2025初中數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)突破：函數(shù)中的新定義問題（含答案及解析）

專題函數(shù)中的新定義問題

0?例題精講

考點(diǎn)1一次函數(shù)新定義問題

【例1].定義：我們把一次函數(shù)丁=丘+。（左#0）與正比例函數(shù)y=x的交點(diǎn)稱為一次函數(shù)y

v=2x-1

=kx+b（攵W0）的“不動(dòng)點(diǎn)”.例如求y=2x-1的“不動(dòng)點(diǎn)”：聯(lián)立方程4y,解得

y=x

{x：；,則y=2x-1的“不動(dòng)點(diǎn)”為（1,1）.

（1）由定義可知，一次函數(shù)y=3x+2的“不動(dòng)點(diǎn)”為；

⑵若一次函數(shù),=如+"的"不動(dòng)點(diǎn)"為（2,"-1）,求s、〃的值；

（3）若直線y=fct-3（ZWO）與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)8,且直線y=fcr-3上沒

有“不動(dòng)點(diǎn)”，若P點(diǎn)為x軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，使得SSBP=3SAABO,求滿足條件的P點(diǎn)坐標(biāo).

A變式訓(xùn)練

【變1T1在初中階段的函數(shù)學(xué)習(xí)中，我們經(jīng)歷了“確定函數(shù)的表達(dá)式一一利用函數(shù)圖象

研究其性質(zhì)一一運(yùn)用函數(shù)解決問題”的學(xué)習(xí)過程.在畫函數(shù)圖象時(shí)，我們通過描點(diǎn)或平

移的方法畫出了所學(xué)的函數(shù)圖象.同時(shí)，我們也學(xué)習(xí)了絕對(duì)值的意義|a|=（a（；）2）

[-a（a<0）

結(jié)合上面經(jīng)歷的學(xué)習(xí)過程，現(xiàn)在來解決下面的問題：

在函數(shù)y=|Ax-3|+b中，當(dāng)x=2時(shí)，y=-4；當(dāng)x=0時(shí)，y=-l.

(1)求這個(gè)函數(shù)的表達(dá)式；

(2)在給出的平面直角坐標(biāo)系中，請(qǐng)用你喜歡的方法畫出這個(gè)函數(shù)的圖象，并寫出這個(gè)

函數(shù)的一條性質(zhì)；

(3)已知函數(shù)的圖象如圖所示，結(jié)合你所畫的函數(shù)圖象，直接寫出不等式

|kx-3|+b4]x-3的解集?

考點(diǎn)2反比例函數(shù)新定義問題

【例2】.探究函數(shù)性質(zhì)時(shí)，我們經(jīng)歷了列表、描點(diǎn)、連線畫函數(shù)圖象，觀察分析圖象特征，

概括函數(shù)性質(zhì)的過程，以下是我們研究函數(shù)>=尤+|-2x+6\+m性質(zhì)及其應(yīng)用的部分過程,

請(qǐng)按要求完成下列各小題.

X…-2-1012345…

y???654a21b7…

(1)寫出函數(shù)關(guān)系式中相及表格中a,6的值；；〃=,a=,b=；

(2)根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)在所給的平面直角坐標(biāo)系中畫出該函數(shù)的圖象；

(3)已知函數(shù)y=-(尤-2)2+8的圖象如圖所示，結(jié)合你所畫的函數(shù)圖象，不等式x+|

A變式訓(xùn)練

【定義】在平面內(nèi)，把一個(gè)圖形上任意一點(diǎn)與另一個(gè)圖形上任意一點(diǎn)之間的距離的最小值,

稱為這兩個(gè)圖形之間的距離，即A,8分別是圖形M和圖形N上任意一點(diǎn)，當(dāng)?shù)拈L最小

時(shí)，稱這個(gè)最小值為圖形M與圖形N之間的距離.

例如，如圖1,ABX/i,線段48的長度稱為點(diǎn)A與直線之間的距離，當(dāng)/2〃/1時(shí)，線段

AB的長度也是Z1與/2之間的距離.

【應(yīng)用】

(1)如圖2,在等腰Rt^BAC中，NA=90°,AB^AC,點(diǎn)。為AB邊上一點(diǎn)，過點(diǎn)。作

DE〃BC交AC于點(diǎn)、E.若48=6,AD=4,則。E與BC之間的距離是；

(2)如圖3,已知直線/3：y=-x+4與雙曲線Ci：y=N(x>0)交于A(1,相)與B兩

x

點(diǎn)，點(diǎn)A與點(diǎn)B之間的距離是，點(diǎn)。與雙曲線。之間的距離是;

【拓展】

(3)按規(guī)定，住宅小區(qū)的外延到高速路的距離不超過80根時(shí)，需要在高速路旁修建與高速

路相同走向的隔音屏障(如圖4).有一條“東南-西北”走向的筆直高速路，路旁某住宅

小區(qū)建筑外延呈雙曲線的形狀，它們之間的距離小于80帆.現(xiàn)以高速路上某一合適位置為坐

標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖5所示的直角坐標(biāo)系，此時(shí)高速路所在直線Z4的函數(shù)表達(dá)式為y=-x,

小區(qū)外延所在雙曲線C2的函數(shù)表達(dá)式為丫=區(qū)也(X>0),那么需要在高速路旁修建隔音

x

屏障的長度是多少？

考點(diǎn)3二次函數(shù)新定義問題

【例3】.小愛同學(xué)學(xué)習(xí)二次函數(shù)后，對(duì)函數(shù)y=-(|x|-1)2進(jìn)行了探究.在經(jīng)歷列表、描

點(diǎn)、連線步驟后，得到如圖的函數(shù)圖象.請(qǐng)根據(jù)函數(shù)圖象，回答下列問題：

(1)觀察探究：

①寫出該函數(shù)的一條性質(zhì)：;

②方程-(僅|-1)2=-1的解為：；

③若方程-(|x|-1)2=冽有四個(gè)實(shí)數(shù)根，則制的取值范圍是.

(2)延伸思考：

將函數(shù)y=-(|尤I-1)2的圖象經(jīng)過怎樣的平移可得到函數(shù)”=-(|x-1|-1)2+2的圖

象？寫出平移過程，并直接寫出當(dāng)l<yiW2時(shí)，自變量x的取值范圍.

y八

■6--

L

4A

J

c

L,

1

2/

)-j-年>,J，II；6

n\

//J\

J\

1

r-

U

-6-

A變式訓(xùn)練

【變3-1].我們定義一種新函數(shù)：^$0y=\ax1+bx+c\（〃W0,b2-4tzc>0）的函數(shù)叫做“鵲

橋”函數(shù).小麗同學(xué)畫出了“鵲橋”函數(shù)>=|蘇+云+°|的圖象（如圖所示），下列結(jié)論正

確的是（）

A.圖象具有對(duì)稱性，對(duì)稱軸是直線x=1.5

B.有且只有-IWXWI時(shí)，函數(shù)值y隨x值的增大而增大

C.若〃<0,則8〃+c>0

D.若〃<0,貝!J加（am+b）（m為任意實(shí)數(shù)）

【變3-2].已知拋物線>=G2+。過點(diǎn)&(-2,0)和。(-1,3)兩點(diǎn)，交x軸于另一點(diǎn)

B.

(1)求拋物線解析式；

(2)如圖1,點(diǎn)尸是80上方拋物線上一點(diǎn)，連接AD,BD,PD,當(dāng)BD平分NADP時(shí)，

求尸點(diǎn)坐標(biāo)；

(3)將拋物線圖象繞原點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°形成如圖2的“心形”圖案，其中點(diǎn)M,N

分別是旋轉(zhuǎn)前后拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)￡、F是旋轉(zhuǎn)前后拋物線的交點(diǎn).

①直線EF的解析式是；

②點(diǎn)G、H是“心形”圖案上兩點(diǎn)且關(guān)于EF對(duì)稱，則線段G”的最大值是.

1.對(duì)于實(shí)數(shù)a,b,定義符號(hào)b\,其意義為：當(dāng)時(shí)，“x|a,b\—a,當(dāng)時(shí),

max\a,b|=b.例如相or|2,-1|=2,若關(guān)于無的函數(shù)尤|2尤-1,-x+5|,則該函數(shù)

的最小值為()

A.2B.1C.立D.3

33

2.在平面直角坐標(biāo)系尤Oy中，對(duì)于點(diǎn)尸(a,b),若點(diǎn)P的坐標(biāo)為(ka+b,a+A)(其中

左為常數(shù)且左WO),則稱點(diǎn)P為點(diǎn)尸的關(guān)聯(lián)點(diǎn)已知點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=返的

X

圖象上運(yùn)動(dòng)，且點(diǎn)A是點(diǎn)8的關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，當(dāng)線段OB最短時(shí)，點(diǎn)B的坐標(biāo)

為.

3.定義：由a,6構(gòu)造的二次函數(shù)y=a/+(a+6)尤+6叫做一次函數(shù)產(chǎn)辦+6的“滋生函數(shù)"，

一次函數(shù)〉=以+6叫做二次函數(shù)(a+b)龍+b的"本源函數(shù)”(a,b為常數(shù)，且a

W0).若一次函數(shù)>=依+6的"滋生函數(shù)"是>=辦2-3x+a+l,那么二次函數(shù)y=ax2-

3x+a+l的“本源函數(shù)”是y=-2x-l.

4.在平面直角坐標(biāo)系中，如果一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)相等，則稱該點(diǎn)為“不動(dòng)點(diǎn)”.例如

(-3,-3)、(1,1)、(2023,2023)都是“不動(dòng)點(diǎn)”.已知雙曲線y..

(1)下列說法不正確的是.

A.直線y=x的圖象上有無數(shù)個(gè)“不動(dòng)點(diǎn)”

B.函數(shù)y=l的圖象上沒有“不動(dòng)點(diǎn)”

C.直線>=尤+1的圖象上有無數(shù)個(gè)“不動(dòng)點(diǎn)”

D.函數(shù)y=/的圖象上有兩個(gè)“不動(dòng)點(diǎn)”

(2)求雙曲線yd■上的“不動(dòng)點(diǎn)”；

(3)若拋物線y=ax2-3x+c(a、c為常數(shù))上有且只有一個(gè)“不動(dòng)點(diǎn)”，

①當(dāng)〃>1時(shí)，求C的取值范圍.

②如果a=l,過雙曲線y』?圖象上第一象限的“不動(dòng)點(diǎn)”做平行于X軸的直線/,若拋

物線上有四個(gè)點(diǎn)到/的距離為m,直接寫出m的取值范圍.

5.在并聯(lián)電路中，電源電壓為U總=6匕小亮根據(jù)“并聯(lián)電路分流不分壓”的原理知道：/

總=/1+/2（/1=且，/2=旦），己知R1為定值電阻，當(dāng)R變化時(shí)，干路電流/總也會(huì)發(fā)生

R1R

變化，且干路電流/總與R之間滿足如下關(guān)系：/總=1+旦.

R

（1）定值電阻R1的阻值為C；

（2）小亮根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，參照研究函數(shù)的過程與方法，對(duì)比反比例函數(shù)/2=旦來

R

探究函數(shù)/總=1+旦的圖象與性質(zhì).

R

①列表：如表列出/總與R的幾組對(duì)應(yīng)值，請(qǐng)寫出m,n的值：m=，n=；

R???3456???

…21.51.21???

R

/總=1+2…3m2.2n???

R

②描點(diǎn)、連線：在平面直角坐標(biāo)系中，以①給出的R的取值為橫坐標(biāo)，以/總相對(duì)應(yīng)的值

為縱坐標(biāo)，描出相應(yīng)的點(diǎn)，并將各點(diǎn)用光滑曲線順次連接起來；

（3）觀察圖象并分析表格，回答下列問題:

①/總隨R的增大而；(填“增大”或“減小”)

②函數(shù)/總=1+g的圖象是由/2=旦的圖象向平移個(gè)單位而得到.

RR一

③連線：用平滑的曲線順次連接各點(diǎn)，請(qǐng)把圖象補(bǔ)充完整.

(2)探究函數(shù)性質(zhì)：下列說法不正確的是

A.函數(shù)值y隨尤的增大而減小

B.函數(shù)圖象不經(jīng)過第四象限

C.函數(shù)圖象與直線x=-1沒有交點(diǎn)

D.函數(shù)圖象對(duì)稱中心(-1,0)

(3)如果點(diǎn)A(xi,yi)、B(X2,>2)在函數(shù)圖象上，如果xi+x2=-2,則y\+y2=

7.九年級(jí)某數(shù)學(xué)興趣小組在學(xué)習(xí)了反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)后，進(jìn)一步研究了函數(shù)y。下

的圖象與性質(zhì)，其探究過程如下：

（1）繪制函數(shù)圖象，

列表：下表是尤與y的幾組對(duì)應(yīng)值，其中機(jī)=.

x-3-2-111123…

?2

y2124421m???

S-

描點(diǎn)：根據(jù)表中各組對(duì)應(yīng)值（尤，y）,在平面直角坐標(biāo)系中描出各點(diǎn)，請(qǐng)你描出剩下的點(diǎn)；

連線：用平滑的曲線順次連接各點(diǎn)，已經(jīng)畫出了部分圖象，請(qǐng)你把圖象補(bǔ)充完整；

（2）通過觀察圖象，下列關(guān)于該函數(shù)的性質(zhì)表述正確的是：；（填寫代號(hào)）

①函數(shù)值y隨x的增大而增大；②y）冬關(guān)于y軸對(duì)稱；③y?當(dāng)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；

（3）在上圖中，若直線y=2交函數(shù)y旱下的圖象于A,B兩點(diǎn)（A在8左邊），連接

IxI

OA.過點(diǎn)8作8C〃OA交x軸于C.貝US四邊形0ABe=.

8.【定義】

從一個(gè)已知圖形的外一點(diǎn)引兩條射線分別經(jīng)過該已知圖形的兩點(diǎn)，則這兩條射線所成的

最大角稱為該點(diǎn)對(duì)已知圖形的視角，如圖①，NAP2是點(diǎn)P對(duì)線段的視角.

①②③

④⑤

【應(yīng)用】

(1)如圖②，在直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(2,我)，B(2,2、/目)，C(3,弧),則

原點(diǎn)。對(duì)三角形ABC的視角為；

(2)如圖③，在直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)0,半徑為2畫圓以原點(diǎn)。，半徑為4畫

圓。2,證明：圓02上任意一點(diǎn)尸對(duì)圓。1的視角是定值；

【拓展應(yīng)用】

(3)很多攝影愛好者喜歡在天橋上對(duì)城市的標(biāo)志性建筑拍照，如圖④.現(xiàn)在有一條筆直

的天橋，標(biāo)志性建筑外延呈正方形，攝影師想在天橋上找到對(duì)建筑視角為45°的位置拍

攝.現(xiàn)以建筑的中心為原點(diǎn)建立如圖⑤的坐標(biāo)系，此時(shí)天橋所在的直線的表達(dá)式為x=-

5,正方形建筑的邊長為4,請(qǐng)直接寫出直線上滿足條件的位置坐標(biāo).

9.小明在學(xué)習(xí)函數(shù)的過程中遇到這樣一個(gè)函數(shù)：y=[x],若x20時(shí)，國=x2-1；若x<0

時(shí)，印=-x-l.小明根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，對(duì)該函數(shù)進(jìn)行了探究.

(1)①列表:下表列出y與x的幾組對(duì)應(yīng)值，請(qǐng)寫出機(jī),”的值；n—；

x???-2-1012…

y…1m00n…

②描點(diǎn)：在平面直角坐標(biāo)系中，以①給出的自變量X的取值為橫坐標(biāo)，以相應(yīng)的函數(shù)值

為縱坐標(biāo)，描出相應(yīng)的點(diǎn)并連線，作出函數(shù)圖象；

（2）下列關(guān)于該函數(shù)圖象的性質(zhì)正確的是；（填序號(hào)）

①y隨x的增大而增大；

②該函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；

③當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)有最小值為-1；

④該函數(shù)圖象不經(jīng)過第三象限.

（3）若函數(shù)值y=8,則》=；

（4）若關(guān)于x的方程2x+c=國有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，請(qǐng)結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫出c

的取值范圍是.

10.某公園內(nèi)人工湖上有一座拱橋（橫截面如圖所示），跨度為4米.在距點(diǎn)A水平距

離為d米的地點(diǎn)，拱橋距離水面的高度為米.小紅根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，對(duì)d和/I之

間的關(guān)系進(jìn)行了探究.

下面是小紅的探究過程，請(qǐng)補(bǔ)充完整:

(1)經(jīng)過測(cè)量，得出了1和/I的幾組對(duì)應(yīng)值，如表.

d/米00.611.82.433.64

劃米0.881.902.382.862.802.381.600.88

在d和〃這兩個(gè)變量中，d是自變量,〃是這個(gè)變量的函數(shù);

(2)在下面的平面直角坐標(biāo)系尤Oy中，畫出(1)中所確定的函數(shù)的圖象；

(3)結(jié)合表格數(shù)據(jù)和函數(shù)圖象，解決問題：

①橋墩露出水面的高度AE為米；

②公園欲開設(shè)游船項(xiàng)目，現(xiàn)有長為3.5米，寬為1.5米，露出水面高度為2米的游船.為

安全起見，公園要在水面上的C,。兩處設(shè)置警戒線，并且CE=￡>E,要求游船能從C,

。兩點(diǎn)之間安全通過，則C處距橋墩的距離CE至少為米.(精確到0.1米)

11.小明為了探究函數(shù)y=-S+4R-3的性質(zhì)，他想先畫出它的圖象，然后再觀察、歸

納得到，并運(yùn)用性質(zhì)解決問題.

(1)完成函數(shù)圖象的作圖，并完成填空.

①列出y與尤的幾組對(duì)應(yīng)值如表：

x1I-5_I_4I-3_I-2I~I01234-5I~

y-8-3010-3010a-8

表格中，a=

②結(jié)合上表，在下圖所示的平面直角坐標(biāo)系xOy中，畫出當(dāng)x＞。時(shí)函數(shù)M的圖象;

③觀察圖象，當(dāng)彳=時(shí)，y有最大值為;

（2）求函數(shù)Af：y=-/+4|x|-3與直線/：y=2x-3的交點(diǎn)坐標(biāo)；

（3）已知P（加，yi）,Q（加+1,”）兩點(diǎn)在函數(shù)M的圖象上，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫

出機(jī)的取值范圍.

-

-丁

-十

-

」

：

-

r丁

-

y」

-

：

-^-丁

-u,--L

)

12.定義:平面直角坐標(biāo)系xOy中，若點(diǎn)M繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,恰好落在函數(shù)圖象W

上，則稱點(diǎn)M為函數(shù)圖象W的“直旋點(diǎn)”.例如，點(diǎn)（」，上）是函數(shù)y=x圖象的“直

33

旋點(diǎn)”.

（1）在①（3,0）,②（-1,0）,③（0,3）三點(diǎn)中，是一次函數(shù)y=」x+l圖象的“直

3

旋點(diǎn)”的有（填序號(hào)）；

（2）若點(diǎn)N（3,1）為反比例函數(shù)y上圖象的“直旋點(diǎn)”，求左的值；

（3）二次函數(shù)y=-x?+2x+3與x軸交于A,8兩點(diǎn)（A在8的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C,

點(diǎn)。是二次函數(shù)y=-/+2尤+3圖象的“直旋點(diǎn)”且在直線AC上，求。點(diǎn)坐標(biāo).

13.對(duì)某一個(gè)函數(shù)給出如下定義：若存在實(shí)數(shù)對(duì)于任意的函數(shù)值》都滿足-MWy

WM,則稱這個(gè)函數(shù)是有界函數(shù)，在所有滿足條件的M中，其最小值稱為這個(gè)函數(shù)的邊

界值.例如，圖中的函數(shù)是有界函數(shù)，其邊界是1.

（1）直接判斷函數(shù)>==（尤>0）和>=-2x+l（-4<xW2）是不是有界函數(shù)？若是有

x

界函數(shù)，直接寫出其邊界值；

（2）若一次函數(shù)>=丘+6（-2WxWl）的邊界值是3,且這個(gè)函數(shù)的最大值是2,求這

個(gè)一次函數(shù)的解析式；

（3）將二次函數(shù)y=-%2（-IWXW機(jī)，機(jī)20）的圖象向上平移機(jī)個(gè)單位，得到的函數(shù)

的邊界值是“，當(dāng)根在什么范圍時(shí)，滿足旦W"W1.

4

14.在平面直角坐標(biāo)系中，由兩條與無軸有著相同的交點(diǎn)，并且開口方向相同的拋物線所圍

成的封閉曲線稱為“月牙線”.如圖所示，拋物線C1與拋物線C2：y=fwr+4mx-Um（.m

>0）的部分圖象組成一個(gè)“月牙線”，相同的交點(diǎn)分別為M,N（點(diǎn)M在點(diǎn)N的左側(cè)），

與y軸的交點(diǎn)分別為A,B,且點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0,-1）.

（1）求M,N兩點(diǎn)的坐標(biāo)及拋物線C1的解析式；

（2）若拋物線C2的頂點(diǎn)為。，當(dāng)機(jī)=反時(shí)，試判斷三角形MNZ）的形狀，并說明理由；

4

（3）在（2）的條件下，點(diǎn)尸（3-巨）是拋物線C1上一點(diǎn)，拋物線C2第三象限上是

4

否存在一點(diǎn)Q,使得S?PM=±S&ONQ,若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，

一2

說明理由.

M

Ci

15.閱讀材料：一般地，對(duì)于某個(gè)函數(shù)，如果自變量尤在取值范圍內(nèi)任取尤=。與》=時(shí)，

函數(shù)值相等，那么這個(gè)函數(shù)是“對(duì)稱函數(shù)”.例如：>=/,在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)任取尤=。時(shí)，y

—a2；當(dāng)x=-a時(shí)，y—(-a)2—a2,所以y=/是“對(duì)稱函數(shù)

(1)函數(shù)y=2\x\+l對(duì)稱函數(shù)(填“是”或“不是”).當(dāng)龍20時(shí)，y=2\x\+\

的圖象如圖1所示，請(qǐng)?jiān)趫D1中畫出x<0時(shí)，y=2|x|+l的圖象.

(2)函數(shù)y=7-2|x|+l的圖象如圖2所示，當(dāng)它與直線y=-尤+”恰有3個(gè)交點(diǎn)時(shí)，求

”的值.

(3)如圖3,在平面直角坐標(biāo)系中，矩形A8C￡>的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是A(-3,0),B(2,

0),C(2,-3),￡)(-3,-3),當(dāng)二次函數(shù)y=/-冰|+1(6>0)的圖象與矩形的邊

恰有4個(gè)交點(diǎn)時(shí)，求b的取值范圍.

yf

D

圖3

16.定義：把一個(gè)半圓與拋物線的一部分合成封閉圖形，我們把這個(gè)封閉圖形稱為“蛋圓”.如

果一條直線與“蛋圓”只有一個(gè)交點(diǎn)，那么這條直線叫做“蛋圓”的切線.如圖，A,B,

C,。分別是“蛋圓”與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，已知點(diǎn)。的坐標(biāo)為（0,8）,A3為半圓的直徑，

半圓的圓心M的坐標(biāo)為（1,0）,半圓半徑為3.

（1）請(qǐng)你直接寫出“蛋圓”拋物線部分的解析式y(tǒng),自變量的取值范圍

是；

（2）請(qǐng)你求出過點(diǎn)C的“蛋圓”切線與％軸的交點(diǎn)坐標(biāo);

（3）求經(jīng)過點(diǎn)。的“蛋圓”切線的解析式.

17.規(guī)定：如果兩個(gè)函數(shù)圖象上至少存在一組點(diǎn)是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的，我們則稱這兩個(gè)函數(shù)互

為“。一函數(shù)”.這組點(diǎn)稱為“XC點(diǎn)''.例如：點(diǎn)P(1,1)在函數(shù)y=/上，點(diǎn)Q(-1,

-1)在函數(shù)y=-x-2上，點(diǎn)尸與點(diǎn)0關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，此時(shí)函數(shù)y=/和y=-x-2互

為“。一函數(shù)”，點(diǎn)P與點(diǎn)。則為一組“XC點(diǎn)”.

(1)已知函數(shù)>=-2x-1和y=-旦互為“。一函數(shù)”，請(qǐng)求出它們的“XC點(diǎn)”；

X

(2)已知函數(shù)尸一+2什4和y=4x+〃-2022互為“。一函數(shù)”，求〃的最大值并寫出“XC

點(diǎn)”；

(3)已知二次函數(shù)丁=〃/+法+。(〃>0)與y=2fcv+l互為aO一函數(shù)”有且僅存在一組

“XC點(diǎn)”，如圖，若二次函數(shù)的頂點(diǎn)為與x軸交于A(xi,0),B(X2,0)其中0V

|C22C+3

X\<XI,AB，過頂點(diǎn)M作l軸的平行線/,點(diǎn)尸在直線/上，記尸的橫坐

c

標(biāo)為連接。P,AP,BP.若/O?L=NOBP,求f的最小值.

18.如果三角形的兩個(gè)內(nèi)角a與0滿足2a邛=90°,那么我們稱這樣的三角形為“CJ三角

形”.

(1)判斷下列三角形是否為“CJ三角形”？如果是，請(qǐng)?jiān)趯?duì)應(yīng)橫線上畫“J”，如果不

是，請(qǐng)?jiān)趯?duì)應(yīng)橫線上畫“X”；

①其中有兩內(nèi)角分別為30°,60°的三角形；

②其中有兩內(nèi)角分別為50°,60。的三角形；

③其中有兩內(nèi)角分別為70°,100°的三角形；

(2)如圖1,點(diǎn)A在雙曲線y=K*>0)上且橫坐標(biāo)為1,點(diǎn)8(4,0),C為08中

x

點(diǎn)，。為y軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，若/。42=90°.

①求上的值，并求證：△ABC為“CJ三角形”；

②若△0A3與△02D相似，直接寫出。的坐標(biāo)；

(3)如圖2,在RtZXABC中，ZACB=90°,AC=6,BC=8,E為BC邊上一點(diǎn),BE

>CE且是“CJ三角形"，已知A(-6,0),記過作拋物線yn/+bx+c

(a>0),8在A右側(cè)，且在無軸上，點(diǎn)。在拋物線上，使得tan/A8Q=」^,若符合

t-3

條件的。點(diǎn)個(gè)數(shù)為3個(gè)，求拋物線y^ajr+bx+c的解析式.

專題函數(shù)中的新定義問題

照例題精講

考點(diǎn)1一次函數(shù)新定義問題

【例1］定義：我們把一次函數(shù)y=丘+6（人/0）與正比例函數(shù)y=x的交點(diǎn)稱為一次函數(shù)y

=kx+bgo）的“不動(dòng)點(diǎn)”.例如求y=2x-1的“不動(dòng)點(diǎn)”：聯(lián)立方程，,，解得

則y=2x-1的“不動(dòng)點(diǎn)”為（1,1）.

（1）由定義可知，一次函數(shù)y=3x+2的“不動(dòng)點(diǎn)”為（-1,-1）；

（2）若一次函數(shù)的“不動(dòng)點(diǎn)”為（2,幾-1）,求加、n的值；

（3）若直線丁=丘-3（左W0）與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)3,且直線丁=丘-3上沒

有“不動(dòng)點(diǎn)”，若尸點(diǎn)為x軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，使得SMBP=3S^ABO,求滿足條件的尸點(diǎn)坐標(biāo).

y=3x+2

解：（1）聯(lián)立，

解得4，

ly=-l

???一次函數(shù)尸3x+2的“不動(dòng)點(diǎn)”為（-1,-1）,

故答案為：（-1,-1）；

（2）?.,一次函數(shù)幾的“不動(dòng)點(diǎn)”為（2,H-1）,

：.n-1=2,

???幾=3,

?,?“不動(dòng)點(diǎn)”為（2,2）,

.'.2=2m+3,

解得m=--；

（3）,?,直線y=辰-3上沒有“不動(dòng)點(diǎn)”,

，直線y=丘-3與直線y=x平行,

:.k=1,

(3,0),B(0,-3),

設(shè)尸(t,0),

：.AP=\3-t\,

SAABP=』x3|X3,

2

$△480=1X3X3,

2

S/^ABP=3S/\ABO>

：.\t-3\=9,

t=12或f=-6,

：.P(-6,0)或尸(12,0).

A變式訓(xùn)練

【變17]在初中階段的函數(shù)學(xué)習(xí)中，我們經(jīng)歷了“確定函數(shù)的表達(dá)式一一利用函數(shù)圖象

研究其性質(zhì)一一運(yùn)用函數(shù)解決問題”的學(xué)習(xí)過程.在畫函數(shù)圖象時(shí)，我們通過描點(diǎn)或平

移的方法畫出了所學(xué)的函數(shù)圖象.同時(shí)，我們也學(xué)習(xí)了絕對(duì)值的意義

11l-a(a<0)

結(jié)合上面經(jīng)歷的學(xué)習(xí)過程，現(xiàn)在來解決下面的問題：

在函數(shù)y=|Ax-3|+6中，當(dāng)x=2時(shí)，y=-4；當(dāng)x=0時(shí)，y=-l.

(1)求這個(gè)函數(shù)的表達(dá)式；

(2)在給出的平面直角坐標(biāo)系中，請(qǐng)用你喜歡的方法畫出這個(gè)函數(shù)的圖象，并寫出這個(gè)

函數(shù)的一條性質(zhì)；

(3)已知函數(shù)y得x-3的圖象如圖所示，結(jié)合你所畫的函數(shù)圖象，直接寫出不等式

|kx-3|+b4]x-3的解集?

(4)若方程|7-6x|-。=0有四個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是0<。<9.

解：（1）?.?在函數(shù)y=|米-3|+b中，當(dāng)冗=2時(shí)，y=-4；當(dāng)x=0時(shí)，y=-1,

.（12k_3|+b=-4

"I.1-3l+b=-l'

2

解得<2,

b=-4

，這個(gè)函數(shù)的表達(dá)式是y=k1x-31-4；

（2）,?>=|-1x-3|-4,

y=yx-7（x>2）

?<

,,o，

y=—^x-l（x^2）

...函數(shù)>="1.”7過點(diǎn)（2,-4）和點(diǎn)（4,-1）；

函數(shù)y=--.v-1過點(diǎn)（0,-1）和點(diǎn)（-2,2）,

2

該函數(shù)的圖象如圖所示，性質(zhì)：當(dāng)x>2時(shí)，y的值隨x的增大而增大；

(3)由函數(shù)的圖象可得，不等式|kx-3|+b<]x-3的解集是：1W尤W4；

(4)由-6x|-°=0得a=|7-6x|,作出y=|7-6x|的圖象，

由圖象可知，要使方程|f-6x|-a=0有四個(gè)不相等實(shí)數(shù)根，則0<a<9,

故答案為：0<a<9.

考點(diǎn)2反比例函數(shù)新定義問題

【例2】.探究函數(shù)性質(zhì)時(shí)，我們經(jīng)歷了列表、描點(diǎn)、連線畫函數(shù)圖象，觀察分析圖象特征，

概括函數(shù)性質(zhì)的過程，以下是我們研究函數(shù)>=尤+|-2x+6\+m性質(zhì)及其應(yīng)用的部分過程,

(2)根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)在所給的平面直角坐標(biāo)系中畫出該函數(shù)的圖象；

(3)已知函數(shù)y=-(x-2)2+8的圖象如圖所示，結(jié)合你所畫的函數(shù)圖象，不等式x+|

-2x+6\+m>-(x-2)2+8的解集為x<0或x>4..

yJk

解：(i)由表格可知，點(diǎn)(3,1)在該函數(shù)圖象上，

「?將點(diǎn)(3,1)代入函數(shù)解析式可得：1=3+|-2X3+6|+m,

解得：m=-2,

二.原函數(shù)的解析式為：y=x+\-2x+6|-2；

當(dāng)龍=1時(shí)，y=3；

當(dāng)x=4時(shí)，y=4；

??-2,〃=3,

故答案為：-2,3,4；

(2)通過列表一描點(diǎn)一連線的方法作圖，如圖所示；

(3)要求不等式x+|-2x+6|+%>-(%-2)2+8的解集，

實(shí)際上求出函數(shù)y=x+\-2x+6\+m的圖象位于函數(shù)尸-(x-2)2+8圖象上方的自變量

的范圍，

，由圖象可知，當(dāng)x<0或x>4時(shí)，滿足條件，

故答案為：x<0或x>4.

A變式訓(xùn)練

【定義】在平面內(nèi)，把一個(gè)圖形上任意一點(diǎn)與另一個(gè)圖形上任意一點(diǎn)之間的距離的最小值,

稱為這兩個(gè)圖形之間的距離，即A,B分別是圖形M和圖形N上任意一點(diǎn)，當(dāng)?shù)拈L最小

時(shí)，稱這個(gè)最小值為圖形M與圖形N之間的距離.

例如，如圖1,AB±h,線段AB的長度稱為點(diǎn)A與直線/i之間的距離，當(dāng)/2〃/1時(shí)，線段

AB的長度也是h與12之間的距離.

【應(yīng)用】

（1）如圖2,在等腰Rt^BAC中，NA=90°,AB^AC,點(diǎn)。為AB邊上一點(diǎn)，過點(diǎn)。作

DE〃BC交AC于點(diǎn)、E.若AB=6,AD=4,則。E與之間的距離是_、&_；

（2）如圖3,已知直線/3：y=-x+4與雙曲線Ci：y=K（x>0）交于A（1,m）與B兩

X

點(diǎn)，點(diǎn)A與點(diǎn)2之間的距離是」點(diǎn)_,點(diǎn)。與雙曲線。之間的距離是_、任_；

【拓展】

（3）按規(guī)定，住宅小區(qū)的外延到高速路的距離不超過80機(jī)時(shí)，需要在高速路旁修建與高速

路相同走向的隔音屏障（如圖4）.有一條“東南-西北”走向的筆直高速路，路旁某住宅

小區(qū)建筑外延呈雙曲線的形狀，它們之間的距離小于80也現(xiàn)以高速路上某一合適位置為坐

標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖5所示的直角坐標(biāo)系，此時(shí)高速路所在直線/4的函數(shù)表達(dá)式為>=-x,

小區(qū)外延所在雙曲線C2的函數(shù)表達(dá)式為>=區(qū)叫（尤>0）,那么需要在高速路旁修建隔音

屏障的長度是多少？

BI2

圖1

圖4圖5

解：（1）如圖，過點(diǎn)。作。于點(diǎn)H,

VZA=90°,AB=AC,

??.N3=45°，

???ABDH是等腰直角三角形,

:.DHWD,

2

9：AB=6,AZ)=4,

：.BD=AB-AO=6-4=2,

.?.。//=返義2=&；

2

故答案為：J5；

(2)把A(1,m)代入y=-x+4中，得：m=-1+4=3,

AA(1,3),

把A(1,3)代入y=K,得：3=區(qū),

x1

:?k=3,

雙曲線Cl的解析式為y=3,

X

聯(lián)立，得：7+4=3,

X

即x2-4x+3=0,

解得：Xl=l,X2=3,

：.B(3,1),

AB=7(l-3)2+(3-l)2=；

如圖，作尸G〃AB,且尸G與雙曲線y=l■只有一個(gè)交點(diǎn)，設(shè)直線尸G的解析式為y=-

X

則-x+b=—,

X

整理得：/-fer+3=0,

???△=(-。)2-4XlX3=Z?2-12=0,

：.b=243^b=-2A/3(不符合題意，舍去)，

二直線FG的解析式為y=-x+2^/3,

由-x+2?=旦，

X

解得：X1=X2=J§,

:.K電,痘),

°K=yj(^3)2+(V3)2二%；

故答案為：V6：

(3)如圖，設(shè)點(diǎn)S(a,b)是雙曲線y=240^(%>0)上任意一點(diǎn)，且a<b,以點(diǎn)5

x

為圓心，80為半徑作0s交人于E,過點(diǎn)S作SRL直線及于尸，交y軸于W,軸

于H,SG_Ly軸于G,

則SG=a,SH=b,。6=2400,

?.?直線y=-x平分第二、四象限角，

：.ZFOW=45°,

\"ZOFW=ZSGW=90°,

：.ZOWF=90°-45°=45°,

：.ZSWG^ZOWF^45°,

AWF和是等腰直角三角形，

：.SW=y/2SG,WF=J^-OW,

：.SF^SW+WF^^2SG+^-0W^^2a+—(b-a)=亞(a+6),

222

'-,EF=7802-SF2=^6400-y(a+b)2=^6400-2ab-y(b-a)2

J1600―^(b-a)2,

?.?。/=返。卬=亞(b-a),

22

0E=(b-a)+J1600-,(b-a)2>

設(shè)。-〃=根(m>0),

則。”等川儂緘獷^^2(ym2+1600-jm2)=4072，

，需要在高速路旁修建隔音屏障的長度=20E=2X40J5=80&,

答：需要在高速路旁修建隔音屏障的長度是80近米.

考點(diǎn)3二次函數(shù)新定義問題

【例3】.小愛同學(xué)學(xué)習(xí)二次函數(shù)后，對(duì)函數(shù)y=-(|X|-1)2進(jìn)行了探究.在經(jīng)歷列表、描

點(diǎn)、連線步驟后，得到如圖的函數(shù)圖象.請(qǐng)根據(jù)函數(shù)圖象，回答下列問題:

(1)觀察探究：

①寫出該函數(shù)的一條性質(zhì)：函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；

②方程-(|x|-1)2=-1的解為：x=-2或x=0或x=2；

③若方程-(|尤|-1)2=相有四個(gè)實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是-1<m<0.

(2)延伸思考：

將函數(shù)y=-(|x|-1)2的圖象經(jīng)過怎樣的平移可得到函數(shù)yi=-(僅-11-1)2+2的圖

象？寫出平移過程，并直接寫出當(dāng)l<yiW2時(shí)，自變量X的取值范圍.

①該函數(shù)的一條性質(zhì)為：函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；

②方程-(|x|-1)2=-1的解為：X=-2或x=0或x=2；

③若方程-(仇|-1)2=加有四個(gè)實(shí)數(shù)根，則a的取值范圍是-1<根<0.

故答案為：函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；x=-2或x=0或x=2；-l<m<0.

(2)將函數(shù)y=-(僅卜1)2的圖象向右平移1個(gè)單位，向上平移2個(gè)單位可得到函數(shù)

y\=-(|x-1|-1)2+2的圖象，

當(dāng)l<yiW2時(shí)，自變量尤的取值范圍是-1<彳<3且

A變式訓(xùn)練

【變3-1].我們定義一種新函數(shù)：形如y=|a/+bx+c|（aWO,b1-4oc>0）的函數(shù)叫做‘'鵲

橋”函數(shù).小麗同學(xué)畫出了“鵲橋”函數(shù)y=|"2+bx+c|的圖象（如圖所示），下列結(jié)論正

確的是（）

A.圖象具有對(duì)稱性，對(duì)稱軸是直線x=1.5

B.有且只有-1W尤W1時(shí)，函數(shù)值y隨彳值的增大而增大

C.若〃<0,則8〃+c>0

D.若〃<0,貝IJa+/?》加（am+b）（m為任意實(shí)數(shù)）

解：由圖象可得，

圖象具有對(duì)稱性，對(duì)稱軸是直線x=±S=l,故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，不符合題意；

2

當(dāng)-IWxWl或x>3時(shí)，函數(shù)值y隨x值的增大而增大，故選項(xiàng)2錯(cuò)誤，不符合題意;

：一旦=1,

2a

:?b=-2〃，

當(dāng)x=-2時(shí)，y=4a-2Z?+c<0,

.".4a-2b+c=4a-2X(-2a)+c=4a+4a+c=8a+c<0,故選項(xiàng)C錯(cuò)誤，不符合題意;

,.,y=ox2+bx+c開口向下，對(duì)稱軸為直線x=l,

'.a+b+c^arrr+bm+c為任意實(shí)數(shù))，

.,.a+b^m(am+b)+c,故選項(xiàng)￡)正確，符合題意；

故選：D.

【變3-2].已知拋物線y=<?x2+c過點(diǎn)A(-2,0)和。(-1,3)兩點(diǎn)，交x軸于另一點(diǎn)

B.

(1)求拋物線解析式；

(2)如圖1,點(diǎn)尸是8。上方拋物線上一點(diǎn)，連接A。，BD,PD,當(dāng)8。平分乙4。尸時(shí),

求尸點(diǎn)坐標(biāo)；

(3)將拋物線圖象繞原點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°形成如圖2的“心形”圖案，其中點(diǎn)M,N

分別是旋轉(zhuǎn)前后拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)￡、/是旋轉(zhuǎn)前后拋物線的交點(diǎn).

①直線EF的解析式是y=x；

②點(diǎn)G、〃是“心形”圖案上兩點(diǎn)且關(guān)于EF對(duì)稱，則線段GH的最大值是—工返

解：(1)\?拋物線>="2+。過點(diǎn)A(-2,0)和￡)(-1,3)兩點(diǎn)，

.(4a+c=0

Ia+c=3

解得卜二T,

Ic=4

.?.拋物線解析式為y=-/+4；

(2)過點(diǎn)B作BELx軸交DP延長線于點(diǎn)E,過。作DFLx于點(diǎn)F,

由y=-X2+4,令y=0,貝!J-/+4=0,

解得：xi=-2,%2=2,

貝！JB(2,0),

VDF=3,BF=2-(-1)=3,

：.DF=BF,

???NDBF=45°,

；?NDBE=45°,

又?：DB=DB,平分NADP,

：?ADABmADEB(ASA),

：.BA=BEf

'：B(2,0),

：.E(2,4),

設(shè)直線DE的解析式為y=kx^b,

則jk+b=3,

12k+b=4

/.直線DE的解析式為y=,

33

y=-x2+4

聯(lián)立110'

ly"3x+r

解得（x=-i或，

y=3

則p（2,絲）;

39

(3)①...拋物線關(guān)于y軸對(duì)稱，所以旋轉(zhuǎn)后圖形關(guān)于x軸對(duì)稱，

，對(duì)于拋物線上任意一點(diǎn)尸(a,6)關(guān)于原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90°后對(duì)應(yīng)點(diǎn)為尸1(b,-a)在旋

轉(zhuǎn)后圖形上，

P1(6,-a)關(guān)于無軸對(duì)稱的點(diǎn)尸2(6,a)在旋轉(zhuǎn)后圖形上，

P(a,b)與尸2Cb,a)關(guān)于y=x對(duì)稱，

...圖形2關(guān)于y=x對(duì)稱，

...直線跖的解析式為〉=方

故答案為：y=x；

②如圖，連接GH,交EF與點(diǎn)K,貝|GH=2GK,

過點(diǎn)G作x軸的垂線，交￡尸于點(diǎn)/,

設(shè)GCm,-m2+4),則/(m,m),

GI=yG-yi=-7n2+4-m=-(m+—)

?'24

/.當(dāng)m=-』時(shí)，叢GFE面積最大，

2

由①可知G(-工，生)關(guān)于y=x的對(duì)稱點(diǎn)”(至，-1),

2442

：.K(星，烏，

88

囚=礙干?事￥

:.GH=2GK=17&,

4

；.G8的最大值為-17%,