2025高考數(shù)學(xué)解答題：三角函數(shù)、三角恒等變換與解三角形（6大題型）含答案

2025高考數(shù)學(xué)解答題：三角函數(shù)、三角恒等變換與

解三角形(6大題型)

解答題：三角篇?jiǎng)?、三角愜等變換與斛三龜形

--------------------------------------------0°----------------------------------------------

題型一三角恒等變換與三角函數(shù)....................................................................1

題型二正余弦定理解三角形的邊與角...............................................................2

題型三利用正弦定理求三角形外接圓...............................................................4

題型四解三角形中邊長(zhǎng)或周長(zhǎng)的最值范圍...........................................................5

題型五解三角形中面積的最值范圍..................................................................7

題型六三角形的角平分線、中線、垂線...............................................................8

必刷大題...........................................................................................9

題型一三角恒等變換與三角函數(shù)

S大題典例

1.(24—25高三上?河南?月考)已知向量云=(COST+sin2：,V3sinx),n=(cosrr—sinc,2cosc),函數(shù)gQ)

—m-n.

(1)求gQ)的最小正周期；

(2)若函數(shù)/(⑼=gQ)—a在區(qū)間［0,1］上恰有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

S變式訓(xùn)練

2.(24—25高三上?江蘇常州?月考)如圖，已知函數(shù)/Q)=2sin(&xr+M(0>O，M|<m)的圖象過(guò)點(diǎn)

A(0,l)和B(g,—2)(g>0),且滿足|4B|

(1)求/O)的解析式；

(2)當(dāng)cC［―+，1］時(shí),求函數(shù)/(c)值域.

?M

3.（24—25高三上?北京?期中）已知函數(shù)/（a;）=sin2x+2sinaxosa?—cos2ic.

（1）求/（①）的最小正周期；

（2）求不等式/（切＞—1的解集；

（3）從條件①,條件②，條件③選擇一個(gè)作為已知條件，求小的取值范圍.

①/（力）在（0,m）有恰有兩個(gè)極值點(diǎn)；

②/（0在（0,?。﹩握{(diào)遞減；

③/（工）在（0,?。┣『糜袃蓚€(gè)零點(diǎn).

注：如果選擇的條件不符合要求，0分;如果選擇多個(gè)符合要求的條件解答,按第一個(gè)解答計(jì)分.

題型二正余弦定理解三角形的邊與角

S大題典例

4.（24-25高三上?福建南平?期中）在銳角△4BC中，角43,。所對(duì)的邊分別為a,b,c.已知

cos2（A+B）——

⑴求tan2。；

（2）當(dāng)（3=2°,且6=^^時(shí)，求a.

???

S變式訓(xùn)練

5.(24-25高三上?江蘇蘇州?月考)記△4BC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知a(V2-cosB)

=26cos2jy.

(1)證明：b+c=V2a；

⑵若a=2,tanBtanC=3,求sinA.

6.（24-25高三上?上海?期中）在△ABC中，角48、。所對(duì)的邊分別為Q、b、c,已知Q=5.

⑴若A=手，b=3c,求c；

O

⑵若人=咚，5csinB=3b,求△ABC的周長(zhǎng).

6

題型三利用正裁定理求三角形外接BO

9大題典例

7.(24—25高三上?全國(guó)?專題練習(xí))△4BC的內(nèi)角。的對(duì)邊分別為a,b,c,已知1+a?

ab

2sin°B—sin°yl

sin°sin°A

(1)求。的大??；

(2)若4ABC面積為以后，外接圓面積為粵元，求A4BC周長(zhǎng).

O

S變式訓(xùn)練

8.(24-25高三上?海南?月考)如圖，平面四邊形ABCD內(nèi)接于一個(gè)圓，且48=5,3。=3函，A為鈍

角,sinA=-7-.

5

⑴求sinZ.ABD；

⑵若BC=5,求相⑺的面積.

???

9.（23—24高三下.浙江.模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面內(nèi)的四個(gè)動(dòng)點(diǎn)A,B,C,。構(gòu)成的四邊形4BCD中,

AB=\,BC=2,CD=3,AD=4.

⑴求△ACO面積的取值范圍；

（2）若四邊形ABCD存在外接圓,求外接圓面積.

題型四解三角府中邊長(zhǎng)或周長(zhǎng)的最值篦國(guó)

S大題典例

10.（24-25高三上?四川綿陽(yáng)?月考）在銳角△ABC中，角48,。所對(duì)的邊分別為a,b,c,〃=c?—而.

（1）求證：C=2B；

（2）b=2,求a的取值范圍.

?M

S變式訓(xùn)練

11.（24-25高三上?山西?月考）在△4BC中，角人昆仁的對(duì)邊分別是叱仇小且（b+c）cos/=

a（cosB—cosC）.

（1）證明：A=2B.

（2）若△ABC是銳角三角形，求衛(wèi)的取值范圍.

a

12.（24-25高三上?貴州遵義?月考）記△ABC的內(nèi)角A,B,。對(duì)應(yīng)的三邊分別為a,b,c,且遮sinB+

cosJB=1.

⑴求B；

（2）若b=3,求△ABC的周長(zhǎng)的取值范圍.

題型五解三角形中面積的最值篦國(guó)

9大題典例

13.（24—25高三上?遼寧沈陽(yáng)?月考）已知△ABC中，角45。的對(duì)邊分別為a,b,c,滿足V^bsinC—

ccosB=c.

⑴求角R

（2）若△ABC為銳角三角形，且a=2,求A4BC面積的取值范圍.

O變式訓(xùn)練

14.（24—25高三上?江西?期中）已知ZVIBC中，角4B。所對(duì)的邊分別為a,b,c,且與等+”事=

bab

3

4acosB

（1）求cosB；

（2）若b=4,求△ABC面積的最大值.

15.（24—25高三上?河南?月考）在△48。中，內(nèi)角4。所對(duì)的邊分別為a,b,c,且滿足一°；+b?

cosA+cosB

_c

sin。?

（1）求。的值；

（2）若△48。內(nèi)有一點(diǎn)尸，滿足AAPB=AAPC=ACPB=冬，CP=1,求ZVIBC面積的最小值.

O

???

題型六三角形的角平分線、中線、垂線

S大題典例

16.（24-25高三上?江蘇徐州?月考）已知△ABC內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且2c=2bcosA—

a.

（1）求角B；

⑵若BD是角B的平分線，AD=4V7,CD=277,求線段BD的長(zhǎng).

s變式訓(xùn)練

17.（24-25高三上?福建福州?月考）△ABC的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知修

C

sin（A—B）

sin。?

⑴求A;

（2）若。為中點(diǎn)，AD=X詈，AC=3,求△48。的周長(zhǎng).

18.（24—25高三上?廣西南寧?月考）已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角所對(duì)的邊分別是a,b,c.已知2=

C

sin28

2sinA+sinB,

（1）求角c；

⑵若點(diǎn)。在邊AB上，6=2,CD=1,請(qǐng)?jiān)谙铝袃蓚€(gè)條件中任選一個(gè),求邊長(zhǎng)AB.

①CD為△ABC的角平分線;②CD為△ABC的中線.

?M

（必刷大題）

S劇模擬

1.（24-25高三上?山東荷澤?期中）記銳角NWC的內(nèi)角4BC的對(duì)邊分別為a,b,c,已知三—空咚

bcosB

=2cos4

⑴求B;

（2）延長(zhǎng)AC到。,使力。=2CD/CBD=15°,求tanA.

2.（24-25高三上?上海?期中）設(shè)4ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,a=btanA且B為鈍角.

（1）若人=合,0=2,求△ABC的面積；

（2）求sinA+sin。的取值范圍.

3.（24-25高三上?湖南長(zhǎng)沙?月考）在△ABC中，a,b,c分別是內(nèi)角4B,C的對(duì)邊，且〃+c?=5a?.

（1）若sin_B=^^sinC,求cosA；

（2）若存?正=8,求△ABC的面積的最大值.

4.(24-25高三上?遼寧大連?月考)在△ABC中，角48、C的對(duì)邊分別為a、b、c，滿足sin2A+sin2C=

sin2B+sinAsinC.

(1)求角B的大??；

(2)若4ABC的面積為，求a+c的最小值.

5.(24-25高三上?江蘇無(wú)錫?期中)在△4BC中，已知(，^tanA—1)(gtanB-1)=4.

(1)若△ABC為銳角三角形,求角C的值，并求sin2A-cos2B的取值范圍；

(2)若線段的中垂線交邊AC于點(diǎn)。，且8=1,求A的值.

6.(24-25高三上?天津?月考)在AABC中，角A,。對(duì)應(yīng)邊分別為a,b,c,外接圓半徑為1,已知

2(sin2A—sin2(7)=(a—b)sinB.

(1)證明：a2+b2—c2=ab；

(2)求角C和邊c；

⑶若6=，求sin(2A+4B+5C).

9刷真題

7.（2024?上海?高考真題）已知/（c）=sin（&xr+等），&）>0

（1）設(shè)。=1,求解:夕=/（必）,2：￡[0,7t]的值域；

（2）a>7t（aER）,于（x）的最小正周期為兀，若在尤C[n,a]上恰有3個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.

8.（2024?廣東江蘇?高考真題）記△4BC的內(nèi)角4、B、C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知sinC=J^cosB,a?

+b2-c2=V2ab

⑴求B；

（2）若△ABC的面積為3+3,求c.

9.（2024?全國(guó)?高考真題）記△ABC的內(nèi)角48,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知sinA+《cosA=2.

⑴求4

（2）若a=2,V2bsinC=csin28,求△ABC的周長(zhǎng).

10.（2024.天津.高考真題）在△ABC中，角ABC所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知cosB=暮，b=5,—=

16c

2

~3'

⑴求a的值；

（2）求sinA的值；

（3）求cos（B—2A）的值.

11.（2024.北京?高考真題）在△4BC中，內(nèi)角45C的對(duì)邊分別為a,b,c,乙4為鈍角，a=7,sin2B=

^^-bcosB.

7

⑴求乙4；

（2）從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使得△ABC存在,求AABC的面積.

條件①：b=7；條件②：cos_B=普；條件③：csinA=-|-V3.

注:如果選擇的條件不符合要求，第（2）問(wèn)得。分;如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)

解答計(jì)分.

12.（2023?北京?高考真題）設(shè)函數(shù)/（/）=sin公ccosp+cos0Nsin0（0>O/0|

⑴若/（o）=—4,求0的值.

（2）已知/（2）在區(qū)間［―毋,奢］上單調(diào)遞增，/（爭(zhēng)）=1,再?gòu)臈l件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中

選擇一個(gè)作為已知,使函數(shù)/（力）存在，求0,0的值.

條件①:/（年）=2;

條件②1;

條件③:f（x）在區(qū)間［―?—等］上單調(diào)遞減.

注:如果選擇的條件不符合要求，第（2）問(wèn)得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答,按第一個(gè)

解答計(jì)分.

解答墓..三廊為小、■魯修得安柒鳥簫互窗影

°(KES°

題型一三角恒等變換與三角函數(shù)..............................................................1

題型二正余弦定理解三角形的邊與角..........................................................3

題型三利用正弦定理求三角形外接圓..........................................................6

題型四解三角形中邊長(zhǎng)或周長(zhǎng)的最值范圍.....................................................8

題型五解三角形中面積的最值范圍...........................................................10

題型六三角形的角平分線、中線、垂線.........................................................13

必刷大題....................................................................................16

題型一三角恒等變換與三角的數(shù)

念大題典例

1.(24—25高三上?河南?月考)已知向量用=(cosrc+sina;,V3sinx),n=(COST—sin%,2cos劣),函數(shù)g[x}

=man.

(1)求gQ)的最小正周期；

(2)若函數(shù)/3)=g(c)—a在區(qū)間[0,5]上恰有兩個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【答案】⑴兀；⑵[2).

【解析】⑴g(劣)=m-n=cos2a;—sin2a;+2V3sina;cosT,=COS2T+V3sin2rc=2sin(2/+f)

(力)的最小正周期T=~^~=7U；

令"=22+4,.FC[o4],.?.uC[■1■考],

由圖知，當(dāng)l<aV2時(shí)，g=2sina(〃e的圖象與直線g=a有兩個(gè)交點(diǎn),

???實(shí)數(shù)Q的取值范圍為［1,2).???

解法指導(dǎo)

此類題型考察恒等變形和三角函數(shù)函數(shù)性質(zhì)，涉及到三角恒等變形的公式比較多。

1、首先要通過(guò)降塞公式降幕，二倍角公式化角：

(1)二倍角公式：sin2a—2sinacosa(S2a)；cos2a=cos2a—sin2a=2cos2a—1=1-2sin2a(C2ff)

(2)降塞公式：cos2a=1+片,sin2ff=~叩2a,

2、再通過(guò)輔助角公式“化一"，化為"=Asin(a)x+(p)+B

3、輔助角公式：asina+bcosa—Va2+d2sin((7+0),其中tan(p

a

4、最后利用三角函數(shù)圖象和性質(zhì)，求解計(jì)算：

一般將32+0看做一個(gè)整體，利用換元法和數(shù)形結(jié)合的思想解題。與三角函數(shù)相關(guān)的方程根的

問(wèn)題(零點(diǎn)問(wèn)題),通常通過(guò)函數(shù)與方程思想轉(zhuǎn)化為圖象交點(diǎn)問(wèn)題,再借助圖象進(jìn)行分析。

s變式制練

2.(24-25高三上?江蘇常州?月考)如圖，已知函數(shù)/(/)=2sinOc+G(o>0,|w|<5)的圖象過(guò)點(diǎn)

A(0,l)和B(g,—2)(g>0),且滿足|4B|=U.

(1)求/0)的解析式；

(2)當(dāng)rrC[―已,1]時(shí),求函數(shù)/(為值域.

【答案】⑴/(±)=2sin(筌c+*);⑵[0,2]

【解析】(1)由A(0,1),B(x0,—2)(T0>0),\AB\得謨+9=13,g>0,則g=2

又/(0)=1,即sin?=:,|w|■得3=看，

由/(2)=-2,得sin(2co+~^")=—1,

\o7

根據(jù)圖象可知20+專=呼，解得°=穹

"0)=2sin(T/+。).

(2)VxG[—}j]^3~X+]~G，故+聿)[0,1],

fQ)=2sin(要①+「)E[0,2],即/(%)的值域?yàn)閇0,2].

,3O7

3.(24—25高三上?北京?期中)已知函數(shù)/(2)=sin2rc+2sinxcosa;—COS2T.

⑴求/Q)的最小正周期;

（2）求不等式/（為＞—1的解集；

（3）從條件①，條件②，條件③選擇一個(gè)作為已知條件,求m的取值范圍.

①f（x）在（0,m）有恰有兩個(gè)極值點(diǎn)；

②/（為在（0,?。﹩握{(diào)遞減；

③于⑸在（0,小）恰好有兩個(gè)零點(diǎn).

注:如果選擇的條件不符合要求，0分;如果選擇多個(gè)符合要求的條件解答,按第一個(gè)解答計(jì)分.

【答案】⑴兀；⑵*"W/W亨+k兀#⑶答案見解析

【解析】（1）因?yàn)?（x）=sin2a;+2sinj;cosT—cos2rc=2sin力cos6—（cos2x—sin2a;）=sin26—cos2/二

A/2sin（2x—）.

所以/（劣）的最小正周期為亳二=7T.

（2）因?yàn)镴（T）=，^sin（2力一子）＞—1,即sin（2c—（■）,

則一+2%兀＜26—+2kn,kGZ,解得％?！读?+4兀,kEZ,

所以不等式/（力）＞一1的解集為{/,兀《力&竽+k兀,kez}.

⑶因?yàn)?6（0,772），所以21—手G（—j,2m—于）.

若選擇①：因?yàn)閒{x}在（0,771）有恰有兩個(gè)極值點(diǎn).

則萼V2m一弓&萼，解得WVMW坐，

242oo

所以小的取值范圍（萼,止］;

若選擇②：因?yàn)?（力）在（0,m）單調(diào)遞減

當(dāng)2c—卞e(cuò)時(shí)，/（,）函數(shù)遞增，

所以/（乃在（o,m）不可能單調(diào)遞減，所以②不符合題意；

若選擇③：因?yàn)閒（x）在（0,771）恰好有兩個(gè)零點(diǎn).

則兀＜2m—Y＜2兀，解得粵~＜m&等~,

所以小的取值范圍（粵,萼］.

,3oJ

題型二正余弦定理解三角冊(cè)的邊與角

S大題典例

4.（24-25高三上?福建南平?期中）在銳角△ABC中，角所對(duì)的邊分別為a,b,c.已知

cos2（A+B）="1"

⑴求tan2C；

（2）當(dāng)仁=20,且匕=^^時(shí)，求Q.???

【答案】（1）—亨；（2）半

【解析】（1）因?yàn)閏os2（A+B）=—告,

所以cos2（A+B）—sin2（A+B）=―1~,即cos2C—sin2C=―1~,

所以cos2。一sin2c_]—tan?。___3

cos2C+sin2C1+tan2C4'

所以tan2C=7,

又因?yàn)?。為銳角，所以tanC=，7,

所以tan2C=2tan°=_4

1—tan2c3

⑵由（1）知tanC=〃7且。為銳角，

所以cosC=,

所以c2=a2+〃_2abcosC,即4a?=a2+]一2ax亨乂號(hào),

所以12a2+V14a—7=0.解之得a—

解法指導(dǎo)

利用正、余弦定理求解三角形的邊角問(wèn)題，實(shí)質(zhì)是實(shí)現(xiàn)邊角的轉(zhuǎn)化，解題的思路是：

1、選定理.

⑴已知兩角及一邊，求其余的邊或角，利用正弦定理；

(2)已知兩邊及其一邊的對(duì)角，求另一邊所對(duì)的角，利用正弦定理；

(3)已知兩邊及其夾角，求第三邊，利用余弦定理；

(4)已知三邊求角或角的余弦值，利用余弦定理的推論；

(5)已知兩邊及其一邊的對(duì)角，求另一邊，利用余弦定理；

2、巧轉(zhuǎn)化：化邊為角后一般要結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理與三角恒等變換進(jìn)行轉(zhuǎn)化;若將條件轉(zhuǎn)化為

邊之間的關(guān)系,則式子一般比較復(fù)雜，要注意根據(jù)式子結(jié)構(gòu)特征靈活化簡(jiǎn).

3、得結(jié)論:利用三角函數(shù)公式，結(jié)合三角形的有關(guān)性質(zhì)(如大邊對(duì)大角，三角形的內(nèi)角取值范圍等)，

并注意利用數(shù)形結(jié)合求出三角形的邊、角或判斷出三角形的形狀等。

S變式訓(xùn)練

5.(24-25高三上?江蘇蘇州?月考)記△4BC的內(nèi)角/,8,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知a(V2-cosB)

=2bcos2等.

(1)證明：b+c=V2a；

⑵若a=2,tanBtanG=3,求sinA.

【答案】(1)證明見解析；(2)sinA=1

【解析】⑴由已知結(jié)合正弦定理，得sin4，^—cos_B)=2sirkBcos2等，

化簡(jiǎn)得sinA(V2—cosB)=sinB(l+cosA),

艮!7sinAcosB+cosAsinB+sinB=V2sinA,

所以sin(A+_B)+sinB=V2sinA,

又/L+_B=7U—C,所以sinB+sinC=A/2sinA,

故由正弦定理得b+c=V2a.

(2)因?yàn)閠anBtanC=3,所以=3,

cosBcosG

所以sinBsinC—cosBcosC=2cosBcosC,

所以一cos(B+C)=2cosBcosC,

結(jié)合石+<7=兀->1,可得一cos(_B+C)=cosA,故cosA=2cosBcosC,

由(1)知b+c=V2a=2A/2,

(b+c)2—41—2

由余弦定理得cosA=°弋-4T-W1,

2bc2bc

則,T=2?——?號(hào)產(chǎn)

be4c4b

化簡(jiǎn)得16—8bc—(4+c2—b2)(4+62—c2)=16—(b+c)2(b—c)2,

代入b+c=2V2,整理得16—8bc=16—8(6—c)?,所以be=§■,

5

所以cosA=*---1=4",

be4

故sinA=V1—cos2A=---.

4

6.（24-25高三上?上海?期中）在/XABC中，角4B、。所對(duì)的邊分別為a、b、c,已知a=5.

⑴若A=看，b=3c,求c；

o

⑵若A=3，5csin8=3b,求△ABC的周長(zhǎng).

6

【答案】(l)c=;(2)15+3V3或7+3V3.

【解析】⑴根據(jù)余弦定理o?=b2+c2-2bccosA,已知a=5,A=當(dāng)，b=3c.

將b=3c,a=5,cosA=代入余弦定理公式可得：

52=（3c）2+。之—2x3cxc義［化簡(jiǎn)得c?=孕

解得。因?yàn)檫呴L(zhǎng)不能為負(fù)，舍去一弓1）.

（2）已知5csinB=3b,由正弦定理［=''可得5sinCsinB=3sin_B.

sinBsmC

因?yàn)閟inBW0,可得sinC=.

5

因?yàn)镼=5,_A=2，QVC時(shí)。有兩解（C為銳角或鈍角）.

6

當(dāng)。為銳角時(shí)，COS。=W.

5

sinB=sin(A+。)=sinAcosC+cosAsinC,sinA=],cosA=

ZtOZiO-LU

5

再由正弦定理/五=，可得b=遮畔■=5x且呼亙X2=(4+3V3).

smz)smAsmA10

cQasinC=5xgx2=6.

可得c

sin。sinAsinA5

此時(shí)二角形周長(zhǎng)為a+b+c=5+(4+3A/3)+6=15+3A/3.

當(dāng)C為鈍角時(shí)，cosC=—各.

5

sinB=sin(A+。)=sinAcosC+cosAsinC=]x(—曰)+§x1~=3—J.

由正弦定理，可得6=誓呼=5xa咚?x2=(3V3-4).

smBsmAsmA1U

caasinC3

，可得c==5x^-x2=6.

sinCsinAsinA5

此時(shí)二角形周長(zhǎng)為a+b+c=5+(3,\/3—4)+6=7+3A/3.

則△ABO的周長(zhǎng)為15+3/§或7+3，§.

題型三利用正裁定理求三角也外接展

9大題典例

川+02—Q2二

7.(24—25高三上?全國(guó)?專題練習(xí))△4BC的內(nèi)角。的對(duì)邊分別為a,b,c,已知

ab

2sin°B—siii04

sin°sin°A

⑴求。的大?。?/p>

(2)若△ABC面積為6居,外接圓面積為粵乃，求△ABC周長(zhǎng).

O

【答案】⑴春；⑵18

【解析】(1)???>+c-2=2sindsin%=2b—a

absin°AQ

/.afe=fe2+a2—c2,

b2+a2-c2_1

cos0一2ab~1

??ce(o,兀)，二。*

o

(2)設(shè)AABC外接圓的半徑為7?,

由S圓=兀/？2=粵■兀，得R=7y,

oo

因?yàn)椤?7=2R="③，解得c=7,

smC3

i

S^BC—1absin°C—6V3，所以ab=24,

又c?=〃+稼—而=g+b)2—3ab,

所以49=(Q+b)2—72，故a+b=n,

所以4ABC周長(zhǎng)a+b+c=18.

解法指導(dǎo)

利用正弦定理：」7=/不=177=2五可求解三角形外接圓的半徑。

smAsmBsmC

若要求三角形外接圓半徑的范圍，一般將R用含角的式子表示，再通過(guò)三角函數(shù)的范圍來(lái)求半徑

的范圍。

S變式訓(xùn)練

8.（24-25高三上?海南?月考）如圖，平面四邊形ABCD內(nèi)接于一個(gè)圓，且AB=5,8。=3西，人為鈍

角，sinA=.

5

(1)求sinZ.ABD；

⑵若瓦7=5,求ABCD的面積.

【答案】⑴答;⑵15

4

【解析】（1）因?yàn)?為鈍角，sinA=,所以cosA=—

由余弦定理得

整理得AD2+8AD-20=(AD+10)(4D—2)=0,解得AD=2(負(fù)根舍去),

2xt_2V5

ADBDADxsinA

由正弦定理得sinZABD=

smZ-ABDsinABD3V5—25

（2）由于圓的內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)，所以sinC=sinA=§且。為銳角，則cosC=3,

55

在三角形BCD中，由余弦定理得：

(3e)2=52+CD2_2X5xCDxW,CE>2_8GD_20=(CD-10)(CD+2)=0,

解得CD=10(負(fù)根舍去)，

所以三角形BCD的面積為春xBCxCDxsinC=JX5X10X*=15.

9.（23-24高三下?浙江?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面內(nèi)的四個(gè)動(dòng)點(diǎn)A,B,C,。構(gòu)成的四邊形ABCD中,

AB=1,BC=2,CD=3,AD=4.

D

（1）求AACD面積的取值范圍；

（2）若四邊形A8CD存在外接圓，求外接圓面積.

【答案】（1）（0,2遍）；（2）段|工

【解析】（1）由三角形的性質(zhì)可知，AB+3O47,即力。<3,

且AC+CD>A。，即4。>1,所以1<4。<3,

△ADC中,cosAADC=9*16］華=25:產(chǎn)2

2x3x424

所以cos/ADCC信,1）,則sin/ADCC（0,李），

S/WXJ='x3X4XsinZ.ADC—6sinZ.ADC,

所以4ADC面積的取值范圍是（0,2遍）；

⑵△ADC中，AC2=9+16—2X3X4XcosAADC=25-24cos/ADC,

△ABC中，AC2=1+4—2xlx2xcosZABC=5—4cos/ABC,

即25—24cos/ADC=5—4cos/ABC

因?yàn)樗倪呅?BCD存在外接圓，所以AADC+/ABC=180°,即cosAADC=-cosAABC,

即25—24cos/ADC=5+4cos/ADC,得cosAADC=-1-,sin/ADC=5_2V6

此時(shí)松=25-24x1=5■，即等，

4_AC_V23W._V23W

由729RR—U亞——-nAR—

四邊形ABCD外接圓的面積S=兀7?2=兀x（縹頁(yè)f=1155兀

v24/288

題型四解三角形中邊長(zhǎng)或周長(zhǎng)的最值范圍

S大題典例

10.（24-25高三上?四川綿陽(yáng)?月考）在銳角AABC中，角A,8,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,b2=c2—ab.

（1）求證：C=2B；

（2）b=2,求a的取值范圍.

【答案】（1）證明見解析；（2）2<a<4.

【解析】（1）在銳角△ABC中，由余弦定理〃=a?+c?—2accosB及〃=c?—ab,得2ccos8=a+b,

由正弦定,理得2sinCcosB=sinA+sinB=sin（_B+C）+sinB=sinBcosC+cosBsinC1+sinB,

則5由（0—3）=5皿3,由0<（7<拳0<3<會(huì)得一5<0—3<5，

所以=B，即。=23.

(2)在銳角4ABC中，由正弦定理得上y=,則,(:g=-A7，

smAsmBsm(7U-B-2B)smB

工日2sin(B+2B)2(sinBcos2B+cosBsin2B)。cc,5?c小

于是a=----V—---=---------------------=2cos2B+4cos2B=8cos92B-2,

sinBsmB

由得看<B<]'則8sBe(亨，號(hào))，cos2BC(H),

所以a的取值范圍是2VaV4.

解法指導(dǎo)

利用正、余弦定理等知識(shí)求解三角形邊長(zhǎng)或周長(zhǎng)最值范圍問(wèn)題，一般先運(yùn)用正、余弦定理進(jìn)行邊角

互化，然后通過(guò)三角形中相關(guān)角的三角恒等變換,構(gòu)造關(guān)于某一角或某一邊的函數(shù)或不等式,再利

用函數(shù)的單調(diào)性或基本不等來(lái)處理。

S變式訓(xùn)練

11.（24-25高三上?山西?月考）在△48。中，角人昆仁的對(duì)邊分別是明仇小且（fe+c）cosA=

a(cosB—cosC).

(1)證明：A=2B.

（2）若△ABC是銳角三角形，求衛(wèi)的取值范圍.

a

【答案】（1）證明見解析;

【解析】(1)由題設(shè)(sinB+sinC)cosA=sinA(cosjB—cosC),

所以sinBcosA+sinCcosA=sinAcosB—sinAcosC,

貝IsinCcosA+sinAcosC=sinAcosB—sinBcosA,RRsin(A+C)=sin(A—B),

又4+。=兀一則sin(7t—B)=sinB=sin(_A-_B),且Z,_Be(0,7U),

所以8=>1-石0入=26,得證.

0<A<f0<2B<f

⑵由題設(shè)，0<B<-1，即＜0<B<f，得=

/64

n

號(hào)VA+BVTU<3B<7r

sinB_sinB1

由—,而cosBGe

asinAsin2B2cosBa

12.（24-25高三上?貴州遵義?月考）記△ABC的內(nèi)角A,B,。對(duì)應(yīng)的三邊分別為a,b,c,且《sinB+

cosB=1.

⑴求8；

（2）若b=3,求△ABC的周長(zhǎng)的取值范圍.

【答案】（1）B=等；（2）（6,2g+3]

O

【解析】（1）因?yàn)閟irkB+cos_B=1,所以2sin（B+看）=1,即sin（B+[■）=],

因?yàn)锽E（0,兀），所以石+5=萼，即R=警；

663

（2）因?yàn)?=等，b=3,由正弦定理得acb3

OsinAsinCsinBV3_

2

則a=2V3sinA,c=2V3sin(7,又_4+_8+。=兀,

則0=兀-8—4=專一4且AC(0,兀

所以a+b+c=2V3sinA+2V3sin^—A)+3=2A/SsinA+3cosA—VSsinA+3

=VSsinA+3cos>4+3=2V3sin

因?yàn)锳C（0晝），所以A+號(hào)G

所以a+b+cG（6,2A/3+3],

綜上可知,三角形48。的周長(zhǎng)的取值范圍是（6,2盜+3].

題型五解三角形中面積的最值皰國(guó)

s大題典例

13.（24—25高三上?遼寧沈陽(yáng)?月考）已知△ABC中，角45。的對(duì)邊分別為a,b,c,滿足，^bsinC—

ccosB=c.

⑴求角R

⑵若△48。為銳角三角形，且a=2,求△ABC面積的取值范圍.

【答案】⑴,⑵（卓,2⑹

【解析】（1）因?yàn)閂3bsinC—ccosB=c,由正弦定理得VSsinBsinC—sinCcosB=sinC,

因?yàn)镺VCV兀，可得sinC>0,所以V3sinB—cosB=1,所以sin（B—,

又因?yàn)镺VBV兀，所以B—￡解得8二3.

663

⑵由⑴知_B二5,且a=2,

O

aca

又由正弦定理得可得c?sinC,

sinAsinC'sinA

血sinC_血sin(弩一⑷_四(烏cosA+/sinA

所以S=-^-acsinB—^-c—-sinC=

222sinAsinAsinAsinA

V3?3

22tanA'

因?yàn)椤鰽BC為銳角三角形，所以0VAV=■，且0<0=孕一AV3，可得《〈人〈會(huì),

23262

則tanA>^，所以0<—J<維之，所以△4BC面積的取值范圍是（項(xiàng),26）.

32tanA2\2，

解法指導(dǎo)

1、常用三角形的面積公式:

⑴S=9總；

(2)S=JabsinC=JacsinB=JbcsinA；

(3)S=]~r(a+b+c)(r為三角形內(nèi)切圓半徑)；

⑷S=Jp(p—a)(p—b)(p—c)，即海倫公式，其中p=-y(tt+6+c)為三角形的半周長(zhǎng)。

2、求面積的最值范圍，常先引入變量，如邊長(zhǎng)、角度等，然后把要解三角形面積用所設(shè)變量表示出來(lái)，再利

用正余弦定理列出方程求解。注意函數(shù)思想的應(yīng)用。

S變式訓(xùn)練

14.(24-25高三上?江西?期中)已知△ABC中，角ABC所對(duì)的邊分別為a,b,c,且空￥+必鏟=

0ab

3

4acosB

(1)求cosB；

(2)若b=4,求△ABC面積的最大值.

【答案】⑴等；⑵4a.

【解析】(1)由等。+空鏟---——,得acosC+ccosA=3b

bab4acosB4cos8

由正弦定理，得sinAcosC+sinCcosA=產(chǎn)口金

4cosG

因?yàn)閟inAcosC+sinCcosA=sin(A+C)=sin_B,且0VBVBsiirBW0,

綜上，3=1ncosB=:.

4cosB4

⑵因?yàn)閎=4,cosB=(,

由余弦定理，得16=Q?+。2—2accosB=a2+c2—QC》2ac—^-ac—^-ac,

所以QC432,當(dāng)且僅當(dāng)Q=c=4V2時(shí)取等號(hào)，

因?yàn)閟inB=A/1—cos2B=J1—(菖)=,

所以△ABC面積S=]acsinB<1~X32x4=4，f,即△ABC面積的最大值為477.

15.(24-25高三上?河南?月考)在△ABC中，內(nèi)角4B,。所對(duì)的邊分別為a,b,c,且滿足a+b

cosA+cosB

c

sin。

(1)求。的值;

⑵若ZVIBC內(nèi)有一點(diǎn)P,滿足AAPB=AAPC=/CP