2025屆高三年級上冊10月聯(lián)考數(shù)學試題（含答案）

2025屆高三上學期10月聯(lián)考數(shù)學試題

一、單選題（本大題共8小題）

A2

={x|ln(x-l)>0}；集合8=!xlx-3x<0

1.已知集合，則=()

A.（°，2]B.[2,3)[2,+(?)

a(o,+8)D.

已知i為虛數(shù)單位，復數(shù)z滿足|z+l|=|z+i|=0，貝〃z|的值為（

2.）

B.V2C,6■或2亞

A.1D.1或人

zf.V3、

已知向量7=（2，°）,b=F?=

3.\若向量B在向量G上的投影向量r°,則

)

Vio

A.V3B.方

C.4D.1

4.已知函數(shù)"X）滿足/（x）=〃2-x）,且在區(qū)間”,+9）上單調(diào)遞減.設0=/（-In1.1）,

6=/（2。）c=/（log25）；則（）

A.a>b>cB.b>c>a

C.c>b>aD.b>a>c

5.已知圓錐的母線長為定值R,當圓錐的體積最大時，圓錐的底面半徑為（)

V3

V69D.7

-----K-----K

A.3B.3C.

（x+l）/（x）＜0的解集為（

6.已知函數(shù)"X）的圖象如圖所示,則不等式)

(-8,7)52,+8)c.(-l,l)U(3,+s)

B.

|ju(2,+oo)

D.I2)

若正項等比數(shù)列也｝滿足.必+|=22"（"€、），則數(shù)列｛為｝的前項的和S4的值是

7.4

(）

15亞

A.15收B.4C.8夜D.6^2+6

3

8.已知小明射箭命中靶心的概率為5,且每次射擊互不影響，則小明在射擊4次后,

恰好命中兩次的概率是（）

369144216

A.625B.25C.625D.625

二、多選題（本大題共3小題）

9.如圖，在直三棱柱/8。一44。中，M=2,AB=BC=\,//BC=120°,側(cè)面

“4G。的對角線交點。，點E是側(cè)棱8月上的一個動點，下列結(jié)論正確的是（

A.直三棱柱的側(cè)面積是4+2。

B.直三棱柱的外接球表面積是4兀

C.三棱錐￡一"4°的體積與點E的位置無關(guān)

D."E+EJ的最小值為2亞

10.已知△/SC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,C,則下列說法正確的有

（）

A.a1tanB=b2tanA,貝=6

Ab+c

cos2-=----

B.若22c,則此三角形為直角三角形

TT

a=3,b=4,B=一

C.若6,則解此三角形必有兩解

D.若△4BC是銳角三角形，貝I]sinN+sin8>cos/+cosB

一

a4a14

11.已知數(shù)列｛“'｝的首項為4=1,且9%%+1=n-n+l,數(shù)列M,數(shù)列

[na?]

數(shù)列11+3。/的前〃項和分別為邑，0，7；,則（）

anu1。4"+1,1T4n+\

<fcS*<-----4nR<-7<-------

A.冊5B.3C.3D.94角

三、填空題（本大題共3小題）

XH--=2-i--y

12.已知》>1,y>Q,且了，貝ux-i.的最小值是.

13.已知函數(shù)"x）=sin（2兀。x）（0>0）在區(qū)間[0,18]上有且僅有5個零點，則。的取值

范圍是

\x+m\,x<0,

/(x)=42mr-、c

-----y/X,X>0.

14.設函數(shù)I2給出下列四個結(jié)論:

①當加=0時，函數(shù)/（X）在（一吟+00）上單調(diào)遞減；

②若函數(shù)了（無）有且僅有兩個零點，則切＞°；

③當機＜0時，若存在實數(shù)。力,使得/（。）=/0）,則的取值范圍為0，+8）；

④已知點函數(shù)“x）的圖象上存在兩點白（網(wǎng)，必），。2。2，%）（再＜%＜0）,

。,。2關(guān)于坐標原點。的對稱點也在函數(shù)"X）的圖象上.若盧ON尸。卜;一，則

m=l

其中所有正確結(jié)論的序號是

四、解答題（本大題共5小題）

15.已知等比數(shù)列｛""｝的前〃項和為為S5=62,曷=2046,數(shù)列也｝滿足

+1）（4〃-1）

+26+...+nb=----------

2n6.

⑴求數(shù)列也｝的通項公式；

Cr。"（1+2）

⑵令"一2,求也｝的前〃項和北.

16.如圖，在三棱錐P-/3C中，4,用，G分別是側(cè)棱p/,PB,PC的中點,

AB1BC,4。，平面88CC.

（1）求證：平面平面4?￡；

（2）如果4c=8（,4B=BC=4,求二面角4一臺4一C的余弦值.

17.近年來，某大學為響應國家號召，大力推行全民健身運動，向全校學生開放了

48兩個健身中心，要求全校學生每周都必須利用課外時間去健身中心進行適當?shù)捏w

育鍛煉.

（1）該校學生甲，乙，丙三人某周均從48兩個健身中心中選擇其中一個進行健身，若

j_]_2

甲，乙，丙該周選擇4健身中心健身的概率分別為5'3勺，求這三人中這一周恰好有

一人選擇“健身中心健身的概率；

（2）該校學生丁每周六，日均去健身中心進行體育鍛煉，且這兩天中每天只選擇兩個健

身中心的其中一個，其中周六選擇N健身中心的概率為5.若丁周六選擇/健身中心,

則周日仍選擇/健身中心的概率為4;若周六選擇B健身中心，則周日選擇N健身

2

中心的概率為§.求丁周日選擇B健身中心健身的概率；

（3）現(xiàn)用健身指數(shù)'9來衡量各學生在一個月的健身運動后的健身效果，并規(guī)

定上值低于1分的學生為健身效果不佳的學生，經(jīng)統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)從全校學生中隨機抽取一

人，其上值低于1分的概率為0.02.現(xiàn)從全校學生中隨機抽取一人，如果抽取到的學

生不是健身效果不佳的學生，則繼續(xù)抽取下一個，直至抽取到一位健身效果不佳的學

生為止，但抽取的總次數(shù)不超過〃.若抽取次數(shù)的期望值不超過23,求"的最大值.

參考數(shù)據(jù).0.9829a0.557,0.9830?0.545,0.9831。0.535

工2y2y/3

18.已知橢圓°片~2-的離心率為2,過點“0°）的直線/交橢圓

C于點4巴且當/二軸時，建1二3

（1）求橢圓C的方程；

（2）記橢圓C的左焦點為尸，若過￡43三點的圓的圓心恰好在y軸上，求直線/的

斜率.

19.對于四個正數(shù)m、n、p、q,若滿足收＜秋，則稱有序數(shù)對（取"）是（°，《）的“下

位序列”.

（1）對于2、3、7、11,有序數(shù)對1）是（2"）的“下位序列”嗎？請簡單說明理由；

ac

⑵設a、b、c、d均為正數(shù)，且（°力）是（°”）的“下位序列”，試判斷石、萬、

a+c

b+d之間的大小關(guān)系；

⑶設正整數(shù)〃滿足條件：對集合｛川°〈加＜2024,加eN｝內(nèi)的每個勿，總存在正整數(shù)

k,使得（私2024）是（左,〃）的“下位序列”，且&〃）是（加+1，2°25）的“下位序列”，

求正整數(shù)〃的最小值.

參考答案

I.【答案】C

【詳解】由ln（xT"°可得：x",所以/=[2,+動,

由x2-3x<0可得：0<x<3,所以3=（°，3）,

所以人2=（°，+8）.

故選：C.

2.【答案】C

［詳解］設z=q+歷，貝ijz+l=(a+l)+歷，z+i=a+(6+l)i,

因為|z+l|=|z+i|=V^,

(a+l)2+Z>2=5

/+0+1)2=5

所以I

當Q=6=1時，目=及.當a=6=-2時,|z|=2V2

故選：C

3.【答案】D

照言=2￡萬=&=（）

v7

【詳解】解：由已知可得，B在@上的投影向量為同同2x22

-_c=-,0彳=二

又b在。上的投影向量<2人所以2.

D正確.

故選：D.

4.【答案】D

【詳解】由/(')=/(2-得到對稱軸為1=1,則a=/(TnLl)=/(2+lnl.l),

而1<2°4<2+In1.1<2+log21.1=log24.4<log25又/(%)在口，+8)上單調(diào)遞減，

則/(2。4)>/(2+1川1)>/(10殳5),得心。八.

故選：D

5.【答案】B

【詳解】設圓錐的底面半徑為r,高為〃，則/+小=尺2,

可得產(chǎn)=心-川，或（0,0，

V（h）=-Ttr2h^-Tt（R2-h2}h=-n（R2h-h3}V=-Tt（R2-3h2）

則圓錐的體積33'J3'。則3'）,

當°<'<，"時，叫〃）>°；當時，『㈤<°；

則「?。┰贗3J上單調(diào)遞增，在（3J內(nèi)單調(diào)遞減,

h——R尸=R

可知當3,即3時，圓錐的體積取到最大值.

故選：B.

6.【答案】A

【詳解】由函數(shù)“X）的圖象可得：

/1、

X€（-00,-）

當2時，函數(shù)單調(diào)遞增，則/W＞0,

XG（—,2）?

當2時，函數(shù)單調(diào)遞減，則/（x）＜0.

當xe（2,+8）時，函數(shù)單調(diào)遞增，則/'（x）＞0,

r（x）＞or?<o

。+1）八無）＜0=

x+1>°②

1一

一＜%＜2

解①得，X＜-1,解②得，2,

,（-8,-1）。化2

綜上，不等式（x+l）/（x）＜°的解集為12

故選：A.

7.【答案】A

【詳解】設正項等比數(shù)列｛%｝的公比為

%+W"+2=2.""=4=2

aa

因為""""+1=2（”eN）,所以?n+\2,

解得q=2,所以小2=22〃（%＞0）,

所以%=22,所以4=22=叵,

所以數(shù)列的前4項的和邑的值為15?.

故選A

8.【答案】D

【分析】利用二項分布的概率即可得解.

【詳解】由已知命中的概率為5,不命中的概率為5,射擊4次，命中兩次,

故選D.

9.【答案】ACD

【分析】首先計算NC長，再根據(jù)直棱柱的側(cè)面積公式，即可判斷A；首先計算

△/8C外接圓的半徑，再根據(jù)幾何關(guān)系求外接球的半徑，代入公式，即可判斷B；

根據(jù)體積公式，結(jié)合線與平面平行的關(guān)系，即可判斷C；利用展開圖，結(jié)合幾何關(guān)

系，即可判斷D.

【詳解】A.△/8C中,

所以直棱柱的側(cè)面積為。+1+二）2=4+2.,故A正確;

1

y-----A--C------—]

B.外接圓的半徑2sin1200

R==6

所以直棱柱外接圓的半徑

則直三棱柱外接球的表面積5=4兀叱=8兀，故B錯誤；

c.因為且221a平面44clc,/4u平面N4G。，所以呂月〃平面N/CC,

點E在上，所以點E到平面出1。。的距離相等，為等腰三角形N8C底邊的高為

j_

5,

1,V3V3

_X/x__=__

且△44°的面積為22~2,

￡&J__V|

則三棱錐￡一,"°的體積為定值與點￡的位置無關(guān)，故C正確;

D.將側(cè)面展開為如圖長方形，連結(jié),G,交于點￡,

此時AE+明最小，最小值為M+MIT=2近,故D正確.

故選ACD.

【關(guān)鍵點撥】本題D選項解決的關(guān)鍵是將平面①與CG8也展開到同一個面，利用兩

點之間距離最短即可得解.

10.【答案】BD

【詳解】對于A：因為a2tan8=/tanN,由正弦定理可得sin2/tan8=sin?8tan）,

sin2/sin5_sin2BsinA

則cosBcosA,

又43則sinZwO,sinBwO,2A,2B￡電2兀）,

sin力_sin5

可得cos5cosA,整理得sin2^=sin25,

又因為4+3?0,%）,

A+B=-

可得24=23或2/+28=萬，即/=8或2,

所以。=6或1+62=02,故人錯誤；

1+cosA_b+c_sinB+sinC

對于B：因為22c2sinC,則2sinC+2cos/sinC=2sin5+2sinC,

cosAsinC=sinB=sin［乃一（4+。）］=sin（4+C）=sin/cosC+cos/sinC

所以

所以sin4cosC=0f

(7=_

在三角形中，sin4>0,所以cosC=0,所以2,

則此三角形為直角三角形，故B正確；

JT3

a=3,b=4,B=—asinB=—

對于C：因為6,所以2,所以asinB<W6,

則解此三角形只有一解，故C錯誤；

對于D：因為aNBC是銳角三角形，

7171

0V&--<A^-B71

所以2,所以2,

0<^<BA—sinf--5|<sin^

所以22,所以12J,即cosBVsin/,

同理cosA<sin5,

則sinA+sinB>cosA+cosB,故D正確.

故選：BD.

11.【答案】BCD

［詳解］若數(shù)列｛"/中存在某項4=0,由9a"=%_4”用可推得ak_x=aM=0,

進而｛"'｝所有項均為0,與%=1矛盾，故數(shù)列｛%｝均為非零項.

9_1_4

aaa

由=。〃-4%+1兩邊同時除以nn+l,可得知+1n,

1

—+3=4一+3,—+3=4力0

aa

所以n+\［%)\,

(-+3!

故數(shù)列〔見J是以4為首項，公比為4的等比數(shù)列，

—+3=4,J1

an二-----

所以知即4〃-3.

i11/131

0-Q3=——=>—

對于A,因為""一4"-3,可得213'361'出615,矛盾，所以人錯誤;

A4"i4

因為，"二（，-3）+（42-3）+-+（4"一3）=式4"-1）-3〃=亍一§-3"

對于B,

4〃+i4〃+i4〃+i

<-------1-3=--------4S”<--------4

33,所以3成立，所以B正確;

4"111

4"a?a?

+1-3）（4,,+1-3）3（4"-34向一3

對于C,因為

所以&…+3-卜

所以c正確;

n

4〃+i

n

4〃+i

故選BCD.

12.【答案】3+2也

22

x+-=2x-l+-=l

【詳解】由〉，得〉

因為X>1,y>0）

所以x-l>0,y>0

所以占=3+尹高；，2卜1）廣高7=3+20

（x-l）y=——-——

當且僅當（龍T",即a/,了=2+后時，等號成立,

1_

所以x-J'的最小值是3+2逝.

—<ty<—

13.【答案】936

【詳解】因為〃x）=sin（2兀。x）,所以函數(shù)/（x）的最小正周期，一2無0一。

因為/（x）在區(qū)間［°』8］上有5個零點，

525

27<18<-T—<18<—

所以2,即g2①，

—<a）<—

故答案為：936.

14.【答案】②③④

【詳解】當加=0時，時，/（x）=°,故在（一0°，+8）上不是單調(diào)遞減，①錯誤;

對于②，當旭=0顯然不成立，故加工°,

當近0時，令"x）=°,即一亍，得片0,x<g++0nx=-m,要使

,（X）有且僅有兩個零點，則一切<°，故加>°,②正確，

<0,

/（x）=<_四人尤>0

對于③，當機<0時，'2尤"一.，此時/（X）在（一叫°）單調(diào)遞減，在

若/⑷=/0）,由-%=--廠Jxnx=,故,一4>2,所以|"目的取值范圍為

（2,+8）；③正確

對于④，由①③可知：機時，顯然不成立，故加>°,

要使。1（國,%）,。2&/2）（尤1</<0）,關(guān)于坐標原點。的對稱點也在函數(shù)

/（X）的圖象上，

x>0.G）_叵m&

則只需要“>°/=一，一時的圖象與"'2*有兩個不同的交點，如圖:

3^/^3

\PQ\+\PQi\->/2\-m-xj+V2\x2+m\=-V2(m+石)+6(x2+m)==>x2-=—

/（一再）=一字"戶?

卜項-m\=Xy+m

由對稱可得

化簡可得

化簡得K戶當戶

|=-x2-m

3

此時'25,因此機=i,④正確.

故答案為:

15.【答案】(1)4=2"也=21

⑵(〃-1>*+2

——=62

1-9

『=6232=2046

【詳解】(1)由題意知，〔幾-2046,即〔\-q

f?i=2

解得M=2,所以見=%廣|=2"；

4+262+.-+(〃-1)%|+""="("+D(4"T)①

由一6

4+24+~+(〃-1)4)=(W-1)W(4w~5)(n>2)@

得6,

nb=〃(〃+1)(4"-1)_("1)"(4〃-5)

①-②兩式相減得：66\

所以"=2〃-1,

當”=1時，4=1滿足上式,

故”=2〃T

,〃(1+嫡_2〃0)

-------------------------，

(2)由(1)知，%=2",6“=2〃-1,所以J22

Tn=l-2i+2?22+3"+—+(〃—l).2"T+〃,2^^

27；=1-22+2-23+3-24+---+(M-1)-2"+W2,,+1@

2(1—2")

_-T=2'+22+23+---+2"-w-2n+1=-?.2n+,=(l-w).2w+1-2

③-④兩式相減得：1-2

所以7>("1>2向+2.

16.【答案】(1)證明見解析

⑵k

【詳解】（1）因為4,Bl,G分別是側(cè)棱P4,PB,尸c的中點,

所以A\B#AB,B\GHBC,

因為N818C,所以

因為4C，平面班cc,4GU平面加CC,

所以43G

又4CC/4=4,4c,u平面4片。，

所以5￡J■平面44C,

又因為4Gu平面4與G,

所以平面平面44G；

（2）因為4c平面84GC,8c,u平面831GC,

所以4C,4c，4C，BC,

因為N8=5C=4,所以4g=4G=2,

所以4c=5C=0,

因為51C1J?平面43。，B\G"BC,

所以8cl平面44c,

又4Cu平面4BC,所以8C，4C,

所以C4，C8,cq兩兩垂直，

如圖，以點C為原點，建立空間直角坐標系，

則S（4,0,0）,C（0,0,0），4（0,0,V2）5,@,0,0）

故?！?（0,貶,-收）福=G，o,-&）

設平面4BA的法向量為"=（x,y,z）.

n?&B]=\[2y—y[2z=0

.福=4x一任=0可取方=q,2回2拒)

則有

因為4。，平面5耳0。，

CA'=行)即為平面陰0C的一條法向量,

所以

42734

cosn,CA[=

同可V17xV217

故

2734

所以二面角4一的余弦值17

7

17.【答案】⑴、

13

⑵萬

(3)30

【詳解】(1)由題意得這三人中這一周恰好有一人選擇么健身中心健身的概率

尸+11-|x|x1-|xl-i1x^=7

x+1-+1-

Ii13318

(2)記事件C：丁周六選擇N健身中心，

事件。：丁周日選擇&健身中心，

貝uP(c)=pC)=；，p(qc)=i一：=：，尸90=1一g

Z3,

131113

P(D)=P(C)P(D\C)+P(C)P(D\C\=—x——|——X—=——

由全概率公式得VV7242324,

13

故丁周日選擇3健身中心健身的概率為24.

(3)設從全校學生中隨機抽取1人，抽取到的學生是健身效果不佳的學生的概率為

P.

貝I]P=OS,

設抽取次數(shù)為X,則X的分布列為

X123〃—1n

PP(l-p)p(1-P尸

故E(X)=p+(l-p)px2+(l-0)2px3+,..+(l-p)\x("l)+(l-p)"Tx",

口(1-〃)￡(X)=(1-/?)/?+(1-p}1x2+(1-p)3x3H--F(1—2)〃Tpx(〃_1)+(1_p)"xn

兩式相減得PE(X)=P+(1-P)P+(1-P)(+…+(1-P)"M+(1-p)”，，

所以E(X)=l+0-0)+0-p)2+…+0-°廣+(1-

_i-(i-^y__i-o.98n

-1-(1-^)―~p—0.02

E(X)=1^，

所以0.02在時單調(diào)遞增,

匕空町。匕工22.15

E（X）=

可知當”=29時，0.020.02

1-0.98301-0.545--

E（X）=-------X--------=22.75

當“=30時，0.020.02

￡(X)=a^3史=23.25

當〃=31時，,70.020.02

若抽取次數(shù)的期望值不超過23,則〃的最大值為30.

【關(guān)鍵點撥】（1）利用獨立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式進行計算;

（2）利用全概率公式P（D）=P（C）P（r）|c）+尸（C）尸（z）C）進行求解；

⑶設抽取次數(shù)為X,求出，的分布列和數(shù)學期望,利用錯位相減法求出￡"若

由函數(shù)＞=-0.98,單調(diào)遞增，得出E（X）在時單調(diào)遞增，結(jié)合題目給出的參考數(shù)據(jù)求

得答案，

—Hy=1

18.【答案】⑴4-

,