2025屆高中數學一輪復習專練：函數

函數

一、選擇題

1.設函數〃x)=log2[Ma-力]在(2,3)上單調遞減,則。的范圍是()

A.B.3<a<4C.3<a<4D.3<a<4

—x~~ctx—9,尤K1

2.已知函數/(x)=4在R上單調遞增,則實數a的取值范圍為()

—,x>l

A.[-5,0)B.(—oo,—2)C.[-5,-2]D.(-oo,0)

3.下列各組函數中，表示同一函數的是()

A./(x)=l,g(x)=2B./(X)=y/x-l-y/x+1,g(x)=yjx2-l

X

c.f(x)=X,g(x)=(Vx)2D./(x)=--,g(x)=x+l(x#1)

x-1

4.已知函數f(x)J：2I:"是奇函數，則/目=()

A/4-X2

A.--B.—C.2D.-2

33

-3

5.已知函數7?(x)=XG，x〉0,則〃〃_]))=()

x2+2,x<0,

A.-3B.3C.-2D.2

6.已知函數/⑴滿足和(I+2)=27(%),且當%?0,2]時,/(x)=—+2%-3,則

A.2B.4C.6D.8

7.已知函數〃x）=『：+3a，*“°在定義域R上是減函數,則實數。的取值可以為（）

[%-ax+l,x<0

A.lB.-C.lD.2

32

8.下列各組函數為同一函數的是（）

A.于(x)=E，g(x)=(G)2

B-/(x)=l，g(x)=%°

C/(x)=x，g(x)=^

D./(x)=x+l,g(x)=±_^l

X~1

二、多項選擇題

9.下列函數為奇函數的是()

A./(%)=/B.f(x)=x5C./(x)=x+-D,f^=-L

XX

10.設外力是定義在R上的奇函數，且“X)在(0,+8)上單調遞減，/(-7)=0,則

()

A./(%)在(-8,0)上單調遞減

B./(8)<0

C.不等式/(司>0的解集為(-8,-7)U(O,7)

D./(%)的圖象與x軸只有2個交點

11.下列各對函數中，圖像完全相同的是()

A.丁=^/^"與y=|x|B.y=———^與y=x+l

-x-1

C.y=二與y=x(xw0)D.y=A/X2-1與y=Jx-l.A/X+1

x

三、填空題

12.設/(x)是定義在R上的奇函數，當％<0時,〃x)=2f—x,則〃3)=.

13.若偶函數/⑴對任意都有/0+3)=-卷,且當％目-3,-2］時,/。)=4y則

“2024)=.

—X—］九<0

14.設函數/(%)='-，若則%的取值范圍是__________.

Jx,x>0

四、解答題

15.某公司銷售甲、乙兩種產品，根據市場調查和預測，甲產品的利潤y(萬元)與投

資額X(萬元)成正比，其關系如圖⑴所示；乙產品的利潤y(萬元)與投資額X(萬

元)的算術平方根成正比，其關系式如圖(2)所示，

(1)分別將甲、乙兩種產品的利潤表示為投資額的函數；

(2)若該公司投資a(a>0)萬元資金，并全部用于甲、乙兩種產品的營銷，問：怎樣分配

這。萬元投資，才能使公司獲得最大利潤？其最大利潤為多少？

16.已知函數/(x)=￡zZ_(qeR)是奇函數.

2X+1

⑴求實數。的值；

⑵用定義法證明函數/(x)在R上是減函數；

(3)若對于任意實數不等式f(產-同+/(I-)<0恒成立，求實數k的取值范圍.

17.已知函數=—(xe[l,+oo)).

(1)根據函數單調性的定義證明函數/(%)在區(qū)間[1,W)上單調遞減；

⑵若/(/)>/(2a+3),求實數a的取值范圍.

18.已知定義域為R的函數〃司=|^^是奇函數.

(1)求。力的值；

(2)用定義證明"％)在上為減函數；

(3)若對于任意/eR,不等式/(r―2/)+/(2/—女)<。恒成立，求上的取值范圍.

19.已知函數〃x)=>+1經過兩點.

bx+a\22)

⑴求函數/(%)的解析式；

(2)判斷函數/(%)在(0,1)上的單調性并用定義進行證明；

(3)若/(%)〈加對任意xe［；,g］恒成立，求實數m的取值范圍.

參考答案

1.答案：D

解析：由題意知x(a-x)>0在(2,3)上恒成立,且函數8(耳=可。-力在(2,3)上單調遞

減，

又因為g(力的圖象開口向下,對稱軸方程為x=|,

[￡<

由g(x)的圖象可知12—2，解得3WaW4.

方⑶一,

故選：D.

2.答案：C

—1之—(JX—9,%12

解析：因為函數/(%)=〃在R上單調遞增,所以〃<0,

—,x>l

屋-1-47---

I11

解得-5WaW-2,

故選：C.

3.答案：D

解析：A./(x)=l的定義域為R,g(x)=二的定義域為｛x|xwO｝,定義域不同；

B./(x)=Jx-1-Jx+1的定義域為｛*x』l｝,g(x)=6-1,的定義域為｛尤|x4-l或

x?l｝,定義域不同；

C"(x)=x的定義域為R,g(x)=(?)2的定義域為｛x|x>0｝，定義域不同；

尤2—1

D./(X)=-----=X+1的定義域為｛x\XH1｝,g(x)=x+l(xW1)的定義域為[x\Xw1｝定義

x-1

域和解析式都相同,是同一函數.

故選：D.

4.答案：A

解析：?.?函數/(%)=一一"是奇函數,；J(0)=0,即厚口=0,解得。=2,

V4-x2V4-0

-g

故選：A.

5.答案：D

解析：由題意可得/(T)=(-l)2+2=3,則/(/(-1))=/(3)=3-1=2.

6.答案：D

解析：由題意可得d|)=2“)=4/J)=4x(4+l-3)=8.

7.答案：A

解析：由題意可得—2>0，解得OWaw1L

,3

一0+3aW0~-ax0+1

故選項中A正確,B、C、D錯誤.

故選：A.

8.答案：C

解析：對于與g(x)=(4)2(x?O)的定義域不同,.,.不是同一函數;

對于B,/(九)=1(九cR)與g(x)=xO=l("O)的定義域不同，,不是同一函數；

對于C,/(%)=eR)與g(%)=正"eR)的定義域相同，對應關系也相同,.??是同一

函數；

21

對于D,/(x)=x+l(xeR)與g(%)=三二(xwl)的定義域不同，，不是同一函數.

故選：C.

9.答案：BC

解析：對于A,定乂域為R,因為/(一力=(一=/(%),

所以〃可=/為偶函數，所以A不符合題意，

對于B,定乂域為R,因為/(—尤)=(―=_尤5=_/(尤)，

所以/(力=%5為奇函數，所以B正確，

對于C定義域為{小#0},

xA

因為=-X+—+=-/(x)，

XX

所以7(x)=x+^為奇函數，所以C正確，

對于D,定義域為卜上0。｝,

因為〃-六鼻?二:二〃》)，

(一町x

所以/(x)=3為偶函數，

X

所以D不符合題意，

故選：BC

10.答案：ABC

解析：可作滿足題意的下圖(不唯一)，僅參考

對A：因為“力是定義在R上的奇函數，且〃尤)在(0,+8)上單調遞減，

由奇函數的性質有/(力在(-8,0)上單調遞減，故選項A正確；

對B：因為“力是定義在R上的奇函數，且“力在(0,轉)上單調遞減，/(-7)=0,

所以/⑺=-/(-7)=0，

所以/⑻<“7)=0，故選項B正確；

對C：由選項A與題意可得“可>0的解集為(―8,—7)U(0,7)，故選項C正確.

對D：由題意，/⑺=—/(—7)=0，又/(%)是定義在R上的奇函數，

所以"0)=0，

所以“司的圖象與X軸有3個交點，故選項D錯誤；

故選:ABC

11.答案：AC

解析：對于A.兩個函數是同一函數.故圖象完全相同.A正確；對于

r2-1

B,尸L^=x+l("l),兩個函數的定義域不同，不是同一函數,B錯誤；對于

x-1

C,y=土=%(%。0).兩個函數是同一函數，故圖象完全相同.C正確;對于D,y=&—1的

x

定義域為(-8,-i]U[L+?0,y=的定義域為[L+8),二者定義域不同,不是同

一函數，故D錯誤，

綜上.故選AC.

12.答案：—21

解析:因為當時,/(%)=2X2一x,

^^/(-3)=2X(-3)2-(-3)=21,

又因為/(x)是定義在R上的奇函數，

所以/⑶=—/(—3)=—21,

故答案為:―21

13.答案：—8

解析：因為小+3)=-所以/S+6)=—元匕=——V=/(%),

/⑴-痔

所以f(x)的周期為6，且為偶函數，即/(-%)=/(力，

當xe[-3,-2]時,/(x)=4x,/(2024)=/(337x6+2)=/(2)=/(-2)=-8?

故答案為:―8

14.答案：(ro,-2)U(l,+°°)

..,_,—f—X—1,X0

斛析：因為

[Vx,x>0

對于/(%)>1,分2種情況討論：

若"0,7(%)=-%-1>1,解可得/<-2,

若%=5y^">1,解可得%>i,

綜合可得：％0<-2或％0〉1,

故/的取值范圍是(Y0,-2川(1，+°°)；

故答案為：(YO,-2)U(1，+°0)-

15.答案：⑴g(x)=；?(x20)

(2)當時，乙產品投資5萬元，甲產品投資萬元，該公司可獲得最大

利潤，最大利潤為絲土竺萬元.

16

解析：(1)由題知，甲產品的利潤函數為/(x)=g*..O)

乙產品的利潤函數為g=my[x(x>0)-

由題知，函數/(九)經過d點(1.8,0.45)，有0.45=1.甌攵=；，

所以“X)=；x(x20)-

函數g(x)經過點(9,3.75)，有3.75=m眄,由左=(，

所以g(x)=>0).

⑵設乙產品的投資金額為x(0<xW。)萬元，則甲產的投資金額為3-尤)萬元.

所獲得總利潤為y萬元，則y=—Vx+—(a-x),(0<x<?)，

'44

令t=&，則x=/，y=3+%aT2)=函數圖象開口問上,

IA744^/444

5

對稱軸為/=——J,

2x—2

4

所以當。<7時'

當,=&,即x=a時，y有最大值;

當時，函數在10,口上遞增，

22J

在僅，血上遞減，當/=』，即％=竺時，y有最大值"±竺.

(2」2416

綜上得：當時，乙產品投資日萬元，甲產品投資、-5]萬元，該公司可獲得

最大利潤，最大利潤為加士竺萬元.

16

當血”3時，乙產品投資。萬元，甲產品不作投資，該公可可獲得最大利潤，最大利

2

潤為:后萬元：

當?〉工時，乙產品投資至萬元，印產品投資「一竺1萬元，該公司可獲得最大利

24I4)

潤，最大利潤為出士至萬元

16

16.答案：(1)。=1；

(2)證明見解析；

(3)左21或左4—3

解析：(1)由函數/(x)=1^；(aeR)是奇函數,可得：7(0)=0,

即：/(0)=\1=0,〃=1；

（2）由⑴得：—2，任取￡R,且不<%2,

2A'+1

12年1—2*2（2*-2演）

則/(七)一/(尤2)=

2』+12*+]—（2為+1）（2次+1），

Xj<x,2也一2為>0，即：/（%（）-/（X）=->---0--,--------------

212（2X1+1）（2"22+1）

/(%1)>/(x2)，即/(X)在R上是減函數;

(3)/(%)是奇函數,二不等式f(r-fo)+/(l-z)<0恒成立等價為

/(r-^)<-/(1-0=/a_1)恒成立，

/(%)在R上是減函數,二『一(4+i)/+i20恒成立，

設g⑺=/—(左+?+1,可得當AW0時,g⑺20恒成立，

可得（左+1）2—420,解得左21或ZW—3,

故左的取值范圍為：左或左W—3.

17.答案：（1）證明見答案

⑵[L3）

解析：⑴任取》1〉工221,

UJll\f()=._____X1=X/；+1--X?_(?-xja，-1)

人W八2萬石F石一(xf+i)(xf+i)-(%r+1)^+1)

因為％］>x231,貝!!(jcf+1)(x；+1)>0,%-石<0，xtx2-1>0,

則/(%；)-/(x2)<0,故f(x)在［1,+0°)上單調遞減.

⑵由⑴得,/(X)在［1,+co)上單調遞減，

a1>\a<-1或。>1

所以,42a+321，解得a2—1,

a1<2tz+3-1<?<3

所以iWa<3,即所求范圍是[1,3）.

18.答案：（l）a=l,6=1

⑵答案見解析

（n

（3）一0°，一1

解析：為R上的奇函數,

b-2°

0,可得6=1，

八°)2°+a

又〃-1)=-〃1),，

1-2-1=_匕解得。=1

2?+a2+a

1-2%

經檢驗當Q=1且6=1日寸,“X)

2'+1

滿足〃->三；="=-?。┦瞧婧瘮担?/p>

故a—l,b—1.

1-2