2025初中數(shù)學專項復習突破：函數(shù)中的新定義問題（含答案及解析）

專題函數(shù)中的新定義問題

0?例題精講

考點1一次函數(shù)新定義問題

【例1].定義：我們把一次函數(shù)丁=丘+。（左#0）與正比例函數(shù)y=x的交點稱為一次函數(shù)y

v=2x-1

=kx+b（攵W0）的“不動點”.例如求y=2x-1的“不動點”：聯(lián)立方程4y,解得

y=x

{x：；,則y=2x-1的“不動點”為（1,1）.

（1）由定義可知，一次函數(shù)y=3x+2的“不動點”為；

⑵若一次函數(shù),=如+"的"不動點"為（2,"-1）,求s、〃的值；

（3）若直線y=fct-3（ZWO）與x軸交于點A,與y軸交于點8,且直線y=fcr-3上沒

有“不動點”，若P點為x軸上一個動點，使得SSBP=3SAABO,求滿足條件的P點坐標.

A變式訓練

【變1T1在初中階段的函數(shù)學習中，我們經(jīng)歷了“確定函數(shù)的表達式一一利用函數(shù)圖象

研究其性質(zhì)一一運用函數(shù)解決問題”的學習過程.在畫函數(shù)圖象時，我們通過描點或平

移的方法畫出了所學的函數(shù)圖象.同時，我們也學習了絕對值的意義|a|=（a（；）2）

[-a（a<0）

結合上面經(jīng)歷的學習過程，現(xiàn)在來解決下面的問題：

在函數(shù)y=|Ax-3|+b中，當x=2時，y=-4；當x=0時，y=-l.

(1)求這個函數(shù)的表達式；

(2)在給出的平面直角坐標系中，請用你喜歡的方法畫出這個函數(shù)的圖象，并寫出這個

函數(shù)的一條性質(zhì)；

(3)已知函數(shù)的圖象如圖所示，結合你所畫的函數(shù)圖象，直接寫出不等式

|kx-3|+b4]x-3的解集?

考點2反比例函數(shù)新定義問題

【例2】.探究函數(shù)性質(zhì)時，我們經(jīng)歷了列表、描點、連線畫函數(shù)圖象，觀察分析圖象特征，

概括函數(shù)性質(zhì)的過程，以下是我們研究函數(shù)>=尤+|-2x+6\+m性質(zhì)及其應用的部分過程,

請按要求完成下列各小題.

X…-2-1012345…

y???654a21b7…

(1)寫出函數(shù)關系式中相及表格中a,6的值；；〃=,a=,b=；

(2)根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)在所給的平面直角坐標系中畫出該函數(shù)的圖象；

(3)已知函數(shù)y=-(尤-2)2+8的圖象如圖所示，結合你所畫的函數(shù)圖象，不等式x+|

A變式訓練

【定義】在平面內(nèi)，把一個圖形上任意一點與另一個圖形上任意一點之間的距離的最小值,

稱為這兩個圖形之間的距離，即A,8分別是圖形M和圖形N上任意一點，當?shù)拈L最小

時，稱這個最小值為圖形M與圖形N之間的距離.

例如，如圖1,ABX/i,線段48的長度稱為點A與直線之間的距離，當/2〃/1時，線段

AB的長度也是Z1與/2之間的距離.

【應用】

(1)如圖2,在等腰Rt^BAC中，NA=90°,AB^AC,點。為AB邊上一點，過點。作

DE〃BC交AC于點、E.若48=6,AD=4,則。E與BC之間的距離是；

(2)如圖3,已知直線/3：y=-x+4與雙曲線Ci：y=N(x>0)交于A(1,相)與B兩

x

點，點A與點B之間的距離是，點。與雙曲線。之間的距離是;

【拓展】

(3)按規(guī)定，住宅小區(qū)的外延到高速路的距離不超過80根時，需要在高速路旁修建與高速

路相同走向的隔音屏障(如圖4).有一條“東南-西北”走向的筆直高速路，路旁某住宅

小區(qū)建筑外延呈雙曲線的形狀，它們之間的距離小于80帆.現(xiàn)以高速路上某一合適位置為坐

標原點，建立如圖5所示的直角坐標系，此時高速路所在直線Z4的函數(shù)表達式為y=-x,

小區(qū)外延所在雙曲線C2的函數(shù)表達式為丫=區(qū)也(X>0),那么需要在高速路旁修建隔音

x

屏障的長度是多少？

考點3二次函數(shù)新定義問題

【例3】.小愛同學學習二次函數(shù)后，對函數(shù)y=-(|x|-1)2進行了探究.在經(jīng)歷列表、描

點、連線步驟后，得到如圖的函數(shù)圖象.請根據(jù)函數(shù)圖象，回答下列問題：

(1)觀察探究：

①寫出該函數(shù)的一條性質(zhì)：;

②方程-(僅|-1)2=-1的解為：；

③若方程-(|x|-1)2=冽有四個實數(shù)根，則制的取值范圍是.

(2)延伸思考：

將函數(shù)y=-(|尤I-1)2的圖象經(jīng)過怎樣的平移可得到函數(shù)”=-(|x-1|-1)2+2的圖

象？寫出平移過程，并直接寫出當l<yiW2時，自變量x的取值范圍.

y八

■6--

L

4A

J

c

L,

1

2/

)-j-年>,J，II；6

n\

//J\

J\

1

r-

U

-6-

A變式訓練

【變3-1].我們定義一種新函數(shù)：^$0y=\ax1+bx+c\（〃W0,b2-4tzc>0）的函數(shù)叫做“鵲

橋”函數(shù).小麗同學畫出了“鵲橋”函數(shù)>=|蘇+云+°|的圖象（如圖所示），下列結論正

確的是（）

A.圖象具有對稱性，對稱軸是直線x=1.5

B.有且只有-IWXWI時，函數(shù)值y隨x值的增大而增大

C.若〃<0,則8〃+c>0

D.若〃<0,貝!J加（am+b）（m為任意實數(shù)）

【變3-2].已知拋物線>=G2+。過點&(-2,0)和。(-1,3)兩點，交x軸于另一點

B.

(1)求拋物線解析式；

(2)如圖1,點尸是80上方拋物線上一點，連接AD,BD,PD,當BD平分NADP時，

求尸點坐標；

(3)將拋物線圖象繞原點。順時針旋轉(zhuǎn)90°形成如圖2的“心形”圖案，其中點M,N

分別是旋轉(zhuǎn)前后拋物線的頂點，點￡、F是旋轉(zhuǎn)前后拋物線的交點.

①直線EF的解析式是；

②點G、H是“心形”圖案上兩點且關于EF對稱，則線段G”的最大值是.

1.對于實數(shù)a,b,定義符號b\,其意義為：當時，“x|a,b\—a,當時,

max\a,b|=b.例如相or|2,-1|=2,若關于無的函數(shù)尤|2尤-1,-x+5|,則該函數(shù)

的最小值為()

A.2B.1C.立D.3

33

2.在平面直角坐標系尤Oy中，對于點尸(a,b),若點P的坐標為(ka+b,a+A)(其中

左為常數(shù)且左WO),則稱點P為點尸的關聯(lián)點已知點A在反比例函數(shù)y=返的

X

圖象上運動，且點A是點8的關聯(lián)點”，當線段OB最短時，點B的坐標

為.

3.定義：由a,6構造的二次函數(shù)y=a/+(a+6)尤+6叫做一次函數(shù)產(chǎn)辦+6的“滋生函數(shù)"，

一次函數(shù)〉=以+6叫做二次函數(shù)(a+b)龍+b的"本源函數(shù)”(a,b為常數(shù)，且a

W0).若一次函數(shù)>=依+6的"滋生函數(shù)"是>=辦2-3x+a+l,那么二次函數(shù)y=ax2-

3x+a+l的“本源函數(shù)”是y=-2x-l.

4.在平面直角坐標系中，如果一個點的橫坐標與縱坐標相等，則稱該點為“不動點”.例如

(-3,-3)、(1,1)、(2023,2023)都是“不動點”.已知雙曲線y..

(1)下列說法不正確的是.

A.直線y=x的圖象上有無數(shù)個“不動點”

B.函數(shù)y=l的圖象上沒有“不動點”

C.直線>=尤+1的圖象上有無數(shù)個“不動點”

D.函數(shù)y=/的圖象上有兩個“不動點”

(2)求雙曲線yd■上的“不動點”；

(3)若拋物線y=ax2-3x+c(a、c為常數(shù))上有且只有一個“不動點”，

①當〃>1時，求C的取值范圍.

②如果a=l,過雙曲線y』?圖象上第一象限的“不動點”做平行于X軸的直線/,若拋

物線上有四個點到/的距離為m,直接寫出m的取值范圍.

5.在并聯(lián)電路中，電源電壓為U總=6匕小亮根據(jù)“并聯(lián)電路分流不分壓”的原理知道：/

總=/1+/2（/1=且，/2=旦），己知R1為定值電阻，當R變化時，干路電流/總也會發(fā)生

R1R

變化，且干路電流/總與R之間滿足如下關系：/總=1+旦.

R

（1）定值電阻R1的阻值為C；

（2）小亮根據(jù)學習函數(shù)的經(jīng)驗，參照研究函數(shù)的過程與方法，對比反比例函數(shù)/2=旦來

R

探究函數(shù)/總=1+旦的圖象與性質(zhì).

R

①列表：如表列出/總與R的幾組對應值，請寫出m,n的值：m=，n=；

R???3456???

…21.51.21???

R

/總=1+2…3m2.2n???

R

②描點、連線：在平面直角坐標系中，以①給出的R的取值為橫坐標，以/總相對應的值

為縱坐標，描出相應的點，并將各點用光滑曲線順次連接起來；

（3）觀察圖象并分析表格，回答下列問題:

①/總隨R的增大而；(填“增大”或“減小”)

②函數(shù)/總=1+g的圖象是由/2=旦的圖象向平移個單位而得到.

RR一

③連線：用平滑的曲線順次連接各點，請把圖象補充完整.

(2)探究函數(shù)性質(zhì)：下列說法不正確的是

A.函數(shù)值y隨尤的增大而減小

B.函數(shù)圖象不經(jīng)過第四象限

C.函數(shù)圖象與直線x=-1沒有交點

D.函數(shù)圖象對稱中心(-1,0)

(3)如果點A(xi,yi)、B(X2,>2)在函數(shù)圖象上，如果xi+x2=-2,則y\+y2=

7.九年級某數(shù)學興趣小組在學習了反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)后，進一步研究了函數(shù)y。下

的圖象與性質(zhì)，其探究過程如下：

（1）繪制函數(shù)圖象，

列表：下表是尤與y的幾組對應值，其中機=.

x-3-2-111123…

?2

y2124421m???

S-

描點：根據(jù)表中各組對應值（尤，y）,在平面直角坐標系中描出各點，請你描出剩下的點；

連線：用平滑的曲線順次連接各點，已經(jīng)畫出了部分圖象，請你把圖象補充完整；

（2）通過觀察圖象，下列關于該函數(shù)的性質(zhì)表述正確的是：；（填寫代號）

①函數(shù)值y隨x的增大而增大；②y）冬關于y軸對稱；③y?當關于原點對稱；

（3）在上圖中，若直線y=2交函數(shù)y旱下的圖象于A,B兩點（A在8左邊），連接

IxI

OA.過點8作8C〃OA交x軸于C.貝US四邊形0ABe=.

8.【定義】

從一個已知圖形的外一點引兩條射線分別經(jīng)過該已知圖形的兩點，則這兩條射線所成的

最大角稱為該點對已知圖形的視角，如圖①，NAP2是點P對線段的視角.

①②③

④⑤

【應用】

(1)如圖②，在直角坐標系中，已知點A(2,我)，B(2,2、/目)，C(3,弧),則

原點。對三角形ABC的視角為；

(2)如圖③，在直角坐標系中，以原點0,半徑為2畫圓以原點。，半徑為4畫

圓。2,證明：圓02上任意一點尸對圓。1的視角是定值；

【拓展應用】

(3)很多攝影愛好者喜歡在天橋上對城市的標志性建筑拍照，如圖④.現(xiàn)在有一條筆直

的天橋，標志性建筑外延呈正方形，攝影師想在天橋上找到對建筑視角為45°的位置拍

攝.現(xiàn)以建筑的中心為原點建立如圖⑤的坐標系，此時天橋所在的直線的表達式為x=-

5,正方形建筑的邊長為4,請直接寫出直線上滿足條件的位置坐標.

9.小明在學習函數(shù)的過程中遇到這樣一個函數(shù)：y=[x],若x20時，國=x2-1；若x<0

時，印=-x-l.小明根據(jù)學習函數(shù)的經(jīng)驗，對該函數(shù)進行了探究.

(1)①列表:下表列出y與x的幾組對應值，請寫出機,”的值；n—；

x???-2-1012…

y…1m00n…

②描點：在平面直角坐標系中，以①給出的自變量X的取值為橫坐標，以相應的函數(shù)值

為縱坐標，描出相應的點并連線，作出函數(shù)圖象；

（2）下列關于該函數(shù)圖象的性質(zhì)正確的是；（填序號）

①y隨x的增大而增大；

②該函數(shù)圖象關于y軸對稱；

③當x=0時，函數(shù)有最小值為-1；

④該函數(shù)圖象不經(jīng)過第三象限.

（3）若函數(shù)值y=8,則》=；

（4）若關于x的方程2x+c=國有兩個不相等的實數(shù)根，請結合函數(shù)圖象，直接寫出c

的取值范圍是.

10.某公園內(nèi)人工湖上有一座拱橋（橫截面如圖所示），跨度為4米.在距點A水平距

離為d米的地點，拱橋距離水面的高度為米.小紅根據(jù)學習函數(shù)的經(jīng)驗，對d和/I之

間的關系進行了探究.

下面是小紅的探究過程，請補充完整:

(1)經(jīng)過測量，得出了1和/I的幾組對應值，如表.

d/米00.611.82.433.64

劃米0.881.902.382.862.802.381.600.88

在d和〃這兩個變量中，d是自變量,〃是這個變量的函數(shù);

(2)在下面的平面直角坐標系尤Oy中，畫出(1)中所確定的函數(shù)的圖象；

(3)結合表格數(shù)據(jù)和函數(shù)圖象，解決問題：

①橋墩露出水面的高度AE為米；

②公園欲開設游船項目，現(xiàn)有長為3.5米，寬為1.5米，露出水面高度為2米的游船.為

安全起見，公園要在水面上的C,。兩處設置警戒線，并且CE=￡>E,要求游船能從C,

。兩點之間安全通過，則C處距橋墩的距離CE至少為米.(精確到0.1米)

11.小明為了探究函數(shù)y=-S+4R-3的性質(zhì)，他想先畫出它的圖象，然后再觀察、歸

納得到，并運用性質(zhì)解決問題.

(1)完成函數(shù)圖象的作圖，并完成填空.

①列出y與尤的幾組對應值如表：

x1I-5_I_4I-3_I-2I~I01234-5I~

y-8-3010-3010a-8

表格中，a=

②結合上表，在下圖所示的平面直角坐標系xOy中，畫出當x＞。時函數(shù)M的圖象;

③觀察圖象，當彳=時，y有最大值為;

（2）求函數(shù)Af：y=-/+4|x|-3與直線/：y=2x-3的交點坐標；

（3）已知P（加，yi）,Q（加+1,”）兩點在函數(shù)M的圖象上，當時，請直接寫

出機的取值范圍.

-

-丁

-十

-

」

：

-

r丁

-

y」

-

：

-^-丁

-u,--L

)

12.定義:平面直角坐標系xOy中，若點M繞原點順時針旋轉(zhuǎn)90°,恰好落在函數(shù)圖象W

上，則稱點M為函數(shù)圖象W的“直旋點”.例如，點（」，上）是函數(shù)y=x圖象的“直

33

旋點”.

（1）在①（3,0）,②（-1,0）,③（0,3）三點中，是一次函數(shù)y=」x+l圖象的“直

3

旋點”的有（填序號）；

（2）若點N（3,1）為反比例函數(shù)y上圖象的“直旋點”，求左的值；

（3）二次函數(shù)y=-x?+2x+3與x軸交于A,8兩點（A在8的左側(cè)），與y軸交于點C,

點。是二次函數(shù)y=-/+2尤+3圖象的“直旋點”且在直線AC上，求。點坐標.

13.對某一個函數(shù)給出如下定義：若存在實數(shù)對于任意的函數(shù)值》都滿足-MWy

WM,則稱這個函數(shù)是有界函數(shù)，在所有滿足條件的M中，其最小值稱為這個函數(shù)的邊

界值.例如，圖中的函數(shù)是有界函數(shù)，其邊界是1.

（1）直接判斷函數(shù)>==（尤>0）和>=-2x+l（-4<xW2）是不是有界函數(shù)？若是有

x

界函數(shù)，直接寫出其邊界值；

（2）若一次函數(shù)>=丘+6（-2WxWl）的邊界值是3,且這個函數(shù)的最大值是2,求這

個一次函數(shù)的解析式；

（3）將二次函數(shù)y=-%2（-IWXW機，機20）的圖象向上平移機個單位，得到的函數(shù)

的邊界值是“，當根在什么范圍時，滿足旦W"W1.

4

14.在平面直角坐標系中，由兩條與無軸有著相同的交點，并且開口方向相同的拋物線所圍

成的封閉曲線稱為“月牙線”.如圖所示，拋物線C1與拋物線C2：y=fwr+4mx-Um（.m

>0）的部分圖象組成一個“月牙線”，相同的交點分別為M,N（點M在點N的左側(cè)），

與y軸的交點分別為A,B,且點A的坐標為（0,-1）.

（1）求M,N兩點的坐標及拋物線C1的解析式；

（2）若拋物線C2的頂點為。，當機=反時，試判斷三角形MNZ）的形狀，并說明理由；

4

（3）在（2）的條件下，點尸（3-巨）是拋物線C1上一點，拋物線C2第三象限上是

4

否存在一點Q,使得S?PM=±S&ONQ,若存在，請直接寫出點Q的坐標；若不存在，

一2

說明理由.

M

Ci

15.閱讀材料：一般地，對于某個函數(shù)，如果自變量尤在取值范圍內(nèi)任取尤=。與》=時，

函數(shù)值相等，那么這個函數(shù)是“對稱函數(shù)”.例如：>=/,在實數(shù)范圍內(nèi)任取尤=。時，y

—a2；當x=-a時，y—(-a)2—a2,所以y=/是“對稱函數(shù)

(1)函數(shù)y=2\x\+l對稱函數(shù)(填“是”或“不是”).當龍20時，y=2\x\+\

的圖象如圖1所示，請在圖1中畫出x<0時，y=2|x|+l的圖象.

(2)函數(shù)y=7-2|x|+l的圖象如圖2所示，當它與直線y=-尤+”恰有3個交點時，求

”的值.

(3)如圖3,在平面直角坐標系中，矩形A8C￡>的頂點坐標分別是A(-3,0),B(2,

0),C(2,-3),￡)(-3,-3),當二次函數(shù)y=/-冰|+1(6>0)的圖象與矩形的邊

恰有4個交點時，求b的取值范圍.

yf

D

圖3

16.定義：把一個半圓與拋物線的一部分合成封閉圖形，我們把這個封閉圖形稱為“蛋圓”.如

果一條直線與“蛋圓”只有一個交點，那么這條直線叫做“蛋圓”的切線.如圖，A,B,

C,。分別是“蛋圓”與坐標軸的交點，已知點。的坐標為（0,8）,A3為半圓的直徑，

半圓的圓心M的坐標為（1,0）,半圓半徑為3.

（1）請你直接寫出“蛋圓”拋物線部分的解析式y(tǒng),自變量的取值范圍

是；

（2）請你求出過點C的“蛋圓”切線與％軸的交點坐標;

（3）求經(jīng)過點。的“蛋圓”切線的解析式.

17.規(guī)定：如果兩個函數(shù)圖象上至少存在一組點是關于原點對稱的，我們則稱這兩個函數(shù)互

為“。一函數(shù)”.這組點稱為“XC點''.例如：點P(1,1)在函數(shù)y=/上，點Q(-1,

-1)在函數(shù)y=-x-2上，點尸與點0關于原點對稱，此時函數(shù)y=/和y=-x-2互

為“。一函數(shù)”，點P與點。則為一組“XC點”.

(1)已知函數(shù)>=-2x-1和y=-旦互為“。一函數(shù)”，請求出它們的“XC點”；

X

(2)已知函數(shù)尸一+2什4和y=4x+〃-2022互為“。一函數(shù)”，求〃的最大值并寫出“XC

點”；

(3)已知二次函數(shù)丁=〃/+法+。(〃>0)與y=2fcv+l互為aO一函數(shù)”有且僅存在一組

“XC點”，如圖，若二次函數(shù)的頂點為與x軸交于A(xi,0),B(X2,0)其中0V

|C22C+3

X\<XI,AB，過頂點M作l軸的平行線/,點尸在直線/上，記尸的橫坐

c

標為連接。P,AP,BP.若/O?L=NOBP,求f的最小值.

18.如果三角形的兩個內(nèi)角a與0滿足2a邛=90°,那么我們稱這樣的三角形為“CJ三角

形”.

(1)判斷下列三角形是否為“CJ三角形”？如果是，請在對應橫線上畫“J”，如果不

是，請在對應橫線上畫“X”；

①其中有兩內(nèi)角分別為30°,60°的三角形；

②其中有兩內(nèi)角分別為50°,60。的三角形；

③其中有兩內(nèi)角分別為70°,100°的三角形；

(2)如圖1,點A在雙曲線y=K*>0)上且橫坐標為1,點8(4,0),C為08中

x

點，。為y軸負半軸上一點，若/。42=90°.

①求上的值，并求證：△ABC為“CJ三角形”；

②若△0A3與△02D相似，直接寫出。的坐標；

(3)如圖2,在RtZXABC中，ZACB=90°,AC=6,BC=8,E為BC邊上一點,BE

>CE且是“CJ三角形"，已知A(-6,0),記過作拋物線yn/+bx+c

(a>0),8在A右側(cè)，且在無軸上，點。在拋物線上，使得tan/A8Q=」^,若符合

t-3

條件的。點個數(shù)為3個，求拋物線y^ajr+bx+c的解析式.

專題函數(shù)中的新定義問題

照例題精講

考點1一次函數(shù)新定義問題

【例1］定義：我們把一次函數(shù)y=丘+6（人/0）與正比例函數(shù)y=x的交點稱為一次函數(shù)y

=kx+bgo）的“不動點”.例如求y=2x-1的“不動點”：聯(lián)立方程，,，解得

則y=2x-1的“不動點”為（1,1）.

（1）由定義可知，一次函數(shù)y=3x+2的“不動點”為（-1,-1）；

（2）若一次函數(shù)的“不動點”為（2,幾-1）,求加、n的值；

（3）若直線丁=丘-3（左W0）與x軸交于點A,與y軸交于點3,且直線丁=丘-3上沒

有“不動點”，若尸點為x軸上一個動點，使得SMBP=3S^ABO,求滿足條件的尸點坐標.

y=3x+2

解：（1）聯(lián)立，

解得4，

ly=-l

???一次函數(shù)尸3x+2的“不動點”為（-1,-1）,

故答案為：（-1,-1）；

（2）?.,一次函數(shù)幾的“不動點”為（2,H-1）,

：.n-1=2,

???幾=3,

?,?“不動點”為（2,2）,

.'.2=2m+3,

解得m=--；

（3）,?,直線y=辰-3上沒有“不動點”,

，直線y=丘-3與直線y=x平行,

:.k=1,

(3,0),B(0,-3),

設尸(t,0),

：.AP=\3-t\,

SAABP=』x3|X3,

2

$△480=1X3X3,

2

S/^ABP=3S/\ABO>

：.\t-3\=9,

t=12或f=-6,

：.P(-6,0)或尸(12,0).

A變式訓練

【變17]在初中階段的函數(shù)學習中，我們經(jīng)歷了“確定函數(shù)的表達式一一利用函數(shù)圖象

研究其性質(zhì)一一運用函數(shù)解決問題”的學習過程.在畫函數(shù)圖象時，我們通過描點或平

移的方法畫出了所學的函數(shù)圖象.同時，我們也學習了絕對值的意義

11l-a(a<0)

結合上面經(jīng)歷的學習過程，現(xiàn)在來解決下面的問題：

在函數(shù)y=|Ax-3|+6中，當x=2時，y=-4；當x=0時，y=-l.

(1)求這個函數(shù)的表達式；

(2)在給出的平面直角坐標系中，請用你喜歡的方法畫出這個函數(shù)的圖象，并寫出這個

函數(shù)的一條性質(zhì)；

(3)已知函數(shù)y得x-3的圖象如圖所示，結合你所畫的函數(shù)圖象，直接寫出不等式

|kx-3|+b4]x-3的解集?

(4)若方程|7-6x|-。=0有四個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)。的取值范圍是0<。<9.

解：（1）?.?在函數(shù)y=|米-3|+b中，當冗=2時，y=-4；當x=0時，y=-1,

.（12k_3|+b=-4

"I.1-3l+b=-l'

2

解得<2,

b=-4

，這個函數(shù)的表達式是y=k1x-31-4；

（2）,?>=|-1x-3|-4,

y=yx-7（x>2）

?<

,,o，

y=—^x-l（x^2）

...函數(shù)>="1.”7過點（2,-4）和點（4,-1）；

函數(shù)y=--.v-1過點（0,-1）和點（-2,2）,

2

該函數(shù)的圖象如圖所示，性質(zhì)：當x>2時，y的值隨x的增大而增大；

(3)由函數(shù)的圖象可得，不等式|kx-3|+b<]x-3的解集是：1W尤W4；

(4)由-6x|-°=0得a=|7-6x|,作出y=|7-6x|的圖象，

由圖象可知，要使方程|f-6x|-a=0有四個不相等實數(shù)根，則0<a<9,

故答案為：0<a<9.

考點2反比例函數(shù)新定義問題

【例2】.探究函數(shù)性質(zhì)時，我們經(jīng)歷了列表、描點、連線畫函數(shù)圖象，觀察分析圖象特征，

概括函數(shù)性質(zhì)的過程，以下是我們研究函數(shù)>=尤+|-2x+6\+m性質(zhì)及其應用的部分過程,

(2)根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)在所給的平面直角坐標系中畫出該函數(shù)的圖象；

(3)已知函數(shù)y=-(x-2)2+8的圖象如圖所示，結合你所畫的函數(shù)圖象，不等式x+|

-2x+6\+m>-(x-2)2+8的解集為x<0或x>4..

yJk

解：(i)由表格可知，點(3,1)在該函數(shù)圖象上，

「?將點(3,1)代入函數(shù)解析式可得：1=3+|-2X3+6|+m,

解得：m=-2,

二.原函數(shù)的解析式為：y=x+\-2x+6|-2；

當龍=1時，y=3；

當x=4時，y=4；

??-2,〃=3,

故答案為：-2,3,4；

(2)通過列表一描點一連線的方法作圖，如圖所示；

(3)要求不等式x+|-2x+6|+%>-(%-2)2+8的解集，

實際上求出函數(shù)y=x+\-2x+6\+m的圖象位于函數(shù)尸-(x-2)2+8圖象上方的自變量

的范圍，

，由圖象可知，當x<0或x>4時，滿足條件，

故答案為：x<0或x>4.

A變式訓練

【定義】在平面內(nèi)，把一個圖形上任意一點與另一個圖形上任意一點之間的距離的最小值,

稱為這兩個圖形之間的距離，即A,B分別是圖形M和圖形N上任意一點，當?shù)拈L最小

時，稱這個最小值為圖形M與圖形N之間的距離.

例如，如圖1,AB±h,線段AB的長度稱為點A與直線/i之間的距離，當/2〃/1時，線段

AB的長度也是h與12之間的距離.

【應用】

（1）如圖2,在等腰Rt^BAC中，NA=90°,AB^AC,點。為AB邊上一點，過點。作

DE〃BC交AC于點、E.若AB=6,AD=4,則。E與之間的距離是_、&_；

（2）如圖3,已知直線/3：y=-x+4與雙曲線Ci：y=K（x>0）交于A（1,m）與B兩

X

點，點A與點2之間的距離是」點_,點。與雙曲線。之間的距離是_、任_；

【拓展】

（3）按規(guī)定，住宅小區(qū)的外延到高速路的距離不超過80機時，需要在高速路旁修建與高速

路相同走向的隔音屏障（如圖4）.有一條“東南-西北”走向的筆直高速路，路旁某住宅

小區(qū)建筑外延呈雙曲線的形狀，它們之間的距離小于80也現(xiàn)以高速路上某一合適位置為坐

標原點，建立如圖5所示的直角坐標系，此時高速路所在直線/4的函數(shù)表達式為>=-x,

小區(qū)外延所在雙曲線C2的函數(shù)表達式為>=區(qū)叫（尤>0）,那么需要在高速路旁修建隔音

屏障的長度是多少？

BI2

圖1

圖4圖5

解：（1）如圖，過點。作。于點H,

VZA=90°,AB=AC,

??.N3=45°，

???ABDH是等腰直角三角形,

:.DHWD,

2

9：AB=6,AZ)=4,

：.BD=AB-AO=6-4=2,

.?.。//=返義2=&；

2

故答案為：J5；

(2)把A(1,m)代入y=-x+4中，得：m=-1+4=3,

AA(1,3),

把A(1,3)代入y=K,得：3=區(qū),

x1

:?k=3,

雙曲線Cl的解析式為y=3,

X

聯(lián)立，得：7+4=3,

X

即x2-4x+3=0,

解得：Xl=l,X2=3,

：.B(3,1),

AB=7(l-3)2+(3-l)2=；

如圖，作尸G〃AB,且尸G與雙曲線y=l■只有一個交點，設直線尸G的解析式為y=-

X

則-x+b=—,

X

整理得：/-fer+3=0,

???△=(-。)2-4XlX3=Z?2-12=0,

：.b=243^b=-2A/3(不符合題意，舍去)，

二直線FG的解析式為y=-x+2^/3,

由-x+2?=旦，

X

解得：X1=X2=J§,

:.K電,痘),

°K=yj(^3)2+(V3)2二%；

故答案為：V6：

(3)如圖，設點S(a,b)是雙曲線y=240^(%>0)上任意一點，且a<b,以點5

x

為圓心，80為半徑作0s交人于E,過點S作SRL直線及于尸，交y軸于W,軸

于H,SG_Ly軸于G,

則SG=a,SH=b,。6=2400,

?.?直線y=-x平分第二、四象限角，

：.ZFOW=45°,

\"ZOFW=ZSGW=90°,

：.ZOWF=90°-45°=45°,

：.ZSWG^ZOWF^45°,

AWF和是等腰直角三角形，

：.SW=y/2SG,WF=J^-OW,

：.SF^SW+WF^^2SG+^-0W^^2a+—(b-a)=亞(a+6),

222

'-,EF=7802-SF2=^6400-y(a+b)2=^6400-2ab-y(b-a)2

J1600―^(b-a)2,

?.?。/=返。卬=亞(b-a),

22

0E=(b-a)+J1600-,(b-a)2>

設。-〃=根(m>0),

則。”等川儂緘獷^^2(ym2+1600-jm2)=4072，

，需要在高速路旁修建隔音屏障的長度=20E=2X40J5=80&,

答：需要在高速路旁修建隔音屏障的長度是80近米.

考點3二次函數(shù)新定義問題

【例3】.小愛同學學習二次函數(shù)后，對函數(shù)y=-(|X|-1)2進行了探究.在經(jīng)歷列表、描

點、連線步驟后，得到如圖的函數(shù)圖象.請根據(jù)函數(shù)圖象，回答下列問題:

(1)觀察探究：

①寫出該函數(shù)的一條性質(zhì)：函數(shù)圖象關于y軸對稱；

②方程-(|x|-1)2=-1的解為：x=-2或x=0或x=2；

③若方程-(|尤|-1)2=相有四個實數(shù)根，則m的取值范圍是-1<m<0.

(2)延伸思考：

將函數(shù)y=-(|x|-1)2的圖象經(jīng)過怎樣的平移可得到函數(shù)yi=-(僅-11-1)2+2的圖

象？寫出平移過程，并直接寫出當l<yiW2時，自變量X的取值范圍.

①該函數(shù)的一條性質(zhì)為：函數(shù)圖象關于y軸對稱；

②方程-(|x|-1)2=-1的解為：X=-2或x=0或x=2；

③若方程-(仇|-1)2=加有四個實數(shù)根，則a的取值范圍是-1<根<0.

故答案為：函數(shù)圖象關于y軸對稱；x=-2或x=0或x=2；-l<m<0.

(2)將函數(shù)y=-(僅卜1)2的圖象向右平移1個單位，向上平移2個單位可得到函數(shù)

y\=-(|x-1|-1)2+2的圖象，

當l<yiW2時，自變量尤的取值范圍是-1<彳<3且

A變式訓練

【變3-1].我們定義一種新函數(shù)：形如y=|a/+bx+c|（aWO,b1-4oc>0）的函數(shù)叫做‘'鵲

橋”函數(shù).小麗同學畫出了“鵲橋”函數(shù)y=|"2+bx+c|的圖象（如圖所示），下列結論正

確的是（）

A.圖象具有對稱性，對稱軸是直線x=1.5

B.有且只有-1W尤W1時，函數(shù)值y隨彳值的增大而增大

C.若〃<0,則8〃+c>0

D.若〃<0,貝IJa+/?》加（am+b）（m為任意實數(shù)）

解：由圖象可得，

圖象具有對稱性，對稱軸是直線x=±S=l,故選項A錯誤，不符合題意；

2

當-IWxWl或x>3時，函數(shù)值y隨x值的增大而增大，故選項2錯誤，不符合題意;

：一旦=1,

2a

:?b=-2〃，

當x=-2時，y=4a-2Z?+c<0,

.".4a-2b+c=4a-2X(-2a)+c=4a+4a+c=8a+c<0,故選項C錯誤，不符合題意;

,.,y=ox2+bx+c開口向下，對稱軸為直線x=l,

'.a+b+c^arrr+bm+c為任意實數(shù))，

.,.a+b^m(am+b)+c,故選項￡)正確，符合題意；

故選：D.

【變3-2].已知拋物線y=<?x2+c過點A(-2,0)和。(-1,3)兩點，交x軸于另一點

B.

(1)求拋物線解析式；

(2)如圖1,點尸是8。上方拋物線上一點，連接A。，BD,PD,當8。平分乙4。尸時,

求尸點坐標；

(3)將拋物線圖象繞原點。順時針旋轉(zhuǎn)90°形成如圖2的“心形”圖案，其中點M,N

分別是旋轉(zhuǎn)前后拋物線的頂點，點￡、/是旋轉(zhuǎn)前后拋物線的交點.

①直線EF的解析式是y=x；

②點G、〃是“心形”圖案上兩點且關于EF對稱，則線段GH的最大值是—工返

解：(1)\?拋物線>="2+。過點A(-2,0)和￡)(-1,3)兩點，

.(4a+c=0

Ia+c=3

解得卜二T,

Ic=4

.?.拋物線解析式為y=-/+4；

(2)過點B作BELx軸交DP延長線于點E,過。作DFLx于點F,

由y=-X2+4,令y=0,貝!J-/+4=0,

解得：xi=-2,%2=2,

貝！JB(2,0),

VDF=3,BF=2-(-1)=3,

：.DF=BF,

???NDBF=45°,

；?NDBE=45°,

又?：DB=DB,平分NADP,

：?ADABmADEB(ASA),

：.BA=BEf

'：B(2,0),

：.E(2,4),

設直線DE的解析式為y=kx^b,

則jk+b=3,

12k+b=4

/.直線DE的解析式為y=,

33

y=-x2+4

聯(lián)立110'

ly"3x+r

解得（x=-i或，

y=3

則p（2,絲）;

39

(3)①...拋物線關于y軸對稱，所以旋轉(zhuǎn)后圖形關于x軸對稱，

，對于拋物線上任意一點尸(a,6)關于原點旋轉(zhuǎn)90°后對應點為尸1(b,-a)在旋

轉(zhuǎn)后圖形上，

P1(6,-a)關于無軸對稱的點尸2(6,a)在旋轉(zhuǎn)后圖形上，

P(a,b)與尸2Cb,a)關于y=x對稱，

...圖形2關于y=x對稱，

...直線跖的解析式為〉=方

故答案為：y=x；

②如圖，連接GH,交EF與點K,貝|GH=2GK,

過點G作x軸的垂線，交￡尸于點/,

設GCm,-m2+4),則/(m,m),

GI=yG-yi=-7n2+4-m=-(m+—)

?'24

/.當m=-』時，叢GFE面積最大，

2

由①可知G(-工，生)關于y=x的對稱點”(至，-1),

2442

：.K(星，烏，

88

囚=礙干?事￥

:.GH=2GK=17&,

4

；.G8的最大值為-17%,