2025高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)必刷題：存在性問題的探究（學(xué)生版）

第74講存在性問題的探究

知識(shí)梳理

題型一：存在點(diǎn)使向量數(shù)量積為定值

例L(2024?甘肅天水?高二天水市第一中學(xué)?？计谀?已知橢圓E的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在尤

軸上，橢圓的左頂點(diǎn)坐標(biāo)為卜&,0),離心率為e=f.

(1)求橢圓E的方程；

(2)過點(diǎn)(1,0)作直線/交E于P、。兩點(diǎn)，試問：在無軸上是否存在一個(gè)定點(diǎn)使

標(biāo)?改為定值？若存在，求出這個(gè)定點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

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例2.(2024?山西大同?高二統(tǒng)考期末)已知橢圓二+與=1(°>6>0)的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線

ab

y2=4氐的焦點(diǎn)F重合，且橢圓短軸的兩個(gè)端點(diǎn)與F構(gòu)成正三角形.

(1)求橢圓的方程；

(2)若過點(diǎn)(1,0)的直線/與橢圓交于不同兩點(diǎn)P、Q,試問在x軸上是否存在定點(diǎn)外m,0),

使豆?四恒為定值？若存在，求出E的坐標(biāo)及定值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

例3.(2024.重慶渝北.高二重慶市松樹橋中學(xué)校?？茧A段練習(xí))已知橢圓C的中心在坐標(biāo)

原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，其左、右焦點(diǎn)分別為耳，入，短軸長為2班.點(diǎn)尸在橢圓C上，且滿

足△尸月鳥的周長為6.

(I)求橢圓C的方程；

(II)過點(diǎn)(T，。)的直線/與橢圓C相交于A,8兩點(diǎn)，試問在x軸上是否存在一定點(diǎn)”,

使得祝?荻恒為定值？若存在，求出該點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

變式1.（2。24.全國?高三專題練習(xí)）已知橢圓C:：+…>。）的離心率為去橢

圓經(jīng)過點(diǎn)A

（1）求橢圓C的方程;

（2）過點(diǎn)（1,0）作直線/交C于兩點(diǎn)，試問：在x軸上是否存在一個(gè)定點(diǎn)尸，使

兩?兩為定值？若存在，求出這個(gè)定點(diǎn)尸的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

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變式2.（2024.遼寧錦州.統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知「工為雙曲線E:1-1=1（°>0*>0）的

ab

左、右焦點(diǎn)，E的離心率為石，“為E上一點(diǎn)，且圖一|〃制=2.

（1）求E的方程；

⑵設(shè)點(diǎn)M在坐標(biāo)軸上，直線/與E交于異于M的兩點(diǎn)，且點(diǎn)”在以線段A3為直徑的

圓上，過“作MC1.AB,垂足為C,是否存在點(diǎn)。，使得|CD|為定值？若存在，求出點(diǎn)

。的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

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變式3.（2024?山西大同?統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知橢圓0:0+2=1（4>6>0）的離心率為

ab

*且直線y=x+b是拋物線C2：y2=4x的一條切線.

⑴求橢圓G的方程；

⑵過點(diǎn)s（o,-￡|的動(dòng)直線力交橢圓G于A,8兩點(diǎn)，試問：在直角坐標(biāo)平面上是否存在一個(gè)

定點(diǎn)T,使得以A3為直徑的圓恒過定點(diǎn)T?若存在，求出T的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理

由.

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變式4.（2024?江蘇揚(yáng)州?統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知橢圓C:=+多=l（a>b>0）的左頂點(diǎn)為A,

過右焦點(diǎn)F且平行于y軸的弦PQ=AF=3.

⑴求△APQ的內(nèi)心坐標(biāo)；

⑵是否存在定點(diǎn)。，使過點(diǎn)。的直線/交C于M,N,交尸。于點(diǎn)R,且滿足

MRND=MD~RN^若存在，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由.

題型二：存在點(diǎn)使斜率之和或之積為定值

例4.（2024.山東泰安?統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知為。坐標(biāo)原點(diǎn)，

A（2,0）,B（0,l）,C（0,-l）,D（2,l）,OE=AOA,DF=ADA,Q<2<1,CE和BF交點(diǎn)為P.

⑴求點(diǎn)尸的軌跡G；

⑵直線y=x+皿加WO）和曲線G交與N兩點(diǎn)，試判斷是否存在定點(diǎn)。使左

如果存在，求出Q點(diǎn)坐標(biāo)，不存在請(qǐng)說明理由.

例5.（2024.重慶渝中.高三重慶巴蜀中學(xué)?？茧A段練習(xí)）己知點(diǎn)4（-2,0）,B（2,0）,

3

尸(x,y)是異于A，B的動(dòng)點(diǎn)，%,L分別是直線AP,阱的斜率，且滿足加?％=-：.

(1)求動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡方程；

⑵在線段A3上是否存在定點(diǎn)E,使得過點(diǎn)E的直線交P的軌跡于M,N兩點(diǎn)，且對(duì)直線

x=4上任意一點(diǎn)Q,都有直線QM,QE,QV的斜率成等差數(shù)列.若存在，求出定點(diǎn)E,

若不存在，請(qǐng)說明理由.

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例6.(2024?吉林?吉林省實(shí)驗(yàn)?？寄M預(yù)測)以雙曲線己方-弓=1(。>08>0)的右焦點(diǎn)產(chǎn)

ab

為圓心作圓，與C的一條漸近線相切于點(diǎn)。

(1)求C的方程.

(2)在x軸上是否存在定點(diǎn)過點(diǎn)M任意作一條不與坐標(biāo)軸垂直的直線/,當(dāng)/與C交于

兩點(diǎn)時(shí)，直線AF,8廳的斜率之和為定值？若存在，求出M點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，說

明理由.

變式5.(2024.湖北荊州?高二荊州中學(xué)?？茧A段練習(xí))已知圓C方程為

x2+y1-Smx-(6m+2)y+6m+\=0(meR,m^0),橢圓中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上.

(1)證明圓C恒過一定點(diǎn)M,并求此定點(diǎn)M的坐標(biāo)；

(2)判斷直線4x+3y-3=0與圓C的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

(3)當(dāng)〃z=2時(shí)，圓C與橢圓的左準(zhǔn)線相切，且橢圓過(1)中的點(diǎn)求此時(shí)橢圓方

程；在無軸上是否存在兩定點(diǎn)A,8使得對(duì)橢圓上任意一點(diǎn)。(異于長軸端點(diǎn))，直線

QA,Q8的斜率之積為定值？若存在，求出A,B坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

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變式6.（2024?河北.高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知橢圓C：，+2=1（°＞匕＞0）的左、右焦

點(diǎn)分別為《，居，焦距為2,實(shí)軸長為4.

（1）求橢圓C的方程；

（2）設(shè)過點(diǎn)耳不與x軸重合的直線/與橢圓C相交于E,。兩點(diǎn)，試問在x軸上是否存在

一個(gè)點(diǎn)使得直線ME,MD的斜率之積恒為定值？若存在，求出該定值及點(diǎn)〃的坐

標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

變式7.（2024.吉林長春?高三長春外國語學(xué)校?？奸_學(xué)考試）已知橢圓

C:^+方=1（。＞6＞0）的離心率為（，及、入分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，尸是橢圓上一

點(diǎn)，且△尸與居的周長是6.

（1）求橢圓C的方程；

（2）設(shè)直線/經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)入且與C交于不同的兩點(diǎn)N,試問：在x軸上是否

存在點(diǎn)。，使得直線。用與直線。N的斜率的和為定值？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)。的坐標(biāo)；若

不存在，請(qǐng)說明理由.

變式8.（2024.全國?高三專題練習(xí)）設(shè)橢圓C：\+E=Ka＞"＞。）的離心率是受，過點(diǎn)

aZ?2

P（0,l）的動(dòng)直線L于橢圓相交于A,B兩點(diǎn)，當(dāng)直線L平行于尤軸時(shí)，直線L被橢圓C截得

弦長為2后.

（I）求E的方程；

（ii）在y上是否存在與點(diǎn)p不同的定點(diǎn)Q,使得直線4。和2。的傾斜角互補(bǔ)？若存在,

求。的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

題型三：存在點(diǎn)使兩角度相等

例7.（2024?新疆阿勒泰?統(tǒng)考三模）已知橢圓G：二+9=1（。＞1）的左右焦點(diǎn)分別為

a

辱F2,A,B分別為橢圓G的上，下頂點(diǎn)，尸2到直線A耳的距離為右.

⑴求橢圓G的方程；

⑵直線尤=無。與橢圓G交于不同的兩點(diǎn)C,。，直線分別交X軸于P,Q兩點(diǎn).問：y

軸上是否存在點(diǎn)R,使得NORP+NORQ=]?若存在，求出點(diǎn)R的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明

理由.

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例8.（2024?全國?高三專題練習(xí)）已知橢圓C：5+W=l（a＞b＞。）經(jīng)過點(diǎn)A（-2,0）且兩個(gè)

焦點(diǎn)及短軸兩頂點(diǎn)圍成四邊形的面積為4.

（1）求橢圓C的方程和離心率；

（2）設(shè)尸，Q為橢圓c上不同的兩個(gè)點(diǎn)，直線謖與y軸交于點(diǎn)E,直線AQ與y軸交于點(diǎn)

F,且尸、0、。三點(diǎn)共線.其中。為坐標(biāo)原點(diǎn).問：x軸上是否存在點(diǎn)“，使得

=若存在，求點(diǎn)M的坐標(biāo)，若不存在，說明理由.

例9.（2024?四川綿陽.模擬預(yù)測）已知點(diǎn)A是圓C:（x-1）2+V=16上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)

產(chǎn)（-1,0）,線段AF的垂直平分線交AC于點(diǎn)P.

⑴求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E的方程；

⑵若過點(diǎn)G（3,0）且斜率不為。的直線/交（1）中軌跡￡于M、N兩點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，

點(diǎn)3（2,0）.問：龍軸上是否存在定點(diǎn)T,使得=恒成立.若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)T

的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由.

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變式9.（2024?陜西西安.陜西師大附中?？寄M預(yù)測）已知橢圓C:三+匕=l（a>0）經(jīng)過點(diǎn)

（-1，1）,過點(diǎn)T（G,。）的直線交該橢圓于P,。兩點(diǎn).

（1）求△OPQ面積的最大值，并求此時(shí)直線PQ的方程；

（2）若直線PQ與x軸不垂直，在x軸上是否存在點(diǎn)S（s,0）使得ZPST=NQST恒成立？若存

在，求出$的值；若不存在，說明理由.

變式10.（2024.四川成都.高三四川省成都市新都一中校聯(lián)考開學(xué)考試）已知橢圓

。：3+方=1（。>>>0）過點(diǎn),孝］,且上頂點(diǎn)與右頂點(diǎn)的距離為

⑴求橢圓C的方程；

⑵若過點(diǎn)尸（3,0）的直線/交橢圓C于A3兩點(diǎn)，X軸上是否存在點(diǎn)Q使得

NPQA+NPQB』，若存在，求出點(diǎn)。的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

變式U.（2024?河南信陽?高三信陽高中?？茧A段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系宜b中，動(dòng)點(diǎn)M

到點(diǎn)0（2,0）的距離等于點(diǎn)M到直線x=1距離的加倍，記動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為曲線C.

（1）求曲線C的方程；

（2）已知直線/：y=+r（此2）與曲線C交于4,8兩點(diǎn)，問曲線C上是否存在兩點(diǎn)P,。滿

足ZAPB=ZAQ8=90。，若存在，請(qǐng)求出兩點(diǎn)坐標(biāo)，不存在，請(qǐng)說明理由.

題型四：存在點(diǎn)使等式恒成立

例10.（2024?福建漳州?統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知R是圓M：（x+6y+V=8上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)

N（g,0）,直線NR與圓M的另一個(gè)交點(diǎn)為S,點(diǎn)L在直線MR上，MS//NL,動(dòng)點(diǎn)L的

軌跡為曲線C.

⑴求曲線C的方程；

⑵若過點(diǎn)P（-2,0）的直線/與曲線C相交于A,B兩點(diǎn)，且A,B都在x軸上方，問：在尤

軸上是否存在定點(diǎn)。，使得AQAB的內(nèi)心在一條定直線上?請(qǐng)你給出結(jié)論并證明.

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例11.（2024?全國?高三專題練習(xí)）已知橢圓「：5+左=1（。＞10）的左、右焦點(diǎn)分別為

ab

F、,F?過點(diǎn)8（0力）且與直線即垂直的直線交x軸負(fù)半軸于O,且2月后+M=G

（1）求橢圓「的離心率;

(2)若過8、D、工三點(diǎn)的圓恰好與直線/:x-&y-6=0相切，求橢圓「的方程;

(3)設(shè)a=2.過橢圓T右焦點(diǎn)B且不與坐標(biāo)軸垂直的直線/與橢圓「交于尸、。兩點(diǎn)，點(diǎn)M

是點(diǎn)尸關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，在x軸上是否存在一個(gè)定點(diǎn)N,使得M、Q、N三點(diǎn)共線？若

存在，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

例12.(2024.福建福州?福州三中?？寄M預(yù)測)如圖，雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)到漸近

線的距離為若，左、右頂點(diǎn)分別為A、B.曲線C是以雙曲線的實(shí)軸為長軸，虛軸為短

軸，且離心率為g的橢圓，設(shè)尸在第一象限且在雙曲線上，直線8尸交橢圓于點(diǎn)M,直線

AP與橢圓交于另一點(diǎn)N.

(1)求橢圓及雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵設(shè)MN與x軸交于點(diǎn)T,是否存在點(diǎn)P使得馬=4/(其中/，/為點(diǎn)P,T的橫坐標(biāo)),

若存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由.

變式12.(2024?福建福州?福州四中?？寄M預(yù)測)已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓

E：%r1的左頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)分別為"動(dòng)點(diǎn)尸滿足網(wǎng)—小斗記動(dòng)點(diǎn)尸的

軌跡為曲線C.

(1)求C的方程；

(2)設(shè)點(diǎn)。在E上，過Q作C的兩條切線，分別與y軸相交于M,N兩點(diǎn).是否存在點(diǎn)。，使

得|加郎等于E的短軸長？若存在，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

變式13.(2024?甘肅定西?統(tǒng)考模擬預(yù)測)己知點(diǎn)M到點(diǎn)尸的距離比它到直線/：

丁=-2的距離小記動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為E

(1)求E的方程;

⑵若過點(diǎn)下的直線交E于A(4%),州%,％)兩點(diǎn)，則在無軸的正半軸上是否存在點(diǎn)P，

使得B4,尸8分別交E于另外兩點(diǎn)C,D,且荏=3也？若存在，請(qǐng)求出尸點(diǎn)坐標(biāo)，若不

存在，請(qǐng)說明理由.

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變式14.(2024?北京海淀?中關(guān)村中學(xué)?？既?已知橢圓從「+2=13>6>())的焦距

ab

為2,長軸長為4.

(1)求橢圓E的方程及離心率；

⑵過點(diǎn)M(-3,0)且與x軸不重合的直線/與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)8、C,點(diǎn)8關(guān)于x軸的

對(duì)稱點(diǎn)為8'.問：平面內(nèi)是否存在定點(diǎn)尸，使得？恒在直線PC上？若存在，求出點(diǎn)尸的坐

標(biāo)；若不存在，說明理由.

題型五：存在點(diǎn)使線段關(guān)系式為定值

例13.(2024?全國?高三專題練習(xí))橢圓E經(jīng)過兩點(diǎn),曰］,［￥，￥］，過點(diǎn)尸的動(dòng)直線

/與橢圓相交于A,8兩點(diǎn).

⑴求橢圓E的方程；

(2)若橢圓E的右焦點(diǎn)是P,其右準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)。，直線AQ的斜率為左，直線3Q的斜

率為左2，求證：左+左2=。；

⑶設(shè)點(diǎn)尸億。)是橢圓E的長軸上某一點(diǎn)(不為長軸頂點(diǎn)及坐標(biāo)原點(diǎn))，是否存在與點(diǎn)尸不同

QAPA

的定點(diǎn)。，使得冷="丁恒成立？只需寫出點(diǎn)。的坐標(biāo)，無需證明.

例14.(2024.福建寧德??？寄M預(yù)測)己知雙曲線C與雙曲線舌一］=1有相同的漸近

線，且過點(diǎn)42夜,-1).

(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)己知點(diǎn)0(2,0),E,尸是雙曲線C上不同于。的兩點(diǎn)，且理.力聲=0，OGL瓦于點(diǎn)

G,證明:存在定點(diǎn)H,使|G"|為定值.

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例15.(2024?四川成都?高三?？茧A段練習(xí))已知橢圓C：亍+a=1(">6>0)的離心率為

過橢圓右焦點(diǎn)廠的直線/與橢圓交于48兩點(diǎn)，當(dāng)直線/與x軸垂直時(shí)，|AB|=3.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵當(dāng)直線/的斜率為H%w0)時(shí)，在X軸上是否存在一點(diǎn)尸(異于點(diǎn)尸)，使X軸上任意一

點(diǎn)到直線刑與到直線尸8的距離相等？若存在，求P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

變式15.（2024?陜西安康?陜西省安康中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知橢圓E的中心為坐標(biāo)原點(diǎn),

對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，且過點(diǎn)4（2,0）,21,.直線x=7（不經(jīng)過點(diǎn)B）與橢圓E交于M,N

兩點(diǎn)，。。,。），直線"Q與橢圓E交于另一點(diǎn)C,點(diǎn)尸滿足酬?祀=0,且P在直線NC

上.

⑴求E的方程;

（2）證明：直線NC過定點(diǎn)，且存在另一個(gè)定點(diǎn)R,使|尸用為定值.

變式16.（2024?湖南衡陽?高三衡陽市八中?？茧A段練習(xí)）已知雙曲線

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C:,-方=l（a>0,b>0）的右焦點(diǎn)，右頂點(diǎn)分別為尸，A,川02），W典=1,點(diǎn)加在線

段A3上，且滿足忸=直線ON的斜率為1,0為坐標(biāo)原點(diǎn).

⑴求雙曲線C的方程.

⑵過點(diǎn)廠的直線/與雙曲線C的右支相交于尸，。兩點(diǎn)，在x軸上是否存在與產(chǎn)不同的定

點(diǎn)E,使得但P|?|P。|=但0?|FPH'亙成立？若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理

由.

22

變式17.(2024?河北秦皇島?校聯(lián)考模擬預(yù)測)如圖，橢圓C:=+2=l(a>6>0)的左、