高考數(shù)學（文）培優(yōu)增分一輪全國經(jīng)典版培優(yōu)講義第9章　統(tǒng)計統(tǒng)計案例第1講隨機抽樣

第1講隨機抽樣板塊一知識梳理·自主學習[必備知識]考點1簡單隨機抽樣1．定義：設一個總體含有N個個體，從中逐個不放回地抽取n個個體作為樣本(n≤N)，如果每次抽取時總體內的各個個體被抽到的機會都相等，就把這種抽樣方法叫做簡單隨機抽樣．2．最常用的簡單隨機抽樣的方法：抽簽法和隨機數(shù)法．3．抽簽法與隨機數(shù)法的區(qū)別與聯(lián)系抽簽法和隨機數(shù)法都是簡單隨機抽樣的方法，但是抽簽法適合在總體和樣本都較少，容易攪拌均勻時使用，而隨機數(shù)法除了適合總體和樣本都較少的情況外，還適用于總體較多但是需要的樣本較少的情況，這時利用隨機數(shù)法能夠快速地完成抽樣．考點2系統(tǒng)抽樣的步驟假設要從容量為N的總體中抽取容量為n的樣本．1．先將總體的N個個體編號．2．確定分段間隔k，對編號進行分段，當eq\f(N,n)是整數(shù)時，取k＝eq\f(N,n).3．在第1段用簡單隨機抽樣確定第一個個體編號l(l≤k)．4．按照一定的規(guī)則抽取樣本，通常是將l加上間隔k得到第2個個體編號(l＋k)，再加k得到第3個個體編號(l＋2k)，依次進行下去，直到獲取整個樣本．考點3分層抽樣1．定義：在抽樣時，將總體分成互不交叉的層，然后按照一定的比例，從各層獨立地抽取一定數(shù)量的個體，將各層取出的個體合在一起作為樣本，這種抽樣方法是一種分層抽樣．2．分層抽樣的應用范圍：當總體是由差異明顯的幾個部分組成的，往往選用分層抽樣．[必會結論]1．不論哪種抽樣方法，總體中的每一個個體入樣的概率是相同的．2．系統(tǒng)抽樣是等距抽樣，入樣個體的編號相差eq\f(N,n)的整數(shù)倍．3．分層抽樣是按比例抽樣，每一層入樣的個體數(shù)為該層的個體數(shù)乘以抽樣比．[考點自測]1．判斷下列結論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)簡單隨機抽樣是一種不放回抽樣．()(2)簡單隨機抽樣每個個體被抽到的機會不一樣，與先后有關．()(3)系統(tǒng)抽樣在起始部分抽樣時采用簡單隨機抽樣．()(4)要從1002個學生中用系統(tǒng)抽樣的方法選取一個容量為20的樣本，需要剔除2個學生，這樣對被剔除者不公平．()答案(1)√(2)×(3)√(4)×2．[2015·四川高考]某學校為了了解三年級、六年級、九年級這三個年級之間的學生視力是否存在顯著差異，擬從這三個年級中按人數(shù)比例抽取部分學生進行調查，則最合理的抽樣方法是()A．抽簽法 B．系統(tǒng)抽樣法C．分層抽樣法 D．隨機數(shù)法答案C解析最合理的抽樣方法是分層抽樣法，選C項．3．[課本改編]2018年1月6日～8日衡水重點中學在畢業(yè)班進行了一次模擬考試，為了了解全年級1000名學生的考試成績，從中隨機抽取了A．1000名學生是總體B．每個學生是個體C．1000名學生的成績是一個個體D．樣本的容量是100答案D解析1000名學生的成績是統(tǒng)計中的總體，每個學生的成績是個體，被抽取的100名學生的成績是一個樣本，其樣本的容量是100.4．[2018·湖北模擬]甲、乙兩套設備生產(chǎn)的同類型產(chǎn)品共4800件，采用分層抽樣的方法從中抽取一個容量為80的樣本進行質量檢測．若樣本中有50件產(chǎn)品由甲設備生產(chǎn)，則乙設備生產(chǎn)的產(chǎn)品總數(shù)為________件．答案1800解析分層抽樣中各層的抽樣比相同．樣本中甲設備生產(chǎn)的有50件，則乙設備生產(chǎn)的有30件．在4800件產(chǎn)品中，甲、乙設備生產(chǎn)的產(chǎn)品總數(shù)比為5∶3，所以乙設備生產(chǎn)的產(chǎn)品的總數(shù)為1800件．5．[2018·人大附中段考]在一次抽樣活動中，采用了系統(tǒng)抽樣．若第1組中選中的為2號，第2組中選中的為7號，則第5組中選中的應為________號．答案22解析由題意知抽樣間隔為7－2＝5，所以第5組中選中的號碼為2＋(5－1)×5＝22.板塊二典例探究·考向突破考向隨機抽樣方法例1[2018·陜西模擬]某班級有男生20人，女生30人，從中抽取10人作為樣本，其中一次抽樣結果是：抽到了4名男生、6名女生，則下列命題正確的是()A．這次抽樣可能采用的是簡單隨機抽樣B．這次抽樣一定沒有采用系統(tǒng)抽樣C．這次抽樣中每個女生被抽到的概率大于每個男生被抽到的概率D．這次抽樣中每個女生被抽到的概率小于每個男生被抽到的概率答案A解析利用排除法求解．這次抽樣可能采用的是簡單隨機抽樣，A正確；這次抽樣可能采用系統(tǒng)抽樣，男生編號為1～20，女生編號為21～50，間隔為5，依次抽取1號，6號，…，46號便可，B錯誤；這次抽樣中每個女生被抽到的概率等于每個男生被抽到的概率，C和D均錯誤．故選A.觸類旁通應用簡單隨機抽樣應注意的問題(1)一個抽樣試驗能否用抽簽法，關鍵看兩點：一是抽簽是否方便；二是號簽是否易攪勻．一般地，當總體容量和樣本容量都較小時可用抽簽法．(2)在使用隨機數(shù)表時，如遇到三位數(shù)或四位數(shù)時，可從選擇的隨機數(shù)表中的某行某列的數(shù)字計起，每三個或四個作為一個單位，自左向右選取，有超過總體號碼或出現(xiàn)重復號碼的數(shù)字舍去．【變式訓練1】用隨機數(shù)表法對一個容量為500編號為000,001,002，…，499的產(chǎn)品進行抽樣檢驗，抽取一個容量為10的樣本，若選定從第12行第5列的數(shù)開始向右讀數(shù)(下面摘取了隨機數(shù)表中的第11行至第15行)，根據(jù)下圖，讀出的第三個數(shù)是()1818079245441716580979838619620676500310552364050526623897758416074499831146322420148588451093728871234240647482977777810745321408329894077293857910755236281995509226119700567631388022025353866042045337859435128339500830423407968854420687983585294839A．841B．114C．014D．146答案B解析從第12行第5列的數(shù)開始向右讀數(shù)，第一個的編號為389，下一個775,775大于499，故舍去，再下一個841(舍去)，再下一個607(舍去)，再下一個449，再下一個983(舍去)，再下一個114，讀出的第三個數(shù)是114.考向分層抽樣例2[2017·江蘇高考]某工廠生產(chǎn)甲、乙、丙、丁四種不同型號的產(chǎn)品，產(chǎn)量分別為200,400,300,100件．為檢驗產(chǎn)品的質量，現(xiàn)用分層抽樣的方法從以上所有的產(chǎn)品中抽取60件進行檢驗，則應從丙種型號的產(chǎn)品中抽取________件．答案18解析∵eq\f(樣本容量,總體個數(shù))＝eq\f(60,200＋400＋300＋100)＝eq\f(3,50)，∴應從丙種型號的產(chǎn)品中抽取eq\f(3,50)×300＝18(件)．觸類旁通分層抽樣的步驟(1)將總體按一定標準分層；(2)計算各層的個體數(shù)與總體數(shù)的比，按各層個體數(shù)占總體數(shù)的比確定各層應抽取的樣本容量；(3)在每一層進行抽樣(可用簡單隨機抽樣或系統(tǒng)抽樣)．【變式訓練2】[2018·天津模擬]某大學為了解在校本科生對參加某項社會實踐活動的意向，擬采用分層抽樣的方法，從該校四個年級的本科生中抽取一個容量為300的樣本進行調查．已知該校一年級、二年級、三年級、四年級的本科生人數(shù)之比為4∶5∶5∶6，則應從一年級本科生中抽取________名學生．答案60解析由分層抽樣的特點可得應該從一年級本科生中抽取eq\f(4,4＋5＋5＋6)×300＝60名學生．考向系統(tǒng)抽樣例3[2018·山東模擬]采用系統(tǒng)抽樣方法從960人中抽取32人做問卷調查，為此將他們隨機編號為1,2，…，960，分組后在第一組采用簡單隨機抽樣的方法抽到的號碼為9.抽到的32人中，編號落入?yún)^(qū)間[1,450]的人做問卷A，編號落入?yún)^(qū)間[451,750]的人做問卷B，其余的人做問卷C.則抽到的人中，做問卷B的人數(shù)為()A．7B．9C．10D．15答案C解析抽樣間隔為30，所以第k組被抽中的號碼為9＋30(k－1)．令451≤9＋30(k－1)≤750,15eq\f(11,15)≤k≤25eq\f(7,10)，k∈N*，∴做B卷的人數(shù)為10人．本例中條件不變，求做問卷A的人數(shù)和做問卷C的人數(shù)．解令9＋30(k－1)≤450，∴k≤15eq\f(7,10)，又∵k∈N*.∴做A卷人數(shù)為15人，做C卷的人數(shù)為32－10－15＝7人．觸類旁通系統(tǒng)抽樣的特點及抽樣技巧(1)系統(tǒng)抽樣的特點——機械抽樣，又稱等距抽樣，所以依次抽取的樣本對應的號碼就是一個等差數(shù)列，首項就是第1組所抽取樣本的號碼，公差為間隔數(shù)，根據(jù)等差數(shù)列的通項公式就可以確定每一組內所要抽取的樣本號碼．(2)系統(tǒng)抽樣時，如果總體中的個數(shù)不能被樣本容量整除時，可以先用簡單隨機抽樣從總體中剔除幾個個體，然后再按系統(tǒng)抽樣進行．【變式訓練3】將參加夏令營的600名學生按001,002，…，600進行編號．采用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個容量為50的樣本，且隨機抽得的號碼為003.這600名學生分別住在三個營區(qū)，從001到300在第Ⅰ營區(qū)，從301到495在第Ⅱ營區(qū)，從496到600在第Ⅲ營區(qū)，三個營區(qū)被抽中的人數(shù)依次為()A．26,16,8B．25,17,8C．25,16,9D．24,17,9答案B解析由題意及系統(tǒng)抽樣的定義可知，將這600名學生按編號依次分成50組，每一組各有12名學生，第k(k∈N*)組抽中的號碼是3＋12(k－1)．令3＋12(k－1)≤300，得k≤eq\f(103,4)，因此第Ⅰ營區(qū)被抽中的人數(shù)是25；令300<3＋12(k－1)≤495，得eq\f(103,4)<k≤42，因此第Ⅱ營區(qū)被抽中的人數(shù)是42－25＝17；第Ⅲ營區(qū)被抽中的人數(shù)為50－25－17＝8.核心規(guī)律1.系統(tǒng)抽樣的特點：適用于元素個數(shù)很多且均衡的總體；各個個體被抽到的機會均等；總體分組后，在起始部分抽樣時，采用簡單隨機抽樣．2.分層抽樣的特點：適用于總體由差異明顯的幾部分組成的情況；分層后，在每一層抽樣時可采用簡單隨機抽樣或系統(tǒng)抽樣．滿分策略系統(tǒng)抽樣和分層抽樣中的注意事項(1)系統(tǒng)抽樣最大的特點是“等距”，利用此特點可以很方便地判斷一種抽樣方法是否是系統(tǒng)抽樣．(2)分層抽樣中分多少層、如何分層要視具體情況而定，總的原則是層內樣本的差異要小，兩層之間的樣本差異要大，且互不重疊；為了保證每個個體等可能入樣，所有層中每個個體被抽到的可能性相同.板塊三啟智培優(yōu)·破譯高考創(chuàng)新交匯系列7——分層抽樣與概率相結合問題[2018·銀川檢測]某公司有一批專業(yè)技術人員，對他們進行年齡狀況和接受教育程度(學歷)的調查，其結果(人數(shù)分布)如下表：學歷35歲以下35～50歲50歲以上本科803020研究生x20y(1)用分層抽樣的方法在35～50歲年齡段的專業(yè)技術人員中抽取一個容量為5的樣本，將該樣本看成一個總體，從中任取2人，求至少有1人學歷為研究生的概率；(2)在這個公司的專業(yè)技術人員中按年齡狀況用分層抽樣的方法抽取N個人，其中35歲以下48人，50歲以上10人，再從這N個人中隨機抽取1人，此人的年齡為50歲以上的概率為eq\f(5,39)，求x，y的值．解題視點(1)根據(jù)分層抽樣得到樣本中的人員分布，列舉所有等可能基本事件，求概率．(2)由概率列式求N，根據(jù)樣本中各年齡段的抽樣比相等，確定x，y的值．解(1)用分層抽樣的方法在35～50歲年齡段的專業(yè)技術人員中抽取一個容量為5的樣本，設抽取學歷為本科的人數(shù)為m，∴eq\f(30,50)＝eq\f(m,5)，解得m＝3.抽取的樣本中有研究生2人，本科生3人，分別記作S1，S2；B1，B2，B3.從中任取2人的所有等可能基本事件共有10個：(S1，B1)，(S1，B2)，(S1，B3)，(S2，B1)，(S2，B2)，(S2，B3)，(S1，S2)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，其中至少有1人的學歷為研究生的基本事件有7個：(S1，B1)，(S1，B2)，(S1，B3)，(S2，B1)，(S2，B2)，(S2，B3)，(S1，S2)．∴從中任取2人，至少有1人學歷為研究生的概率為eq\f(7,10).(2)由題意，得eq\f(10,N)＝eq\f(5,39)，解得N＝78.∴35～50歲中被抽取的人數(shù)為78－48－10＝20，∴eq\f(48,80＋x)＝eq\f(20,50)＝eq\f(10,20＋y)，解得x＝40，y＝5.即x，y的值分別為40,5.答題啟示分層抽樣與概率結合的題目多與實際問題緊密聯(lián)系，計算量和閱讀量都比較大，且會有圖表，求解時容易造成失誤，平時需注意多訓練此類型的題目.跟蹤訓練[2018·鄭州質檢]最新高考改革方案已在上海和浙江實施，某教育機構為了解我省廣大師生對新高考改革方案的看法，對某市部分學校500名師生進行調查，統(tǒng)計結果如下：贊成改革不贊成改革無所謂教師120y40學生xz130在全體師生中隨機抽取1名“贊成改革”的人是學生的概率為0.3，且z＝2y.(1)現(xiàn)從全部500名師生中用分層抽樣的方法抽取50名進行問卷調查，則應抽取“不贊成改革”的教師和學生人數(shù)各是多少？(2)在(1)中所抽取的“不贊成改革”的人中，隨機選出3人進行座談，求至少有1名教師被選出的概率．解(1)由題意知eq\f(x,500)＝0.3，所以x＝150，所以y＋z＝60，因為z＝2y，所以y＝20，z＝40，則應抽取“不贊成改革”的教師人數(shù)為eq\f(50,500)×20＝2，應抽取“不贊成改革”的學生人數(shù)為eq\f(50,500)×40＝4.(2)所抽取的“不贊成改革”的2名教師記為a，b,4名學生記為1,2,3,4，隨機選出3人的不同選法有(a，b,1)，(a，b,2)，(a，b,3)，(a，b,4)，(a,1,2)，(a,1,3)，(a,1,4)，(a,2,3)，(a,2,4)，(a,3,4)，(b,1,2)，(b,1,3)，(b,1,4)，(b,2,3)，(b,2,4)，(b,3,4)，(1,2,3)，(1,2,4)，(1,3,4)，(2,3,4)，共20種，至少有1名教師的選法有(a，b,1)，(a，b,2)，(a，b,3)，(a，b,4)，(a,1,2)，(a,1,3)，(a,1,4)，(a,2,3)，(a,2,4)，(a,3,4)，(b,1,2)，(b,1,3)，(b,1,4)，(b,2,3)，(b,2,4)，(b,3,4)，共16種，故至少有1名教師被選出的概率P＝eq\f(16,20)＝eq\f(4,5).板塊四模擬演練·提能增分[A級基礎達標]1．對一個容量為N的總體抽取容量為n的樣本，當選取簡單隨機抽樣、系統(tǒng)抽樣和分層抽樣三種不同方法抽取樣本時，總體中每個個體被抽中的概率分別為p1，p2，p3，則()A．p1＝p2<p3 B．p2＝p3<p1C．p1＝p3<p2 D．p1＝p2＝p3答案D解析隨機抽樣包括：簡單隨機抽樣，系統(tǒng)抽樣和分層抽樣．隨機抽樣的特點就是每個個體被抽到的概率相等．2．[2018·?？谡{研]某校三個年級共有24個班，學校為了了解同學們的心理狀況，將每個班編號，依次為1到24，現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣方法，抽取4個班進行調查，若抽到的最特認真號為3，則抽取的最大編號為()A．15B．18C．21D．22答案C解析系統(tǒng)抽樣的抽取間隔為eq\f(24,4)＝6，若抽到的最特認真號為3，則抽取到的最大編號為6×3＋3＝21.故選C.3．[2018·青島模擬]某中學高中一年級有400人，高中二年級有320人，高中三年級有280人，現(xiàn)從中抽取一個容量為200的樣本，則高中二年級被抽取的人數(shù)為()A．28B．32C．40D．64答案D解析由分層抽樣的定義可知高中二年級被抽取的人數(shù)為eq\f(320,400＋320＋280)×200＝64.故選D.4．福利彩票“雙色球”中紅色球的號碼由編號為01,02，…，33的33個個體組成，某彩民利用下面的隨機數(shù)表選取6組數(shù)作為6個紅色球的編號，選取方法是從隨機數(shù)表第1行的第6列和第7列數(shù)字開始由左到右依次選取兩個數(shù)字，則選出來的第6個紅色球的編號為()49544354821737932378873520964384263491645724550688770474476721763350258392120676A．23B．09C．02D．17答案C解析從隨機數(shù)表第1行的第6列和第7列數(shù)字開始由左到右依次選取兩個數(shù)字，則選出的6個紅色球的編號依次為21,32,09,16,17,02，故選出的第6個紅色球的編號為02.5．某工廠的三個車間在12月份共生產(chǎn)了3600雙皮靴，在出廠前要檢查這批產(chǎn)品的質量，決定采用分層抽樣的方法進行抽取，若從第一、二、三車間抽取的產(chǎn)品數(shù)分別為a，b，c，且a，b，c構成等差數(shù)列，則第二車間生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)為()A．800B．1000C．1200D．1500答案C解析因為a，b，c成等差數(shù)列，所以2b＝a＋c.所以eq\f(a＋b＋c,3)＝b.所以第二車間抽取的產(chǎn)品數(shù)占抽樣產(chǎn)品總數(shù)的eq\f(1,3).根據(jù)分層抽樣的性質，可知第二車間生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)占總數(shù)的eq\f(1,3)，即為eq\f(1,3)×3600＝1200.6．[2018·東北三校聯(lián)考]某工廠生產(chǎn)甲、乙、丙三種型號的產(chǎn)品，產(chǎn)品數(shù)量之比為3∶5∶7，現(xiàn)用分層抽樣的方法抽出容量為n的樣本，其中甲種產(chǎn)品有18件，則樣本容量n＝()A．54B．90C．45D．126答案B解析依題意得eq\f(3,3＋5＋7)×n＝18，解得n＝90，即樣本容量為90.7．某工廠平均每天生產(chǎn)某種機器零件10000件，要求產(chǎn)品檢驗員每天抽取50件零件，檢查其質量狀況，采用系統(tǒng)抽樣方法抽取，將零件編號為0000,0001,0002，…，9999，若抽取的第一組中的號碼為0010，則第三組抽取的號碼為()A．0210B．0410C．0610D．0810答案B解析將零件分成50段，分段間隔為200，因此，第三組抽取的號碼為0010＋2×200＝0410，選B.8．[2018·無錫模擬]若采用系統(tǒng)抽樣的方法從420人中抽取21人做問卷調查，為此將他們隨機編號為1,2，…，420，則抽取的21人中，編號在區(qū)間[241,360]內的人數(shù)是________．答案6解析∵樣本容量為21，∴樣本組距為420÷21＝20，編號在[241,360]內應抽取的人數(shù)是(360－241＋1)÷20＝6.9．[2018·濰坊模擬]某校對高三年級1600名男女學生的視力狀況進行調查，現(xiàn)用分層抽樣的方法抽取一個容量是200的樣本，已知樣本中女生比男生少10人，則該校高三年級的女生人數(shù)是________．答案760解析設樣本中女生有x人，則男生有x＋10人，所以x＋x＋10＝200，得x＝95，設該校高三年級的女生有y人，則由分層抽樣的定義可知eq\f(y,1600)＝eq\f(95,200)，解得y＝760.10．[2018·深圳模擬]一汽車廠生產(chǎn)A，B，C三類轎車，每類轎車均有舒適型和標準型兩種型號，某月的產(chǎn)量如表(單位：輛)：轎車A轎車B轎車C舒適型100150z標準型300450600按類型分層抽樣的方法在這個月生產(chǎn)的轎車中抽取50輛，其中有A類轎車10輛，則z的值為________．答案400解析設該廠本月生產(chǎn)轎車為n輛，由題意得eq\f(50,n)＝eq\f(10,100＋300)，所以n＝2000，z＝2000－100－300－150－450－600＝400.[B級知能提升]1．[2018·江西八校聯(lián)考]從編號為001,002，…，500的500個產(chǎn)品中用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個樣本，已知樣本中編號最小的兩個編號分別為007,032，則樣本中最大的編號應該為()A．480B．481C．482D．483答案C解析根據(jù)系統(tǒng)抽樣的定義可知樣本的編號成等差數(shù)列，令a1＝7，a2＝32，d＝25，所以7＋25(n－1)≤500，所以n≤20eq\f(18,25)，n∈N，最大編號為7＋25×19＝482.2．[2018·浙江五校聯(lián)考]某報社做了一次關于“什么是新時代的雷鋒精神”的調查，在A，B，C，D四個單位回收的問卷數(shù)依次成等差數(shù)列，且共回收1000份，因報道需要，再從回收的問卷中按單位分層抽取容量為150的樣本，若在B單位抽取30份，則在D單位抽取的問卷是________份．答案60解析由題意依次設在A，B，C，D四個單位回收的問卷數(shù)分別為a1，a2，a3，a4，在D單位抽取的問卷數(shù)為n，則有eq\f(30,a2)＝eq\f(150,1000)，解得a2＝200，又a1＋a2＋a3＋a4＝1000，即3a2＋a4＝1000，∴a4＝400，∴eq\f(n,400)＝eq\f(150,1000)，解得n＝60.3．一個總體中有100個個體，隨機編號為0,1,2，…，99，依編號順序平均分成10個小組，組號依次為1,2，…，10.現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣方法抽取一個容量為10的樣本，規(guī)定如果在第1組隨機抽取的號碼為m，那么在第k組中抽取的號碼個位數(shù)字與m＋k的個位數(shù)字相同．若m＝6，則在第7組中抽的號碼是________．答案63解析由題設知，若m＝6，則在第7組中抽取的號碼個位數(shù)字與13的個位數(shù)字相同，而