高考數學二輪復習專題六幾何第1講直線與圓含答案及解析

第1講直線與圓（新高考專用）目錄目錄【真題自測】 2【考點突破】 2【考點一】直線的方程 2【考點二】圓的方程 4【考點三】直線、圓的位置關系 5【專題精練】 7考情分析：1.求直線的方程，考查點到直線的距離公式，直線間的位置關系，多以選擇題、填空題的形式出現，中低難度.2.和圓錐曲線相結合，求圓的方程或弦長、面積等，中高難度．真題自測真題自測一、單選題1．（2024·全國·高考真題）已知b是的等差中項，直線與圓交于兩點，則AB的最小值為（

）A．1 B．2 C．4 D．2．（2023·全國·高考真題）已知雙曲線的離心率為，C的一條漸近線與圓交于A，B兩點，則（

）A． B． C． D．3．（2023·全國·高考真題）過點與圓相切的兩條直線的夾角為，則（

）A．1 B． C． D．4．（2022·全國·高考真題）橢圓的左頂點為A，點P，Q均在C上，且關于y軸對稱．若直線的斜率之積為，則C的離心率為（

）A． B． C． D．二、填空題5．（2023·全國·高考真題）已知直線與交于A，B兩點，寫出滿足“面積為”的m的一個值．6．（2022·全國·高考真題）設點，若直線關于對稱的直線與圓有公共點，則a的取值范圍是．7．（2022·全國·高考真題）若雙曲線的漸近線與圓相切，則．8．（2022·全國·高考真題）過四點中的三點的一個圓的方程為．考點突破考點突破【考點一】直線的方程核心梳理：1．已知直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直線l2：A2x＋B2y＋C2＝0，則l1∥l2?A1B2－A2B1＝0，且A1C2－A2C1≠0(或B1C2－B2C1≠0)，l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0.2．點P(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0(A，B不同時為零)的距離d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)).3．兩條平行直線l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0(A，B不同時為零)間的距離d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).一、單選題1．（23-24高三下·安徽蕪湖·階段練習）已知直線，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件2．（20-21高二·全國·單元測試）如圖，函數的圖象在點處的切線是，則（

）A． B． C．2 D．1二、多選題3．（2024·浙江溫州·二模）已知圓與圓相交于兩點．若，則實數的值可以是（

）A．10 B．2 C． D．4．（2024·全國·模擬預測）已知點在定圓內，經過點的動直線與交于兩點，若的最小值為4，則（

）A．B．若，則直線的傾斜角為C．存在直線使得D．的最大值為12三、填空題5．（2024·浙江杭州·二模）寫出與圓相切且方向向量為的一條直線的方程．6．（2024·遼寧沈陽·二模）已知，若平面內滿足到直線的距離為1的點有且只有3個，則實數．規(guī)律方法：解決直線方程問題的三個注意點(1)利用A1B2－A2B1＝0后，要注意代入檢驗，排除兩條直線重合的可能性．(2)要注意直線方程每種形式的局限性．(3)討論兩直線的位置關系時，要注意直線的斜率是否存在．【考點二】圓的方程核心梳理：1．圓的標準方程當圓心為(a，b)，半徑為r時，其標準方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2.2．圓的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其中D2＋E2－4F>0，表示以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))為圓心，eq\f(\r(D2＋E2－4F),2)為半徑的圓．一、單選題1．（2024·廣西來賓·模擬預測）一動圓與圓外切，同時與圓內切，則動圓圓心的軌跡方程為（

）A． B．C． D．2．（2024·廣東·一模）過，，三點的圓與軸交于，兩點，則（

）A．3 B．4 C．8 D．6二、多選題3．（22-23高二上·廣東深圳·期末）已知是圓心為，半徑為2的圓上一動點，是圓所在平面上一定點，設（）．若線段的垂直平分線與直線交于點，記動點的軌跡為，則（

）A．當時，為橢圓 B．當時，為雙曲線C．當時，為雙曲線一支 D．當且越大時，的離心率越大4．（2024·湖南邵陽·二模）已知復數滿足：(其中為虛數單位)，則下列說法正確的有(

)A． B．C．的最小值為 D．的最大值為三、填空題5．（2024·廣東佛山·二模）在平面直角坐標系中，已知，，，則的外接圓的標準方程為．6．（23-24高三上·浙江溫州·期末）已知圓與直線交于A，B兩點，則經過點A，B，的圓的方程為．規(guī)律方法：解決圓的方程問題一般有兩種方法(1)幾何法：通過研究圓的性質、直線與圓、圓與圓的位置關系，進而求得圓的基本量和方程．(2)代數法：即用待定系數法先設出圓的方程，再由條件求得各系數．【考點三】直線、圓的位置關系核心梳理：1．直線與圓的位置關系：相交、相切和相離．其判斷方法為：(1)點線距離法．(2)判別式法：設圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直線l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，聯立方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Ax＋By＋C＝0，,x－a2＋y－b2＝r2，))消去y，得到關于x的一元二次方程，其根的判別式為Δ，則直線與圓相離?Δ<0，直線與圓相切?Δ＝0，直線與圓相交?Δ>0.2．圓與圓的位置關系，即內含、內切、相交、外切、外離．一、單選題1．（2024·山東濟南·一模）與拋物線和圓都相切的直線的條數為（

）A．0 B．1 C．2 D．32．（2023·湖南永州·一模）在平面直角坐標系中，過直線上一點作圓的兩條切線，切點分別為，則的最大值為（

）A． B． C． D．二、多選題3．（2024·安徽合肥·二模）已知圓，圓，則（

）A．兩圓的圓心距的最小值為1B．若圓與圓相切，則C．若圓與圓恰有兩條公切線，則D．若圓與圓相交，則公共弦長的最大值為24．（2024·安徽·二模）已知雙曲線：（，）左右焦點分別為，，.經過的直線與的左右兩支分別交于，，且為等邊三角形，則（

）A．雙曲線的方程為B．的面積為C．以為直徑的圓與以實軸為直徑的圓相交D．以為直徑的圓與以實軸為直徑的圓相切三、填空題5．（2024·福建漳州·一模）過點作圓：的兩條切線，切點分別為A，，若直線與圓：相切，則．6．（2023·河南·模擬預測）圓與x軸交于A，B兩點(A在B的左側)，點N滿足，直線與圓M和點N的軌跡同時相切，則直線l的斜率為．規(guī)律方法：直線與圓相切問題的解題策略當直線與圓相切時，利用“切線與過切點的半徑垂直，圓心到切線的距離等于半徑”建立關于切線斜率的等式，所以求切線方程時主要選擇點斜式．過圓外一點求解切線段長的問題，可先求出圓心到圓外一點的距離，再結合半徑利用勾股定理計算．專題精練專題精練一、單選題1．（2024·河南洛陽·模擬預測）“”是“直線與直線平行”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件2．（2024·福建廈門·二模）在平面直角坐標系中，點在直線上.若向量，則在上的投影向量為（

）A． B． C． D．3．（23-24高三下·內蒙古赤峰·開學考試）若雙曲線的實軸長為2，離心率為，則雙曲線的左焦點到一條漸近線的距離為（

）A． B． C．1 D．24．（2024·遼寧大連·一模）過點和，且圓心在x軸上的圓的方程為（

）A． B．C． D．5．（2024·江西·模擬預測）若點在圓的外部，則a的取值范圍為（

）A． B． C． D．6．（2023·北京房山·一模）已知直線與圓相交于M，N兩點.則的最小值為（

）A． B． C．4 D．67．（2023·湖北·二模）已知動直線l的方程為，，，O為坐標原點，過點O作直線l的垂線，垂足為Q，則線段PQ長度的取值范圍為（

）A． B． C． D．8．（2024·安徽合肥·一模）已知直線與交于兩點，設弦的中點為為坐標原點，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．二、多選題9．（22-23高二上·湖北武漢·期末）設圓，直線為上的動點，過點作圓的兩條切線，切點為為圓上任意兩點，則下列說法中正確的有（

）A．的取值范圍為B．四邊形面積的最大值為C．滿足的點有兩個D．的面積最大值為10．（23-24高三上·河北衡水·階段練習）已知直線和圓，則（

）A．直線過定點B．直線與圓有兩個交點C．存在直線與直線垂直D．直線被圓截得的最短弦長為11．（2024·廣東汕頭·一模）如圖，是連接河岸與的一座古橋，因保護古跡與發(fā)展的需要，現規(guī)劃建一座新橋，同時設立一個圓形保護區(qū).規(guī)劃要求：①新橋與河岸垂直；②保護區(qū)的邊界為一個圓，該圓與相切，且圓心在線段上；③古橋兩端和到該圓上任意一點的距離均不少于.經測量，點分別位于點正北方向?正東方向處，.根據圖中所給的平面直角坐標系，下列結論中，正確的是（

）A．新橋的長為B．圓心可以在點處C．圓心到點的距離至多為D．當長為時，圓形保護區(qū)的面積最大三、填空題12．（2023·全國·模擬預測）已知圓與圓有3條公切線，則的值為．13．（2024·四川·模擬預測）圓與圓的公共弦長為.14．（23-24高三下·山東菏澤·階段練習）若曲線上兩個不同點處的切線重合，則稱這條切線為曲線的“自公切線”，則下列方程對應的曲線中存在“自公切線”的序號為．．四、解答題15．（23-24高二上·江蘇南通·階段練習）已知圓O：(1)過圓外一點引圓的切線，求切線方程；(2)設點P是直線上的一點，過點P作圓的切線，切點是M，求的面積最小值以及此時點P的坐標．16．（22-23高二上·云南昆明·期中）已知圓C：和直線l：相切．(1)求圓C半徑；(2)若動點M在直線上，過點M引圓C的兩條切線MA、MB，切點分別為A、B．①記四邊形MACB的面積為S，求S的最小值；②證明直線AB恒過定點．17．（2024·四川成都·模擬預測）已知點，，點P在以AB為直徑的圓C上運動，軸，垂足為D，點M滿足，點M的軌跡為W，過點的直線l交W于點E、F.(1)求W的方程；(2)若直線l的傾斜角為，求直線l被圓C截得的弦長；(3)設直線AE，BF的斜率分別為，，證明為定值，并求出該定值.

第1講直線與圓（新高考專用）目錄目錄【真題自測】 2【考點突破】 9【考點一】直線的方程 9【考點二】圓的方程 13【考點三】直線、圓的位置關系 18【專題精練】 23考情分析：1.求直線的方程，考查點到直線的距離公式，直線間的位置關系，多以選擇題、填空題的形式出現，中低難度.2.和圓錐曲線相結合，求圓的方程或弦長、面積等，中高難度．真題自測真題自測一、單選題1．（2024·全國·高考真題）已知b是的等差中項，直線與圓交于兩點，則AB的最小值為（

）A．1 B．2 C．4 D．2．（2023·全國·高考真題）已知雙曲線的離心率為，C的一條漸近線與圓交于A，B兩點，則（

）A． B． C． D．3．（2023·全國·高考真題）過點與圓相切的兩條直線的夾角為，則（

）A．1 B． C． D．4．（2022·全國·高考真題）橢圓的左頂點為A，點P，Q均在C上，且關于y軸對稱．若直線的斜率之積為，則C的離心率為（

）A． B． C． D．二、填空題5．（2023·全國·高考真題）已知直線與交于A，B兩點，寫出滿足“面積為”的m的一個值．6．（2022·全國·高考真題）設點，若直線關于對稱的直線與圓有公共點，則a的取值范圍是．7．（2022·全國·高考真題）若雙曲線的漸近線與圓相切，則．8．（2022·全國·高考真題）過四點中的三點的一個圓的方程為．參考答案：題號1234答案CDBA1．C【分析】結合等差數列性質將代換，求出直線恒過的定點，采用數形結合法即可求解.【詳解】因為成等差數列，所以，，代入直線方程得，即，令得，故直線恒過，設，圓化為標準方程得：，設圓心為，畫出直線與圓的圖形，由圖可知，當時，AB最小，，此時.

故選：C2．D【分析】根據離心率得出雙曲線漸近線方程，再由圓心到直線的距離及圓半徑可求弦長.【詳解】由，則，解得，所以雙曲線的漸近線為，當漸近線為時，圓心到該漸近線的距離，不合題意；當漸近線為時，則圓心到漸近線的距離，所以弦長.故選：D3．B【分析】方法一：根據切線的性質求切線長，結合倍角公式運算求解；方法二：根據切線的性質求切線長，結合余弦定理運算求解；方法三：根據切線結合點到直線的距離公式可得，利用韋達定理結合夾角公式運算求解.【詳解】方法一：因為，即，可得圓心，半徑，過點作圓C的切線，切點為，因為，則，可得，則，，即為鈍角，所以；法二：圓的圓心，半徑，過點作圓C的切線，切點為，連接，可得，則，因為且，則，即，解得，即為鈍角，則，且為銳角，所以；方法三：圓的圓心，半徑，若切線斜率不存在，則切線方程為x=0，則圓心到切點的距離，不合題意；若切線斜率存在，設切線方程為，即，則，整理得，且設兩切線斜率分別為，則，可得，所以，即，可得，則，且，則，解得.故選：B.

4．A【分析】設，則，根據斜率公式結合題意可得，再根據，將用表示，整理，再結合離心率公式即可得解.【詳解】[方法一]：設而不求設，則則由得：，由，得，所以，即，所以橢圓的離心率，故選A.[方法二]：第三定義設右端點為B，連接PB，由橢圓的對稱性知：故，由橢圓第三定義得：，故所以橢圓的離心率，故選A.5．（中任意一個皆可以）【分析】根據直線與圓的位置關系，求出弦長，以及點到直線的距離，結合面積公式即可解出．【詳解】設點到直線的距離為，由弦長公式得，所以，解得：或，由，所以或，解得：或．故答案為：（中任意一個皆可以）．6．【分析】首先求出點關于對稱點的坐標，即可得到直線的方程，根據圓心到直線的距離小于等于半徑得到不等式，解得即可；【詳解】解：關于對稱的點的坐標為，在直線上，所以所在直線即為直線，所以直線為，即；圓，圓心，半徑，依題意圓心到直線的距離，即，解得，即；故答案為：7．【分析】首先求出雙曲線的漸近線方程，再將圓的方程化為標準式，即可得到圓心坐標與半徑，依題意圓心到直線的距離等于圓的半徑，即可得到方程，解得即可．【詳解】解：雙曲線的漸近線為，即，不妨取，圓，即，所以圓心為，半徑，依題意圓心到漸近線的距離，解得或（舍去）．故答案為：．8．或或或．【分析】方法一：設圓的方程為，根據所選點的坐標，得到方程組，解得即可；【詳解】[方法一]：圓的一般方程依題意設圓的方程為，（1）若過，，，則，解得，所以圓的方程為，即；（2）若過，，，則，解得，所以圓的方程為，即；（3）若過，，，則，解得，所以圓的方程為，即；（4）若過，，，則，解得，所以圓的方程為，即；故答案為：或或或．[方法二]：【最優(yōu)解】圓的標準方程（三點中的兩條中垂線的交點為圓心）設（1）若圓過三點，圓心在直線，設圓心坐標為，則，所以圓的方程為；（2）若圓過三點，設圓心坐標為，則，所以圓的方程為；（3）若圓過三點，則線段的中垂線方程為，線段的中垂線方程為，聯立得，所以圓的方程為；（4）若圓過三點，則線段的中垂線方程為，線段中垂線方程為，聯立得，所以圓的方程為．故答案為：或或或．【整體點評】方法一；利用圓過三個點，設圓的一般方程，解三元一次方程組，思想簡單，運算稍繁；方法二；利用圓的幾何性質，先求出圓心再求半徑，運算稍簡潔，是該題的最優(yōu)解．考點突破考點突破【考點一】直線的方程核心梳理：1．已知直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直線l2：A2x＋B2y＋C2＝0，則l1∥l2?A1B2－A2B1＝0，且A1C2－A2C1≠0(或B1C2－B2C1≠0)，l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0.2．點P(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0(A，B不同時為零)的距離d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)).3．兩條平行直線l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0(A，B不同時為零)間的距離d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).一、單選題1．（23-24高三下·安徽蕪湖·階段練習）已知直線，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件2．（20-21高二·全國·單元測試）如圖，函數的圖象在點處的切線是，則（

）A． B． C．2 D．1二、多選題3．（2024·浙江溫州·二模）已知圓與圓相交于兩點．若，則實數的值可以是（

）A．10 B．2 C． D．4．（2024·全國·模擬預測）已知點在定圓內，經過點的動直線與交于兩點，若的最小值為4，則（

）A．B．若，則直線的傾斜角為C．存在直線使得D．的最大值為12三、填空題5．（2024·浙江杭州·二模）寫出與圓相切且方向向量為的一條直線的方程．6．（2024·遼寧沈陽·二模）已知，若平面內滿足到直線的距離為1的點有且只有3個，則實數．參考答案：題號1234答案CDBDBC1．C【分析】當時可得，即；當時可得，結合充分、必要條件的定義即可求解.【詳解】當時，，即，則，即；當時，，解得.所以“”是“”的充要條件.故選：C2．D【分析】根據已知求出切線方程，由導數的幾何意義得，由切線方程得，從而可得結論．【詳解】由題可得函數的圖象在點處的切線與軸交于點，與軸交于點，則切線，即.所以，，，.故選：D．3．BD【分析】根據題意，由條件可得弦所在的直線方程，然后將轉化為圓心到直線的距離關系，列出方程，代入計算，即可得到結果.【詳解】由題意可得弦所在的直線方程為，因為圓，圓心，圓，圓心，設圓心與圓心到直線的距離分別為，因為，即，所以，又，即，化簡可得，即，解得或.故選：BD4．BC【分析】A選項，根據點在圓的內部得到不等式，求出，利用垂徑定理得到，而，從而得到方程，求出；B選項，在A選項基礎上得到，結合求出直線的斜率和傾斜角；C選項，假設存在，結合滿足要求，故C正確；D選項，由三角形面積公式和相交弦定理得到D錯誤.【詳解】A．因為點在圓的內部，所以，解得．設點到直線的距離為，則，其中為定值，所以當時，最大，AB最小．又圓心，所以，所以，解得，A錯誤．B．由選項可知，當AB=4時，直線，而，所以，所以直線的傾斜角為，B正確．C．假設存在直線使得，則此時點到直線的距離為，滿足要求，所以假設成立，C正確．D．由三角形面積公式得，

因為弦一定經過點，設直線與圓相交于點，因為，所以∽，故，故，因為，所以，所以，當，即時等號成立，故D錯誤．故選：BC．5．或（寫出一個即可）【分析】由條件可設直線方程為，結合條件列方程求即可得結論.【詳解】因為切線的方向向量為，所以切線的斜率為，故可設切線方程為，因為直線與圓相切，又圓的圓心坐標為，半徑為，圓心到直線的距離為，所以，所以或，所以與圓相切且方向向量為的直線為或，故答案為：或（寫出一個即可）.6．或【分析】設出動點的坐標，由求得其軌跡方程，由題意知，只需使圓心到直線的距離等于1即可.【詳解】設點，由可得：，兩邊平方整理得：，即點的軌跡是圓,圓心在原點，半徑為2.若該圓上有且只有3個點到直線的距離為1，則圓心到直線的距離，解得．故答案為：或.規(guī)律方法：解決直線方程問題的三個注意點(1)利用A1B2－A2B1＝0后，要注意代入檢驗，排除兩條直線重合的可能性．(2)要注意直線方程每種形式的局限性．(3)討論兩直線的位置關系時，要注意直線的斜率是否存在．【考點二】圓的方程核心梳理：1．圓的標準方程當圓心為(a，b)，半徑為r時，其標準方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2.2．圓的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其中D2＋E2－4F>0，表示以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))為圓心，eq\f(\r(D2＋E2－4F),2)為半徑的圓．一、單選題1．（2024·廣西來賓·模擬預測）一動圓與圓外切，同時與圓內切，則動圓圓心的軌跡方程為（

）A． B．C． D．2．（2024·廣東·一模）過，，三點的圓與軸交于，兩點，則（

）A．3 B．4 C．8 D．6二、多選題3．（22-23高二上·廣東深圳·期末）已知是圓心為，半徑為2的圓上一動點，是圓所在平面上一定點，設（）．若線段的垂直平分線與直線交于點，記動點的軌跡為，則（

）A．當時，為橢圓 B．當時，為雙曲線C．當時，為雙曲線一支 D．當且越大時，的離心率越大4．（2024·湖南邵陽·二模）已知復數滿足：(其中為虛數單位)，則下列說法正確的有(

)A． B．C．的最小值為 D．的最大值為三、填空題5．（2024·廣東佛山·二模）在平面直角坐標系中，已知，，，則的外接圓的標準方程為．6．（23-24高三上·浙江溫州·期末）已知圓與直線交于A，B兩點，則經過點A，B，的圓的方程為．參考答案：題號1234答案CDABDBC1．C【分析】計算兩個已知圓的圓心和半徑，根據圓的位置關系得到動圓圓心到兩已知圓圓心距離和為定值，結合橢圓的定義即可得到結果.【詳解】圓可化為，圓心，半徑為.圓可化為，圓心，半徑為.設動圓圓心為點，半徑為，圓與圓外切于點，圓與圓內切于點，如圖所示：由題意得，三點共線，三點共線，，，∴，∴點的軌跡為以為焦點的橢圓，且，，∴，∴點的軌跡方程為.故選：C.2．D【分析】設圓的方程為，代入坐標得的值，即可得圓的方程，再令，即可求得與軸相交弦長.【詳解】設圓的方程為，代入點，，，則，解得，可得，整理得符合題意，所以圓的方程為，令，可得，解得，所以．故選：D.3．ABD【分析】根據題意，由線段垂直平分線的性質可得，結合選項，判斷點B與圓的位置關系，結合橢圓、雙曲線的定義以及其幾何性質，依次判斷選項即可.【詳解】A：由題意知，點A、B為定點，，當時，點B在圓內，由線段垂直平分線的性質知，，所以，由橢圓的定義知，點M的軌跡為橢圓，故A正確；B：當時，點B在圓外，不妨設點B在點A的右邊，由線段垂直平分線的性質知，，所以；同理，若點B在點A的左邊，有，所以，由雙曲線的定義知，點M的軌跡為雙曲線，故B正確；C：由選項B的分析，可知C錯誤；D：由選項A知，當時，點M的軌跡是以A、B為焦點的橢圓，且，焦距為t，若t增大，則半焦距c增大，所以離心率隨之增大；由選項B知，當時，點M的軌跡是以A、B為焦點的雙曲線，且，焦距為t，若t增大，則半焦距c增大，所以離心率隨之增大；所以當且越大時，E的離心率越大，故D正確.故選：ABD.4．BC【分析】設，，根據已知條件求出兩個復數對應點的軌跡，從而依次計算可得正確答案．【詳解】設，則，即，它表示以原點為圓心，半徑為1的圓；設，則由，得，即，它表示一條直線；對于選項A：，故選項A錯誤；對于選項B：，故選項B正確；對于選項C和D：表示圓上點與直線上點的連線段的長度，該距離最小為圓心到直線距離減去圓的半徑，即為；該距離無最大值（直線上的點可離圓上的點無窮遠）；故選：BC．5．；【分析】利用待定系數法，結合配方法即可得解.【詳解】依題意，設的外接圓的一般方程為，則，解得，所以所求圓的一般方程為，則其標準方程為.故答案為：.6．【分析】設Ax1,y1,Bx2,y2【詳解】設Ax由解得，可得，設經過點A，B，的圓的方程為，所以，解得，即，可得.故答案為：.規(guī)律方法：解決圓的方程問題一般有兩種方法(1)幾何法：通過研究圓的性質、直線與圓、圓與圓的位置關系，進而求得圓的基本量和方程．(2)代數法：即用待定系數法先設出圓的方程，再由條件求得各系數．【考點三】直線、圓的位置關系核心梳理：1．直線與圓的位置關系：相交、相切和相離．其判斷方法為：(1)點線距離法．(2)判別式法：設圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直線l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，聯立方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Ax＋By＋C＝0，,x－a2＋y－b2＝r2，))消去y，得到關于x的一元二次方程，其根的判別式為Δ，則直線與圓相離?Δ<0，直線與圓相切?Δ＝0，直線與圓相交?Δ>0.2．圓與圓的位置關系，即內含、內切、相交、外切、外離．一、單選題1．（2024·山東濟南·一模）與拋物線和圓都相切的直線的條數為（

）A．0 B．1 C．2 D．32．（2023·湖南永州·一模）在平面直角坐標系中，過直線上一點作圓的兩條切線，切點分別為，則的最大值為（

）A． B． C． D．二、多選題3．（2024·安徽合肥·二模）已知圓，圓，則（

）A．兩圓的圓心距的最小值為1B．若圓與圓相切，則C．若圓與圓恰有兩條公切線，則D．若圓與圓相交，則公共弦長的最大值為24．（2024·安徽·二模）已知雙曲線：（，）左右焦點分別為，，.經過的直線與的左右兩支分別交于，，且為等邊三角形，則（

）A．雙曲線的方程為B．的面積為C．以為直徑的圓與以實軸為直徑的圓相交D．以為直徑的圓與以實軸為直徑的圓相切三、填空題5．（2024·福建漳州·一模）過點作圓：的兩條切線，切點分別為A，，若直線與圓：相切，則．6．（2023·河南·模擬預測）圓與x軸交于A，B兩點(A在B的左側)，點N滿足，直線與圓M和點N的軌跡同時相切，則直線l的斜率為．參考答案：題號1234答案DAADBD1．D【分析】設出切點坐標，利用導數的幾何意義求出拋物線的切線方程，再由圓的切線性質列式計算即得.【詳解】設直線與拋物線相切的切點坐標為，由，求導得，因此拋物線在點處的切線方程為，即，依題意，此切線與圓相切，于是，解得或，所以所求切線條數為3.故選：D2．A【分析】由題意圓的標準方程為，如圖，又，所以，又由圓心到直線的距離可求出的最小值，進而求解.【詳解】如下圖所示：

由題意圓的標準方程為，，又因為，所以，所以，又圓心到直線的距離為，所以，所以不妨設，則，又因為在單調遞增，所以當且僅當即，即當且僅當直線垂直已知直線時，有最大值.故選：A.3．AD【分析】根據兩點的距離公式，算出兩圓的圓心距，從而判斷出A項的正誤；根據兩圓相切、相交的性質，列式算出的取值范圍，判斷出B,C兩項的正誤；當圓的圓心在兩圓的公共弦上時，公共弦長有最大值，從而判斷出D項的正誤．【詳解】根據題意，可得圓的圓心為，半徑，圓的圓心為，半徑．對于A，因為兩圓的圓心距，所以A項正確；對于B，兩圓內切時，圓心距，即，解得．兩圓外切時，圓心距，即，解得．綜上所述，若兩圓相切，則或，故B項不正確；對于C，若圓與圓恰有兩條公切線，則兩圓相交，，即，可得，解得且，故C項不正確；對于D，若圓與圓相交，則當圓的圓心在公共弦上時，公共弦長等于，達到最大值，因此，兩圓相交時，公共弦長的最大值為2，故D項正確．故選：AD．4．BD【分析】根據雙曲線定義結合為等邊三角形得，，由余弦定理得，進而求出方程為判斷選項A；求出判斷選項B；利用兩圓相切的幾何意義可判斷選項C、D.【詳解】由已知得，由雙曲線定義知：，因為，所以，故，，在中，由余弦定理得：，解得：，所以，方程為，A錯誤.的面積為，B正確.取的中點，，兩圓內切，故C錯誤.取的中點，則，兩圓外切，故D正確.故選：BD5．81【分析】由題意可知點在以為直徑的圓上，結合兩圓相交可得直線的方程為，再根據直線與圓相切列式求解.【詳解】圓：的圓心為O0,0，半徑；圓：的圓心為，半徑；由題意可知：，可知點在以為直徑的圓上，以為直徑的圓為，整理得，結合圓：，兩圓方程作差，可得直線的方程為，即，若直線與圓：相切，則，整理得.故答案為：81.6．【分析】求出A、B坐標，設N(x,y)，求出N的軌跡圓E的方程，作出圖象，利用圓的公切線的幾何性質即可求其斜率．【詳解】對于圓，令，得，解得或，則，．設，∵，∴，則，整理得，則點N的軌跡是圓心為，半徑為的圓．又圓M的方程為，則圓M的圓心為，半徑為．∵，∴兩圓相交，設直線l與圓M和點N軌跡圓E切點分別為C，D，連接CM，DE，過M作DE的垂線，垂足為點F，則四邊形CDFM為矩形，∵，，∴，則，則兩圓公切線CD的斜率即為直線FM的斜率為．故答案為：.規(guī)律方法：直線與圓相切問題的解題策略當直線與圓相切時，利用“切線與過切點的半徑垂直，圓心到切線的距離等于半徑”建立關于切線斜率的等式，所以求切線方程時主要選擇點斜式．過圓外一點求解切線段長的問題，可先求出圓心到圓外一點的距離，再結合半徑利用勾股定理計算．專題精練專題精練一、單選題1．（2024·河南洛陽·模擬預測）“”是“直線與直線平行”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件2．（2024·福建廈門·二模）在平面直角坐標系中，點在直線上.若向量，則在上的投影向量為（

）A． B． C． D．3．（23-24高三下·內蒙古赤峰·開學考試）若雙曲線的實軸長為2，離心率為，則雙曲線的左焦點到一條漸近線的距離為（

）A． B． C．1 D．24．（2024·遼寧大連·一模）過點和，且圓心在x軸上的圓的方程為（

）A． B．C． D．5．（2024·江西·模擬預測）若點在圓的外部，則a的取值范圍為（

）A． B． C． D．6．（2023·北京房山·一模）已知直線與圓相交于M，N兩點.則的最小值為（

）A． B． C．4 D．67．（2023·湖北·二模）已知動直線l的方程為，，，O為坐標原點，過點O作直線l的垂線，垂足為Q，則線段PQ長度的取值范圍為（

）A． B． C． D．8．（2024·安徽合肥·一模）已知直線與交于兩點，設弦的中點為為坐標原點，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．二、多選題9．（22-23高二上·湖北武漢·期末）設圓，直線為上的動點，過點作圓的兩條切線，切點為為圓上任意兩點，則下列說法中正確的有（

）A．的取值范圍為B．四邊形面積的最大值為C．滿足的點有兩個D．的面積最大值為10．（23-24高三上·河北衡水·階段練習）已知直線和圓，則（

）A．直線過定點B．直線與圓有兩個交點C．存在直線與直線垂直D．直線被圓截得的最短弦長為11．（2024·廣東汕頭·一模）如圖，是連接河岸與的一座古橋，因保護古跡與發(fā)展的需要，現規(guī)劃建一座新橋，同時設立一個圓形保護區(qū).規(guī)劃要求：①新橋與河岸垂直；②保護區(qū)的邊界為一個圓，該圓與相切，且圓心在線段上；③古橋兩端和到該圓上任意一點的距離均不少于.經測量，點分別位于點正北方向?正東方向處，.根據圖中所給的平面直角坐標系，下列結論中，正確的是（

）A．新橋的長為B．圓心可以在點處C．圓心到點的距離至多為D．當長為時，圓形保護區(qū)的面積最大三、填空題12．（2023·全國·模擬預測）已知圓與圓有3條公切線，則的值為．13．（2024·四川·模擬預測）圓與圓的公共弦長為.14．（23-24高三下·山東菏澤·階段練習）若曲線上兩個不同點處的切線重合，則稱這條切線為曲線的“自公切線”，則下列方程對應的曲線中存在“自公切線”的序號為．．四、解答題15．（23-24高二上·江蘇南通·階段練習）已知圓O：(1)過圓外一點引圓的切線，求切線方程；(2)設點P是直線上的一點，過點P作圓的切線，切點是M，求的面積最小值以及此時點P的坐標．16．（22-23高二上·云南昆明·期中）已知圓C：和直線l：相切．(1)求圓C半徑；(2)若動點M在直線上，過點M引圓C的兩條切線MA、MB，切點分別為A、B．①記四邊形MACB的面積為S，求S的最小值；②證明直線AB恒過定點．17．（2024·四川成都·模擬預測）已知點，，點P在以AB為直徑的圓C上運動，軸，垂足為D，點M滿足，點M的軌跡為W，過點的直線l交W于點E、F.(1)求W的方程；(2)若直線l的傾斜角為，求直線l被圓C截得的弦長；(3)設直線AE，BF的斜率分別為，，證明為定值，并求出該定值.參考答案：題號12345678910答案DCADACBDACABC題號11答案AC1．D【分析】求出直線平行的充要條件為，結合充分條件、必要條件的定義即可得解.【詳解】若，則有，所以或，當時，，故，重合；當時，，滿足條件，所以“”是“”的既不充分也不必要條件，故選：D．2．C【分析】確定直線的方向向量，結合數量積的運算判斷出為直線的法向量，結合投影向量的含義即可求得答案.【詳解】由題意設直線的方向向量為，則，而，則，即為直線的法向量，又O到直線的距離為，故在上的投影向量為，

故選：C3．A【分析】根據條件列方程組求出，然后利用點到直線的距離求解即可.【詳解】由已知得，解得，則雙曲線的左焦點，一條漸近線，故雙曲線的左焦點到一條漸近線的距離為.故選：A.4．D【分析】借助待定系數法計算即可得.【詳解】令該圓圓心為，半徑為，則該圓方程為，則有，解得，故該圓方程為.故選：D.5．A【分析】根據表示圓得，又利用點在圓外得，從而可得結果.【詳解】因為可化為，則，所以．又點在圓的外部，所以，故，綜上，．故選：A.6．C【分析】先求出圓心和半徑，以及直線的定點，利用圓的幾何特征可得到當時，最小【詳解】由圓的方程，可知圓心，半徑，直線過定點，因為，則定點在圓內，則點和圓心連線的長度為，當圓心到直線距離最大時，弦長最小，此時，由圓的弦長公式可得，故選：C7．B【分析】利用萬能公式將直線方程化為，求出過原點與直線垂直的直線方程，進而得出點的軌跡為圓心為半徑為3的圓，進而轉化為點到圓的距離即可求解.【詳解】由可得，令，由萬能公式可得，，所以直線的方程為①，由題意可知過原點與直線垂直的直線方程為②，可得，即表示點的軌跡為圓心為半徑為3的圓，于是線段長度的取值范圍為，因為，所以線段PQ長度的取值范圍為，故選：B.8．D【分析】首先求出圓心坐標與半徑，再求出直線過定點坐標，設Ax1,y1，Bx2,y【詳解】即，則圓心為，半徑，直線，令，解得，即直線恒過定點1,0，又，所以點1,0在圓內，設Ax1,y1，B消去整理得，顯然，則，則，所以，，則，則，又直線的斜率不為，所以不過點1,0，所以動點的軌跡方程為（除點1,0外），圓的圓心為，半徑，又，所以，即，即的取值范圍為.故選：D

【點睛】關鍵點點睛：本題關鍵是求出動點的軌跡，再求出圓心到原點的距離，最后根據圓的幾何性質計算可得.9．AC【分析】根據切線長公式即可求解A,B,C，根據三角形的面積公式可求解D.【詳解】圓心到直線的距離，所以，因為圓的半徑為，根據切線長公式可得，當時取得等號，所以的取值范圍為，A正確；因為，所以四邊形的面積等于，四邊形面積的最小值為，故B錯誤；因為，所以，在直角三角形中，，所以，設，因為，整理得，則有，所以滿足條件的點有兩個，C正確；因為所以當，即，面積有最大值為，此時四邊形為正方形，則，滿足要求，故D錯誤，故選:AC.10．ABC【分析】利用直線方程求定點可判斷選項A；利用直線恒過定點在圓內可判斷選項B；利用兩直線的垂直關系與斜率的關系判斷選項C；利用弦長公式可判斷選項D.【詳解】對A，由可得，，令，即，此時，所以直線l恒過定點，A正確；對B，因為定點到圓心的距離為，所以定點在圓內，所以直線l與圓O相交，B正確；對C，因為直線的斜率為，所以直線l的斜率為，即，此時直線l與直線垂直，滿足題意，C正確；對D，因為直線l恒過定點，圓心到直線l的最大距離為，此時直線l被圓O截得的弦長最短為，D錯誤；故選：ABC.11．AC【分析】根據給定條件，求出直線的方程，聯立求出點的坐標判斷A；設，由題意列出