北京市大興區(qū)2024-2025學年高三數(shù)學下學期摸底檢測試卷含解析

大興區(qū)2024～2024學年度其次學期高三年級摸底檢測（大興區(qū)2024～2024學年度高三數(shù)學下學期摸底檢測第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。（1）已知集合，集合，則（

）（A） （B）（C） （D）（2）若復數(shù)z滿意，則（

）（A）1（B）5（C）7 （D）（3）若為隨意角，則滿意的一個值為（

）（A）2 （B）4（C）6 （D）8（4）在人類中，雙眼皮由顯性基因限制，單眼皮由隱性基因限制．當一個人的基因型為或時，這個人就是雙眼皮，當一個人的基因型為時，這個人就是單眼皮．隨機從父母的基因中各選出一個或者基因遺傳給孩子組合成新的基因．依據(jù)以上信息，則“父母均為單眼皮”是“孩子為單眼皮”的（

）（A）充分不必要條件 （B）必要不充分條件

（C）充要條件 （D）既不充分也不必要條件（5）已知三個函數(shù)，，，則（

）（A）定義域都為R （B）值域都為R（C）在其定義域上都是增函數(shù) （D）都是奇函數(shù)（6）雙曲線的漸近線與直線交于A，B兩點，且|AB|=4，那么雙曲線C的離心率為（

）（A） （B）（C） （D）（7）設(shè)是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，為其前項和.已知，，若存在使得的乘積最大，則的一個可能值是（

）（A） （B）（C） （D）（8）一次數(shù)學考試共有8道推斷題，每道題5分，滿分40分．規(guī)定正確的畫√，錯誤的畫×．甲、乙、丙、丁四名同學的解答及得分狀況如表所示，則m的值為（）

題號學生12345678得分甲×√×√××√×30乙××√√√××√25丙√×××√√√×25丁×√×√√×√√m（A） （B）（C） （D）（9）點P在函數(shù)y＝ex的圖象上．若滿意到直線y＝x+a的距離為的點P有且僅有3個，則實數(shù)a的值為（）（A） （B）（C） （D）（10）如圖，正方體的棱長為2，點為底面的中心，點在側(cè)面的邊界及其內(nèi)部運動．若，則面積的最大值為（

）（A） （B）（C） （D）其次部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。（11）在的二項綻開式中，常數(shù)項為____15____．（用數(shù)字作答）（12）能說明“若，則方程表示的曲線為橢圓或雙曲線”是錯誤的一組的值是_____.（13）在中，，，，則的面積為．（14）矩形中，，，為的中點.

當點在邊上時，的值為_____；當點沿著，與邊運動時，的最小值為______.

（15）曲線，點P在曲線C上．給出下列三個結(jié)論：曲線C關(guān)于y軸對稱；曲線C上的點的橫坐標的取值范圍是[﹣2，2]；若，，則存在點P，使的面積大于．

其中，全部正確結(jié)論的序號是_____．三、解答題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。（16）（本小題14分）已知函數(shù)同時滿意下列四個條件中的三個：；②；③最大值為2；④最小正周期為（Ⅰ）給出函數(shù)的解析式，并說明理由；

（Ⅱ）求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間（17）（本小題14分）如圖，四邊形為正方形，，，，，.（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值.（18）（本小題14分）為了增加學生的冬奧會學問，弘揚奧林匹克精神，北京市多所中小學校開展了模擬冬奧會各項競賽的活動.為了了解學生在越野滑輪和旱地冰壺兩項中的參與狀況，在北京市中小學學校中隨機抽取了10所學校，10所學校的參與人數(shù)如下：（Ⅰ）現(xiàn)從這10所學校中隨機選取2所學校進行調(diào)查.求選出的2所學校參與越野滑輪人數(shù)都超過40人的概率；

（Ⅱ）現(xiàn)有一名旱地冰壺教練在這10所學校中隨機選取2所學校進行指導，記X為教練選中參與旱地冰壺人數(shù)在30人以上的學校個數(shù)，求X的分布列和數(shù)學期望；

（Ⅲ）某校聘請了一名越野滑輪教練，對高山滑降、轉(zhuǎn)彎、八字登坡滑行這3個動作進行技術(shù)指導.規(guī)定：這3個動作中至少有2個動作達到“優(yōu)”，總考核記為“優(yōu)”.在指導前，該校甲同學3個動作中每個動作達到“優(yōu)”的概率為0.1.在指導后的考核中，甲同學總考核成果為“優(yōu)”.能否認為甲同學在指導后總考核達到“優(yōu)”的概率發(fā)生了改變？請說明理由.（19）（本小題15分）已知橢圓的焦距和長半軸長都為2.過橢圓的右焦點作斜率為的直線與橢圓相交于兩點.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設(shè)點是橢圓的左頂點，直線分別與直線相交于點.求證：以為直徑的圓恒過點.（20）（本小題14分）已知函數(shù).（Ⅰ）當時，求曲線在點處的切線方程；

（Ⅱ）若在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實數(shù)的取值范圍；

（Ⅲ）當時，試寫出方程根的個數(shù).(只需寫出結(jié)論)（21）（本小題14分）設(shè)集合，其中是正整數(shù)，記．對于，若存在整數(shù)k，滿意，則稱整除，設(shè)是滿意整除的數(shù)對的個數(shù)．（Ⅰ）若，，寫出，的值;（Ⅱ）求的最大值;（Ⅲ）設(shè)A中最小的元素為a，求使得取到最大值時的全部集合A．大興區(qū)2024～2024學年度其次學期高三年級摸底檢測高三數(shù)學參考答案與評分標準一、選擇題（共10小題，每小題4分，共40分）12345678910DBDACDABCC二、填空題（共5小題，每小題5分，共25分）（11）15（12）（答案不唯一，滿意或即可）（13）6（14）；（15）①②（只寫對一個3分）三、解答題（共6小題，共85分）（16）（本小題14分）解：（Ⅰ）若函數(shù)滿意條件③，則，這與沖突，所以不能滿意條件③…………2分所以應(yīng)滿意條件①②④由條件①得，且，所以…………4分由條件②得…………6分再由條件④得，且所以…………8分所以…………9分（Ⅱ）由…………2分得…………4分所以的單調(diào)遞減區(qū)間為…………5分（17）（本小題14分）解：（Ⅰ）證明：因為，，所以，…………2分又因為，且，…………4分所以平面.…………5分（Ⅱ）（方法一）因為四邊形為正方形，平面，，所以倆倆垂直，如圖建立空間直角坐標系，…………2分則，，，，…………4分，，.設(shè)平面的法向量為，…………5分則，即，令，則，.所以平面的法向量為.…………7分設(shè)直線與平面所成的角為，所以.…………9分所以直線與平面所成角的正弦值為.（方法二）因為平面，所以，.因為四邊形為正方形，所以.如圖建立空間直角坐標系，…………2分則，，，，…………4分，，.設(shè)平面的法向量為，…………5分則，即，令，則，.所以平面的法向量為.…………7分設(shè)直線與平面所成的角為，所以.…………9分所以直線與平面所成角的正弦值為.（18）（本小題14分）解：（Ⅰ）設(shè)“選出的兩所學校參與越野滑輪人數(shù)都超過40人”的事務(wù)為A，…………1分則…………4分（Ⅱ）X的全部可能取值為0，1，2，參與旱地冰壺人數(shù)在30人以上的學校共4所.…………1分，，.X的分布列為：X012P…………5分.…………7分（Ⅲ）答案不唯一.答案示例1：可以認為甲同學在指導后總考核為“優(yōu)”的概率發(fā)生了改變.理由如下：指導前，甲同學總考核為“優(yōu)”的概率為：.指導前，甲同學總考核為“優(yōu)”的概率特別小，一旦發(fā)生，就有理由認為指導后總考核達到“優(yōu)”的概率發(fā)生了改變.答案示例2：無法確定.理由如下：指導前，甲同學總考核為“優(yōu)”的概率為：.雖然概率特別小，但是也可能發(fā)生，所以，無法確定總考核達到“優(yōu)”的概率發(fā)生了改變.…3分（19）（本小題15分）解：（Ⅰ）由已知得，，…………2分所以…………4分所以橢圓的方程為…………5分（Ⅱ），，設(shè)直線的方程為…………1分由消元得：…………2分設(shè)，則…………3分又直線的方程為，令得同理可得…………5分所以直線的斜率為直線的斜率為…………6分所以…………9分所以，即以為直徑的圓恒過點.…………10分注：第（Ⅱ）問，用以下方法證明相應(yīng)給分用①；②為線段的中點，證；③以為直徑的圓的方程；（20）（本小題14分）解：（Ⅰ），所以所以…………2分所以切線斜率，又…………4分所以切線方程為…………5分（Ⅱ）…………1分因為在區(qū)間上單調(diào)遞增所以對，都有恒成立即，恒成立，等價于…………2分設(shè)，，則…………3分令，得…………4分當改變時，改變狀況如下表：減函數(shù)微小值增函數(shù)所以，函數(shù)的最小值為所以，實數(shù)的取值范圍是…………6分（Ⅲ）個…………3分（21）（本小題14分）解：（Ⅰ）依據(jù)條件所給定義，，所以……