重慶市2023-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期九月測試試題含解析

Page16一、選擇題（本大題共8小題、每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.集合的意義是（）A.第二象限內(nèi)的點集B.第四象限內(nèi)點集C.第二、四象限內(nèi)的點集D.不在第一、三象限內(nèi)的點的集合【答案】D【解析】【分析】意味著和異號或至少一個為零，結(jié)合象限的概念可得結(jié)果．【詳解】因為意味著和異號或至少一個為零，故為第二、四象限內(nèi)的點或坐標(biāo)軸上的點，即不在第一、三象限內(nèi)的點，所以的意義是不在第一、三象限內(nèi)的點的集合.故選：D．2.已知集合，則集合真子集個數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】求出后，由真子集的定義可得．【詳解】集合中元素滿足，即該數(shù)為大于1的奇數(shù)，而集合中大于1的奇數(shù)只有3和9.所以，的真子集有3個，分別是：，，.故選：C.3.已知集合，且，則實數(shù)為（）A.2 B.3 C.0或3 D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)得或，求出后驗證集合中元素的互異性可得結(jié)果.【詳解】因為且，所以或，①若，此時，不滿足互異性；②若，解得或3，當(dāng)時不滿足互異性，當(dāng)時，符合題意.綜上所述，.故選：B4.下列集合中表示同一集合的是（）A.， B.，C.， D.，【答案】D【解析】【分析】根據(jù)集合的定義，依次分析選項即得.【詳解】對于A，兩個集合都為點集，與是不同點，故M、N為不同集合，故A錯誤；對于B，M是點集，N是數(shù)集，故M、N為不同集合，故B錯誤；對于C，M是數(shù)集，N是點集，故M、N為不同集合，故C錯誤；對于D，，，故M、N為同一集合，故D正確.故選：D.5.已知集合A=A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)集合與元素的關(guān)系，列不等式求解即可.【詳解】由題意：,∴解得：故選：C6.若集合中的元素都是非零實數(shù)，定義，若，且中有4個元素，則的值為（）A.1 B. C.1或 D.1或【答案】C【解析】【分析】根據(jù)所給定義，求出中的所有元素，再分類討論可得.【詳解】解：根據(jù)定義，且中有4個元素，，，，，，，當(dāng)時，解得，不滿足條件，當(dāng)時，解得，滿足條件，當(dāng)時，解得，不滿足條件，當(dāng)時，解得，不滿足條件，當(dāng)時，解得，滿足條件，當(dāng)時，解得，不滿足條件，故選：.【點睛】本題考查集合中的新定義，分類討論思想，屬于基礎(chǔ)題.7.若集合A的所有子集中，任意子集的所有元素和均不相同，稱A為互斥集．若，且A為互斥集，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由集合的新定義先確定集合，而要想取得最大值，則要最小，從而確定，即可求解【詳解】因為，所以為又且為互斥集，所以為，要想取得最大值，則要最小，此時，不妨令，則，故選：C8.已知集合．若，且對任意，，均有，則集合中元素個數(shù)的最大值為（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)，轉(zhuǎn)化為任意兩點連線的斜率不存在或小于等于零，分析要使這樣的點最多，點的分布情況，即可得解.【詳解】由題知：集合，若，且對任意、，均有，作如下等價轉(zhuǎn)化：考慮，是平面內(nèi)的滿足題目條件的任意兩點，“”等價于“或”即這個集合中的任意兩個點連線的斜率不存在或斜率小于等于零，要使集合中這樣的點最多，就是直線兩條直線上的整數(shù)點，共19個，（當(dāng)然也可考慮直線兩條直線上的整數(shù)點，共19個）

故選：D二、選擇題（本大題共4小題、每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項是符合題目要求的．全部選對的得5分、有選錯的得0分，部分選對的得2分）9.下列關(guān)于集合的命題錯誤的有（）A.很小的整數(shù)可以構(gòu)成集合B.集合與集合是同一個集合C.1，2，，0.5，這些數(shù)組成的集合有5個元素D.空集是任何集合的子集【答案】ABC【解析】【分析】結(jié)合集合的確定性，互異性，集合中元素特征直接判斷即可.【詳解】對A選項，元素不確定，不構(gòu)成集合，故A錯；對B選項，表示函數(shù)的值域，表示函數(shù)圖象上的所有點坐標(biāo)構(gòu)成的集合，故B錯誤；對C選項，，故組成的集合應(yīng)該有3個元素，C錯誤；對D選項，空集是任何集合的子集，正確，故選：ABC10.設(shè)全集，集合，，則包含的集合可以是（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】首先求，再求包含的集合.【詳解】由題意可知，，，所以，所以包含的集合可以是A，D.故選：AD11.已知是同時滿足下列條件的集合：①；②若，則；③且，則．下列結(jié)論中正確的有（）A. B.C.若，則 D.若，則【答案】ACD【解析】【分析】由，利用條件②和③判斷選項AB；得，根據(jù)，由②得到，再根據(jù)，利用②判斷選項C；根據(jù)，，利用②得到，再由③得到，，進(jìn)而再由②判斷.【詳解】因為，由②得，，，由③得，故A正確，B錯誤；因為，由②得，所以，故C正確；因為，，由②得，由③得，，由②得，由③得，由②得，故D正確；故選：ACD12.對非空有限數(shù)集，定義運算“”：表示集合A中的最小元素．現(xiàn)給定兩個非空有限數(shù)集A，B，定義集合，我們稱為集合A，B之間的“距離”，記為．則下列命題為真命題的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.對于任意有限數(shù)集A，B，C，均有【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)題中條件可得AC正確，通過舉反例可得BD錯誤.【詳解】對于A，若，則A，B中最小的元素相同，則，故A為真命題；對于B，取集合，，滿足，而，故B為假命題；對于C，若，則A，B中存在相同的元素，所以交集非空集，故C為真命題；對于D，取集合，，，可知，，，則不成立，故D為假命題．故選：AC.三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上）13.方程組的解集是______．【答案】【解析】【分析】解方程組，得到解集.【詳解】，兩式相減得，解得，代入，可得，故方程組的解集為.故答案為：14.若集合，實數(shù)的值為______【答案】【解析】【分析】由已知中集合，根據(jù)集合相等對應(yīng)元素分別相等，我們可以分若、、，三種情況進(jìn)行分類討論，結(jié)合集合元素的性質(zhì)，即可得到答案．詳解】令,,，,,，,,，，，若，則，則,,，,,，滿足要求；若，則，而中元素，矛盾；若，則，則,,，,,，滿足要求；故實數(shù)的值為.故答案為：15.若集合，則實數(shù)a的取值范圍是________.【答案】【解析】【分析】對二次項系數(shù)a是否為0進(jìn)行討論，根據(jù)二次函數(shù)圖像與性質(zhì)，列出不等式，即可得答案.【詳解】當(dāng)時，不等式可化為，不成立，故為空集，滿足題意；當(dāng)時，根據(jù)二次函數(shù)圖像與性質(zhì)可得，解得，綜上.故答案為：【點睛】本題考查一元二次不等式的解法，涉及分類討論的思想，屬基礎(chǔ)題.16.某單位周一、周二、周三開車上班的職工人數(shù)分別是14，10，8.若這三天中至少有一天開車上班的職工人數(shù)是20，則這三天都開車上班的職工人數(shù)至多是________.【答案】6【解析】【分析】將原問題轉(zhuǎn)化為Venn圖的問題，然后結(jié)合題意確定這三天都開車上班的職工人數(shù)至多幾人即可.【詳解】如圖所示，（a+b+c+x）表示周一開車上班的人數(shù)，（b+d+e+x）表示周二開車上班人數(shù)，（c+e+f+x）表示周三開車上班人數(shù)，x表示三天都開車上班的人數(shù)，則有：，即，即，當(dāng)時，x的最大值為6，即三天都開車上班的職工人數(shù)至多是6.故答案為：6【點睛】本題主要考查Venn圖的應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.四、解答題（共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.已知集合中有三個元素：，，，集合中也有三個元素：0，1，．（1）若，求實數(shù)的值；（2）若，求實數(shù)的值．【答案】（1）的值為0或（2）的值為【解析】【分析】（1）若，則或，再結(jié)合集合中元素的互異性，能求出的值．（2）當(dāng)取0，1，時，都有，集合中的元素都有互異性，由此能求出實數(shù)的值．【小問1詳解】集合中有三個元素：，，，，或，解得或，當(dāng)時，，，，成立；當(dāng)時，，，，成立．的值為0或．【小問2詳解】集合中也有三個元素：0，1，，，當(dāng)取0，1，時，都有，集合中的元素都有互異性，，，．實數(shù)的值為．18.已知集合，.（1）當(dāng)時，求；（2）若，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）解一元二次不等式化簡集合A，再把代入，利用補集、交集的定義求解作答.（2）由已知可得，再利用集合的包含關(guān)系分類求解作答.【小問1詳解】解不等式，得，即，當(dāng)時，，，所以.【小問2詳解】由（1）知，，由，得，當(dāng)，即時，，滿足，因此；當(dāng)，即時，，即有，則，解得，因此，所以實數(shù)的取值范圍.19.集合，.（1）若，寫出集合B的真子集；（2）若，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）當(dāng)時，集合B的真子集為：，，；當(dāng)時，集合B的真子集為：.（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)集合的交集，元素與集合的關(guān)系以及一元二次方程進(jìn)行求解.（2）根據(jù)集合的包含關(guān)系，分類討論求解.【小問1詳解】由題知，，若，則，所以，，解得或，當(dāng)時，，所以集合B的真子集為：，，；當(dāng)時，，所以集合B的真子集為：.綜上，當(dāng)時，集合B的真子集為：，，；當(dāng)時，集合B的真子集為：.【小問2詳解】對于集合B中的方程，，因為，所以，當(dāng)，即，此時，顯然滿足；當(dāng)，即，此時，滿足；當(dāng)，即，當(dāng)才能滿足條件，由韋達(dá)定理有，，即，無解.故實數(shù)a的取值范圍是.20.已知全集，集合．（1）若b＝4時，存在集合M使得AMB，求出所有這樣的集合M；（2）集合A，B能否滿足？若能，求實數(shù)b的取值范圍；若不能，請說明理由．【答案】（1）；（2）能，.【解析】【分析】（1）當(dāng)時，由，得到，求得，結(jié)合條件即可求解；（2）由，得到，分和，兩種情況討論，結(jié)合集合的包含關(guān)系，即可求解.小問1詳解】解：當(dāng)時，可得，因為，所以，又由，又因AMB，所以這樣的集合M共有如下6個：.【小問2詳解】解：能；由，可得，若時，此時滿足是的一個子集，此時，解得；若時，由（1）知，當(dāng)時，，此時，此時不是的一個子集；當(dāng)時，，此時，此時是的一個子集；當(dāng)時，，此時，此時是的一個子集，綜上可得，當(dāng)或時，滿足，此時實數(shù)的取值范圍為.21.已知集合，規(guī)定：集合中元素的個數(shù)為，且．若，則稱集合是集合的衍生和集．（1）當(dāng)，時，分別寫出集合，的衍生和集；（2）當(dāng)時，求集合的衍生和集的元素個數(shù)的最大值和最小值．【答案】（1）的衍生和集；的衍生和集（2）最大值為，最小值為【解析】【分析】（1）由衍生和集定義可直接寫出結(jié)果；（2）設(shè)，，列舉得到所有必然不相等的兩個元素之和的情況，由此得到最小值；假設(shè)任意兩個元素之和都不相等，可確定最大值.【小問1詳解】由衍生和集的定義知：集合的衍生和集；集合的衍生和集.【小問2詳解】當(dāng)時，設(shè)集合，且；，集合的衍生和集的元素個數(shù)的最小值為；若集合中任意兩個元素的和不相等，則衍生和集的元素個數(shù)取得最大值，最大值為；最大值為，最小值為.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查集合中的新定義問題，解題關(guān)鍵是明確衍生和集的本質(zhì)是集合中兩個元素之和，根據(jù)集合中元素的互異性可確定衍生和集中元素個數(shù)最小和最大的情況.22.設(shè)集合，若集合S中的元素同時滿足以下條件：①，恰好都含有3個元素；②，，為單元素集合；③則稱集合S為“優(yōu)選集”．（1）判斷集合，是否為“優(yōu)選集”；（2）證明：若集合S為“優(yōu)選集”，則，至多屬于S中的三個集合；（3）若集合S為“優(yōu)選集”，求集合S的元素個數(shù)的最大值．【答案】（1）不是“優(yōu)選集”，是“優(yōu)選集”；（2）證明過程見詳解；（3）7【解析】【分析】（1）根據(jù)“優(yōu)選集”的定義判斷即可；（2）先取，其中，，，，，，，可得，可以屬于S中的三個集合，再用反證法證明不存在，使得可以屬于S中的四個集合即可；（3）結(jié)合（2）可知S中的元素個數(shù)可以為7，再用反證法證明不存在即可．【小問1詳解】對于集合，滿足條件①：和恰好都含有3個元素；滿足條件②：為單元素集合；但不滿足條件③：，則不是“優(yōu)選集”；對于集合，滿足條件①：，和恰好都含有3個元素；滿足條件②：，，為單元素集合；滿足條件③：．所以集合是“優(yōu)選集”．【小問2詳解】由集合S為“優(yōu)選集”，結(jié)合（1）顯然，可以屬于S中的零個集合，一個集合，兩個集合，取集合，其中，，，，，，，此時，可以屬于S中的兩個集合，三個集合，假設(shè)存