2025屆高考數學復習壓軸小題專項練習：數列綜合問題（附答案）

2025屆高考數學復習壓軸小題專項（數列綜合問題）好題練習

一、單選題

1.（2023?江蘇?統(tǒng)考一模）已知數列｛g｝的前"項和為S",q=l,若對任意正整數"，S,“=-3a用+%+3,

S,,+%>（T）"a,則實數。的取值范圍是（）

A.11,jB.卜,目C.,2,目D.（-2,3）

2.（2023秋?江蘇南通?高三統(tǒng)考階段練習）已知數列｛4｝滿足%+2出+…+2"”"=〃-2",記數列｛為-例｝的

前〃項和為J,若"<小對任意的〃cN*恒成立，則實數（的取值范圍是（）

~12111f12111「1110]（H10、

Lil10J111iojL109JUo9）

3.（2023?江蘇?高三專題練習）已知數列｛%｝是各項為正數的等比數列，公比為外在%,出之間插入1個數，

使這3個數成等差數列，記公差為4,在。2通之間插入2個數，使這4個數成等差數列，公差為《，…，

在%,之間插入〃個數，使這”+2個數成等差數列，公差為力，貝U（）

A.當0<?<1時，數列｛4,｝單調遞減B.當4>1時，數列｛力｝單調遞增

c.當4>《時，數列｛4｝單調遞減D.當4<%時，數列｛",｝單調遞增

4.（2023秋?江蘇無錫?高三統(tǒng)考期末）已知一個等比數列的前〃項和、前2〃項和、前3〃項和分別為尸、。、尺,

則下列等式正確的是（）

A.P+Q=RB.Q2=PR

C.｛P+Q）-R=Q1D.尸2+Q2=P（Q+R）

5.（2023?江蘇揚州??？级＃┮阎猄"是數列｛“”｝的前〃項和，且6=%=1，%=2a,i+3%_2（"23）,則

下列結論正確的是（）

A.數列｛%-%+J為等比數列B,數列｛。"+1+2%｝為等比數列

CS40=&J）D.J+「廣

二、多選題

6.（2023?江蘇南通?三模）1979年，李政道博士給中國科技大學少年班出過一道智趣題:“5只猴子分一堆桃子,

怎么也不能分成5等份,只好先去睡覺，準備第二天再分.夜里1只猴子偷偷爬起來,先吃掉1個桃子，然后將其

分成5等份，藏起自己的一份就去睡覺了;第2只猴子又爬起來，吃掉1個桃子后,也將桃子分成5等份,藏起自

己的一份睡覺去了;以后的3只猴子都先后照此辦理.問最初至少有多少個桃子?最后至少剩下多少個桃子?”.

下列說法正確的是（）

A.若第”只猴子分得6“個桃子（不含吃的），則5,=4加-1（〃=2,3,4,5）

B.若第〃只猴子連吃帶分共得到％個桃子，則｛a?｝（n=1,2,3,4,5）為等比數列

C.若最初有3121個桃子，則第5只猴子分得256個桃子（不含吃的）

D.若最初有左個桃子，則上+4必有5,的倍數

7.（2023?江蘇?校聯考模擬預測）佩爾數列是一個呈指數增長的整數數列.隨著項數越來越大，其后一項與

前一項的比值越來越接近于一個常數，該常數稱為白銀比.白銀比和三角平方數、佩爾數及正八邊形都有

關系.記佩爾數列為｛%｝,且。i=0,a2=l,an+2=2an+1+an.則（）

A.旬,=985B.數列用-%｝是等比數列

c.="［（行+1）1_（_拒+1）"-1D.白銀比為亞+1

8.（2022?江蘇?高三專題練習）在□/“紇Q（“=1,2,3,…）中，內角4,4C,的對邊分別為%也,C,,UAnBnCn

的面積為若?！?5,4=4,%=3,且加2=人；2c「,.JW：,則（）

A.口4AG一定是直角三角形B.｛s.｝為遞增數列

c.｛s“｝有最大值D.也｝有最小值

9.（2023?江蘇南通?江蘇省如皋中學?？寄M預測）意大利著名數學家斐波那契在研究兔子的繁殖問題時,

發(fā)現有這樣的一列數：1,1,2,3,5,8,13,21,....該數列的特點如下：前兩個數均為1,從第三個數

起,每一個數都等于它前面兩個數的和.人們把這樣的一列數組成的數列｛”,｝稱為斐波那契數列，現將｛見｝中

的各項除以2所得的余數按原來的順序構成的數列記為｛4｝,數列｛%｝的前n項和為￡,數列｛￡｝的前n

項和為北，下列說法正確的是（）

A.^2022=1348B.511000=fl1002—

C.若*=2022,則“=3033D.a；+④+a；H—+a；。。=a500a501

10.（2022秋?江蘇南通?高三統(tǒng)考階段練習）在平面直角坐標系中，O是坐標原點，羽“是圓o：/+/=/

上兩個不同的動點，々是的中點，且滿足西;.啊+2函2=o（〃eN*）.設％,N”到直線

/：6x+y+”2+〃=0的距離之和的最大值為巴,則下列說法中正確的是（）

A.向量加“與向量函"所成角為120。

D-若〃=黑，則數列7J]，-J的前〃項和為「‘

11.（2022秋?江蘇泰州?高三江蘇省泰興中學校聯考階段練習）在數列｛4｝中，已知。是首項為1,

公差為1的等差數列，％?！?，％?！?1--，/。（用）是公差為詭'的等差數歹!],其中〃€^4*,則下列說法正確的是（）

A.當d=l時，a2Q=20B.若%0=70,則d=2

C.若%+%+L+。20=320,則1=3D.當0<d<l時，a10（n+1）<

12.（2022秋?江蘇鹽城?高三鹽城市第一中學?？茧A段練習）已知數列｛4｝的前〃項和為5,

%=。，。,+1=ln（e""+2）-%,（〃eN*）,則下列選項正確的是（）

a?_]<eN*,

A.2a2nB.存在〃使得%=ln2

C.邑叱<22°22D.｛%,/是單調遞增數列，｛%｝是單調遞減數列

13.（2022秋?江蘇南京?高三期末）對于伯努利數B，GeN）,有定義：穌=1,紇=￡c㈤（九.2）.則（）

左=0

A.與=—B.a=

26430

C.D.%+3=0

14.（2022春?江蘇蘇州?高三江蘇省蘇州第十中學校?？茧A段練習）已知等比數列｛與｝首項q>1,公比為g,

前〃項和為S",前"項積為。,函數/（x）=x（x+%）（x+%）…（尤+。7），若/'（。）=1，則下列結論正確的是

（）

A.｛1g%｝為單調遞增的等差數列

B.0<^<1

c.1s“一言，為單調遞增的等比數列

D.使得雹>1成立的〃的最大值為6

15.(2023?江蘇鹽城?鹽城中學一模)十九世紀下半葉集合論的創(chuàng)立，奠定了現代數學的基礎，著名的“康托

三分集”是數學理性思維的構造產物，具有典型的分形特征，其操作過程如下：將閉區(qū)間[0,1]均分為三段，

去掉中間的區(qū)間段&,|)記為第1次操作：再將剩下的兩個區(qū)間0,；,1,1分別均分為三段，并各自

去掉中間的區(qū)間段，記為第2次操作：L；每次操作都在上一次操作的基礎上，將剩下的各個區(qū)間分別均

分為三段，同樣各自去掉中間的區(qū)間段；操作過程不斷地進行下去，剩下的區(qū)間集合即是“康托三分集”.若

第〃次操作去掉的區(qū)間長度記為。(〃)，則()

A.=1~B.ln[^(n)]+l<0

(p(n)2

C.9(")+9(3")>2。(2〃)D.n2(p(n)<64^(8)

16.(2023-江蘇蘇州?校聯考三模)若數列｛aj滿足：對任意的〃eN*(?23),總存在z.eN*,使

a,1=ai+aJ(i^j,i<n,j<n),則稱｛?！埃恰霸聰盗小?則下列數列是“尸數列”的有()

2

A.an=277B.an=n

17.(2023秋?江蘇南京?高三南京市第十三中學校考期末)已知各項都是正數的數列｛%｝的前"項和為"，

a1

且邑=才+丁，則()

2

A.代｝是等差數列B.S?+Sn+2<2Sn+l

c1,

c.a〃+i>Q〃D.Sn~—>\nn

18.(2023?江蘇南京?模擬預測)設〃N2,weN*.若qe｛0』。=1,2,…，則稱序列(q,R,…,c.)是長度為

〃的0—1序列.若%=6+c?+…+c“，bn=+a2c2+-■■+ancn,貝l]()

A.長度為"的0—1序列共有2"個B.若數列｛%｝是等差數列，則"=/

C.若數列也,｝是等差數列，則%=0D.數列｛2｝可能是等比數列

19.（2023秋?江蘇南通?高三統(tǒng)考期末）已知等差數列｛%｝中，當且僅當〃=7時，S,,僅得最大值.記數列

n

的前左項和為q,（）

A.若S6=\,則當且僅當上=13時，4取得最大值

B.若凡<s，則當且僅當先=14時，7；取得最大值

C.若英>》,則當且僅當左=15時，取得最大值

D.若立?eN*,S“=0,則當上=13或14時，7取得最大值

20.（2023春?江蘇南通?高三海安高級中學校考階段練習）已知｛為｝是等比數列，公比為心若存在無窮多

個不同的"，滿足%+2=\4。用,則下列選項之中，可熊或文的有（）

A.q>。B.夕<0

C.H>1D.H<1

21.（2023?江蘇揚州?統(tǒng)考模擬預測）定義：在數列的每相鄰兩項之間插入此兩項的積，形成新的數列，這

樣的操作叫作該數列的一次“美好成長將數列1、2進行“美好成長”，第一次得到數列1、2、2；第二次

得到數列1、2、2、4、2；L；設第〃次“美好成長”后得到的數列為1、X］、X?、L、x無、2,并記

%=log2（lxX］XX2X…x/x2）,貝I］（）

A.電=5B.k=2"+\

C.??+1=3??-1D.數列［工］的前〃項和為:-與J

Vanan+\J25+1

22.（2022秋?江蘇連云港?高三江蘇省贛榆高級中學?？茧A段練習）已知數列｛a?｝滿足q=1,。角=甘=,

1+a”

記數列｛%｝的前〃項和為S“，貝I（）

A.｛版:｝是等差數列B.任意的〃eN*,an>an+l

439

C.----不</oo<---------D.3<Sloo<一

101210051x1011002

23.（2023春?江蘇南京?高三南京市第一中學校考開學考試）已知數列｛4｝的前"項和為S,,且S.+a“=l對

于恒成立，若定義S「=S",S,⑻=久曠”（心2）,則以下說法正確的是（）

?=1

A.｛%｝是等差數列

D,存在”使得E,（血）=4為

"(1+1)!

三、填空題

24.（2022秋?江蘇南通?高三統(tǒng)考期中）記S"為數列｛4｝的前"項和，已知對任意的〃eN*,q,+an+l=2n+l,

且存在此N*,&=52=210,則為的取值集合為（用列舉法表示）

25.（2022秋?江蘇揚州?高三揚州中學?？茧A段練習）用g（"）表示自然數”的所有因數中較大的那個奇數,

例如9的因數有1,3,9,則g（9）=9；10的因數有1,2,5,10,則如10）=5,那么

g⑴+g（2）+g⑶+-+g（22018-l）=.

26.（2023春?江蘇南通?高三?？奸_學考試）“0,1數列”是每一項均為。或1的數列，在通信技術中應用廣

泛.設A是一個“0,1數列”，定義數列/（/）：數列A中每個0都變?yōu)椤?,0,1”，A中每個1都變?yōu)椤?,1,

0”,所得到的新數列.例如數列A：1,0,則數列〃⑷：0,1,0,1,0,1.已知數列4：1，0,1,0,1,

記數列4+1=/（4）,k=i,2,3,則數列4的所有項之和為.

四、雙空題

27.（2022秋?江蘇鹽城?高三統(tǒng)考階段練習）已知數列｛a“｝滿足％=出=|,%+2=%+2x3"（〃eN*）,且

“=%,+*（"6*）.則數列也｝的通項公式為.若=則數列｛%｝的前〃項

28.（2023春?江蘇揚州?高三揚州市新華中學校考開學考試）侏羅紀蜘蛛網是一種非常有規(guī)律的蜘蛛網，如

圖是由無數個正方形環(huán)繞而成的，且每一個正方形的四個頂點都恰好在它的外邊最近一個正方形四條邊的

三等分點上.設外圍第一個正方形4月的邊長為1,往里第二個正方形為482c2。2,…，往里第”個正

方形為4462.那么第7個正方形的周長是,至少需要前個正方形的面積之和超過

2.（參考數據：lg2=0.301,lg3=0.477）.

4A2B、

29.（2023春?江蘇南京?高三校聯考期末）最早的數列從何而來，也許結繩記事便是人類最早跟數列打交道

的樸素方式，人類所認識并應用于生活、生產的第一個數列便是自然數列現有數列｛風｝滿足：第一項是2°，

接下來的兩項是2°，2J再接下來的三項是2°，2、于，依此類推，記A為數列｛%｝的前〃項和.則S45=,

當”>200時，若存在“7€N*）,使得s“=2”+l,則加+”的最小值為.

n=2k-1

30.（2023秋?江蘇?高三統(tǒng)考期末）已知數列｛%｝、｛，｝滿足〃=其中左eN*,{2}是公比

n=2k

a,,

為詢等比數列，則￡=——（用麻示）；若…=24,則夕——

參考答案

一、單選題

1.(2023?江蘇?統(tǒng)考一模)已知數列｛%｝的前〃項和為S”，%=1,若對任意正整數"，Sn+1=-3a?+1+a?+3,

S“+%>(-l)"a,則實數。的取值范圍是()

A.B.‘I,l")C.12,*|)D.(-2,3)

【答案】C

【詳細分析】根據?！芭cS”的關系結合等比數列的概念可得進而可得q,=*,然后結合條

件可得y+?！?3-然后分類討論即得.

【過程詳解】因為S〃+I=-3%+%+3,%=1

,,3

當拉=1時，S2=-3a2+q+3,解得％=1，

當〃22時，Sn=-3an+an_x+3(/22),則an+i=-3an+l+4%-an_x,

2aa

即n+\~n=g(2%一。〃-1)，又2a2一%=；，

所以｛20m-%｝是首項為g,公比為g的等比數列，

所以則2"(川-2%=1,又2%=2，

所以｛2"%｝為首項為2,公差為1的等差數列，

n+1

則2〃%=〃+1,則氏=-^,

所以S〃+i+"〃+i=-2-^^+^^-+3=3-^,又S]+%=2=3一擊，

則S.+?！?3—3￡N*),又S,+為〉(-1)”〃，

所以3-J>(T)〃〃，

當〃為奇數時，3->-a,而3-白■1,則2>-。，解得。>一2；

當〃為偶數時，3-擊〉〃，而3-擊之|,則。弓；

綜上所述，實數a的取值范圍為

故選：C

【名師點評】關鍵點名師點評：本題的關鍵是根據遞推關系構造數列求數列的通項公式，然后通過討論結

合數列不等式恒成立問題即得.

2.(2023秋?江蘇南通?高三統(tǒng)考階段練習)已知數列｛5｝滿足%+2&+…+2"%"=〃-2”,記數列｛g-例｝的

前〃項和為S,，若$“《百。對任意的〃eN*恒成立，則實數f的取值范圍是()

「12111f12111「1110](1110、

Lilioj111iojL109JU09)

【答案】A

【詳細分析】利用退一作差法求得。“，求得S”的表達式，結合二次函數的性質求得f的取值范圍.

【過程詳解】由4+2?+…+2"T%=〃?2",

當〃=1時，%=2,

1

當”22時，由％+2a2H----F2"'%,2"得%+2a2H-----F2"-an_}=(〃-1)?2",

兩式相減并化簡得a?=M+l(w>2),

也符合上式，所以％=〃+1,

令a=an-tn=n+\-tn=(\-t^n+\,

*「2=(17)("+1)+1-[(1-。"+1]=1一為常數,

所以數列也｝是等差數列，首項4=27,

f-r-.,.2-(+(1-7)”+1\-t23-t

所以Sc.=---------------------xn=-----n+-----

〃222

3T

對稱軸為F3-t,

n=-------=---------

1-t2-2/

由于S“Wdo對任意的〃￡N*恒成立，

所以2,解得?"老,

9.54-口〈10.51110

I2-2/

"12H-

所以才的取值范圍是.

故選：A

｛S],n=l

【名師點評】與前〃項和有關的求通項的問題，可考慮利用“退一作差法”來進行求解，和%二°c

類似.求解等差數列前〃項和最值有關的問題，可結合二次函數的性質來進行求解.

3.（2023?江蘇?高三專題練習）己知數列｛%｝是各項為正數的等比數列，公比為q,在可，電之間插入1個數，

使這3個數成等差數列，記公差為4,在生之間插入2個數，使這4個數成等差數列，公差為

在角之間插入"個數，使這"+2個數成等差數列，公差為4,則（）

A.當0<q<l時，數列｛"“｝單調遞減B.當“1時，數列｛"“｝單調遞增

C.當《時，數列｛4｝單調遞減D.當4時，數列｛"“｝單調遞增

【答案】D

【詳細分析】根據數列｛4,｝的定義，求出通項，由通項討論數列的單調性.

【過程詳解】數列｛%｝是各項為正數的等比數列，則公比為4>0,

由題意見+1=%+（?+1）4，得dn=巴旦二%=,

n+\n+1

0<"l時，…,有-^二與一<1,dn+l>dn9數列⑷單調遞增，A選項錯誤；

ann+2

g>l時，4>0,餐=幽坐，若數歹|J｛Z｝單調遞增，則幽土D>i,即,由〃eN*,需要

故B選項錯誤；

《時，%（"-1）>“闖（4-1）,解得i<<3,

~232

4>1時，力>0,由編=虱萼，若數列｛4｝單調遞減，則迎力<1，即［<安=1+工，而1<?<|

不能滿足<7<1+&（〃€?4*）恒成立，C選項錯誤；

時，%（,）<%"（,）,解得0<4<1或"|,由AB選項的解析可知，數列｛幺｝單調遞增，D

選項正確.

故選：D

【名師點評】思路名師點評：此題的入手點在于求數列｛",｝的通項，根據《的定義求得通項，再討論單調

性.

4.（2023秋?江蘇無錫?高三統(tǒng)考期末）已知一個等比數列的前n項和、前2n項和、前3n項和分別為P、Q、R，

則下列等式正確的是（）

A.P+Q=RB.Q2=PR

C.(P+Q)-R=Q2D.P2+Q2=P(Q+R)

【答案】D

【詳細分析】主要考察等比數列的性質，字母為主，對學生的抽象和邏輯思維能力要求比較高。

2n

a}(\-q

【過程詳解】當gwi時，P=,Q=,R=

i-qi-ql-q

當q=1時，P=na、,Q=2nax,R=3〃/

Ina(2-q"-q2"-/〃

%(1一夕ax(1一0}ax

對于A,當#1時,P+Q=w―=R

l-qi-q

故A錯,

對于B,當q=l時,Q2=4n2afc3n2a^=PR,故B錯,

對于C,當q=l時,(P+Q)-R=+2"%-3"0]=0w4〃,；=Q2,故C錯,

22

對于D,當4片1時,?""=矢口3+5小*3T-M+2),

P(0+R)=?！?蘆,/“)+"尸-2g"+2),

\-q1-q\-qQ-q)

當g=1時，P2+Q2="1；+4/a；=P(Q+R)

則尸2+。=尸(0+/),故選項D正確,

故選：D

5.(2023?江蘇揚州??？级?已知S”是數列｛%｝的前"項和，且％=%=1,%=2al+3?！耙?(/?>3),則

下列結論正確的是()

A.數列｛。“-。,向｝為等比數列B.數列｛。川+2%｝為等比數列

C.邑。=*2T3”一+(-1廣

D-an

2

【答案】D

【詳細分析】A選項，計算出q-&=0,故｛%-%+J不是等比數列，A錯誤;

774

B選項，計算出｛。角+2%｝的前三項，得到;中三，B錯誤;

C選項，由題干條件得到%+*=3（%+《_2），故｛4用+%｝為等比數列，得到%+%=2x3"T,故

*—1

。2+=2,%+。3=2X32,。40+。39=2x3”，相加即可求出邑0=--—,C錯誤;

最后求出?勺匚

D選項，在%+1+%=2x31的基礎上，分奇偶項，分別得到通項公式,

【過程詳解】由題意得:牝=2%+3q=5,&=2g+32=10+3=13,

由于％-電=。，故數歹％討｝不是等比數列，A錯誤；

貝。a2+2q=1+2=3,a3+2tz2=5+2=7,a4+2a3=13+10=23,

7

由于1W三，故數列｛。向+2。"｝不為等比數列，B錯誤；

“23時，=2%+3%_2，即。“+%=3（。“-1+%），

又4+%=1+1=2,

故｛%+1+?！ǎ秊榈缺葦盗?，首項為2,公比為3,

故%+I+%=2X3〃T,

2

故。2+4=2,a4+a3=2x3,...,。40+。39=2x3,

1_&40o40_1

2438

以上20個式子相加得：S40=2X(1+3+3+---+3)=2X-——=----C---錯誤;

因為?！?1+%=2x3"-,所以氏+2+%+1=2x3",兩式相減得:

%+2_%=2X3"_2X3"T=4x3".,

2A5

當"=2上時，出丘-。2*-2=4*3”T,a2t2-a2k_4=4x3-,........,%-%=4x3,

a[2左一i[2左一i1

以上式子相力口得：出上一W=4x（3+下+…+32k-3）=4x；\.

224-1_&&2左-1_1&2左-1_1

故電左=二萬二+電=三二，而〃2=1也符和該式，故七二，

令2』得：a二士1丁+",

"22

aaa=4x321,

當〃=2k_1時,2k-l~2k-3=4x3，a2k-3~2k-5ax=4x3°,

以上式子相加得：&I-%=4x(3?J+32*-6+…+3。)=4x=*二!■,

故01=^———-而%=1也符號該式，故每1=^—--

Z/t11Z./V1

令2左-1=〃得：a“J'+；T)",

綜上：0=3"-'+(-1)”',口正確.

"2

故選：D

【名師點評】當遇到4=〃")時，數列往往要分奇數項和偶數項，分別求出通項公式，最后再檢驗能

不能合并為一個，這類題目的處理思路可分別令〃=2k-1和〃=2左，用累加法進行求解.

二、多選題

6.(2023?江蘇南通?三模)1979年，李政道博士給中國科技大學少年班出過一道智趣題:“5只猴子分一堆桃子,

怎么也不能分成5等份,只好先去睡覺，準備第二天再分.夜里1只猴子偷偷爬起來,先吃掉1個桃子，然后將其

分成5等份，藏起自己的一份就去睡覺了;第2只猴子又爬起來，吃掉1個桃子后,也將桃子分成5等份,藏起自

己的一份睡覺去了;以后的3只猴子都先后照此辦理.問最初至少有多少個桃子?最后至少剩下多少個桃子?”.

下列說法正確的是()

A.若第n只猴子分得“個桃子(不含吃的)，則5b,=4%-1(〃=2,3,4,5)

B.若第〃只猴子連吃帶分共得到a?個桃子，則｛g｝(〃=1,2,3,4,5)為等比數列

C.若最初有3121個桃子，則第5只猴子分得256個桃子(不含吃的)

D.若最初有左個桃子，則左+4必有5$的倍數

【答案】ABD

【詳細分析】設最初有G個桃子，猴子每次分剩下的桃子依次為。2，。3-5，。6,則

14

C“=c?-1-l--(c?.1-l)=22),若第〃只猴子分得4個桃子(不含吃的)，則

6向=5。"-1),/>?=1(c?.1-l)(?>2),根據。“與關系即可判斷A的正誤;由A構造等比數列即可判斷B的

正誤;根據B求出數列｛"｝的通項公式，將G=3121代入求解即可判斷C;根據題意，

%+%+生+4+。5+44=左,又｛g｝(〃=1,2,3,4,5)為等比數列,判斷。的正誤.

【過程詳解】設最初有q個桃子，猴子每次分剩下的桃子依次為C2，，。4，。5，，則

14

C.=*-1-不(*T)=](*-1),(〃22),

若第n只猴子分得“個桃子(不含吃的)，則

%=]T)也T*T)("22),

所以%=》7)=如「=y("卬

即53=46,T-1(〃=2,3,4,5)，故A正確；

由A,5〃=4%-1("=2,3,4,5),

則5(4+1)=4(如+1),

即{4+1}(”=1,2,3,4,5)是等比數列，

若第n只猴子連吃帶分共得到冊個桃子，則a?=也,+1,

所以{%}(〃=1,2,3,4,5)是以g為公比的等比數歹！J,故B正確.

由B知,也+1}(〃=1,2,3,4,5)是等比數列，

所以3.($聯

若最初有3121個桃子，即q=3121,

所以么=「2；+4＞圖-1=255,故C錯誤；

木艮%+2+。3+。4+。5+4b5=4+2+。3+。4+。5+4(牝一］)=左,

因為{%}(〃=1,2,3,4,5)以I為公比的等比數列，

、41-?5-

所以％+。2+。3+。4+。5+43-1)=-----7+4a5-4=左，

一1--

4

化簡得后+4=詈55,

因為％且％為正整數,

所以爭EN*,

即4+4必有55的倍數，故D正確.

故選:ABD.

7.（2023?江蘇?校聯考模擬預測）佩爾數列是一個呈指數增長的整數數列.隨著項數越來越大，其后一項與

前一項的比值越來越接近于一個常數，該常數稱為白銀比.白銀比和三角平方數、佩爾數及正八邊形都有

關系.記佩爾數列為｛4｝,且q=0,a2=l,an+1=2an+l+an.則（）

A.?10=985B.數列｛。用-q,｝是等比數列

,,-1

C.an=^[（V2+l）-（-V2+1）"-']D.白銀比為亞+1

【答案】ACD

【詳細分析】由遞推公式得出生。，即可判斷A；計算出-%,a3-a2,a4-a3,由等比數列的定義即可判

斷B；設數列｛。,用+ZJ是公比為q是等比數列，求出q和左的值，得出％,即可判斷C：由通項公式得出

—,化簡后根據白銀比的定義，求出白銀比即可判斷D.

%+i

【過程詳解】對于A：因為。3=2,%=5,a5=12,a6=29,a7=70,as=169,a9=408,ai0=985,

故A正確;

對于B：因為o3-a2=1,a4-a3=3a3-a2,故B錯誤;

對于C：設數列｛。用+總｝是公比為9是等比數列，則%+2+總+1=9（%+1+做），

q—k=2

所以%+2=（9一后）%+i+2〃，所以

qk-1

k=-\+41k=-1-y/2

所以或?

q=1+V2q=1—V2

%=-1+叵

當時，+(—1+=1x(1+V2)/z1,

g=1+V2

k=—1—V2r—r—

*1

當「時，^+1+(-i-V2x=ix(i-V2r,

q=1-J2

n-1

解得an=^[(V2+l)-(-V2+1)"—],故C正確；

對于D：因為吐=(亞+1嚴-(-及+1嚴

(V2+iy-(-V2+iy,

??+i

(V2+1)(|^y-(-V2+1)x(z1±ir

V2+1

V2+1

夜+1-(-拒+l)>(-3+2揚”

1-(-3+2物"

]_(_3+2行產

1-(-3+2揚"

因為-3+28e(-l,0),

所以當時，（-3+2后）"-0,—^V2+l,故D正確，

an+\

故選：ACD.

8.（2022?江蘇?高三專題練習）在口4AG（〃=1,2,3,…）中，內角4,，紇,C”的對邊分別為見也,4,0^5?C?

的面積為S,,若。“=5,4=4,q=3,且%：=a『；2c/，c向'。「丁’貝汁（）

A.口4紇G一定是直角三角形B.｛凡｝為遞增數列

C.｛s“｝有最大值D.也｝有最小值

【答案】ABD

【解析】先結合已知條件得到%2+C--25=；（42+C“2-25）,進而得到6“2+的2=25=%2,得A正確，再利

用面積公式得到遞推關系4S"/=T+S.2,通過作差法判定數列單調性和最值即可.

64

【過程詳解】由加\匕叱，C「=色二絲:得，&：+的/=41等+空笠=3?！?（佃2+屋）

=^+3（a2+c〃2）,故+c〃+；-25=；也；+%2-25）,

又b；+C]2_25=0,."J+cJ—25=0,.?.勿2+的2=25=42,故口白紇Q一定是直角三角形,A正確;

%2+2C/Q/+2”2_44+2（1+°〃2）%2+物2婚

□4紇C,的面積為S“=：6,c“，而%方用2

4*4—16

a2222

n+2（b：+c：）an+4bncn_1875+16S?_1875?2

故4S2=%22

-'〃+101+10”+1=—f6—F+S'

故%—/=%+葭-/噌-笠，

"+i"644"644

又S-b“c”JJ+c:二竺（當且僅當6迪時等號成立）

n2nn44nn?

，S“+；-S"2=等-軍20,又由4=4,6=3知￡人“不是恒成立，即故S向＞S“，故｛s"｝為

644

遞增數列，｛sj有最小值H=6,無最大值，故BD正確，C錯誤.

故選：ABD.

【名師點評】本題解題關鍵是利用遞推關系得到25=gM+c“2-25）,進而得到bj+cj=25=%2,

再逐步突破.數列單調性常用作差法判定，也可以借助于函數單調性判斷.

9.（2023?江蘇南通?江蘇省如皋中學?？寄M預測）意大利著名數學家斐波那契在研究兔子的繁殖問題時,

發(fā)現有這樣的一列數：1,1,2,3,5,8,13,21,….該數列的特點如下：前兩個數均為1,從第三個數

起,每一個數都等于它前面兩個數的和.人們把這樣的一列數組成的數列｛%｝稱為斐波那契數列，現將｛%｝中

的各項除以2所得的余數按原來的順序構成的數列記為｛"｝,數列包,｝的前n項和為S"，數列上｝的前"

項和為[，下列說法正確的是（）

A.品22=1348B.S]0O0=々002—1

C.若北=2022,則〃=3033D.〃；+a；+a；+…+吮='=501

【答案】ABD

【詳細分析】根據斐波那契數列的特征得出數列也｝為1,1,0,1,1,0,L,再利用數列｛a｝的周期性

可得出選項A和C的正誤，利用波那契數列的特征，可判斷出選項B和D的正誤.

【過程詳解】根據斐波那契數列的特征可以看出，數列｛4｝為依次連續(xù)兩個奇數和一個偶數，

所以數列也｝為1,1,0,1,1,0,L,則數列也｝為周期數列，且周期為3,

選項項A,因為％022=（1+1+0）x674=1348,故選項A正確;

選項B,因為S1000=%+。2+…+。999+々000=。3一。2+。4一+.??+。1001一1000+。1002一^1001=^1002一。2="1002一，

故選項B正確；

選項C,因為2022=（1+1+0）x1011,1011x3=3033,且既3i=l，既32=1，既33=。，

所以"=3033或"=3032,故選項C錯誤；

-

選項D,因a；+a；+a]+L+a；0g=%與+a；+-\------F<7500

/\2222

=〃2（Q]++,,?+。500=出生++','+。500

=…=a499a500+。500=。500。501，故選項D正確.

故選：ABD.

10.（2022秋?江蘇南通?高三統(tǒng)考階段練習）在平面直角坐標系中，O是坐標原點，"是圓O：/+/="2

上兩個不同的動點，只是的中點，且滿足。加jON“+2O7f=0（〃eN*）.設此,乂到直線

/：6工+>+"2+"=0的距離之和的最大值為°",則下列說法中正確的是（）

A.向量萬萬”與向量方▽”所成角為120。

B.礫卜〃

2

C.an=n+2n

D-若"=2，則數列｛（2J]-f｝的前"項和為1一,

【答案】ACD

【詳細分析】對于A,用西;與西;表示函，結合給定向量等式計算判斷；對于B,求出|可|的值即可

判斷；對于C,

轉化為點勺到直線/距離最大值并計算判斷；對于D,求出數列｛?｝的通項，代入并利用裂項相消法計算判

斷作答.

【過程詳解】依題意，|西H西1=〃，而點只是弦的中點，則函=；（即+西），

2

OP?=-（OM?+2OMn-ONn+ONn）=-n+-OMn-ONn,^OMnONn+2OPn=0,

______1,-------——.OM-ON1_________

于是得。監(jiān)?ON"=「"2,ces9M”,ON“>=；-=即〈。陷10M〉=120。，A正確；

2\OMn\-\ON,,|2

——?-----?1

顯然口。此乂是頂角/%。乂=120。的等腰三角形，則L|=|OMJCOS600=5〃，B不正確;

依題意，點M到直線/：+y+"2+〃=0的距離之和等于點P?到直線/距離的2倍，

由知，點匕在以原點。為圓心，3"為半徑的圓上，則點匕到直線/距離的最大值是點。到直線/

的距離加上半徑;〃，

.\n2+n\n2+nM

而點。到直線/距離d=