2025高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)必刷題：弦長問題（學(xué)生版）

第70講弦長問題

知識梳理

1、弦長公式的兩種形式

①若A,5是直線、=區(qū)+機(jī)與圓錐曲線的兩個交點(diǎn)，且由兩方程消去y后得到一元二

2

次方程px°+qx+r=0,則|PQ|=記也-x2|=yll+k■—.

②若A,3是直線*=〃9+〃與圓錐曲線的兩個交點(diǎn)，且由兩方程消去x后得到一元二

必考題型全歸納

題型一：弦長問題

例1.（2024?陜西西安.西安市大明宮中學(xué)校考模擬預(yù)測）己知直線/與圓0:/+/=1相

切，且交橢圓C:3+q=l于4（/乂）乃（尤2，%）兩點(diǎn)，若%%=-微，貝力40=

2兀

例2.（2024?全國?高三對口高考）已知橢圓一r+「=1,過左焦點(diǎn)尸作傾斜角為二的直線交

96

橢圓于A、8兩點(diǎn)，則弦AB的長為.

22

例3.（2024?全國?高三專題練習(xí)）已知橢圓C:=+2=1（。＞人＞0）,C的上頂點(diǎn)為A,兩

ab

個焦點(diǎn)為片，F(xiàn)2,離心率為3.過耳且垂直于A居的直線與C交于D,E兩點(diǎn)，VADE的

周長是13,則回國=—.

變式1.（2024.全國?高三專題練習(xí)）已知雙曲線C：--y2=l,若直線/的傾斜角為

3

60°,且與雙曲線C的右支交于N兩點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)P,若|MN卜孝，則點(diǎn)尸的坐

標(biāo)為

變式2.（2024?貴州?統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知雙曲線C：Y—g?=i（機(jī)＞o）的左、右焦點(diǎn)分別為

F\,B，點(diǎn)A,5分別在雙曲線C的左支與右支上，且點(diǎn)A,B與點(diǎn)居共線，若

忸胤=2:2:3,貝.

變式3.(2024?四川巴中?高三統(tǒng)考開學(xué)考試)拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：過焦點(diǎn)的光線經(jīng)拋

物線反射后得到的光線平行于拋物線的對稱軸；反之，平行于拋物線對稱軸的入射光線經(jīng)

拋物線反射后必過拋物線的焦點(diǎn).已知拋物線V=4x的焦點(diǎn)為廠，一條平行于x軸的光線

從點(diǎn)4(5,4)射出，經(jīng)過拋物線上的點(diǎn)8反射后，再經(jīng)拋物線上的另一點(diǎn)C射出，則

忸___________..

變式4.(2024?河南鄭州?高三鄭州外國語學(xué)校?？茧A段練習(xí))已知拋物線/=8x的焦點(diǎn)為

F,準(zhǔn)線與*軸的交點(diǎn)為C,過點(diǎn)C的直線/與拋物線交于A,8兩點(diǎn)，若

ZAFB=ZCFB,貝“A尸1=.

變式5.(2024?新疆喀什??？寄M預(yù)測)已知雙曲線C兩條準(zhǔn)線之間的距離為1,離心率

為2,直線/經(jīng)過C的右焦點(diǎn)，且與C相交于A、8兩點(diǎn).

(1)求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若直線/與該雙曲線的漸近線垂直，求的長度.

變式6.(2024.湖南邵陽.高三湖南省邵東市第三中學(xué)校考階段練習(xí))已知拋物線

V=2Px(p>0)的準(zhǔn)線方程是尤=.

(1)求拋物線的方程；

⑵設(shè)直線、=依彳-2)(人0)與拋物線相交于/,N兩點(diǎn)，^\MN\=2s/10,求實(shí)數(shù)4的值.

題型二：長度和問題

22

例4.（2024.寧夏銀川?銀川一中校考一模）如圖所示，由半橢圓G：.+方=1”0）和兩

個半圓G：（x+l『+y2=l（y20）、C3：（xT『+V=1（、20）組成曲線C:"x,y）=0,其中

點(diǎn)A，&依次為G的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)8為C1的下頂點(diǎn)，點(diǎn)不與依次為C1的左、右焦點(diǎn).若

點(diǎn)月，月分別為曲線C2,C3的圓心.

⑴求G的方程；

⑵若過點(diǎn)K,F2作兩條平行線分別與CPC2和C?C3交與M,N和P,。，求|MN|的

最小值.

例5.（2024?河南安陽?安陽一中校聯(lián)考模擬預(yù)測）定義：一般地，當(dāng)彳>0且2x1時，我們

2222

把方程一=4（?！地啊?）表示的橢圓Ci稱為橢圓一^+/"=1（〃>Z?>0）的相似橢圓.已

知橢圓C:土+y2=l,橢圓C/（4>0且入片1）是橢圓C的相似橢圓，點(diǎn)P為橢圓C/上異

4

于其左、右頂點(diǎn)",N的任意一點(diǎn).

⑴當(dāng)4=2時，若與橢圓C有且只有一個公共點(diǎn)的直線。4恰好相交于點(diǎn)尸，直線4,4的

斜率分別為左，耳，求女網(wǎng)的值;

⑵當(dāng)4=e2（e為橢圓C的離心率）時，設(shè)直線PY0與橢圓C交于點(diǎn)43,直線PN與橢圓

C交于點(diǎn)D,E,求|A@+|DE|的值.

22

例6.(2024?江西九江?統(tǒng)考一模)如圖，已知橢圓0邑+與=l(a>b>0)的左右焦點(diǎn)分

ab

別為耳，尸2,點(diǎn)A為G上的一個動點(diǎn)(非左右頂點(diǎn))，連接A4并延長交G于點(diǎn)B,且

△AB月的周長為8,AAK居面積的最大值為2.

⑴求橢圓C］的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵若橢圓C2的長軸端點(diǎn)為片,心，且C?與G的離心率相等，尸為A3與C之異于《的交點(diǎn),

直線P8交G于M，N兩點(diǎn)，證明：IABI+IAWI為定值.

丫2?1

變式7.(2024.全國.高三專題練習(xí))已知橢圓，+斗=l(a>b>0)的離心率為且點(diǎn)

ab/

(1)求橢圓的方程;

(2)過橢圓右焦點(diǎn)尸2作兩條互相垂直的弦A8與CD,求|AB|+|CD|的取值范圍.

題型三：長度差問題

例7.（2024?浙江?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知拋物線C：V=2px經(jīng)過點(diǎn)直線

（：y=h+優(yōu)0—0）與C交于A,B兩點(diǎn)（異于坐標(biāo)原點(diǎn)0）.

（1）若。4?。8=0,證明：直線4過定點(diǎn).

（2）已知％=2,直線4在直線4的右側(cè)，〃〃2，4與4之間的距離1=如，4交C于/,N

兩點(diǎn)，試問是否存在機(jī)，使得|4〃V|-|AB|=10?若存在，求加的值；若不存在，說明理

由.

例8.（2024?云南保山.高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知拋物線C|：V=4x的焦點(diǎn)為橢圓c?：

22

二+1=1（〃＞。＞0）的右焦點(diǎn)F,點(diǎn)尸為拋物線C1與橢圓C?在第一象限的交點(diǎn)，且

ab

I”.

⑴求橢圓C2的方程；

⑵若直線/過點(diǎn)F交拋物線G于A，c兩點(diǎn)，交橢圓c?于8,。兩點(diǎn)（A,B,C,。依次

排序），且|AC|-忸。|=五，求直線/的方程.

題型四：長度商問題

例9.（2024?重慶?校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知雙曲線C：W-《=l（a＞0,10）的離心率是出，點(diǎn)

ab

廠是雙曲線C的一個焦點(diǎn)，且點(diǎn)F到雙曲線C的一條漸近線的距離是2.

(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程.

⑵設(shè)點(diǎn)M在直線V上，過點(diǎn)M作兩條直線//,直線4與雙曲線C交于兩點(diǎn)‘直

MAME

線與雙曲線交于。兩點(diǎn).若直線與直線的傾斜角互補(bǔ)，證明:

4cEABDE~MD~MB

例10.(2024.全國?高三專題練習(xí))已知圓A：(x+2)2+y2=9,圓B：(x-2)2+y2=l,

圓C與圓A、圓3外切，

⑴求圓心C的軌跡方程E；

⑵若過點(diǎn)3且斜率％的直線與E交與M、N兩點(diǎn)，線段的垂直平分線交x軸與點(diǎn)p,

證明\扁MN的\值是定值.

例11.(2024.全國?高三專題練習(xí))已知雙曲線-訝=l(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)為

網(wǎng)后0),過點(diǎn)尸與x軸垂直的直線4與雙曲線C交于跖N兩點(diǎn)，B.\MN\=4.

(1)求C的方程；

⑵過點(diǎn)人(0,-1)的直線6與雙曲線C的左、右兩支分別交于D,E兩點(diǎn)，與雙曲線C的兩條

漸近線分別交于G,”兩點(diǎn)，若求實(shí)數(shù)4的取值范圍.

變式8.（2024?全國?高三專題練習(xí)）已知雙曲線C的漸近線方程為y=±JL,右焦點(diǎn)

產(chǎn)9,0）到漸近線的距離為旨.

（1）求雙曲線C的方程;

（2）過P作斜率為左的直線/交雙曲線于A、B兩點(diǎn)，線段AB的中垂線交x軸于。，求

證：|FO|為正值，

22

變式9.（2024?河南鄭州?鄭州外國語學(xué)校?？寄M預(yù)測）已知橢圓C:[=l（a>b>0）

ab

的左、右焦點(diǎn)分別為月,B，且寓閶=4.過右焦點(diǎn)尸2的直線/與c交于48兩點(diǎn)，AM的

周長為8c.

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過原點(diǎn)。作一條垂直于/的直線小4交c于P,。兩點(diǎn)，求剪的取值范圍.

22

變式10.（2024?陜西?統(tǒng)考一模）在橢圓C：下方=1（a>6>0）,c=2,過點(diǎn)（0,6）與

（。,0）的直線的斜率為

⑴求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)尸為橢圓C的右焦點(diǎn)，尸為直線x=3上任意一點(diǎn)，過尸作尸尸的垂線交橢圓C于

\MN\

N兩點(diǎn)，當(dāng)/取最大值時，求直線MN的方程.

變式IL（2024.廣東佛山.華南師大附中南海實(shí)驗(yàn)高中?？寄M預(yù)測）在橢圓

C：W+q=l（a>6>0））中，c=2,過點(diǎn)（0,6）與（4,0）的直線的斜率為一逅.

ab3

（1）求橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵設(shè)廠為橢圓C的右焦點(diǎn)，P為直線x=3上任意一點(diǎn)，過尸作PF的垂線交橢圓C于

M,N兩點(diǎn),求黑的最大值.

I產(chǎn)"

變式12.（2024.安徽?高三安徽省馬鞍山市第二十二中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）平面直角坐標(biāo)系

xOy中，尸為動點(diǎn)，24與直線X=6y垂直，垂足A位于第一象限，P3與直線x=

垂直，垂足5位于第四象限，NAP3>90。且|AP|忸P|=],記動點(diǎn)尸的軌跡為C.

（1）求C的方程；

（2）已知點(diǎn)M（-2,0）,N（2,0）,設(shè)點(diǎn)T與點(diǎn)尸關(guān)于原點(diǎn)。對稱，/M7N的角平分線為直線

I,過點(diǎn)P作/的垂線，垂足為H,交C于另一點(diǎn)Q,求居的最大值.

變式13.（2024?四川南充.高三四川省南充高級中學(xué)校考階段練習(xí)）己知耳，居為橢圓

22

CJ+j=l（a>6>0）的兩個焦點(diǎn).且寓閶=4,P為橢圓上一點(diǎn)，附|+附|=2后

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵過右焦點(diǎn)F2的直線/交橢圓于A3兩點(diǎn)，若A3的中點(diǎn)為M，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線交

AB

直線X=3于點(diǎn)N.求扁\的\最大值.

變式14.(2024?海南海口?高三統(tǒng)考期中)設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)M,N在拋物線C:/=4y

上，且OM-ON=-4.

⑴證明：直線過定點(diǎn)；

\MN\

(2)設(shè)C在點(diǎn)M,N處的切線相交于點(diǎn)P,求裾■的取值范圍.

變式15.(2024?四川綿陽.統(tǒng)考三模)過點(diǎn)4(2,0)的直線/與拋物線C:y2=2px(p>0)交于

點(diǎn)、M,N在第一象限)，且當(dāng)直線/的傾斜角為:時，|MN|=3人.

(1)求拋物線的方程；

(2)若3(3,0),延長"8交拋物線C于點(diǎn)尸，延長PN交x軸于點(diǎn)Q,求耨的值.

變式16.(2024?全國?高三專題練習(xí))已知拋物線C：犬=2刀(夕>0)上的點(diǎn)(2,%)到其焦

點(diǎn)尸的距離為2.

(1)求拋物線C的方程；

⑵已知點(diǎn)。在直線/：丫=-3上，過點(diǎn)。作拋物線C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A,B,直線

A8與直線/交于點(diǎn)過拋物線C的焦點(diǎn)F作直線的垂線交直線/于點(diǎn)M當(dāng)也W|最

變式17.(2024.廣東揭陽?高三?？茧A段練習(xí))已知拋物線￡：丁=2/(2>0)的焦點(diǎn)為R

點(diǎn)/關(guān)于直線y=]%+(的對稱點(diǎn)恰好在y軸上.

(1)求拋物線E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵直線/：y=M尤-2)(人句與拋物線E交于A,8兩點(diǎn)，線段的垂直平分線與x軸交

于點(diǎn)C,若。(6,0),求而的最大值.

變式18.(2024?四川內(nèi)江.高三四川省內(nèi)江市第六中學(xué)?？茧A段練習(xí))已知橢圓與拋物線

丁=2px(p>0)有一個相同的焦點(diǎn)區(qū)(1,0),橢圓的長軸長為2P.

(1)求橢圓與拋物線的方程;

(2*為拋物線上一點(diǎn)，耳為橢圓的左焦點(diǎn)，直線尸瓦交橢圓于A,8兩點(diǎn)，直線尸鳥與拋物

\AB\

線交于P,Q兩點(diǎn)，求，j的最大值.

題型五：長度積問題

例12.(2024.山東.高三校聯(lián)考階段練習(xí))已知拋物線C:/=2處(p>0),尸為C的焦點(diǎn)，

過點(diǎn)尸的直線/與c交于反，/兩點(diǎn)，且在H,/兩點(diǎn)處的切線交于點(diǎn)T,當(dāng)/與y軸垂直

時，|m1=4.

(1)求C的方程；

(2)證明：|77|?|切|=|FT『.

例13.(2024?浙江??？寄M預(yù)測)已知拋物線：y2=2px(p>0),過其焦點(diǎn)廠的直線與拋

物線交于A、B兩點(diǎn)，與橢圓/+丁=1(。>1)交于C、。兩點(diǎn)，其中。4.02=-3.

(1)求拋物線方程;

(2)是否存在直線AB,使得是|胡|與|/詞的等比中項(xiàng)，若存在，請求出A8的方程及

。；若不存在，請說明理由.

例14.（2024?全國.高三專題練習(xí)）已知橢圓￡:二+當(dāng)=l（a>6>0）的離心率為I，且直

ab2

線4：=1被橢圓G截得的弦長為不.

ab

⑴求橢圓G的方程；

⑵以橢圓G的長軸為直徑作圓C?,過直線yy=4上的動點(diǎn)M作圓C2的兩條切線，設(shè)切點(diǎn)

為4,8,若直線Afi與橢圓G交于不同的兩點(diǎn)C,D,求的取值范圍.

22

變式19.（2024?全國?高三專題練習(xí)）已知橢圓C：?+2=l（a>0）的左、右焦點(diǎn)分別為

CL8

K，F(xiàn)2,尸為C上一點(diǎn)，且當(dāng)P與，X軸時，|P^|=y.

（1）求c的方程；

（2）設(shè)C在點(diǎn)尸處的切線交J軸于點(diǎn)。,證明：\PF\-\QF^=\PF^-\QF\.

丫2v21

變式20.（2024?全國?模擬預(yù)測）已知橢圓C：》+會=1（〃〉6>0）的離心率為（過點(diǎn)

P（l,0）作X軸的垂線，與C交于A,8兩點(diǎn)，且|4用=絲1.

a

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵若直線4與橢圓C交于。，E兩點(diǎn),直線4與橢圓c交于M,N兩點(diǎn)，且4，

4交于點(diǎn)P，求的取值范圍.

22

變式21.（2024?湖南岳陽?高三?？茧A段練習(xí)）已知橢圓C:1+與=1（。>6>0）經(jīng)過點(diǎn)

ab

尸卜，寺],左，右焦點(diǎn)分別為％F],0為坐標(biāo)原點(diǎn)，且怛用+儼用=4.

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵設(shè)A為橢圓C的右頂點(diǎn)，直線,與橢圓C相交于M,N兩點(diǎn),以為直徑的圓過點(diǎn)

A,求的最大值.

22

變式22.（2024.廣東.高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知橢圓<?9+/=1（°>6>0）的焦距為2,

且經(jīng)過點(diǎn)尸[I].

⑴求橢圓c的方程；

⑵經(jīng)過橢圓右焦點(diǎn)尸且斜率為左化中。）的動直線/與橢圓交于A、6兩點(diǎn)，試問尤軸上是否

存在異于點(diǎn)尸的定點(diǎn)T，使?忸7|=忸4|AT|恒成立？若存在，求出T點(diǎn)坐標(biāo)，若不存

在，說明理由.

題型六：長度的范圍與最值問題

例15.（2024?全國?高三專題練習(xí)）已知拋物線G：V=4尤的焦點(diǎn)廠也是橢圓

G：4+4=i（?>^>0）的一個焦點(diǎn)，G與Q的公共弦長為境.

ab3

⑴求橢圓C?的方程;

（2）過橢圓G的右焦點(diǎn)口作斜率為左（左HO）的直線/與橢圓C?相交于A,8兩點(diǎn)，線段A8的

中點(diǎn)為尸，過點(diǎn)尸作垂直于A3的直線交x軸于點(diǎn)。，試求陽的取值范圍.

\AB\

22

例16.（2024.黑龍江佳木斯.高三?？奸_學(xué)考試）已知橢圓G：++當(dāng)=l（a>6>0）的兩個

焦點(diǎn)6，F(xiàn)2,動點(diǎn)尸在橢圓上，且使得/可尸用=90。的點(diǎn)尸恰有兩個，動點(diǎn)尸到焦點(diǎn)月的

距離的最大值為2+0.

⑴求橢圓G的方程；

⑵如圖，以橢圓G的長軸為直徑作圓C2,過直線％=-2行上的動點(diǎn)T作圓C2的兩條切

線，設(shè)切點(diǎn)分別為A,B,若直線與橢圓C］交于不同的兩點(diǎn)C,D,求弦ICDI長的取

值范圍.

例17.（2024?陜西咸陽??？既＃┮阎p曲線C:與-==1（。>0力>0）的離心率為0,

ab

過雙曲線C的右焦點(diǎn)F且垂直于X軸的直線I與雙曲線交于A,B兩點(diǎn)，且|AS1=2.

⑴求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵若直線a：y=履-1與雙曲線c的左、右兩支分別交于P,。兩點(diǎn)，與雙曲線的漸近線分

別交于兩點(diǎn)，求繇^的取值范圍.

變式23.(2024?湖南長沙?高三湖南師大附中校考階段練習(xí))設(shè)橢圓

222

E:1+%=l(a>b>0)的左右焦點(diǎn)《，B分別是雙曲線亍-;/=1的左右頂點(diǎn)，且橢圓的

右頂點(diǎn)到雙曲線的漸近線的距離為2叵.

5

⑴求橢圓E的方程；

(2)是否存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點(diǎn)且

OALQB?若存在，寫出該圓的方程，并求的取值范圍，若不存在，說明理由.

22

變式24.(2024.安徽滁州.安徽省定遠(yuǎn)中學(xué)?？寄M預(yù)測)已知橢圓C:=+與=l(a>b>0)

ab

的左、右焦點(diǎn)分別為月,居，離心率為正，過左焦點(diǎn)4的直線/與橢圓C交于4,8兩點(diǎn)

2

(4,8不在x軸上)，ZXAB巴的周長為8行.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

IOPI2

⑵若點(diǎn)尸在橢圓C上，且8,AB（。為坐標(biāo)原點(diǎn)），求三十的取值范圍.

\AB\

變式25.（2024?全國?高三專題練習(xí)）已知橢圓E:1+/=1,>6>0）的離心率為等，焦

距為2,過E的左焦點(diǎn)尸的直線,與E相交于A、8兩點(diǎn)，與直線x=-2相交于點(diǎn)

⑴若M（-2,-1）,求證：|阿?忸同=|乂4|”|；

⑵過點(diǎn)/作直線/的垂線〃7與E相交于C、。兩點(diǎn)，與直線x=-2相交于點(diǎn)N.求

1111

商+畫+西+網(wǎng)的最大值?

變式26.（2024?全國?高三專題練習(xí)）如圖，已知橢圓口：工+工=1的兩個焦點(diǎn)為月，

84

F2,且耳，F(xiàn)2的雙曲線一的頂點(diǎn)，雙曲線上的一條漸近線方程為>=-%設(shè)尸為該雙曲

線口上異于頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，直線P月，尸工的斜率分別為K，k2,且直線尸耳和尸工與

橢圓口的交點(diǎn)分別為A,B和C,D.

（1）求雙曲線上的標(biāo)準(zhǔn)方程;

（2）證明：直線尸招，尸工的斜率之積發(fā)?心為定值;

AB

(3)求五的取值范圍.

變式27.(2024?江蘇南京??？级?在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)尸到點(diǎn)尸(①,0)的距離

與到直線x=2后的距離之比為日.

⑴求點(diǎn)P的軌跡C的方程；

⑵過點(diǎn)(0,1)且斜率為彳;WkV2)的直線/與C交于A,8兩點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)線段

AB的垂直平分線與x軸交于點(diǎn)N,求^^的取值范圍.

變式28.(2024.江蘇南通?統(tǒng)考模擬預(yù)測)已知橢圓G：］+V=l的左、右頂點(diǎn)是雙曲線

Q：^-4=Ka>0,。>0)的頂點(diǎn)，G的焦點(diǎn)到C?的漸近線的距離為3.直線/：y=kx+t

a1b23

與C2相交于A,B兩點(diǎn),OAOB=-3.

(1)求證：8/+產(chǎn)=1

(2)若直線/與G相交于P,。兩點(diǎn)，求|尸0的取值范圍.

變式29.(2024.廣東深圳.高三校聯(lián)考期中)已知點(diǎn)Af(x,y)在運(yùn)動過程中，總滿足關(guān)系

式:J（無―6）+尸+J（X+⑹+y2=4.

⑴點(diǎn)/的軌跡是什么曲線？寫出它的方程；

⑵設(shè)圓O：x2+y2=l,直線/:、=履+，”與圓。相切且與點(diǎn)/的軌跡交于不同兩點(diǎn)

當(dāng)4=0408且六時，求弦長|A4的取值范圍.

22

變式30.（2024?四川遂寧.統(tǒng)考三模）已知橢圓Cilyf京=1（。＞6＞。）的左、右頂點(diǎn)為

A，4,點(diǎn)G是橢圓C的上頂點(diǎn)，直線4G與圓x2+y2=g相切，且橢圓c的離心率為專

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵若點(diǎn)。在橢圓C上，過左焦點(diǎn)月的直線/與橢圓C交于A8兩點(diǎn)（AB不在x軸上）且

2后WM

OQ-AB=0,（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求的取值范圍.

1。?！?/p>

22

變式31.（2024.江西宜春校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知橢圓C:1r+%=1（。＞。＞0）過點(diǎn)

（0,73）,且離心率為

⑴求橢圓C的方程；

⑵過點(diǎn)P（-l,l）且互相垂直的直線4,4分別交橢圓C于M,N兩點(diǎn)及s,T兩點(diǎn).求爵款

的取值范圍.

變式32.(2024?重慶渝中?高三重慶巴蜀中學(xué)?？茧A段練習(xí))在平面直角坐標(biāo)系xQy中，動

點(diǎn)M(x,y)到定點(diǎn)F(V2,0)的距離與動點(diǎn)M(x,y)到定直線：x=20的距離的比值為變，

2

記動點(diǎn)M的軌跡為曲線C.

⑴求曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程.

⑵若動直線/與曲線C相交于A,2兩點(diǎn)，且。(。為坐標(biāo)原點(diǎn))，求弦長IA例的取

值范圍.

變式33.(2024?湖北?校聯(lián)考模擬預(yù)測)已知橢圓石：提+，=1(4>6>0)過點(diǎn)｛1,日］

⑴若橢圓￡的離心率，求6的取值范圍；

(2)已知橢圓￡的離心率e=Y3,M,N為橢圓E上不同兩點(diǎn)，若經(jīng)過M,N兩點(diǎn)的直線與

2

圓丁+/=廿相切，求線段的最大值.

變式34.(2024?黑龍江哈爾濱?高三哈師大附中?？计谀?已知橢圓

22

E:1+%=l(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為K(TO)、耳(1,0),點(diǎn)P在橢圓E上，

PF"F2,且歸凰=3怛閭.

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵直線/：x="?+l(機(jī)eR)與橢圓E相交于A,2兩點(diǎn)，與圓尤?+)/=2相交于。，。兩

點(diǎn)，求的取值范圍.

22

變式35.（2024?全國.高三專題練習(xí)）已知橢圓C：=+二=1（a＞萬＞0）的短軸長為

ab

4,離心率為或.點(diǎn)尸為圓M：Y+y2=i6上任意一點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn).

3

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）記線段。尸與橢圓C交點(diǎn)為。，求|尸0的取值范圍.

題型七：長度的定值問題

例18.（2024?遼寧沈陽?高三沈陽二中?？茧A段練習(xí)）如圖，已知橢圓G：；+y2=i,C,

的左右焦點(diǎn)可，工是雙曲線Q的左右頂點(diǎn)，C?的離心率為0.點(diǎn)E在C,上（異于耳,工兩

點(diǎn)），過點(diǎn)E和用月分別作直線交橢圓G于RG和M,N點(diǎn).

（1）求證：勺G.KMN為定值；

11

⑵求證：西+西為定值?

例19.（2024.北京順義.高三牛欄山一中?？计谥校E圓「上+y2=i.

4

⑴點(diǎn)C是橢圓「上任意一點(diǎn)，求點(diǎn)C與點(diǎn)。（0,2）兩點(diǎn)之間距離d的最大值和最小值；

（2）A和8分別為橢圓r的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn).p為橢圓「上第三象限點(diǎn).直線BI與y軸交于

點(diǎn)直線PB與X軸交于點(diǎn)N.求［蹴］+［募］

例20.（2024?吉林松原?高三前郭爾羅斯縣第五中學(xué)校考期末）已知橢圓C的右焦點(diǎn)與拋物

線E：丁=8》的焦點(diǎn)B重合，且橢圓C的離心率為g.

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.

⑵過點(diǎn)F的直線/交橢圓C于N兩點(diǎn)，交拋物線E于P,。兩點(diǎn)，是否存在實(shí)數(shù)幾，

22

使得網(wǎng)一網(wǎng)為定值？若存在，求出這個定值和力的值；若不存在，說明理由.

變式36.（2024?河南?校聯(lián)考模擬預(yù)測）己知拋物線氏9=2加（°>0）的焦點(diǎn)關(guān)于其準(zhǔn)線

22

的對稱點(diǎn)為P（-3,0）,橢圓C：二+與=1（。>6>0）的左，右焦點(diǎn)分別是月，F(xiàn)2,且與E

ab

有一個共同的焦點(diǎn)，線段P片的中點(diǎn)是c的左頂點(diǎn).過點(diǎn)片的直線/交C于A,8兩點(diǎn)，且

線段AB的垂直平分線交x軸于點(diǎn)M.

⑴求C的方程；

（2）證明:M=i

\AB\

22

變式37.(2024.天津紅橋.統(tǒng)考一模)設(shè)橢圓C:二+當(dāng)=1(。>匕>0)的左、右焦點(diǎn)分別為

ab

耳、F2,離心率e=g,長軸為4,且過橢圓右焦點(diǎn)F?的直線/與橢圓C交于“、N兩點(diǎn).

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵若OM-ON=-2,其中。為坐標(biāo)原點(diǎn)，求直線/的斜率；

⑶若A3是橢圓C經(jīng)過原點(diǎn)0的弦，豆MNHAB,判斷黑是否為定值？若是定值，請

求出，若不是定值，請說明理由.

變式38.(2024?全國?高三專題練習(xí))如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線

丫=也彳與橢圓C:=+￡=l(a>b>0)交于尸，。兩點(diǎn)(P在x軸上方)，且尸。=?。，設(shè)

點(diǎn)P在X軸上的射影為點(diǎn)N,VPQN的面積為平，拋物線￡:產(chǎn)=2°工(°>0)的焦點(diǎn)與橢

圓C的焦點(diǎn)重合，斜率為人的直線/過拋物線E的焦點(diǎn)與橢圓C交于A,8兩，點(diǎn)，與拋物線

E交于C,D兩點(diǎn).

⑴求橢圓C及拋物線E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)是否存在常數(shù)幾，使正+4-為常數(shù)？若存在，求2的值；若不存在，說明理由.

\AB\\CD\

22

變式39.（2024?河南?校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知雙曲線C:十三=1（。>0）的左、右焦點(diǎn)分別

為月，F(xiàn)?.過F?的直線/交C的右支于M,N兩點(diǎn)，當(dāng)/垂直于x軸時，M,N到C的一條

漸近線的距離之和為2&.

⑴求C的方程；

⑵證明：因圖為定直

變式40.（2024.安徽淮北.統(tǒng)考二模）已知拋物線G：y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)和橢圓C2：

22

=+3=l（a>6>0）的右焦點(diǎn)尸重合，過點(diǎn)尸任意作直線,分別交拋物線G于交

ab

橢圓C,于尸,Q.當(dāng)/垂直于x軸時|ACV|=4,|P@=3.

⑴求G和C2的方程；

1m

⑵是否存在常數(shù)7”，使河+西為定值？若存在，求出7〃的值；若不存在，請說明理

由.

22

變式41.（2024?全國?高三專題練習(xí)）已知橢圓C:=+々=1（。>6>0）的左右焦點(diǎn)分別為

ab

耳，鳥，山區(qū)|=2,連接橢圓C的四個頂點(diǎn)所成的四邊形的周長為4近.

（1）求橢圓C的方程和離心率；

⑵已知過點(diǎn)K的直線4與橢圓交于P,Q兩點(diǎn)，過點(diǎn)F2且與直線/,垂直的直線12與橢圓交于

MN兩點(diǎn)，求\P汨Q\+/\M的N\值.

22

變式42.（2024?北京順義?高三北京市順義區(qū)第一中學(xué)?？计谥校┮阎獧E圓C：=+1=1

ab

（a>b>0）的長軸長為4,且離心率為g.

（1）求橢圓C的方程；

（2）設(shè)過點(diǎn)尸（1,0）且斜率為左的直線/與橢圓C交于48兩點(diǎn)，線段的垂直平分線交x

AB

軸于點(diǎn)D求證：—為定值.

DF

22

變式43.（2024?天津河北?高三統(tǒng)考期末）已知橢圓。:￡+卓=1點(diǎn)3（0,0）,且離心率

e=g,尸為橢圓C的左焦點(diǎn).

⑴求橢圓C的方程；

⑵設(shè)點(diǎn)7（-3,根），過點(diǎn)尸的直線/交橢圓C于P,。兩點(diǎn)，TF11,連接OT與P。交于點(diǎn)

H.

①若吁庭,求|尸。|;

②求f的值.

22

變式44.（2024?全國?高三專題練習(xí)）已知橢圓E：=+與焦距為2c,

ab

￡=正，左、右焦點(diǎn)分別為耳，F(xiàn)2.在橢圓E上任取一點(diǎn)尸，△片尸居的周長為

a2

4（拒+