2025屆高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：函數(shù)模型及其應(yīng)用（附答案）

2025屆高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：優(yōu)質(zhì)好題專(zhuān)題（函數(shù)模型及其應(yīng)用）練習(xí)

一、單選題

1.（2024高三上?廣東深圳?期末）某科技企業(yè)為抓住“一帶一路”帶來(lái)的發(fā)展機(jī)遇，開(kāi)發(fā)生產(chǎn)一智能產(chǎn)品，該

產(chǎn)品每年的固定成本是25萬(wàn)元，每生產(chǎn)x萬(wàn)件該產(chǎn)品，需另投入成本0（x）萬(wàn)元.其中

x2+10x,0<x<40

0（x）=（10000，若該公司一年內(nèi)生產(chǎn)該產(chǎn)品全部售完，每件的售價(jià)為70元，則該企業(yè)每

71x+----------945,x>40

、x

年利潤(rùn)的最大值為（）

A.720萬(wàn)元B.800萬(wàn)元

C.875萬(wàn)元D.900萬(wàn)元

2.（2024?浙江?二模）紹興某鄉(xiāng)村要修建一條100米長(zhǎng)的水渠，水渠的過(guò)水橫斷面為底角為120。的等腰梯形

（如圖）水渠底面與側(cè)面的修建造價(jià)均為每平方米100元，為了提高水渠的過(guò)水率，要使過(guò)水橫斷面的面

積盡可能大，現(xiàn)有資金3萬(wàn)元，當(dāng)過(guò)水橫斷面面積最大時(shí)，水果的深度（即梯形的高）約為（）（參考數(shù)

據(jù)：6*1.732）

A.0.58米B.0.87米C.1.17米D.1.73米

3.（2024高三下?北京?開(kāi)學(xué)考試）某純凈水制造廠在凈化水的過(guò)程中，每增加一次過(guò)濾可使水中雜質(zhì)減少

50%,若要使水中雜質(zhì)減少到原來(lái)的5%以下，則至少需要過(guò)濾（）

（參考數(shù)據(jù)：lg2?0.3010）

A.2次B.3次C.4次D.5次

4.（2024?全國(guó)）2019年1月3日嫦娥四號(hào)探測(cè)器成功實(shí)現(xiàn)人類(lèi)歷史上首次月球背面軟著陸，我國(guó)航天事業(yè)

取得又一重大成就，實(shí)現(xiàn)月球背面軟著陸需要解決的一個(gè)關(guān)鍵技術(shù)問(wèn)題是地面與探測(cè)器的通訊聯(lián)系.為解

決這個(gè)問(wèn)題，發(fā)射了嫦娥四號(hào)中繼星“鵲橋”，鵲橋沿著圍繞地月拉格朗日4點(diǎn)的軌道運(yùn)行.4點(diǎn)是平衡點(diǎn)，

位于地月連線(xiàn)的延長(zhǎng)線(xiàn)上.設(shè)地球質(zhì)量為AG,月球質(zhì)量為AG,地月距離為R4點(diǎn)到月球的距離為廠，根

據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律和萬(wàn)有引力定律，廠滿(mǎn)足方程：蒼J+牛=（火+0條.

（A+r）rR

設(shè)a==,由于。的值很小，因此在近似計(jì)算中：、:“33,貝”的近似值為

R（1+ay

1

5.（2024?全國(guó)）在新冠肺炎疫情防控期間，某超市開(kāi)通網(wǎng)上銷(xiāo)售業(yè)務(wù)，每天能完成1200份訂單的配貨，由

于訂單量大幅增加，導(dǎo)致訂單積壓.為解決困難，許多志愿者踴躍報(bào)名參加配貨工作.已知該超市某日積壓500

份訂單未配貨，預(yù)計(jì)第二天的新訂單超過(guò)1600份的概率為0.05,志愿者每人每天能完成50份訂單的配貨，

為使第二天完成積壓訂單及當(dāng)日訂單的配貨的概率不小于0.95,則至少需要志愿者（）

A.10名B.18名C.24名D.32名

6.（2024?河南鄭州?模擬預(yù)測(cè)）水霧噴頭布置的基本原則是：保護(hù)對(duì)象的水霧噴頭數(shù)量應(yīng)根據(jù)設(shè)計(jì)噴霧強(qiáng)度、

保護(hù)面積和水霧噴頭特性，按水霧噴頭流量4（單位：L/min）計(jì)算公式為q=K/7市和保護(hù)對(duì)象的水霧噴

S-W

頭數(shù)量N計(jì)算公式為N=——計(jì)算確定，其中P為水霧噴頭的工作壓力（單位：MPa）,K為水霧噴頭的流

q

量系數(shù)（其值由噴頭制造商提供），s為保護(hù)對(duì)象的保護(hù)面積，平為保護(hù)對(duì)象的設(shè)計(jì)噴霧強(qiáng)度（單位：

L/min.m2）.水霧噴頭的布置應(yīng)使水霧直接噴射和完全覆蓋保護(hù)對(duì)象，如不能滿(mǎn)足要求時(shí)應(yīng)增加水霧噴頭的

數(shù)量.當(dāng)水霧噴頭的工作壓力P為0.35MPa,水霧噴頭的流量系數(shù)K為24.96,保護(hù)對(duì)象的保護(hù)面積S為14nl2,

保護(hù)對(duì)象的設(shè)計(jì)噴霧強(qiáng)度少為20L/min.m,時(shí)，保護(hù)對(duì)象的水霧噴頭的數(shù)量N約為（參考數(shù)據(jù)：后a1.87）

（）

A.4個(gè)B.5個(gè)C.6個(gè)D.7個(gè)

7.（2024?四川成都?三模）英國(guó)物理學(xué)家和數(shù)學(xué)家牛頓曾提出物體在常溫環(huán)境下溫度變化的冷卻模型.如果

物體的初始溫度是4,環(huán)境溫度是E，則經(jīng)過(guò)fmin物體的溫度。將滿(mǎn)足其中人是一個(gè)

隨著物體與空氣的接觸情況而定的正常數(shù).現(xiàn)有9（TC的物體，若放在的空氣中冷卻，經(jīng)過(guò)lOmin物體

的溫度為5（TC,則若使物體的溫度為2（FC,需要冷卻（）

A.17.5minB.25.5minC.30minD.32.5min

8.（2024?福建福州?模擬預(yù)測(cè)）為落實(shí)黨的二十大提出的“加快建設(shè)農(nóng)業(yè)強(qiáng)國(guó)，扎實(shí)推動(dòng)鄉(xiāng)村振興”的目標(biāo),

銀行擬在鄉(xiāng)村開(kāi)展小額貸款業(yè)務(wù).根據(jù)調(diào)查的數(shù)據(jù)，建立了實(shí)際還款比例P關(guān)于貸款人的年收入x（單位：

-0.9680+Ax

,

萬(wàn)元）的Logistic,模型：尸（》）=［上一。.968。+底已知當(dāng)貸款人的年收入為8萬(wàn)元時(shí)，其實(shí)際還款比例為50%.

若銀行希望實(shí)際還款比例為40%,則貸款人的年收入為（）（精確到0.01萬(wàn)元，參考數(shù)據(jù)：ln3“1.0986,

2

In2?0.6931）

A.4.65萬(wàn)元B.5.63萬(wàn)元C.6.40萬(wàn)元D.10.00萬(wàn)元

9.（2024?江蘇南通?模擬預(yù)測(cè)）為了貫徹落實(shí)《中共中央國(guó)務(wù)院關(guān)于深入打好污染防治攻堅(jiān)戰(zhàn)的意見(jiàn)》，某

造紙企業(yè)的污染治理科研小組積極探索改良工藝，使排放的污水中含有的污染物數(shù)量逐漸減少.已知改良

工藝前所排放廢水中含有的污染物數(shù)量為2.25g/n?,首次改良工藝后排放的廢水中含有的污染物數(shù)量為

3

2.21g/m,第"次改良工藝后排放的廢水中含有的污染物數(shù)量rn滿(mǎn)足函數(shù)模型

〃eN*）,其中“為改良工藝前所排放的廢水中含有的污染物數(shù)量，〃為首次改

良工藝后所排放的廢水中含有的污染物數(shù)量，”為改良工藝的次數(shù)，假設(shè)廢水中含有的污染物數(shù)量不超過(guò)

0.25g/n?時(shí)符合廢水排放標(biāo)準(zhǔn)，若該企業(yè)排放的廢水符合排放標(biāo)準(zhǔn)，則改良工藝的次數(shù)最少要（）（參考

數(shù)據(jù)：lg2?0.30,lg3?0.48）

A.14次B.15次C.16次D.17次

10.（2024?江西?二模）草莓中有多種氨基酸、微量元素、維生素，能夠調(diào)節(jié)免疫功能，增強(qiáng)機(jī)體免疫力.草

莓味甘、性涼，有潤(rùn)肺生津，健脾養(yǎng)胃等功效，受到眾人的喜愛(ài).根據(jù)草莓單果的重量，可將其從小到大依

次分為4個(gè)等級(jí)，其等級(jí)無(wú)（尤=1,2,3,4）與其對(duì)應(yīng)等級(jí)的市場(chǎng)銷(xiāo)售單價(jià)y（單位：元/千克）近似滿(mǎn)足函數(shù)關(guān)

系式＞若花同樣的錢(qián)買(mǎi)到的1級(jí)草莓比4級(jí)草莓多1倍，且1級(jí)草莓的市場(chǎng)銷(xiāo)售單價(jià)為24元/千克，貝”

級(jí)草莓的市場(chǎng)銷(xiāo)售單價(jià)最接近（）（參考數(shù)據(jù)：殍1.26,退“1.59）

A.30.24元/千克B.33.84元/千克C.38.16元/千克D.42.64元/千克

11.（2024?重慶?模擬預(yù)測(cè)）中華人民共和國(guó)國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)《居室空氣中甲醛的衛(wèi)生標(biāo)準(zhǔn)》規(guī)定：居室空氣中甲

醛的最高容許濃度為：一類(lèi)建筑0.08mg/n?,二類(lèi)建筑O.lmg/n?.二類(lèi)建筑室內(nèi)甲醛濃度小于等于

O.lmg/n?為安全范圍，已知某學(xué)校教學(xué)樓（二類(lèi)建筑）施工過(guò)程中使用了甲醛噴劑，處于良好的通風(fēng)環(huán)境

下時(shí)，竣工2周后室內(nèi)甲醛濃度為2.25mg/n?,4周后室內(nèi)甲醛濃度為0.36mg/m3,且室內(nèi)甲醛濃度P⑺（單

位：mg/n?）與竣工后保持良好通風(fēng)的時(shí)間（單位：周）近似滿(mǎn)足函數(shù)關(guān)系式夕⑺=e"+J則該

教學(xué)樓竣工后的甲醛濃度若要達(dá)到安全開(kāi)放標(biāo)準(zhǔn)，至少需要放置的時(shí)間為（）

A.5周B.6周C.7周D.8周

12.（2024?山西朔州?模擬預(yù)測(cè)）為研究每平方米平均建筑費(fèi)用與樓層數(shù)的關(guān)系，某開(kāi)發(fā)商收集了一棟住宅

樓在建筑過(guò)程中，建筑費(fèi)用的相關(guān)信息，將總樓層數(shù)x與每平米平均建筑成本了（單位：萬(wàn)元）的數(shù)據(jù)整理

成如圖所示的散點(diǎn)圖：

3

每平米平均建筑成本/萬(wàn)元

20-

15-

10-.

5-?

??

010203040樓層數(shù)/層

則下面四個(gè)回歸方程類(lèi)型中最適宜作為每平米平均建筑費(fèi)用了和樓層數(shù)X的回歸方程類(lèi)型的是（）

A.y=a+bxB.y=a+bex

b2

C.y=a+—D.y=a+bx

x

13.（2024?全國(guó)）青少年視力是社會(huì)普遍關(guān)注的問(wèn)題，視力情況可借助視力表測(cè)量.通常用五分記錄法和小

數(shù)記錄法記錄視力數(shù)據(jù)，五分記錄法的數(shù)據(jù)上和小數(shù)記錄表的數(shù)據(jù)%滿(mǎn)足￡=5+lgP.已知某同學(xué)視力的五

分記錄法的數(shù)據(jù)為4.9,則其視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)為（）（狗al.259）

A.1.5B.1.2C.0.8D.0.6

14.（2024高二?全國(guó)?課后作業(yè)）某公司在甲、乙兩地銷(xiāo)售一種品牌車(chē)，利潤(rùn)（單位：萬(wàn)元）分別為L(zhǎng)i=5.06x

—0.151和L2=2X,其中x為銷(xiāo)售量（單位：輛）.若該公司在這兩地共銷(xiāo)售15輛車(chē)，則能獲得的最大利潤(rùn)

為

A.45.606B.45.6C.45.56D.45.51

15.（2024高三上?北京東城?開(kāi)學(xué)考試）教室通風(fēng)的目的是通過(guò)空氣的流動(dòng)，排出室內(nèi)的污濁空氣和致病微

生物，降低室內(nèi)二氧化碳和致病微生物的濃度，送進(jìn)室外的新鮮空氣.按照國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)，教室內(nèi)空氣中二氧化

碳最高容許濃度為0.15%.經(jīng)測(cè)定，剛下課時(shí)，空氣中含有0.25%的二氧化碳，若開(kāi)窗通風(fēng)后教室內(nèi)二氧化

碳的濃度為了%,且y隨時(shí)間f（單位：分鐘）的變化規(guī)律可以用函數(shù)＞=0.05+加*（XeR）描述，則該教室

內(nèi)的二氧化碳濃度達(dá)到國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)需要的時(shí)間/（單位：分鐘）的最小整數(shù)值為（）

（參考數(shù)據(jù)ln2?0.693,In3e1.098）

A.5B.7C.9D.10

16.（2024?四川）某食品的保鮮時(shí)間了（單位:小時(shí)）與儲(chǔ)藏溫度x（單位:。C）滿(mǎn)足函數(shù)關(guān)系昨eS（e=2.718…

為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，左涉為常數(shù)）.若該食品在0℃的保鮮時(shí)間是192小時(shí)，在22。（2的保鮮時(shí)間是48小時(shí)，

則該食品在33。（2的保鮮時(shí)間是

A.16小時(shí)B.20小時(shí)C.24小時(shí)D.21小時(shí)

17.（2024?四川成都?模擬預(yù)測(cè)）某程序研發(fā)員開(kāi)發(fā)的小程序在發(fā)布時(shí)已有1000名初始用戶(hù)，經(jīng)過(guò)/天后，

4

用戶(hù)人數(shù)P。）。加小，其中左和%均為常數(shù).已知小程序發(fā)布經(jīng)過(guò)10天后有4000名用戶(hù)，則用戶(hù)超過(guò)2

萬(wàn)名至少經(jīng)過(guò)的天數(shù)為（）（天數(shù)按整數(shù)算，取lg2=0.30）.

A.20B.21C.22D.23

18.（2024?海南省直轄縣級(jí)單位?模擬預(yù)測(cè)）英光定量尸CR是一種通過(guò)化學(xué)物質(zhì)的英光信號(hào)，對(duì)在PCR擴(kuò)增

進(jìn)程中成指數(shù)級(jí)增加的靶標(biāo)ON4進(jìn)行實(shí)時(shí)監(jiān)測(cè)的方法.在尸CR擴(kuò)增的指數(shù)時(shí)期,熒光信號(hào)強(qiáng)度達(dá)到閥值時(shí)，

DN4的數(shù)量X與擴(kuò)增次數(shù)“滿(mǎn)足lgX,="lg（l+p）+lgX。，其中X。為。N4的初始數(shù)量，〃為擴(kuò)增效率.已知

某被測(cè)標(biāo)本/W擴(kuò)增6次后，數(shù)量變?yōu)樵瓉?lái)的100倍，則擴(kuò)增效率P約為（）（參考數(shù)據(jù)：

10^?2.154,10^?1.778）

A.56.2%B.77.8%C.115.4%D.118.4%

19.（2024?湖南）某市生產(chǎn)總值連續(xù)兩年持續(xù)增加.第一年的增長(zhǎng)率為P,第二年的增長(zhǎng)率為9,則該市這兩

年生產(chǎn)總值的年平均增長(zhǎng)率為

Ap+q口5+D（q+i）-i

22

C.屈D.7（/7+1）（^+1）-1

20.（2024高一上?青海西寧?期末）為了預(yù)防信息泄露，保證信息的安全傳輸，在傳輸過(guò)程中都需要對(duì)文件

加密，有一種加密密鑰密碼系統(tǒng)（PrivateKeyCryptosystem）,其加密、解密原理為：發(fā)送方由明文一密文（加

密）,接收方由密文一明文.現(xiàn)在加密密鑰為y=履',如“4”通過(guò)加密后得到密文“2”,若接受方接到密文“工”,

256

則解密后得到的明文是（）

A.-B.—C.2D.一

248

21.（2024高一上?全國(guó)?課后作業(yè)）在某種新型材料的研制中，實(shí)驗(yàn)人員獲得了下列一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù).現(xiàn)準(zhǔn)備

用下列四個(gè)函數(shù)中的一個(gè)近似地表示這些數(shù)據(jù)的規(guī)律，其中最接近的一個(gè)是（）

X1.953.003.945.106.12

y0.971.591.982.352.61

22.（2024高一?全國(guó)?課后作業(yè)）四人賽跑，假設(shè)其跑過(guò)的路程和時(shí)間的函數(shù)關(guān)系分別是＜=力卜）=4》,

f3(x)=log3x,A（x）=2\如果他們一直跑下去，最終跑在最前面的人對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系是（）

5

X

A.<(x)=fB.f2(x)=4xC.f}(x)=log3xD.f4(x)=2

二、多選題

23.（2024?遼寧大連?三模）甲乙兩隊(duì)進(jìn)行比賽，若雙方實(shí)力隨時(shí)間的變化遵循蘭徹斯特模型:

其中正實(shí)數(shù)X?！环謩e為甲、乙兩方初始實(shí)力，，為比賽時(shí)間;

（。分別為甲、乙兩方f時(shí)刻的實(shí)力；正實(shí)數(shù)6分別為甲對(duì)乙、乙對(duì)甲的比賽效果系數(shù).規(guī)定當(dāng)甲、乙兩

方任何一方實(shí)力為0時(shí)比賽結(jié)束，另一方獲得比賽勝利，并記比賽持續(xù)時(shí)長(zhǎng)為T(mén).則下列結(jié)論正確的是（）

A.若工＞毛且a=6,貝

B.若Xo＞玉且貝”7=;NF~y-

c.若加＞2,則甲比賽勝利

Yoa

D.若冬＞、P，則甲比賽勝利

YoVa

24.（2024高一上?山東德州?階段練習(xí)）如圖所示為某池塘中野生水葫蘆的面積與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系的圖象,

假設(shè)其函數(shù)關(guān)系為指數(shù)函數(shù)，現(xiàn)給出下列說(shuō)法，其中正確的說(shuō)法有（）

A.野生水葫蘆的面積每月增長(zhǎng)量相等

B.野生水葫蘆從9m②蔓延到36mz歷時(shí)超過(guò)1個(gè)月

C.設(shè)野生水葫蘆蔓延到9m°,20m2,40m?所需的時(shí)間分別為％,%，則有。+與＜2%

D.野生水葫蘆在第1個(gè)月到第3個(gè)月之間蔓延的平均速度等于在第2個(gè)月到第4個(gè)月之間蔓延的平均

速度

6

25.（2024高一上?山東德州?期末）牛頓曾提出了物體在常溫環(huán)境下溫度變化的冷卻模型：若物體初始溫度

是4（單位：℃）,環(huán)境溫度是4（單位：℃）,其中%＞，、則經(jīng)過(guò)f分鐘后物體的溫度。將滿(mǎn)足

d+（%-4）9”（左eR且后＞0）.現(xiàn)有一杯100℃的熱紅茶置于10℃的房間里，根據(jù)這一模型研究

紅茶冷卻情況，下列結(jié)論正確的是（）（參考數(shù)值卜220.7,1113。1.1）

A.若〃3）=40℃,則〃6）=20℃

B.若左=$，則紅茶下降到55℃所需時(shí)間大約為6分鐘

C.5分鐘后物體的溫度是4（TC,左約為0.22

D.紅茶溫度從80（下降到60℃所需的時(shí)間比從60℃下降到40℃所需的時(shí)間多

26.（2024?廣東?模擬預(yù)測(cè)）某地下車(chē)庫(kù)在排氣扇發(fā)生故障的情況下測(cè)得空氣中一氧化碳含量達(dá)到了危險(xiǎn)狀

態(tài)，經(jīng)搶修排氣扇恢復(fù)正常，排氣4分鐘后測(cè)得車(chē)庫(kù)內(nèi)的一氧化碳濃度為64ppm,繼續(xù)排氣4分鐘后又測(cè)

得濃度為32ppm.由檢驗(yàn)知該地下車(chē)庫(kù)一氧化碳濃度y（單位：ppm）與排氣時(shí)間/（單位：分）之間滿(mǎn)足函

數(shù)關(guān)系＞=/（/）,其中興=尺（尺為常數(shù)）.若空氣中一氧化碳濃度不高于0.5ppm,人就可以安全進(jìn)入車(chē)

JV7

庫(kù)了，則下列說(shuō)法正確的是（）

A-；

A-R=e4

B.公皿

4

C.排氣12分鐘后，人可以安全進(jìn)入車(chē)庫(kù)

D.排氣32分鐘后，人可以安全進(jìn)入車(chē)庫(kù)

27.（2024?全國(guó)）噪聲污染問(wèn)題越來(lái)越受到重視.用聲壓級(jí)來(lái)度量聲音的強(qiáng)弱，定義聲壓級(jí)4=20x1g二，

Po

其中常數(shù)A（4＞0）是聽(tīng)覺(jué)下限閾值，。是實(shí)際聲壓.下表為不同聲源的聲壓級(jí)：

聲源與聲源的距離/m聲壓級(jí)/dB

燃油汽車(chē)1060?90

混合動(dòng)力汽車(chē)1050060

電動(dòng)汽車(chē)1040

已知在距離燃油汽車(chē)、混合動(dòng)力汽車(chē)、電動(dòng)汽車(chē)10m處測(cè)得實(shí)際聲壓分別為則（）.

7

A.px>p2B.夕2>1023

C.夕3=100夕oD.PiV100夕2

三、填空題

28.（2024高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）某駕駛員喝酒后血液中的酒精含量/（x）（毫克/毫升）隨時(shí)間x（小時(shí)）

5'-20＜x＜l

變化的規(guī)律近似滿(mǎn)足表達(dá)式/（》）=3flY《酒后駕車(chē)與醉酒駕車(chē)的標(biāo)準(zhǔn)及相應(yīng)處罰》規(guī)定：駕

—-—X＞1

15⑴

駛員血液中酒精含量不得超過(guò)0.02毫克/毫升此駕駛員至少要過(guò)小時(shí)后才能開(kāi)車(chē).（精確到1小時(shí)）

29.（2024?浙江）我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《張邱建算經(jīng)》中記載百雞問(wèn)題：“今有雞翁一，值錢(qián)五；雞母一，值

錢(qián)三；雞雛三，值錢(qián)一，凡百錢(qián)，買(mǎi)雞百只，問(wèn)雞翁、母、雛各幾何？”設(shè)雞翁，雞母，雞雛個(gè)數(shù)分別為x,

x+j^+z=100,

歹，z,則＜1當(dāng)z=81時(shí)，x=，y=.

5x+3y+§z=100,

30.（2024?北京朝陽(yáng)?一模）某軍區(qū)紅、藍(lán)兩方進(jìn)行戰(zhàn)斗演習(xí)，假設(shè)雙方兵力（戰(zhàn)斗單位數(shù)）隨時(shí)間的變化

_A%sinh^Va^?j

無(wú)⑺=Xocosh

遵循蘭徹斯特模型:其中正實(shí)數(shù)X。，%分別為紅、藍(lán)兩方初始

y[t^=Yocosh

兵力，，為戰(zhàn)斗時(shí)間；無(wú)?）,分別為紅、藍(lán)兩方，時(shí)刻的兵力;正實(shí)數(shù)。，6分別為紅方對(duì)藍(lán)方、藍(lán)方對(duì)

紅方的戰(zhàn)斗效果系數(shù)；coshx=W;和51曲8=4二分別為雙曲余弦函數(shù)和雙曲正弦函數(shù).規(guī)定當(dāng)紅、藍(lán)

兩方任何一方兵力為0時(shí)戰(zhàn)斗演習(xí)結(jié)束，另一方獲得戰(zhàn)斗演習(xí)勝利，并記戰(zhàn)斗持續(xù)時(shí)長(zhǎng)為T(mén).給出下列四個(gè)

結(jié)論：

①若冗＞七且°=人則X（/）＞M0（OV/WT）；

②若4＞為且則T='ln

a

③若乎＞2,則紅方獲得戰(zhàn)斗演習(xí)勝利；

Yoa

④若冬則紅方獲得戰(zhàn)斗演習(xí)勝利.

YQVa

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是

31.（2024高二上?廣東深圳?期末）我們可以用下面的方法在線(xiàn)段上構(gòu)造出一個(gè)特殊的點(diǎn)集：如圖，取一條

8

長(zhǎng)度為1的線(xiàn)段，第1次操作，將該線(xiàn)段三等分，去掉中間一段，留下兩段；第2次操作，將留下的兩段

分別三等分，各去掉中間一段，留下四段；按照這種規(guī)律一直操作下去.若經(jīng)過(guò)〃次這樣的操作后，去掉的

所有線(xiàn)段的長(zhǎng)度總和大于9色9，則〃的最小值為.（參考數(shù)據(jù)：lg2合0.301,1g3go.477）

------------------第1次操作

————第2次操作

------------------第3次操作

????????????

32.（2024高三上?湖南常德?階段練習(xí)）研究發(fā)現(xiàn)，某昆蟲(chóng)釋放信息素/秒后，在距釋放處x米的地方測(cè)得

的信息素濃度y滿(mǎn)足lny=-；lnL：f+a,其中左為非零常數(shù)；已知釋放i秒后，在距釋放處2米的地

方測(cè)得信息素濃度為加，則釋放信息素4秒后，距釋放處的米的位置，信息素濃度為5.

33.（2024高三下?江蘇南京?開(kāi)學(xué)考試）2019年1月3日嫦娥四號(hào)探測(cè)器成功實(shí)現(xiàn)人類(lèi)歷史上首次月球背面

軟著陸，我國(guó)航天事業(yè)取得又一重大成就.實(shí)現(xiàn)月球背面軟著陸需要解決的一個(gè)關(guān)鍵技術(shù)問(wèn)題是地面與探

測(cè)器的通訊聯(lián)系.為解決這個(gè)問(wèn)題，發(fā)射了嫦娥四號(hào)中繼星“鵲橋”，鵲橋沿著圍繞地月拉格朗日4點(diǎn)的軌

道運(yùn)行.4點(diǎn)是平衡點(diǎn)，位于地月連線(xiàn)的延長(zhǎng)線(xiàn)上.設(shè)地球質(zhì)量為月球質(zhì)量為地月距離為凡J

點(diǎn)到月球的距離為r,根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律和萬(wàn)有引力定律,r滿(mǎn)足方程：花”'+牛=（尺+〃）暮.設(shè)。，

由于a的值很小，因此在近似計(jì)算中,“3a3,則r的近似值為_(kāi)______.

（1+a）

34.（2024?北京）李明自主創(chuàng)業(yè)，在網(wǎng)上經(jīng)營(yíng)一家水果店，銷(xiāo)售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，價(jià)格

依次為60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.為增加銷(xiāo)量，李明對(duì)這四種水果進(jìn)行促銷(xiāo)：一次購(gòu)買(mǎi)水果

的總價(jià)達(dá)到120元，顧客就少付x元.每筆訂單顧客網(wǎng)上支付成功后，李明會(huì)得到支付款的80%.

①當(dāng)x=10時(shí)，顧客一次購(gòu)買(mǎi)草莓和西瓜各1盒，需要支付元；

②在促銷(xiāo)活動(dòng)中，為保證李明每筆訂單得到的金額均不低于促銷(xiāo)前總價(jià)的七折，則x的最大值為.

35.（2024高三上?福建龍巖?階段練習(xí)）“喊泉”是一種地下水的毛細(xì)現(xiàn)象，人們?cè)谌诤鸾谢虬l(fā)出其他聲音

時(shí)，聲波傳入泉洞內(nèi)的儲(chǔ)水池，進(jìn)而產(chǎn)生“共鳴”等作用，激起水波，形成涌泉，聲音越大，涌起的泉水越高.

已知聽(tīng)到的聲強(qiáng)/與標(biāo)準(zhǔn)聲強(qiáng)4（4約為10*,單位：w/n?）之比的常用對(duì)數(shù)稱(chēng)作聲強(qiáng)的聲強(qiáng)級(jí)，記作￡

（單位：貝爾），即2=lg：.取貝爾的/。倍作為響度的常用單位，簡(jiǎn)稱(chēng)為分貝.已知某處“喊泉”的聲音強(qiáng)度了

（單位：分貝）與噴出的泉水最高高度X（單位：米）之間滿(mǎn)足關(guān)系式y(tǒng)=x+10,若甲游客大喝一聲的聲

強(qiáng)大約相當(dāng)于100個(gè)乙游客同時(shí)大喝一聲的聲強(qiáng)，則甲、乙兩名游客大喝一聲激起的涌泉最高高度差

為.

9

36.（2024高三下?北京海淀?階段練習(xí)）科學(xué)家在研究物體的熱輻射能力時(shí)定義了一個(gè)理想模型叫“黑體”，

即一種能完全吸收照在其表面的電磁波（光）的物體.然后，黑體根據(jù)其本身特性再向周邊輻射電磁波，

科學(xué)研究發(fā)現(xiàn)單位面積的黑體向空間輻射的電磁波的功率3與該黑體的絕對(duì)溫度T的4次方成正比，即

B=oT\b為玻爾茲曼常數(shù).而我們?cè)谧鰧?shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理的過(guò)程中，往往不用基礎(chǔ)變量作為橫縱坐標(biāo)，以本

實(shí)驗(yàn)結(jié)果為例，B為縱坐標(biāo)，以廠為橫坐標(biāo)，則能夠近似得到（曲線(xiàn)形狀），那么如果繼續(xù)研究該實(shí)

驗(yàn)，若實(shí)驗(yàn)結(jié)果的曲線(xiàn)如圖所示，試寫(xiě)出其可能的橫縱坐標(biāo)的變量形式.

37.（2024高三下?河南平頂山?階段練習(xí)）折紙是我國(guó)民間的一種傳統(tǒng)手工藝術(shù)，明德小學(xué)在課后延時(shí)服務(wù)

中聘請(qǐng)了民間藝術(shù)傳人給同學(xué)們教授折紙.課堂上，老師給每位同學(xué)發(fā)了一張長(zhǎng)為12cm,寬為10cm的矩

形紙片，要求大家將紙片沿一條直線(xiàn)折疊.若折痕（線(xiàn)段）將紙片分為面積比為1：3的兩部分，則折痕長(zhǎng)

度的取值范圍是cm.

四、解答題

38.（2024高三?全國(guó)?對(duì)口高考）如圖是下水道的一種橫截面，上部為半圓，下部為矩形，若矩形下底邊長(zhǎng)

為2x,此橫截面面積為乃周長(zhǎng)為/（常量），求：

（與x之間的函數(shù)表達(dá)式V=及其定義域；

⑵/（x）的最大值.

39.（2024?江蘇）如圖，建立平面直角坐標(biāo)系xoy,尤軸在地平面上，了軸垂直于地平面，單位長(zhǎng)度為1千

米.某炮位于坐標(biāo)原點(diǎn).已知炮彈發(fā)射后的軌跡在方程＞=履-（（1+左2）/（左＞0）表示的曲線(xiàn)上，其中左與

發(fā)射方向有關(guān).炮的射程是指炮彈落地點(diǎn)的橫坐標(biāo).

10

（2）設(shè)在第一象限有一飛行物（忽略其大?。滹w行高度為3.2千米，試問(wèn)它的橫坐標(biāo)。不超過(guò)多少時(shí),

炮彈可以擊中它？請(qǐng)說(shuō)明理由.

40.（2024高三上?江西贛州?階段練習(xí)）為進(jìn)一步奏響“綠水青山就是金山銀山”的主旋律，某旅游風(fēng)景區(qū)以“綠

水青山”為主題，特別制作了旅游紀(jì)念章，并決定近期投放市場(chǎng).根據(jù)市場(chǎng)調(diào)研情況，預(yù)計(jì)每枚紀(jì)念章的市場(chǎng)

價(jià)V（單位：元）與上市時(shí)間x（單位：天）的數(shù)據(jù)如下表.

上市時(shí)間X/天2632

市場(chǎng)價(jià)V/元1486073

⑴根據(jù)上表數(shù)據(jù)，從①y=@+6（。30）,②y=0gz,x（a*0,6>0/X1）,③y=or+2（a>0,b>0）中選取一

xx

個(gè)恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)描述每枚紀(jì)念章的市場(chǎng)價(jià)y與上市時(shí)間x的變化關(guān)系（無(wú)需說(shuō)明理由），并求出該函數(shù)的解析

式；

（2）利用你選取的函數(shù)，求該紀(jì)念章市場(chǎng)價(jià)最低時(shí)的上市天數(shù)及每枚紀(jì)念章的最低市場(chǎng)價(jià).

41.（2024?湖北）圍建一個(gè)面積為360m2的矩形場(chǎng)地，要求矩形場(chǎng)地的一面利用舊墻（利用舊墻需維修），

其它三面圍墻要新建，在舊墻的對(duì)面的新墻上要留一個(gè)寬度為2nl的進(jìn)出口，如圖所示，已知舊墻的維修費(fèi)

用為45元/m,新墻的造價(jià)為180元/m,設(shè)利用的舊墻的長(zhǎng)度為x（單位：元）.設(shè)修建此矩形場(chǎng)地圍墻的總

費(fèi)用為y

（1）將y表示為x的函數(shù);

（II）試確定x,使修建此矩形場(chǎng)地圍墻的總費(fèi)用最小，并求出最小總費(fèi)用.

42.（2024高三上?黑龍江哈爾濱?開(kāi)學(xué)考試）今年第5號(hào)臺(tái)風(fēng)“杜蘇芮”顯得格外兇悍。自福建南部沿海登陸

以來(lái)，“杜蘇芮”一路北上，國(guó)內(nèi)不少城市因此遭遇了百年一遇的極端強(qiáng)降水天氣，并伴隨著洪澇、塌方、泥

石流等次生災(zāi)害，其中對(duì)黑龍江哈爾濱等地影響尤為巨大，此次強(qiáng)降雨時(shí)段，不僅帶來(lái)了嚴(yán)重的城市內(nèi)澇，

11

部分公路、橋梁發(fā)生不同程度水毀。哈爾濱五常市某農(nóng)場(chǎng)已發(fā)現(xiàn)有400m2的農(nóng)田遭遇洪澇，每平方米農(nóng)田受

災(zāi)造成直接損失400元,且滲水面積將以每天10m2的速度擴(kuò)散.災(zāi)情發(fā)生后,某公司立即組織人力進(jìn)行救援，

每位救援人員每天可搶修農(nóng)田5m2,勞務(wù)費(fèi)為每人每天400元，公司還為每位救援人員提供240元物資補(bǔ)貼.

若安排x名人員參與搶修，需要f天完成搶修工作，滲水造成總損失為V元（總損失=因滲水造成的直接損失

+各項(xiàng)支出費(fèi)用）.

（1）寫(xiě)出了關(guān)于尤的函數(shù)解析式；

（2）應(yīng)安排多少名人員參與搶修，才能使總損失最小，并求出總損失.

43.（2024?廣東）某單位用2160萬(wàn)元購(gòu)得一塊空地，計(jì)劃在該地塊上建造一棟至少10層、每層2000平方

米的樓房.經(jīng)測(cè)算，如果將樓房建為x（xN10）層，則每平方米的平均建筑費(fèi)用為560+48X（單位：元）.為了使

樓房每平方米的平均綜合費(fèi)用最少，該樓房應(yīng)建為多少層？

（注：平均綜合費(fèi)用=平均建筑費(fèi)用+平均購(gòu)地費(fèi)用，平均購(gòu)地費(fèi)用黑器）

44.（024高三?黑龍江）某鄉(xiāng)鎮(zhèn)響應(yīng)“綠水青山就是金山銀山”的號(hào)召，因地制宜的將該鎮(zhèn)打造成“生態(tài)水果特

色小鎮(zhèn)”.經(jīng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)：某珍惜水果樹(shù)的單株產(chǎn)量少（單位：千克）與施用肥料x(chóng)（單位：千克）滿(mǎn)足如下關(guān)系：

5（X2+3）,0<X<2

W{x}=<5Ox_/=,肥料成本投入為lOx元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工費(fèi)）20x元.已

---,2<xW5

、l+x

知這種水果的市場(chǎng)售價(jià)大約15元/千克，且銷(xiāo)售暢通供不應(yīng)求，記該水果單株利潤(rùn)為/（》）（單位：元）

（1）寫(xiě)單株利潤(rùn)“X）（元）關(guān)于施用肥料尤（千克）的關(guān)系式；

（2）當(dāng)施用肥料為多少千克時(shí)，該水果單株利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？

45.（2024高一上?四川成都?期中）科研小組研制鈦合金產(chǎn)品時(shí)添加了一種新材料，該產(chǎn)品的性能指標(biāo)值y

是這種新材料的含量x（單位：克）的函數(shù).研究過(guò)程中的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表：

X（單位：克）02610

j_

y-488

9

已知當(dāng)X27時(shí)，T=W,其中用為常數(shù).當(dāng)0Wx<7時(shí)，了和x的關(guān)系為以下三種函數(shù)模型中的一個(gè):

①^=辦2+反+。；②y=h優(yōu)（a>0且；③>=（a〉0且4W1）；其中左，〃也C均為常數(shù).

⑴選擇一個(gè)恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型來(lái)描述之間的關(guān)系，并求出其解析式；

（2）求該新材料的含量X為多少克時(shí)，產(chǎn)品的性能達(dá)到最大.

12

參考答案

一、單選題

1.（2024高三上?廣東深圳?期末）某科技企業(yè)為抓住“一帶一路”帶來(lái)的發(fā)展機(jī)遇，開(kāi)發(fā)生產(chǎn)一智能產(chǎn)品，該

產(chǎn)品每年的固定成本是25萬(wàn)元，每生產(chǎn)x萬(wàn)件該產(chǎn)品，需另投入成本0（x）萬(wàn)元淇中

x2+10x,0<x<40

。（”=10000，若該公司一年內(nèi)生產(chǎn)該產(chǎn)品全部售完，每件的售價(jià)為70元，則該企業(yè)每

71x+----------945,x>40

年利潤(rùn)的最大值為（）

A.720萬(wàn)元B.800萬(wàn)元

C.8乃萬(wàn)元D.900萬(wàn)元

【答案】C

【詳細(xì)分析】先求得該企業(yè)每年利潤(rùn)的解析式，再利用分段函數(shù)求最值的方法即可求得該企業(yè)每年利潤(rùn)的

最大值.

70x-（x2+10x+25）,0<x<40

【過(guò)程詳解】該企業(yè)每年利潤(rùn)為/（》）=（10000、

70x-71x+----------945+25,x>40

當(dāng)0vx440時(shí)，/(x)=-x2+60x-25=-(x-30)2+875

在x=30時(shí)，/（x）取得最大值875；

當(dāng)x>4。時(shí)，?。?92。-"，卜92。-產(chǎn)=720

（當(dāng)且僅當(dāng)x=100時(shí)等號(hào)成立），即在x=100時(shí)，/（x）取得最大值720；

由875>720,可得該企業(yè)每年利潤(rùn)的最大值為875.

故選：C

2.（2024?浙江?二模）紹興某鄉(xiāng)村要修建一條100米長(zhǎng)的水渠，水渠的過(guò)水橫斷面為底角為120。的等腰梯形

（如圖）水渠底面與側(cè)面的修建造價(jià)均為每平方米100元，為了提高水渠的過(guò)水率，要使過(guò)水橫斷面的面

積盡可能大，現(xiàn)有資金3萬(wàn)元，當(dāng)過(guò)水橫斷面面積最大時(shí)，水果的深度（即梯形的高）約為（）（參考數(shù)

1

A.0.58米B.0.87米C.1.17米D.1.73米

【答案】B

【詳細(xì)分析】如圖設(shè)橫截面為等腰梯形MCD,BELCD于E,求出資金3萬(wàn)元都用完時(shí),48+BC+N。,

設(shè)3C=x,再根據(jù)梯形的面積公式結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可得解.

【過(guò)程詳解】如圖設(shè)橫截面為等腰梯形48cD,BELCD于,E,/BAD=/ABC=120。,

要使水橫斷面面積最大，則此時(shí)資金3萬(wàn)元都用完，

貝IJ100x（48+8。+皿xl00=30000,解得48+30+3=3米，

設(shè)J3C=x,則N8=3-2X,BE=#X,CE=9X,故C?=3—X,且0<X<|,

梯形ABCD的面積3=（3-2X+37）X[X=嗎,

當(dāng)x=l時(shí)，s111ax=亞，

4

此時(shí)BE=迫a0.87,

2

即當(dāng)過(guò)水橫斷面面積最大時(shí)，水果的深度（即梯形的高）約為0.87米.

故選：B.

3.（2024高三下?北京?開(kāi)學(xué)考試）某純凈水制造廠在凈化水的過(guò)程中，每增加一次過(guò)濾可使水中雜質(zhì)減少

50%,若要使水中雜質(zhì)減少到原來(lái)的5%以下，則至少需要過(guò)濾（）

（參考數(shù)據(jù)：lg2z0.3010）

A.2次B.3次C.4次D.5次

【答案】D

【詳細(xì)分析】設(shè)出未知數(shù)，列出不等式，結(jié)合指數(shù)和對(duì)數(shù)運(yùn)算法則計(jì)算出答案.

【過(guò)程詳解】設(shè)經(jīng)過(guò)〃（〃eN）次過(guò)濾后，水中雜質(zhì)減少到原來(lái)的5%以下，

則（1-50%）”<5%,即m

2

不等式兩邊取常用對(duì)數(shù)得：?lg2>lg2+l,解得：”>畢?土4.3,

1g2

故至少需要過(guò)濾5次.

故選：D

4.(2024?全國(guó))2019年1月3日嫦娥四號(hào)探測(cè)器成功實(shí)現(xiàn)人類(lèi)歷史上首次月球背面軟著陸，我國(guó)航天事業(yè)

取得又一重大成就，實(shí)現(xiàn)月球背面軟著陸需要解決的一個(gè)關(guān)鍵技術(shù)問(wèn)題是地面與探測(cè)器的通訊聯(lián)系.為解

決這個(gè)問(wèn)題，發(fā)射了嫦娥四號(hào)中繼星“鵲橋”，鵲橋沿著圍繞地月拉格朗日4點(diǎn)的軌道運(yùn)行.4點(diǎn)是平衡點(diǎn)，

位于地月連線(xiàn)的延長(zhǎng)線(xiàn)上.設(shè)地球質(zhì)量為月球質(zhì)量為地月距離為上4點(diǎn)到月球的距離為r,根

MMM

據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律和萬(wàn)有引力定律，〃滿(mǎn)足方程：證午+?=氏+玲蕾.

設(shè)a=2,由于夕的值很小，因此在近似計(jì)算中以n3〃,則廠的近似值為

R(1+?)

【答案】D

【詳細(xì)分析】本題在正確理解題意的基礎(chǔ)上，將有關(guān)式子代入給定公式，建立］的方程，解方程、近似計(jì)

算.題目所處位置應(yīng)是“解答題”，但由于題干較長(zhǎng)，易使考生“望而生畏”，注重了閱讀理解、數(shù)學(xué)式子的變

形及運(yùn)算求解能力的考查.

【過(guò)程詳解】由得—aR

R

因?yàn)樽C了+產(chǎn)

所以『+*=(1+

火(1+a)aR

即誓=-2[(I+①一=05：3優(yōu);至X34,

Mx(1+a)(1+a)

解得a4猴

所以…J贏艮

【點(diǎn)睛】由于本題題干較長(zhǎng)，所以，易錯(cuò)點(diǎn)之一就是能否靜心讀題，正確理解題意；易錯(cuò)點(diǎn)之二是復(fù)雜式

3

子的變形出錯(cuò).

5.（2024?全國(guó)）在新冠肺炎疫情防控期間，某超市開(kāi)通網(wǎng)上銷(xiāo)售業(yè)務(wù)，每天能完成1200份訂單的配貨，由

于訂單量大幅增加，導(dǎo)致訂單積壓.為解決困難，許多志愿者踴躍報(bào)名參加配貨工作.已知該超市某日積壓500

份訂單未配貨，預(yù)計(jì)第二天的新訂單超過(guò)1600份的概率為0.05,志愿者每人每天能完成50份訂單的配貨，

為使第二天完成積壓訂單及當(dāng)日訂單的配貨的概率不小于0.95,則至少需要志愿者（）

A.10名B.18名C.24名D.32名

【答案】B

【詳細(xì)分析】算出第二天訂單數(shù)，除以志愿者每天能完成的訂單配貨數(shù)即可.

【過(guò)程詳解】由題意，第二天新增訂單數(shù)為500+1600-1200=900,

等=18,故至少需要志愿者18名.

故選：B

【點(diǎn)晴】本題主要考查函數(shù)模型的簡(jiǎn)單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

6.（2024?河南鄭州?模擬預(yù)測(cè)）水霧噴頭布置的基本原則是：保護(hù)對(duì)象的水霧噴頭數(shù)量應(yīng)根據(jù)設(shè)計(jì)噴霧強(qiáng)度、

保護(hù)面積和水霧噴頭特性，按水霧噴頭流量q（單位：L/min）計(jì)算公式為q=K/瓶和保護(hù)對(duì)象的水霧噴

S-W

頭數(shù)量N計(jì)算公式為N=——計(jì)算確定，其中P為水霧噴頭的工作壓力（單位：MPa）,K為水霧噴頭的流

q

量系數(shù)（其值由噴頭制造商提供），s為保護(hù)對(duì)象的保護(hù)面積，沙為保護(hù)對(duì)象的設(shè)計(jì)噴霧強(qiáng)度（單位：

L/min.m2）.水霧噴頭的布置應(yīng)使水霧直接噴射和完全覆蓋保護(hù)對(duì)象，如不能滿(mǎn)足要求時(shí)應(yīng)增加水霧噴頭的

數(shù)量.當(dāng)水霧噴頭的工作壓力P為0.35MPa,水霧噴頭的流量系數(shù)K為24.96,保護(hù)對(duì)象的保護(hù)面積S為Mm?,

保護(hù)對(duì)象的設(shè)計(jì)噴霧強(qiáng)度少為20L/min-m2時(shí)，保護(hù)對(duì)象的水霧噴頭的數(shù)量N約為（參考數(shù)據(jù)：百不a1.87）

()

A.4個(gè)B.5個(gè)C.6個(gè)D.7個(gè)

【答案】C

【詳細(xì)分析】把給定的數(shù)據(jù)代入公式計(jì)算即可作答.

【過(guò)程詳解】依題意，P=0.35MPa,K-24.96,S=14m2,W=20L/min-m2,

S-W14x20280

由夕=長(zhǎng)＞/］而,N=2絲，得"=~6,

qKs/lOP~24.96x67~24.96x1.87

所以保護(hù)對(duì)象的水霧噴頭的數(shù)量N約為6個(gè).

故選：C

4

7.（2024?四川成都?三模）英國(guó)物理學(xué)家和數(shù)學(xué)家牛頓曾提出物體在常溫環(huán)境下溫度變化的冷卻模型.如果

物體的初始溫度是4,環(huán)境溫度是〃，則經(jīng)過(guò)fmin物體的溫度。將滿(mǎn)足。=%+（4-4）/,，其中人是一個(gè)

隨著物體與空氣的接觸情況而定的正常數(shù).現(xiàn)有9（TC的物體，若放在10。＜2的空氣中冷卻，經(jīng)過(guò)lOmin物體

的溫度為5（rc,則若使物體的溫度為2（rc,需要冷卻（）

A.17.5minB.25.5minC.30minD.32.5min

【答案】C

【詳細(xì)分析】首先根據(jù)。=4+（4-q）e”及物體經(jīng)過(guò)lOmin物體的溫度為50℃得出左的值，再求出。=20時(shí)

f的值即可.

【過(guò)程詳解】由題意得用=90,4=10,。=50,”10代入，

50=10+（90-IO）-】映，即

所以后=\ln2,

所以8=%+（4_4）//2，

由題意得4=90,4=10,。=20代入，

ri，1C—in21

即20=10+（90_10）晨而"~，侍e=-,

即一工In2=ln、=-31n2,解得f=30,

108

即若使物體的溫度為20（,需要冷卻30min,

故選：C.

8.（2024?福建福州?模擬預(yù)測(cè)）為落實(shí)黨的二十大提出的“加快建設(shè)農(nóng)業(yè)強(qiáng)國(guó)，扎實(shí)推動(dòng)鄉(xiāng)村振興”的目標(biāo),

銀行擬在鄉(xiāng)村開(kāi)展小額貸款業(yè)務(wù).根據(jù)調(diào)查的數(shù)據(jù)，建立了實(shí)際還款比例P關(guān)于貸款人的年收入x（單位：

—0.9680+Ax

萬(wàn)元）的Logistic,模型：P（x）=09680+A，已知當(dāng)貸款人的年收入為8萬(wàn)元時(shí)，其實(shí)際還款比例為50%.

若銀行希望實(shí)際還款比例為40%,則貸款人的年收入為（）（精確到0.01萬(wàn)元，參考數(shù)據(jù)：ln3?1.0986,

In2?0.6931）

A.4.65萬(wàn)元B.5.63萬(wàn)元C.6.40萬(wàn)元D.10.00萬(wàn)元

【答案】A

【詳細(xì)分析】先根據(jù)題中數(shù)據(jù)代入計(jì)算函數(shù)P（'）中參數(shù)左的值，然后計(jì)算尸（%）=40%時(shí)％的值即可.

5

-0.9680+8左i

【過(guò)程詳解】由題意尸(8)=M皿=5。％三

「。.968。+8*=1即_0.9680+8左=0,得左=0.121,所以

e-0.9680+0.121x

尸(乃=

]+?-0.9680+0.⑵x

6-0.9680+0.121%

令尸(x)==40%=-

?^-0.9680+0.12l.v5

得5e-69680+0.⑵X-09680+0121x

_2(]+e-

得e-0.9680+0.121X2

3

2

得-0.9680+0.125=嗎

In2-In3+0.9680

得工二---------------?4.65

0.121

故選：A.

9.(2024?江蘇南通?模擬預(yù)測(cè))為了貫徹落實(shí)《中共中央國(guó)務(wù)院關(guān)于深入打好污染防治攻堅(jiān)戰(zhàn)的意見(jiàn)》，某

造紙企業(yè)的污染治理科研小組積極探索改良工藝，使排放的污水中含有的污染物數(shù)量逐漸減少.已知改良

工藝前所排放廢水中含有的污染物數(shù)量為2.25g/n?,首次改良工藝后排放的廢水中含有的污染物數(shù)