2025屆昆明市五華區(qū)高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期中考試卷（附答案解析）

2025屆昆明市五華區(qū)高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期中考試卷

本卷滿分150分，考試時間120分鐘2024.10

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中.只有一項是符合題目要

求的.

1.設(shè)復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為Z（x，V）,若匕―1|=1,則（）

A.（x-1）2+y2=1B.（x+1）2+y2=1C.x2+（y-l）2=1D.x2+（y+1）2=1

—?—?—?—>1—?I—?—?I

2.已知片,02都為單位向量，若弓在02上的投影向量為萬02,則卜1+024（）

A.72B.V3C.2D.3

3.在正方體48CD-4B1G2中，下列說法錯誤的是（）

A.ADXl^CB.40］與AO所成角為1

c.ND］〃平面D.ZR與平面ZCC］所成角為:

4.在踐行“鄉(xiāng)村振興”戰(zhàn)略的過程中，某地大力發(fā)展特色花卉種植業(yè).某農(nóng)戶種植一種觀賞花棄，為了解

花卉的長勢，隨機(jī)測量了100枝花的高度（單位：cm）,得到花枝高度的頻率分布直方圖，如圖所示，則

（）

木頻率/組距

A.樣本花卉高度的極差不超過20cm

B.樣本花卉高度的中位數(shù)不小于眾數(shù)

C.樣本花的高度的平均數(shù)不小于中位數(shù)

D.樣本花升高度小于60cm的占比不超過70%

5.設(shè)等比數(shù)列｛%｝公比為q,則“夕>1”是“｛4｝為遞增數(shù)列”的（）

A,充要條件B.充分不必要條件C.必要不充分條件D.即不充分也不必要條件

6.已知圓臺的母線長為4,高為J7，體積為7b兀，則圓臺的側(cè)面積為（）

A.48兀B.24TIC.20兀D.10兀

7.已知A、8為直線/上的兩個定點，|/同=2,尸為/上的動點.在平面直角坐標(biāo)系中，片（-3,0）、

片（3,0）,以片為圓心，|上4|為半徑作圓片；以月為圓心，|尸目為半徑作圓月，則兩圓公共點的軌跡方

程為（)

B.---y2=1D.—+y2=1

8?io-

8.已知函數(shù)〃x)=lnx和兩點B(c'n,m),設(shè)曲線>=/(x)過原點的切線為/,且/〃45,則加所

在的大致區(qū)間為()

A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部

選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知函數(shù)/(x)=sinaa+acos0>0)的最大值為正，其部分圖象如圖所示，貝U()

A.0)=1

71

B.函數(shù)歹=/X--為偶函數(shù)

13兀17兀

C.>=/(x)在［0,加］上有4個零點，則——<m<——

44

D.當(dāng)xe0,14寸，函數(shù)了=

COSX

10.已知函數(shù)/(x)=%3一"+2(awR),則()

'a

A./(-2)+/(2)=4B.若a>0,則/'(x)的極大值點為x=

C.若/(x)至少有兩個零點，則a?3D./(x)在區(qū)間(-8,-a-1)上單調(diào)遞增

11.拋物線C：y2=4x的準(zhǔn)線為/,過焦點廠的直線與。交于4,3兩點，分別過N,3作/的垂線，垂足

分別為4,B',記AA'B'F-△A8R的面積分別為岳，5，53,則()

A.△HB'E為銳角三角形B.邑的最小值為4

c.岳，S3成等差數(shù)列D.S「1s2,S3成等比數(shù)列

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

2

,1+sin2a3廣兀、

12.已知-------=-,則tan|a+—|=_______.

cos2a5I

13.在正項數(shù)列｛6,｝中，lna“+i=ln%+2,且%叼=犬，則%=.

14.甲口袋中有標(biāo)號為1、2、3的三張卡片，乙口袋中有標(biāo)號為4、5、6、7的四張卡片，從兩個口袋

中不放回地隨機(jī)抽出三張卡片，每個口袋至少抽一張，則抽到的三張卡片中至少有一張標(biāo)號為偶數(shù)的不同

抽法共有種（用數(shù)字作答）

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.在V48c中，角A、B、C所對的邊分別是。、b、c,J.acosB-bcosA=c-b.

（1）求角A；

（2）已知A的角平分線交5c于點。，若c=2,AB-AC=4>求40.

16.如圖，在多面體ZBC—451G中，A}A,B[B,qc均垂直于平面NBC,ZABC^120°,AlA=4,

C,C=1,AB=BC=B[B=2.

（1）求證：ZB］，平面44G；

（2）求二面角/-瓦G-c的正弦值.

17.一項沒有平局的對抗賽分為兩個階段，參賽者在第一階段中共參加2場比賽，若至少有一場獲勝，則進(jìn)

入第二階段比賽，否則被淘汰，比賽結(jié)束；進(jìn)入第二階段比賽的參賽者共參加3場比賽.在兩個階段的每

場比賽中，獲勝方記1分，負(fù)方記0分，參賽者參賽總分是兩個階段得分的總和，若甲在第一階段比賽中

每場獲勝的概率都為。（o<P<i）,在第二階段比賽中每場獲勝的概率都為;，每場比賽是否獲勝相互獨(dú)

Q

立.已知甲參賽總分為2分的概率為一.

27

（1）求。;

（2）求甲參賽總分X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

flie

18.設(shè)橢圓C：—r+^2=1（?！?）的右焦點為E,右頂點為A,已知R河+區(qū)間="^而，下中。為原點，

e為橢圓的離心率.

（1）求。的方程；

（2）設(shè)點尸為。上一動點，過P作不與坐標(biāo)軸垂直的直線/.

①若/與。交于另一點T,E為PT中點、,記/斜率為泊0E斜率為為,證明：h自為定值;

3

②若/與C相切，且與直線x=2相交于點。，以尸。為直徑的圓是否恒過定點？若是，請求出定點坐標(biāo);

若否，請說明理由.

19.行列式最早起源于對線性方程組的研究，起初是一種速記的表達(dá)式，發(fā)展到現(xiàn)在已經(jīng)成為一種非常有用

a,a.

LZJ

abab

的數(shù)學(xué)工具.已知表示二階行列式，規(guī)定=ad-be；blbA表示三分行列式，規(guī)定

cdcd2

C]。2C3

qCl?CL3X03x

b2A^^2^^3^^2^^3

b?a=ax-bi+G■設(shè)/(x)=3-x0

ZjZJZJ

。2031-1-x

⑴求/(x)；

(2)以4(x“J(x"))為切點，作直線交/'(x)的圖象于異于4的另一點4M(X"+IJ(X"+J)，其中

A7GN.若％=0，當(dāng)〃21時，設(shè)點4的橫坐標(biāo)當(dāng)構(gòu)成數(shù)歹式M｝?

①求｛冊｝的通項公式;

②證明:In1+■j-------r+In1+?;-------rH-----FIn1+?----+--1-r<1.

Ik+IJI\a2+1\)IhIJ

2025屆昆明市五華區(qū)高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期中考試卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中.只有一項是符合題目要

求的.

1.設(shè)復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為z(x，v),若匕―i|=i,則()

A.(x-1)2+y2=1B.(x+1)-+y2=1

C.x2+=1D.x~+(>>+1)"=1

【答案】A

【解析】

【分析】利用復(fù)數(shù)的幾何意義可得出z=x+yi,再利用復(fù)數(shù)的減法以及復(fù)數(shù)的模長公式化簡可得結(jié)果.

【詳解】由復(fù)數(shù)的幾何意義可得2=》+凌，

所以，\z-l\=\(x-l)+yi\=^x-l)2+y2=1，化簡可得(x—球+/=1.

故選：A.

2.已知6，色都為單位向量，若，在與上的投影向量為，則,+司=()

4

A.V2B.V3C.2D.3

【答案】B

【解析】

----1

【分析】根據(jù)題意結(jié)合投影向量可得9?e?=2,平方結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律分析求解.

【詳解】由題意可知：同=同=1,

ir,triTxir111r__]

因為[在1上的投影向量為4rre2=（ere2）e2=-e2＞可得=

ir叫2iriririr]

又因為（22

+2G?6+4—l+2x—+1=3,所以

故選：B.

3.在正方體48co-451G2中，下列說法錯誤的是（）

TT

A,皿，4。B.NR與AD所成角為§

C.40]〃平面ADC]D.2〃與平面NCG所成角為:

【答案】D

【解析】

【分析】設(shè)正方體N8CD-4瓦。12的棱長為1，以點。為坐標(biāo)原點，DA、DC、所在直線分別為

X、＞、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可判斷各選項的正誤.

【詳解】設(shè)正方體4BCD-的棱長為1，以點。為坐標(biāo)原點，DA、DC、所在直

線分別為X、了、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則4(1,0,0)、5(1,1,0),。(0,1,0)、￡>(0,0,0),4(1,0/)、4(1,1,1)、Q(0,1,1),2(0,0,1),

對于A選項，ADX=(-1,0,1),4c=(-l,L-1),

則疝?而=1+0—1=0,所以，AD}l^C,A對；

5

AD[DB-11

對于B選項，麗=(1,1,0),則cos(4C)i，￡)B)=

西口國72x722,

jr

所以，Z2與3。所成角的大小為一，B對；

3

對于C選項，設(shè)平面80cl的法向量為加=a，%,zj,DCj=(0,1,1),

m-DB=x,+y,=0

則—.?。?—1,則浣=(L—1,1),

m-DC[=%+Z[=0

則/A?加=—1+0+1=0,所以，ADX±m(xù),

又因為平面8￡>q,所以，ZD]〃平面BO。，c對;

對于D選項，設(shè)平面/cq的法向量為《=(9,%,Z2)，cq=(o,o,i),c2=(i,-i,o),

n-CC.=z2=0

則—取A：2=1，則〃=(1,1,0)，

n-CA=%一%=0

2

71

所以，ZD與平面zcq所成角為為一，D錯.

6

故選：D.

4.在踐行“鄉(xiāng)村振興”戰(zhàn)略的過程中，某地大力發(fā)展特色花卉種植業(yè).某農(nóng)戶種植一種觀賞花棄，為了解

花卉的長勢，隨機(jī)測量了100枝花的高度(單位：cm),得到花枝高度的頻率分布直方圖，如圖所示，則

()

頻率/組距

0.056

0.048

A,樣本花卉高度的極差不超過20cm

B.樣本花卉高度的中位數(shù)不小于眾數(shù)

C.樣本花的高度的平均數(shù)不小于中位數(shù)

D.樣本花升高度小于60cm的占比不超過70%

【答案】D

【解析】

【分析】利用極差的定義可判斷A選項；利用中位數(shù)和眾數(shù)的定義可判斷B選項；利用平均數(shù)公式求出樣

本花卉高度的平均數(shù)，可判斷C選項；計算出樣本花升高度小于60cm的占比，可判斷D選項.

【詳解】對于A選項，由頻率分布直方圖可知，樣本花卉高度的極差為70-40=30(cm),A錯；

6

對于B選項，樣本花卉高度的眾數(shù)為一--=57.5(cm),

設(shè)樣本花卉高度的中位數(shù)為acm,

前三個矩形的面積和為(0.012+0.028+0.036)義5=0.38,

前四個矩形的面積和為0.38+0.056x5=0.66，故ae(55,60),

由中位數(shù)的定義可得0.38+(a—55)x0.056=0.5,解得a^57.14(cm),貝Ua<57.5,

所以，樣本花卉高度的中位數(shù)小于眾數(shù)，B錯；

對于C選項，由頻率分布直方圖可知，

樣本花卉高度的平均數(shù)為

x=42.5x0.06+47.5x0.14+52.5x0.18+57.5x0.28+62.5x0.24+67.5x0.1=56.5(cm),

且嚏<〃，所以，樣本花的高度的平均數(shù)小于中位數(shù)，C錯；

對于D選項，由B選項可知，樣本花升高度小于60cm的占比為66%,D對.

故選：D.

5.設(shè)等比數(shù)列｛2｝公比為q,則“g>1”是“｛4｝為遞增數(shù)列”的()

A.充要條件B.充分不必要條件C.必要不充分條件D.即不充分也不必要條件

【答案】D

【解析】

【分析】要判斷“《>1”與“等比數(shù)列｛4｝為遞增數(shù)列”之間的條件關(guān)系.需要分別從充分性和必要性兩

方面進(jìn)行分析，即看“4>1”能否推出“等比數(shù)列｛4｝為遞增數(shù)列”，以及”等比數(shù)列｛%｝為遞增數(shù)列”

能否推出“q>1”.

【詳解】假設(shè)4>1.對于等比數(shù)列｛%｝,其通項公式為4=/q"T.

當(dāng)q=2,4=-2時，根據(jù)通項公式可得出=。"=一2義2=-4.

此時a2<aA,等比數(shù)列｛%｝不是遞增數(shù)列.

這說明僅僅4>1不能保證等比數(shù)列｛%｝一定是遞增數(shù)列，

所以“q>1”不是"等比數(shù)列｛4｝為遞增數(shù)列”的充分條件.

假設(shè)等比數(shù)列｛%｝為遞增數(shù)列，那么%+i>an.

nn

由通項公式可得an=a@T,all+l=a4,所以aAq>axq-'.

當(dāng)為<0時，不等式兩邊同時除以aq"T(因為為<0,qn-x>0,不等號方向改變)，

7

得到，'<q'T.例如當(dāng)〃=2時，q2<q,解得0<q<L

這說明等比數(shù)列｛%｝為遞增數(shù)列時，不一定有q>1,

所以“q>1”不是"等比數(shù)列｛4｝為遞增數(shù)列”的必要條件.

則“4>1”是“｛an｝為遞增數(shù)列”的既不充分又不必要條件.

故選：D.

6.已知圓臺的母線長為4,高為J7,體積為7嶼兀，則圓臺的側(cè)面積為（）

A.48兀B.24兀C.20兀D.10兀

【答案】C

【解析】

【分析】利用母線長和高，求出上底面半徑和下底面半徑的等式關(guān)系，然后利用體積求出上底面半徑和下

底面半徑的另一個等式關(guān)系，然后求出上下底面半徑，再用側(cè)面積公式即可求解.

【詳解】如下圖所示，

設(shè)圓臺上底面半徑為外，下底面半徑為R,則R〉r,

設(shè)/C為圓臺的一條母線，連接。4、OC，則四邊形。為直角梯形，

過點C在平面。。1口內(nèi)作,垂足為點B,

根據(jù)題意，AC=4,00[=力,O1C=r,04=R,

因為。00,IOA,BC1OA,則四邊形。01cB為矩形，

所以，BC=OO[=近,OB=Of=r,則A8=04—05=R—r,

由勾股定理可得/爐+8。2=2。2,即（氏—疔+7=16,可得火—廠=3,①

又因為圓臺的體積為「=；xg7rx（R2+Rr+r2）=7j7,可得R2+氏升+/=,②

R-r=3,

R—A

所以，\R?2+Rr+r72=21,解得〈，，

r-\

R>ri

所以，圓臺的側(cè)面積為S=；X27IX（7?+〃）X4=4TIX5=20兀.

故選：C.

8

7.已知A、8為直線/上的兩個定點，|45|=2,尸為/上的動點.在平面直角坐標(biāo)系中，￡（-3,0）、

片（3,0）,以片為圓心，|R4|為半徑作圓片；以巴為圓心，|尸目為半徑作圓耳，則兩圓公共點的軌跡方

程為（）

A.一上=i22

B.—-/=1C.土+JD.—+j/2=1

88?9810

【答案】A

【解析】

【分析】作出圖形，分析可知，點P不在線段48（不包括端點）上，對點P的位置關(guān)系進(jìn)行分類討論，

結(jié)合雙曲線的定義可求得動點的軌跡方程.

【詳解】如下圖所示：

設(shè)圓片、圓月的半徑分別為廠、R,則廠=|/訓(xùn)，R=\PB\,

設(shè)兩圓的一個公共點為由題意可知，點尸不能與點A或點3重合，

若點P在線段4B（不包括端點）上運(yùn)動時，則|〃凰+|〃周=廠+&=|/訓(xùn)+戶目=|48|=2,

事實上，|阿|+阿巴閆月片|=6,此時點M不存在;

當(dāng)點尸在以點A為端點以瓦1的方向為方向的射線上時，

此時，\MF2\-\MFl\=R-r=\PB\-\P^=\AB\=2；

當(dāng)點P在以點B為端點且以方的方向為方向的射線上時,

此時，|町|—|好|=—R=|P/|—|P&=|A5|=2.

綜上，||阿＜閨聞=6,

所以，動點/的軌跡是以點片、名為焦點的雙曲線，

v2J2

設(shè)該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為■=l（a〉0,b〉0），焦距為2c,

a

2a—2

a=1

則《2c=6,可得v

b=2E

c=da2+62

9

因此，兩圓公共點的軌跡方程為爐―2L=i.

8

故選：A.

8.已知函數(shù)/（x）=lnx和兩點4（1,0）,設(shè)曲線＞=/（x）過原點的切線為/,且/〃48,則加所

在的大致區(qū)間為（）

A.（-1,0）B.（0,1）C.（1,2）D.（2,3）

【答案】C

【解析】

【分析】求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)求得切線/的斜率左=,，根據(jù)直線平行可得e'"-e加-1=0,構(gòu)建

e

g（7〃）=e"'-e^-l,可知加為g（加）的非零零點，求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性結(jié)合零點存在性定理分

析判斷.

【詳解】由題意可知：＞=/（x）的定義域為（0,+的，且（（x）=:，

設(shè)切點坐標(biāo)為（x0,lnx0）,則切線I的斜率k=/'（%）=—,

則切線/的方程為y-山/=上（1一項）），

xo

若切線過原點，則一1n%=—（-％）=-1，解得x（）=e,

xo

可在切線/的左=—,

e

HI

若l〃AB,且直線45的斜率向B=F—（加W0），

e—1

mI

則左"=左，即二一二—，整理可得e"—e加一1=0，

e-1e

構(gòu)建g（m）=em-em-1,則g'（加）=em-e,

可知加為g（加）的非零零點，

令g'（加）＞0,解得切＞1；令g'（加）＜0,解得加＜1；

可知g（加）在（-81）內(nèi)單調(diào)遞減，在。,+8）內(nèi)單調(diào)遞增，

則g（加）分別在（-8/）、。,+℃）內(nèi)至多一個零點

且g（o）=o，g（l）=—l＜0，g（2）=e2—2e—l〉0,

io

又因為加wO,所以加所在的大致區(qū)間為(1,2).

故選：C.

【點睛】方法點睛：對于函數(shù)零點的個數(shù)的相關(guān)問題，利用導(dǎo)數(shù)和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想來求解.這類問題

求解的通法是：

(1)構(gòu)造函數(shù)，這是解決此類題的關(guān)鍵點和難點，并求其定義域；

(2)求導(dǎo)數(shù)，得單調(diào)區(qū)間和極值點；

(3)數(shù)形結(jié)合，挖掘隱含條件，確定函數(shù)圖象與x軸的交點情況進(jìn)而求解.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部

選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知函數(shù)/(x)=sinaa+acos0>0)的最大值為正，其部分圖象如圖所示，貝U()

13兀17兀

C.>=/(x)在［0,加］上有4個零點，則——<m<——

44

D.當(dāng)xe0,14寸，函數(shù)了=△^的值域為

COSX\7

【答案】ABC

【解析】

【分析】對于A：根據(jù)函數(shù)周期分析判斷；對于B：根據(jù)函數(shù)最值分析判斷；對于C：令/(x)=0,可得

sinf1=0,以x-烏為整體，結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)分析判斷；對于D：整理可得/O=tanx-1,結(jié)

I4J4cosx

合正切函數(shù)分析求解.

【詳解】對于選項A：因為f(%)=sina)x+acoscox-sll+a2sin+cp)，

(57rji、

由圖象可知：函數(shù)>=/(x)的最小正周期T=2---=2兀,

且3>0,則互=2兀，解得。=1,可得/(x)=sinx+acosx,故A正確;

G)

11

715兀

-----1____

對于選項B：由圖可知：當(dāng)_44_3兀時，函數(shù)>=/(x)取到最大值,

X=------=—

24

3兀).3兀3兀亞/]、ri—7

貝！Jf——sin---Facos——---(1—a)—7a+1>0,

I4J442v)

整理可得/[5]=sin,+acos/=3(l—a)=^2+l>0,解得a=—1,

It

貝l]f(x)=sinx-cosx=V2siix—

4

所有V=/-JiCOSX為偶函數(shù)，故B正確;

令/(x)=V2sin[x~~~1=0，

對于選項C：可得sin［x_：0,

兀7171

因為工￡［0,加］,則x——e—,m---

444

若V=/(1)在［°，加］上有4個零點,

jr13兀177r

則3兀<根——<4K,解得一<m<—,故C正確;

444

對于選項D：因為y=/()sinx-cosx,

----------=tanx-1,

COSXcosx

又因為xe,則tanx€(0,百)，可得tanx-le(-1,6-1)

故D錯誤;

故選：ABC.

10.已知函數(shù)/'(x)=x，一/v+2(aeR),則()

1a

A./(-2)+/(2)=4B.若。>0,則/(x)的極大值點為x=

C.若/(x)至少有兩個零點，則。之3D./(X)在區(qū)間(-8,-4-1)上單調(diào)遞增

【答案】ACD

【解析】

【分析】對于A：根據(jù)函數(shù)解析式運(yùn)算求解即可；對于B：求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)單調(diào)性和極值；對于

CD：分aK0和a>0兩種情況，結(jié)合導(dǎo)數(shù)分析單調(diào)性和零點.

【詳解】對于選項A：因為/(x)=/—ax+2,則

12

/(x)+/(-x)=(x3_辦+2)+(-x)3-a(-x)+2=4,

所以/(—2)+/(2)=4,故A正確；

對于選項B：因為/'(x)=3/—。，且。>0,

令/'(x)〉0,解得x<—或x〉j|；令/'(x)<0,解得—

可知/(x)在

所以/(x)的極大值點為x=-、，故B錯誤;

對于選項C：若/(x)至少有兩個零點，

當(dāng)a<0時，則f'(x)=3x2-a>0,

可知/(x)在R內(nèi)單調(diào)遞增，至多有一個零點，不合題意;

當(dāng)a>0時，結(jié)合選項B可知：f

即—四口+2W0W網(wǎng)R+2,解得a23；

3V33\3

綜上所述：a>3f故C正確；

對于選項D：因為/'(1)=3/_。，

當(dāng)可知/(x)在R內(nèi)單調(diào)遞增，符合題意；

當(dāng)a〉0,則一。一1<0,

f22

對于Xe(-^,-a-l),可得f(x)>f(-a-l)=3(-a-i)-a=3a+5a+3,

止匕時A=25—36=—H<0,則/'(工)〉3。2+5。+3〉0,

所以/(x)在區(qū)間(-?,-?-1)上單調(diào)遞增；

綜上所述：/(x)在區(qū)間(-8,-a-1)上單調(diào)遞增，故D正確；

故選：ACD.

11.拋物線C：「=4》的準(zhǔn)線為/,過焦點廠的直線與c交于a8兩點，分別過8作/的垂線，垂足

分別為4,B',記AA'B'F.AASR的面積分別為S],S2,S3,則()

A.AHB'E為銳角三角形B.凡的最小值為4

13

c.S3成等差數(shù)列D.S「1s2,S3成等比數(shù)列

【答案】ABD

【解析】

【分析】設(shè)48:x=/n.y+l,4（久1，乃）,8（久2，乃），聯(lián)立方程可得韋達(dá)定理.對于A：根據(jù)直線垂直的斜率關(guān)

系分析判斷；對于B：根據(jù)面積關(guān)系結(jié)合韋達(dá)定理分析判斷；對于CD：根據(jù)面積結(jié)合等差、等比數(shù)列性質(zhì)

分析判斷.

【詳解】由題意可知：焦點尸（1,0）,準(zhǔn)線/:x=-1,直線48的斜率不為0,且與拋物線必相交，

^：AB:x=my+l,J4（x1,y1）,B（x2,y2）＞則/'（一1,凹）,5'（-1,必），

f

可得次川=石+1=my1+2,|5F|=x2+1=my2+2,

聯(lián)立方程F1，消去X可得/一4即一4=0,

則%+了2=4m,yl-y2=-4,

對于選項A:因為后/F=—=—/"，可得上AtF,演夕="j=_1,

可知所以AZ'BR為直角三角形，故A錯誤；

對于選項B：因為民—閭=4%=V16m2+16=47m2+1，

可得S2=T7一＞2=41加2+i24,當(dāng)且僅當(dāng)加=0時，等號成立，

所以其的最小值為4,故B正確；

對于選項CD：因為，=3%|（加%+2）,53=3b2|（叩2+2）,

則S3=。|%|（加%+2）x。昆|（吵+2）=21[加2%%+2m（%+%）+4]

222

=lx4（-4m+8m+4）=4（m+l）=Qs2^,

即ES3=[gs2]，顯然S],；S2，S3不恒相等，且不為0,

14

所以1s2,S3成等比數(shù)列，不成等差數(shù)列，故c錯誤，D正確；

故選：ABD.

【點睛】方法點睛：有關(guān)圓錐曲線弦長、面積問題的求解方法

(1)涉及弦長的問題中，應(yīng)熟練地利用根與系數(shù)的關(guān)系、設(shè)而不求計算弦長；涉及垂直關(guān)系時也往往利用

根與系數(shù)的關(guān)系、設(shè)而不求法簡化運(yùn)算；涉及過焦點的弦的問題，可考慮用圓錐曲線的定義求解；

(2)面積問題常采用邑=；x底x高，其中底往往是弦長，而高用點到直線距離求解即可，選擇底很重要,

選擇容易坐標(biāo)化的弦長為底.有時根據(jù)所研究三角形的位置，靈活選擇其面積表達(dá)形式，若求多邊形的面

積問題，常轉(zhuǎn)化為三角形的面積后進(jìn)行求解；

(3)在求解有關(guān)直線與圓錐曲線的問題時，應(yīng)注意數(shù)形結(jié)合、分類與整合、轉(zhuǎn)化與化歸及函數(shù)與方程思想

的應(yīng)用.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

l+sin2(z3(兀、

12.已知---------=-,則tan|a+—|=______.

cos2a5<4J

3

【答案】-##0.6

5

【解析】

【分析】利用二倍角公式、弦化切以及兩角和的正切公式化簡可得結(jié)果.

r；￥的、l+sin2a_cos2a+2sin(zcosa+sin2a_(cosa+sina)-

4*1/uI■I—i/rr/、/、

cos2acosa-sina(cosa+sina)(cosa-sina)

71

tana+tan-/

cosa+sina_tana+1-----------=tanf—3

cosa—sina1-tana1-tanatan—I"

4

3

故答案為：—.

5

13.在正項數(shù)列｛%｝中，ln%+i=lna〃+2,且則％=.

【答案】e2'-1

【解析】

【分析】推導(dǎo)出數(shù)列｛%｝是等比數(shù)列，利用等比中項的性質(zhì)求出。2的值，再利用等比數(shù)列的通項公式可求

得%的表達(dá)式.

aa

【詳解】在正項數(shù)列｛%｝中，=ln4+2,則ln%+i—In%=出」包=2,可得3=e?,

anan

所以，數(shù)列｛%｝是公比為『的等比數(shù)列，

因為a1a3=a；=e,，且出>。，則的=e，，

15

n~232”-42)i-l

因為%=a2■(e?=e-e=e

故答案為：e2"-1.

14.甲口袋中有標(biāo)號為1、2、3的三張卡片，乙口袋中有標(biāo)號為4、5、6、7的四張卡片，從兩個口袋

中不放回地隨機(jī)抽出三張卡片，每個口袋至少抽一張，則抽到的三張卡片中至少有一張標(biāo)號為偶數(shù)的不同

抽法共有種（用數(shù)字作答）

【答案】26

【解析】

【分析】計算出從甲、乙兩個口袋中，每個口袋至少抽一張卡片，共抽取三張卡片的抽法種數(shù)，以及抽取

的三張卡片都是奇數(shù)的抽法種數(shù)，利用間接法可得結(jié)果.

【詳解】從甲、乙兩個口袋中，每個口袋至少抽一張卡片，共抽取三張卡片，

不同的抽法種數(shù)為C；Cj+不C；=18+12=30,

其中，抽取的三張卡片都是奇數(shù)的抽法種數(shù)為C：=4,

因此，抽到的三張卡片中至少有一張標(biāo)號為偶數(shù)的不同抽法種數(shù)為30-4=26.

故答案為：26.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.在V4SC中，角A、B、C所對的邊分別是b、c,J.acosB-bcosA=c-b.

（1）求角A；

（2）已知A的角平分線交8c于點。，若c=2,AB-AC=4＞求40.

71

【答案】（1）A=-

3

（2）AD=—

3

【解析】

【分析】（1）由正弦定理結(jié)合兩角和的正弦公式化簡可得出cos/的值，結(jié)合角A的取值范圍可得出角A

的值；

（2）利用平面向量數(shù)量積的定義可求出b的值，再利用SJBC結(jié)合三角形的面積公式可求

得的長.

【小問1詳解】

解：因為。cos5-bcos4=c-b,由正弦定理可得sinAcos5-sin5cos4=sinC-sin5,

即sinAcos5-sin5cos/=sin（/+3）—sin3=sinAcosB+cosAsmB-sinB,

所以，2cos/sin3—sin5=0,

171

因為A、3￡（0,兀），則sin3〉0,可得2cos4-1=0,則cosZ=—,故/.

【小問2詳解】

解：因為方.%=]而,/kos]=gbc=b=4,

16

ITT17rl7i

因為S"BC，即不bcsin^=7cMDsinz+7bZDsin/，

232o2o

整理可得AD=4迎=與8=生8.

b+c63

16.如圖，在多面體ZBC—451G中，AXA,B[B,C。均垂直于平面NBC,ZABC=120°,N/=4,

C,C=1,AB=BC=B、B=2.

(1)求證：ABX，平面44。；

(2)求二面角/-瓦G-C的正弦值.

【答案】(1)證明見詳解

【解析】

【分析】(1)建立空間直角坐標(biāo)系，找到點的坐標(biāo)，得出直線方向向量和平面內(nèi)任意向量，得到向量垂直,

從而得到線線垂直，即可證明線面垂直；

(2)由空間直角坐標(biāo)系求出面的法向量，由面的法向量求出二面角的余弦值的絕對值，由三角恒等變換得

到角的正弦值.

【小問1詳解】

過點B在平面ABC內(nèi)作一條直線與BC垂直，

則以8為原點，8C為x軸，8C的垂直為少軸，85］為z軸如圖建立空間直角坐標(biāo)系，

.-.5（0,0,0）,C（2,0,0）

'：ZABC=120°

17

4(0,0,2),G(2,0,1),

AB,—(1,-V3,2),前=(2,0,—1),^1；=(-1,73,2)

-BtC,=2-2=0

,AB}J_B]G,AB{_LB[4

44=—l—3+4=0

又,:BGn44=B[,B￡u平面43c1,B&U平面43cl

ABX，平面44。]

【小問2詳解】

由(1)可知：福=(1,一6,2),Zq=(3,-V3,l),鴕=(2,0,—2),qc=(0,0,1),

設(shè)平面4B]G的一個法向量為4=(X],%zJ,

設(shè)平面CB?的一個法向量為n2=(x2,y2,z2),

[AB]?4=0[BXC-n2=0

?拓i=0萬2=0

x-內(nèi)必+2Z]=0

x2X2-2Z2=0

3玉一百%+Z]=0Z2=0

x=V3

xx2=0

則可取《M=5%=1

Z]=2A/3z2=0

即nx—（退,5,2也）,五2二（0,1,0）

5

設(shè)二面角為夕，貝I||cos,=

,40

sin0=V1-cos20=

17.一項沒有平局的對抗賽分為兩個階段，參賽者在第一階段中共參加2場比賽，若至少有一場獲勝，則進(jìn)

入第二階段比賽，否則被淘汰，比賽結(jié)束；進(jìn)入第二階段比賽的參賽者共參加3場比賽.在兩個階段的每

場比賽中，獲勝方記1分，負(fù)方記0分，參賽者參賽總分是兩個階段得分的總和，若甲在第一階段比賽中

每場獲勝的概率都為夕（0＜。＜1）,在第二階段比賽中每場獲勝的概率都為;，每場比賽是否獲勝相互獨(dú)

18

Q

立.已知甲參賽總分為2分的概率為一.

27

(1)求。;

(2)求甲參賽總分X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

【答案】(1)p=-

2

7

(2)分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為一.

4

【解析】

【分析】(1)利用獨(dú)立事件概率的乘法公式來求解，要根據(jù)甲參賽總分為2分的情況進(jìn)行分析，求。的值,

(2)需要考慮X所有可能的取值，再分別計算每個取