以；選條件③時(shí)，因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，因?yàn)闀r(shí)也滿意，所以【小問2詳解】若是以2為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列，所以，所以，故①，②，①②得：；整理得．18.如圖，四棱柱ABCD—的側(cè)棱⊥底面ABCD，四邊形ABCD為菱形，E，F(xiàn)分別為，AA1的中點(diǎn).（1）證明：B，E，D1，F(xiàn)四點(diǎn)共面；（2）若求直線AE與平面BED1F所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）通過證明來證明B，E，D1，F(xiàn)四點(diǎn)共面.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求得直線AE與平面BED1F所成角的正弦值.【小問1詳解】取的中點(diǎn)為G，連接AG，GE，由E，G分別為，的中點(diǎn)，∴EG∥DC∥AB，且，∴四邊形ABEG為平行四邊形，故.又F是的中點(diǎn)，即，∴，故B，F(xiàn)，，E四點(diǎn)共面.【小問2詳解】連接AC、BD交于點(diǎn)O，取上底面的中心為，以O(shè)為原點(diǎn)，、、分別為x、y、z軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則A（，0，0），B（0，1，0），，F(xiàn)（，0，1），∴設(shè)面的一個(gè)法向量為，則，即，取，設(shè)直線AE與平面BED1F所成角為θ，故，∴直線AE與平面BED1F所成角的正弦值為.19.2024年，是人類首次勝利從北坡登頂珠峰60周年，也是中國首次精確測定并公布珠峰高程的45周年.華為幫助中國移動開通珠峰峰頂5G，有助于測量信號的實(shí)時(shí)開通，為珠峰高程測量供應(yīng)通信保障，也驗(yàn)證了超高海拔地區(qū)5G信號覆蓋的可能性，在持續(xù)高風(fēng)速下5G信號的穩(wěn)定性，在條件惡劣地區(qū)通過簡易設(shè)備傳輸視頻信號的可能性.正如任總在一次采訪中所說：“華為公司價(jià)值體系的志向是為人類服務(wù).”有人曾問，在珠峰開通5G的意義在哪里？“我認(rèn)為它是科學(xué)技術(shù)的一次珠峰登頂，告知全世界，華為5G、中國5G的底氣來自哪里.現(xiàn)在，5G的到來給人們的生活帶來更加顛覆性的變革，某IT公司基于領(lǐng)先技術(shù)的支持，5G經(jīng)濟(jì)收入在短期內(nèi)逐月攀升，該IT公司在1月份至6月份的5G經(jīng)濟(jì)收入y（單位：百萬元）關(guān)于月份x的數(shù)據(jù)如下表所示，并依據(jù)數(shù)據(jù)繪制了如圖所示的散點(diǎn)圖.月份x123456收入y（百萬元）6.68.616.121.633.041.0（1）依據(jù)散點(diǎn)圖推斷，與（a，b，c，d均為常數(shù)）哪一個(gè)更相宜作為5G經(jīng)濟(jì)收入y關(guān)于月份x的回來方程類型？（給出推斷即可，不必說明理由）（2）依據(jù)（1）的結(jié)果及表中的數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的回來方程，并預(yù)料該公司7月份的5G經(jīng)濟(jì)收入.（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后兩位）（3）從前6個(gè)月的收入中抽取2個(gè)，記收入超過20百萬元的個(gè)數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.參考數(shù)據(jù)：3.5021.152.8517.70125.356.734.5714.30其中，設(shè)（i=1，2，3，4，5，6）.參考公式：對于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)（，）（i=1，2，3，…，n），其回來直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為，.【答案】（1）更相宜（2），65.35百萬元（3）分布列見解析，1【解析】【分析】（1）依據(jù)散點(diǎn)圖確定正確答案.（2）依據(jù)非線性回來的學(xué)問求得回來方程并求得預(yù)料值.（3）利用超幾何分布的學(xué)問求得分布列并求得數(shù)學(xué)期望.【小問1詳解】依據(jù)散點(diǎn)圖推斷，更相宜作為5G經(jīng)濟(jì)收入y關(guān)于月份x的回來方程類型；【小問2詳解】因?yàn)?，所以兩邊同時(shí)取常用對數(shù)，得，設(shè)，所以，因?yàn)椋运?所以，即，所以.令，得，故預(yù)料該公司7月份的5G經(jīng)濟(jì)收入大約為65.35百萬元.【小問3詳解】前6個(gè)月的收入中，收入超過20百萬元的有3個(gè)，所以X的取值為0，1，2，所以X的分布列為：012P所以.20.已知橢圓C的焦點(diǎn)在x軸上，左右焦點(diǎn)分別為、，離心率，P為橢圓上隨意一點(diǎn)，的周長為6.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程：（2）過點(diǎn)且斜率不為0的直線l與橢圓C交于Q，R兩點(diǎn)，點(diǎn)Q關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為，過點(diǎn)Q1與R的直線交x軸于T點(diǎn)，試問的面積是否存在最大值？若存在，求出這個(gè)最大值：若不存在，請說明理由【答案】（1）（2）存在，【解析】【分析】(1)依據(jù)已知條件列方程組，求得，從而求得橢圓的方程.(2)設(shè)直線的方程為并與橢圓的方程聯(lián)立，化簡寫出根與系數(shù)關(guān)系，求得三角形的面積的表達(dá)式并利用基本不等式求得最大值.【小問1詳解】設(shè)橢圓的方程為，由題可知.，聯(lián)立，解得，故橢圓C的方程為.【小問2詳解】不妨設(shè)過點(diǎn)且斜率不為0的直線l方程為，設(shè)，則，聯(lián)立，消x得，，即，由韋達(dá)定理有，直線1的方程為，令，得，將①②)代入上式得，則，又(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等)所以面積的最大值為【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時(shí)計(jì)算；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.21.已知函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)x1，x2.（1）當(dāng)時(shí)，求證：；（2）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得，進(jìn)而證得不等式成立.（2）結(jié)合導(dǎo)數(shù)，先推斷，然后結(jié)合的最小值為負(fù)數(shù)以及零點(diǎn)存在性定理求得的取值范圍.【小問1詳解】令，則.當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞減.所以所以.【小問2詳解】，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)f（x）為增函數(shù)，不合題意；當(dāng)時(shí)，，得，(舍)所以當(dāng)，，f（x）單調(diào)遞減；當(dāng)，，f（x）單調(diào)遞增.假如f（x）有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，必有，則，得，所以此時(shí)，又此時(shí)，故在（）有一個(gè)零點(diǎn)：由（1）知，時(shí)，，令，解得，故當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，，故在）上有一個(gè)零點(diǎn)，所以f（x）有兩個(gè)不同的零點(diǎn)時(shí)，a的取值范圍為【點(diǎn)睛】利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的零點(diǎn)，首先要對參數(shù)進(jìn)行分類探討，分類探討要做到不重不漏.然后利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行探討時(shí)，轉(zhuǎn)化為極值、最值問進(jìn)行求解，求解過程中要留意結(jié)合單調(diào)性以及零點(diǎn)存在性定理來進(jìn)行推斷.選考題：共10分.請考生在第22、23題中選定一題作答，并用2B鉛筆在答題卡上將所選題目對應(yīng)的題號方框涂黑.按所涂題號進(jìn)行評分，不涂、多涂均按所答第一題評分；多答按所答第一題評分.[選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]22.如圖，在極坐標(biāo)系中，曲線C1是以C1（4，0）為圓心的半圓，曲線C2是以為圓心的圓，曲線C1、C2都過極點(diǎn)O．（1）分別寫出半圓C1，C2的極坐標(biāo)方程；（2）直線l：與曲線C1，C2分別交于M、N兩點(diǎn)（異于極點(diǎn)O），P