2025年高考數(shù)學(xué)壓軸題訓(xùn)練：數(shù)列通項的求法（學(xué)生版+解析）

專題2數(shù)列通項的求法

考情分析

新高考在試題形式、試卷結(jié)構(gòu)、難度調(diào)控等方面深化改革，數(shù)列解答題的難度增加，作為壓軸題出現(xiàn)

的概率變大，求數(shù)列的通項是數(shù)列中的最基本的題型，也是高考中的熱點，本專題總結(jié)求數(shù)列通項的18種

類型,供大家參考.

解題秘籍

(一)等差數(shù)列求通項

若給出｛%｝是等差數(shù)列，求凡，通常是利用方程思想整理出關(guān)于q與d的方程，解方程(組)，求出％與d，再利

用通項公式求4.

[例1](2024屆貴州省六盤水市高三下學(xué)期三診)已知｛為｝為等差數(shù)列，且%=34馮+%+%4=%。+24.

(1)求｛%｝的通項公式；

⑵若2"/N%+%++?！昂愠闪?求實數(shù)2的取值范圍.

【解析】⑴設(shè)數(shù)列間的公差為4則根據(jù)題意可得葭+I7f+9"24.

=4

解得/0,則?！?2"+2.

[a=2

(2)由(1)可知運用等差數(shù)列求和公式，得到S“=4+0++a?=n2+3n,

又2"/+-+?！昂愠闪ⅲ瑒t恒成立，

設(shè)f(*=則于5+D-/W=，

當〃=1時,=即/(2)>/⑴；

當"22時,-r-〃+44-2,則/("+1)-<0,則/(〃+1)</(〃)；

則〃叫「/■⑵，故於"2)=|,

故實數(shù)力的取值范圍為

2

(-)等比數(shù)列求通項

若給出｛%｝是等比數(shù)列，求％，通常是利用方程思想整理出關(guān)于q與q的方程，解方程(組)，求出為與q,再利

用通項公式求4.

【例2】(2024屆陜西省富平縣高三第二次模擬)已知等比數(shù)列｛?｝的各項均為正數(shù)，前w項和為S“，且滿足

+a2=3,S4—15,

⑴求數(shù)列｛%｝的通項公式；

(2)若數(shù)列｛優(yōu)｝滿足bn=an+(-1)"(3n-l)，求數(shù)列也｝的前2〃項和②

【解析】(1)設(shè)等比數(shù)列｛4｝的公比為4(4＞。),由q+%=3及邑=15.

得“3+&=q2)=12,

解得4=2,于是q+。2=3%=3,即％=1,

所以數(shù)列｝的通項公式是??=砧1=2-1.

(2)由(1)知也=2"-'+(-1)"(3w-l),

所以豈”=(1+2+2?++22"-1)+[(-2+5)+(-8+11)++(-6n+4+6n-l)]

1_92n

=--------1-3〃=22n+3幾一1.

1-2

(三)累加法求通項

若給出an+l—an=bn，且｛"｝刖n項和可求，則可利用累加法求an：=q+(生-q)+(%-。2)+.+(“〃一％)

(n＞2),｛￡｝通常為等差數(shù)列、等比數(shù)列或可裂項求和的數(shù)列.

【例3】已知數(shù)列｛叫是等差數(shù)列，且％=T，數(shù)列也｝滿足2-2―=a”(心2,〃eN*),且仿=4=1.

⑴求數(shù)列抄/的通項公式；

(2)將數(shù)列｛4｝,｛〃,｝的所有公共項按從小到大的順序組成一個新的數(shù)列｛%｝,求數(shù)列｛cn｝的通項公式；

⑶設(shè)數(shù)歹的前”項和為北,證明：北＜"

lcJ4

【解析】(1)由題意可知打-4=%，即dT=T,故4=0,

由a-A=%,可得生=1,

所以數(shù)歹也｝的公差d=2,所以q=-l+2（〃-2）=2“-5,

由2-b,i=a,,b,i-b—=a,r，,b2-bx=a2,

疊加可得￡8=4+%++%=（"T）y

整理可得，=/一4〃+4,（〃大2）,當〃=1時,滿足上式，

所以b”=n2-4n+4-

（2）不妨設(shè)金=2（m,〃eN*）,即2—一5=（〃一2?？傻眉?（-一心+5

當〃=2k,[keN*）時,m=2/_秘+|,不合題意，

當”=2左一L,eN*）時,加=2左2-6左+7=2左（左一3）+7eN*,

所以dI在數(shù)列｛4｝中均存在公共項,

又因為仇=4＜么＜?，所以%=為用=（2“T）2.

⑶當〃=1時,1=14,結(jié)論成立,

1111(11}

當心2時￡=兩了<(2"2)x2”=案-1力，

所以(<l+；］l_g+；_g+5_^<5

44〃4

綜上所述,方＜;

（四）累乘法求通項

若給出嗅="，且｛bn｝前n項乘積可求，則可利用累乘法求an：4=《?生?”.?旦（〃22）,凡｝通常為等

%a?〃〃一1

比數(shù)列或皿型的數(shù)列.

【例4】（2024屆新疆高三下學(xué)期第三次適應(yīng)性檢測）若一個數(shù)列從第二項起，每一項和前一項的比值組成的

新數(shù)列是一個等比數(shù)列，則稱這個數(shù)列是一個“二階等比數(shù)列”，如：1,3,27,729,........已知數(shù)列｛4｝是一個二階

等比數(shù)列,％=1,“2=4,。3=64.

（1）求｛為｝的通項公式；

n+2

⑵設(shè)、=~-T--------，求數(shù)列也,｝的前〃項和S,,.

,logZ4+1

【解析】⑴設(shè)手=c“，由題意得數(shù)列｛5｝是等比數(shù)列，。若=4,生=，=16,

則c“=4",即口=4”,

an

M1,,2n32

由累乘法得：區(qū)?展?吐.....￡l,^=4-x4-x4-x---x4x4(?>2),

an-lan-2an-3〃2

于是全=4-7,35>2)，故a”4號2=2"<f(心2)，

%=1也滿足，所以an=4^~=2"<1)?

n+2_n+2n+2

T-T

W(〃+1)-2"T

(a?)"log2a?+1(2"叩.2"四

=2"5+2)=(11]

n-2"-l-(n+V)-2n[n-2"-1(H+1)-2"J'

令4=-7^r，則"=2(4,-%),

團s〃=4+4+???+%=2(4-4+，2-4+…+4-"〃+1)=2(4-4+1)

=21---------=2------------.

[(n+l)2nJ(〃+1)2“T

(五)利用a?與S”的關(guān)系，把條件化為%M與4的關(guān)系式求通項

fSi("=1),

任何一個數(shù)列，它的前“項和S”與通項a”都存在關(guān)系：a“=1s,—ST(n>2),若內(nèi)適合SLSi則應(yīng)把它

們統(tǒng)一起來，否則就用分段函數(shù)表示.

【例5】(2024屆吉林省吉林地區(qū)普通高中高三四模)已知數(shù)列｛婚的前n項和為S,,，且%=l,2Sn=3a?+m.

⑴求實數(shù)"z的值和數(shù)列｛%｝的通項公式；

⑵若或=ajlog3a“+i，求數(shù)列｛2｝的前“項和Tn.

【解析】(1)當〃=1時,2S1=3q+根：3=%,「.2q=3%+加，

/.m=—〃]=—1,

當〃22時,2a〃=2Sn-2SnA=3an-l-(3an_x-1),

整理得見=3區(qū)I，囚片。；.一^=3,

%

；?數(shù)列k｝是以1為首項,3為公比的等比數(shù)列,=3"、

n

(2)bn=a?-lOg3an+1=3'i-1暇3'=n-3~\

012,,-2,1-1

.-.7；I=1X3+2X3+3X3+.+(?-1)-3+?-3(1),

37；=1x3+2x3?+3x33++(M-1)-3"-1+H-3,,(2),

①-②得

-2T=3°+3'+32++3n~2+3"-'-n-3".皿―")1'

1-322

1(2?-1)-3-

'"=4-4--

(六)利用冊與S,的關(guān)系，把條件化為S,i+1與S,的關(guān)系式求通項

在利用an與S”的關(guān)系求凡時，有時不方便把條件化為an+l與an的關(guān)系式,這是可先把條件化為Sn+l與S”的

關(guān)系式，求出S“，再求凡.

【例6】已知數(shù)列｛%｝的前〃項和為%且S“=++’.

乙an

⑴求凡；

’11

——,n=I

S

(2)數(shù)列｛S“｝的每一項均為正數(shù),2="，數(shù)列出｝的前〃項和為丁“，當窘21012時，求〃的最小值.

-----------,n>2

【解析】(1)當〃=1時,=?+:=>。；=2,

S-S1

當心2時，"=七口+不一，

2

七f.1

S+S11

所以七3二丁一，所以際-S3=2(常數(shù))，

2

一3〃一1

故數(shù)列｛s；｝是以S；=2為首項,2為公差的等差數(shù)列.

所以Sj=2〃,S〃=而，

當"22時—S“_]=—N2K-2,q=A/2也適合，

所以4〃=^/2^-\j2n—2.

—,n=l

S“

(2)由(1)知,S；=2+(〃-1)2=2”.得b.=<

,n>2

P“+S,T

7

所以>Al"七十存片+石工+…+仁二二］

='(1+后T+石一行+/_6+…+6

當窗21012時，即■|21012n〃上2024,所以〃的最小值為2024.

（七）根據(jù)數(shù)列m,+〃用｝為等差數(shù)列，求%

若數(shù)列｛an+a,l+l｝為等差數(shù)列，則他i｝，｛%“｝都是等差數(shù)列，可分別求通項，再看能否合并?

【例7】（2024屆山東省青島第五十八中學(xué)高三下學(xué)期二模）已知數(shù)列｛。“｝滿足=4”+4（“€可）,且

“1=3.

⑴求數(shù)列｛%｝的通項公式;

⑵設(shè)么=（-2戶，數(shù)列低｝的前〃項和為S,，，若S?<-2024，求〃的最小值.

【解析】（1）數(shù)列｛4｝中,〃《2,?！?1+%=4〃+4,當"22時,?！?41=4〃,

則=4,由q=3,得4=5,

當〃為正奇數(shù)時，數(shù)列｛““｝是首項為3,公差為4的等差數(shù)列，

則〃2〃一1=3+4（〃-1）=2（2〃一1）+1.，即a,=2n+1,

當〃為偶奇數(shù)時，數(shù)列｛4｝是首項為5,公差為4的等差數(shù)列，

貝|a2n=5+4（〃-1）=2-2〃+1,即?！?2〃+1,即〃〃=2〃+1,

所以數(shù)列忖,｝的通項公式是%=2〃+L

(2)由⑴知a=(-2產(chǎn)”=-22用,顯然數(shù)列出｝是首項為一8,公比4=4的等比數(shù)列,

一區(qū)“一4〃、o2n+3_oO2n+3

則sn=4)=——^由凡<-2024，得_r——°<-2024，整理得4">760,

1-433

而數(shù)列｛4"｝是遞增數(shù)列,44=256(760,45=1024)760,因此〃25,

所以”的最小值為5.

（八）根據(jù)數(shù)列｛。/向｝為等比數(shù)列J,求an

數(shù)列｛氏-｝為等比數(shù)列，則｛的“_｝，｛%｝都是等比數(shù)列，可分別求通項，再看能否合并.

【例8X2024屆河北省滄州市部分示范性高中高三下學(xué)期三模）已知數(shù)列｛凡｝滿足&|四=4",4=2,〃eN*.

⑴求數(shù)列｛%｝的通項公式;

⑵設(shè)bn=-^―，數(shù)列也｝的前r項和為S"，求證：n-2<Sn<n.

〃〃十1

【解析】（1）氣包=4",%=2,;.%=4,

???烏（y=4向，兩式相除，得—=4,

a

2n

2kl

當n=2k-l，?二=2x4"i=2~，即an=T?

2k

當n=2k,a2k=4x4^=2,BPan=T,

綜上所述，數(shù)列｛4｝的通項公式為4=2〃；

(2)b=^1=1__Z

n+12〃+1'

1-總+1-舄111

?二S”-+…+=n-2--------1----------1-----1<n

I2〃+121+122+1--------2〃+1

1

11111_1_212n—」1

又，0<----------1------------1------1----------<------1-------F?=<1,

212..==1]T

2'+l2+12"+1221—

2

:.n-2<Sn<n.

（九）利用-------=d求知

4+1an

給出。用=或為+為+1=幻/用,通常通過取倒數(shù)構(gòu)造等差數(shù)歹（1.

Pan+q

r\

【例9】數(shù)列｛?！ǎ衠=l,a“M=—%—，求a“.

4+2

【解析】“飛

4+i?an2ctn

???｛2｝是首項為1,公差為L的等差數(shù)列,—=1+-(〃一1)=4里,％=/-

an2an22n+1

【例10】（2024屆四川省大數(shù)據(jù)精準教學(xué)聯(lián)盟高三第二次統(tǒng)一監(jiān)測）已知數(shù)列｛%｝滿足

%=5，?！币灰?1一。"4+1=°?

⑴求｛4｝的通項公式;

7177IIII3

7f+—<

(2)若數(shù)列｛2｝滿足，=l,b2n-b2n_x=b2n+l-b2n=一,求證：--+■—+7J.

a

n“2"4”2〃，

aa=

【解析】(I)由。n+\~”TA+I=。知，若4+1=。，則〃〃=。，若〃〃=°,則n+l。.

又所以V〃EN*，4w0.

II1clI1

由4一4+「4。"+1=°，可得---------1=0即-------=1(常數(shù))，

an+\anan+\

故『[是首項為2,公差為1的等差數(shù)列，所以：=2+(〃-l)=w+l.

故。，

n+1

(2)由打“一。2〃-1=’-得打〃一人21=〃+1，①

an

由62用一以='=〃+1得如一1一氏一2="(〃22),②

an

①+②可得如—處_2=2幾+1(心2).

771C

當〃=1時，b「b\=—=2,則勿=3.

ax

所以邑-4=04-&)+修6-4)+&一d)++?一處.2)

=(2x2+l)+(2x3+l)+(2x4+l)++(2”+l)=2x(2+3+4+…1)

=2義(2+〃!(〃_1)+(〃_1)=(九+3)(〃_]),

所以刈〃=0+(〃+3)(〃-1)=.(〃+2)(〃之2),

當〃=1時，4=3也滿足上式，所以處=〃(〃+2).

111

由上可知,，"wN*,

〃(〃+2)〃+2

所以1+；++11+1_1

bn+2

2%b2n21132435n

1113

<4,

22n+1〃+2

1113

即7十二++——<—

b2%4-

（十）構(gòu)造a?+lb?+l-anbn=d型數(shù)列求通項

i口i

【例11】已知數(shù)列｛4｝滿足2%%=*且q=2,

（1）求｛%｝的通項公式.

（2）設(shè)｛?｝的前?項和為S”,［x］表示不大于x的最大整數(shù).

①求加

②證明：當心2時，電］為定值.

%=，，則（2%+「aj2"=，x2"=l,

【解析】（1）由2a用即2"%用-2%=1,

則數(shù)列｛2%J是以1為公差的等差數(shù)列，又2%=2x：=l,

n

故2"a"=〃，即4

~T

7712n

(2)①由=酒則S?=—+—+

222

1_12n

言c亍了++訶'

則s“一gs”=gs”111n

=-+—+H--------

222T2"+1

1-1

22〃n1nn+2

2n+'

n+2

故S“=2—

T

n+2n+3

②令2=，則第

Ti+i2〃+i

n+3n+2n+3—2n—4—n—1

則<0,

2+l-a=2"+i2”2"+i2"+i

7-|_7

故數(shù)列｛2｝為單調(diào)遞減數(shù)列，又4=F=1,

故當心2時,包?0,1］,故S“e［l,2),

即當“22時，［S“］=l恒成立，即［S“］為定值1.

(H^一)構(gòu)造而二-G7=d型數(shù)列求通項

【例12】數(shù)列｛a.｝中％=2,an+l=an+\++4%，求an

2,

【解析】a”+i=a〃+1+Jl+4a”可化為l+4a“+i=(1+4an)+4-^1+4an+4=(Jl+4a“+2)

Jl+44+1=Jl+4a〃+2

/.｛Jl+4%｝是首項為3,公差為2的等差數(shù)列，

yjl+4an=3+2(n-1)=2n+\,an=tr+n.

(十二)取對數(shù)構(gòu)造等比數(shù)列求通項

形如%=醛"(??>0)，通常兩邊取對數(shù)，構(gòu)造等比數(shù)列.

【例13］若q=l,a“+i=4：+2a“，求.

2

【解析】因為an+i=%,2+2a,，所以an+l+1=a,,+2a?+1=(a“+，

因為q=2,所以%>0,

所以lg(a?a+l)=21g(a?+1),｛lg(??+1))是首項為lg2，公比為2的等比數(shù)列,

所以坨(%+1)=2"一力2,

所以%=2—1.

(十三)根據(jù)“用=。為+)?構(gòu)造等比數(shù)列求通項

a=

形如n+iP4+q的數(shù)列求通項，一般可變形為an+l+x—p(an+x),若p/°,?！?xH°，貝ij數(shù)歹！J

｛4+”是公比為P的等比數(shù)列.

【例14】(2024屆山東省煙臺招遠市高考三模)在數(shù)列｛為｝中，己知2%=°用+%%+|，4=§.

(1)求數(shù)列｛??｝的通項公式；

⑵若bn=aj,,Sn為數(shù)列也,｝的前幾項和,證明：1WS,<1.

111111(1、

【解析】（1）由24=an+\+%a“+i可得%W。,則---=ZX—+Z,W-----1=-----1

-2an2an+l21%)

故1，是以:T=1為首項為公比的等比數(shù)列.

11111112向

故丁一］=一］f"_尹廁丁*尸

4unAZ—1

2〃+i

（2）么"a“=a”（a"T）=（*_『

4

易得2>o,故S〃2H=4=§.

…777111111

"12"21-122-122-123-12n-l2"+1-1

14

=1一懣=<1.綜上有WWS,<1,即得證?

Z—1y

（十四）根據(jù)%M=P%+的”構(gòu)造等比數(shù)列求通項

形如=pa“+做"的數(shù)歹!］，可先兩邊同時除以q",得苧=/,+。,把看成數(shù)歹！J,就是

4+1=pa〃+q類型.

n+2

【例15］已知ax=2,an+1=6an+2，求an.

【解析】因為%=2,a用=6%+2”+2,所以需=苓+2,

所以翡+1=3（41］,

因為?1=2,所以數(shù)列;生+1］是首項為2,公比為3的等比數(shù)列,

所以墨+1=2x3"，所以?！?4x6-2".

（十五）根據(jù)=pc1n+qn+r構(gòu)造等比數(shù)歹ij求通項

形如冊+i=pan+qn+r(p^0)的數(shù)列求通項，通常設(shè)an+l+無("+1)+y=p(a“+x”+y),求出x,y,若

%+x+ywO,貝U可根據(jù)數(shù)歹!］｛a“+xw+y｝是等比數(shù)列求通項.

【例16]（2024屆四川省宜賓市高三適應(yīng)性考試）已知數(shù)列｛%｝滿足q=La“+i=2a,+7Ll,（〃eN

⑴證明：數(shù)列｛q+小是等比數(shù)列，并求出數(shù)列｛%｝的通項公式;

⑵設(shè)b"=log?：+〃），數(shù)列他也+J的前"項和為T，，若《＜蘇一機-1對于任意

neN*恒成立，求實數(shù)m的取

值范圍.

【解析】（1）由題可知:an+i+〃+1=+2”=2（a"+〃）,又％+1=2w。,

故｛??+〃｝是首項為2,公比為2的等比數(shù)列,a?+n=2",即4=2"-〃.

,111,,111

/9\b=----------=------=—bb=-------=-------

nnn+

〃log2（an+n）log22n,+n〃+l'

++

Tn=~~~~~~+-1=1--tVl,且當〃趨于+8時,，趨近于1,

1223nn+1n+1

所以由北＜機2—w—l怛成立，可知m2_加一1N1,解得根W（_8,_1]D[2,+8）,

（十六）構(gòu)造雙等比數(shù)列求通項.

/、\y-^=p

形如?！?2=P4+I+卯〃的數(shù)列，可設(shè)。〃+2+刈〃+1=y（“〃+i+也）,則，，求出％v的兩組值,構(gòu)造兩個等比

數(shù)列求凡.

[例17]若=1,。2=3,a〃+2+4+1-6q=。,求。〃.

/、fy-x=-l[犬=3fx=-2

【解析】設(shè)4+2+"+1='（。〃+1+“）,則《二，所以〈?；?，公

〔肛=6[y=2[》=一3

當％=3,y=2時an+2+3an+1=2（〃用+3%）,

因為q=1,%=3,%+3q=6,

所以+3%=6x3〃T=2x3〃，

當％=—2,y=-3時an+2-2an+i=-3（^n+1-2an）,

因為q=l,a2=3,a2—2q=1,

所以*-2a“=（-3廣，

2x3"-（-3）"1

與%M+3%=2x3"相減得

5

（十七）分段數(shù)列求通項

分段數(shù)列，常考的是奇數(shù)項與偶數(shù)項分為特殊數(shù)列，求解關(guān)鍵是分n為偶數(shù)與奇數(shù)討論.

2a

【例18］已知數(shù)列｛。0｝滿足an+i=1"鑒膂且q=1.

U+1,"為偶數(shù)

⑴求數(shù)列｛%｝的通項公式.

(2)求數(shù)列｛an｝的前100項和S100.

【解析】(1)由題意，得當左eN*時,%A=2的--1,①

aa+l

2k+i=ik-②

將①代入②，得a*=2%后,所以他j｝是首項為1,公比為2的等比數(shù)列,

所以%.1=2修.

又因為%+2=2%/+1-1,

所以%+2=2a2k+1,所以02k+2+1=2(%+1).

a

令bk=2k+1,則4+i=24,而%=2°]-1=1,4=a2+1=2,

所以｛4｝是首項為2,公比為2的等比數(shù)列，

所以4=21所以'=2、1.

n-1

2可〃為奇數(shù)

所以凡=《?

25-1,"為偶數(shù)

(2)5100=(a,+tz3H----1-tz99)+(a1+a^-\-----^4oo)

=(2°+21+---+249)+(21-1+22-1+---+250-1)

=(2°+2'+---+249)+(21+22+---+250)-50

5050

lx(l-2)2x(l-2)50

=—------->-+_V--------i_50=3x250-53.

1-21-2

(十八)兩個數(shù)列的公共項組成的新數(shù)列的通項求法

兩個遞增的等差數(shù)列的公共項組成的數(shù)列仍然是等差數(shù)列,若公差為原來兩個數(shù)列公差的最小公倍數(shù)，對于

其他數(shù)列｛%｝,｛￡｝,通常是根據(jù)%=b.確定使m,n都為正整數(shù)的條件.

【例19]已知數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列，且的=-1,數(shù)列也｝滿足勿-%=?！?〃22,〃eN*),且4=么=1.

⑴求數(shù)列也｝的通項公式；

(2)將數(shù)列｛/｝,｛〃,｝的所有公共項按從小到大的順序組成一個新的數(shù)列｛%｝,求數(shù)列｛4｝的通項公式；

⑶設(shè)數(shù)列的前〃項和為T,,證明：?；<|.

【解析】由題意可知82—4=。2，即%—1=—1，故人2=。，

由4一%=。3，可得〃3=1，

所以數(shù)列｛%｝的公差d=2,所以q=一1+2(〃-2)=2〃-5,

由b”-be=a”,b”_i-b“_2=a“_i，，瓦-瓦=電,

ML-rzp,,,(n-l](-l+2n-5]

登力口可用一4=〃2+“3+-+Q,=--------------------------------------------，

整理可得2=1一4九+4,(心2),當久=1時，滿足上式，

所以2=〃2一4〃+4；

(2)不妨設(shè)%,=6“(m,〃eN*),即2M一5=(〃一2>，可得機=四二?_±1

當〃=2匕(keN*)時，m=2k2-4k+^,不合題意，

當〃=2左一l,(AeN*)時，租=2左,一6左+7=2左(左一3)+7eN*,

所以為1在數(shù)列｛4｝中均存在公共項，

又因為仇=&<&<。7<,，所以C”=d用=(2"T)2.

(3)當”=1時，7J=1<-1,結(jié)論成立，

1=1<11]

當“22時,c?（2n-l）2（2w-2）x2w4（“-1nJ

所以（<1+；1_1+；_:+5_J_<5

44〃4

綜上所述，吟.

典例展示

【例1】(2024屆重慶市九龍坡區(qū)高三下學(xué)期第三次質(zhì)量抽測)己知S,,是等差數(shù)列｛4｝的前〃項和,

S5=孫=20,數(shù)列｛2｝是公比大于1的等比數(shù)列，且尺=4也-仇=12.

⑴求數(shù)列｛%｝和也｝的通項公式；

s

(2)設(shè)％/，求使c“取得最大值時n的值.

bn

【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為d,

,S,=5a,+—d=20?,c

則,2，解傳4=0,d=2,

Qu=q+10d=20

所以%=2〃一2,設(shè)等比數(shù)列也｝的公比為4(q＞1),

則卜如?)=如5,解得=；,所以2=2"；

麗3_麗=123=2

(2)由⑴得=

_+n(n-l)_3n-n2

0〃+ig2"+i2〃2”+i9

當九=1,2時,C“+1—%＞0,。］＜。2＜。3,

當〃=3時,&+1-4=0,。3=0,

當〃"時＞Cn,

所以當"=3或4時,％取得最大值.

【例2】已知數(shù)列｛4｝滿足:4=1,%=4,%+2=2/+1-g+2.

(1)證明：｛。向-4｝是等差數(shù)列，并求｛4｝的通項公式；

⑵設(shè)bn=a,,+—，若數(shù)列｛bn｝是遞增數(shù)列,求實數(shù)k的取值范圍.

an

【解析】(1)因為。“+2=2g+1-風+2,所以an+2—an+\2見+1-%+2-2g+I+%=2為常數(shù),

又電-％=3,所以數(shù)列是公差為2，首項為3的等差數(shù)列.

所以a“+i-a“=3+(n-l)x2=2n+l

當2時,(a“_a“_J+(a“T_%_2)++(%-q)=2(〃-1)+1+2(〃-2)+1++2x1+1,

所以q,-q=〃2T,又g=1,所以““="2,又〃=1,滿足

所以數(shù)列｛叫的通項公式為4=日

(2)由⑴知么=“2+與，因為數(shù)列色｝是遞增數(shù)列，

n

kkk

所以bn\-bn=("+I)'+7——7-I/+—)=(2〃+1)[1--->。,對〃￡N-恒成立，

+(?+1)n(n+1)n

得到k<(n+1)2*對〃eN*恒成立，所以％<4.

【例3】(2024屆陜西省安康市高新中學(xué)高三高考模擬)記I為數(shù)列｛g｝的前"項和，已知

卬=1,科+i-(〃+1w+〃.

(1)求｛%｝的通項公式；

⑵若bn=(-lfa?+[(-ir+1]2",求數(shù)列色｝的前2〃項和T2n.

【解析】(1)解:由電+i-(”+1電="+〃,可得嗚+「5+1居="("+1),所以步-｝=1,

又由4=1,所以?=?=1,所以數(shù)列[2]是以1為首項,1為公差的等差數(shù)列，

11InJ

所以—?=l+=則S=n2,

nn

當〃22時,S,T=(力一1)2,所以S“一S,T=an=-5-1)2=2〃-1,

又當”=1時,4=1滿足上式，

所以｛6｝的通項公式為??=2?-1.

(2)由⑴可知當”為奇數(shù)時=-?！?1-2”；

當〃為偶數(shù)時,2=?！?2x2"=2〃-1+2向，

所以％”=4+N+&+&++&"

=(/?,+b3+b5++b2n_i)+(b2+b4+b6++b2n)

=2n+23+25+27+29++22"+1=2/7+8(l+22+24+26++22"-2)

cc1—4"c2）用8

=2〃+8x----=2〃+—x4——.

1-433

【例41（2024屆湖南省邵陽市高三第三次聯(lián)考）已知數(shù)列｛4｝，｛2｝，函數(shù)/（力=加+6x+csinx,其中〃eN*,

a,b,c均為實數(shù).

(1)若“=-/?=1,c=0,—4=2,"=In

（i）求數(shù)列｛〃｝的通項公式;

2

b”2

（ii）設(shè)數(shù)列，的前〃項和為，，求證：Tn>-n+n+-.

，兀兀

八J—+an+l\~~9an+\<an?//「w

⑵若/⑺為奇函數(shù),/色卜］+1,歷CWQ,4+2={(2)2且〃2=6%=6,問：當2時,

J(q，+i),%+R%

是否存在整數(shù)加，使得加4%成立.若存在，求出加的最大值；若不存在,請說明理由.（附：sin6?-0.28,

COS5.72Q0.85)

【解析】(l)(i)/(x)=x2-x,r(x)=2x-l,

由/(%)=-/'4)，

2

得片一為=(%-%+1乂2%-1)，解得4+1=4二，

又仇=2,么>1)

.也+i=In=In[23'T]=ln],；“、

、24T>

b

:?胃=2,也}是以2為公比,2為首項的等比數(shù)列.

：q=2".

b“2"11

(ii)令3=，則c"-Q"-1乂2"+1—1)-2,-12,,+1-1,

「?(=4+Q+。3+…+%

=p---M+p-M+…+p___M=i--

(21一122-lJ(22-123-lJU"-l2"+1-lJ2"+1-l'

o

顯然當“21時,{(,}是遞增數(shù)列，g⑺=f2+〃+§在“21時，單調(diào)遞減,

122

可得7；之［=1——=§,g⑺Wg⑴=§.

72

TnN—YI+M+—.

（2）/⑺為奇函數(shù),

f(-x)=ax2-bx-csinx=-f(x)=-cue-bx-csinx.

an+i+cosa?+i,an+1<a?,

f^x)-x+smx,an+2

an+l+sman+1,an+1>an.

由%=6a{=6得，a2>ax=l,

%=/(%)=6+sin6?5.72<%,

〃4=/+cos/=6+sin6+cos(6+sin6)r5.72+0.85=6.57>的,

:.a5=/(^4)=6i4+sina4>a4,a6=/(%)=%+sin%,

/(x)=x+sinx在(0,+8)上為增函數(shù)，

/.當2兀〈工<3兀時，sinx>0,2TI<X<X+sinx</(3兀)=3兀；

a4仁6.57G(2兀,3兀),

a5=/(。4)=〃4+sin%￡(2兀,3兀).

當an?2兀,3兀）時，2兀＜見兀）=3兀.

時，4>4一1，又出>%,

當時，(〃/同=%”?加W%=6+sin6.

XmeZ,m的最大值為5.

【例5】(2024屆江蘇省蘇州市高三下學(xué)期第三次模擬)現(xiàn)有甲、乙兩個盒子中都有大小、形狀、質(zhì)地相同

的2個紅球和1個黑球.從兩個盒子中各任取一個球交換，記為一次操作.重復(fù)進行"(weN*)次操作后，記甲

盒子中黑球個數(shù)為X“，甲盒中恰有1個黑球的概率為??，恰有2個黑球的概率為bn.

⑴求隨機變量X1的分布列;

(2)求數(shù)列｛為｝的通項公式;

^^6-10o,9

（3）求證：2^---------

M94aHi5

【解析】(1)由題可知X］的可能取值為0,1,2,

根據(jù)相互獨立事件的概率公式得到：X=0即為甲盒中拿黑球乙盒中拿紅球交換=1即為甲盒中拿黑球乙

盒中拿黑球交換或甲盒中拿紅球乙盒中拿紅球交換,毛=2即為甲盒中拿紅球乙盒中拿黑球交換，則

=0）=|x|=|,P（XI=l）=|x|+|x|=|,P（X1=2）=|x|=|,

X1的分布列為：

（2）由全概率公式可知：

P（X,5=1）=P（X“=l）P（X向=1區(qū)=1）+P（X“=2）P（X向=1|X“=2）

+P（X?=0）P（Xn+1=l|Xn=0）

=[.+m3打工=1）+]《113，=2）+]14卜（匕=。）

577

=§尸（X“=l）+§尸（X“=2）+§尸（X”=。）,

52,123If3

即Bn4+1=6""+a2+a（1_%A'即Bn4+1=_84+W，4+1_與=_314,一不

又a,=「（屈=1）=|,

所以數(shù)列““一|:是以的-1為首項，以-3為公比的等比數(shù)歹山

即｛%｝的通項公式%=

6-10@

9叫1

32332

-+--+—I—

55555

^,6-10a.1111

所以白9a1,1(3,211丫3,2(1丫3,2(

flM55t9J55[~9)55^9^55<9J

-9--------1------<-9

+1

5|+|(4J5得證.

跟蹤檢測

1.(2024屆天津市南開區(qū)高三下學(xué)期質(zhì)量監(jiān)測二)已知｛%｝是等差數(shù)列，公差dw0,q+%=8,且％是為與生

的等比中項.

(1)求｛?｝的通項公式

⑵數(shù)列｛bn｝滿足與含=2%，且乙=4.

(I)求也｝的前〃項和s..

(ii)是否存在正整數(shù)機箱(力7N”)，使得S4,S2“，邑”成等差數(shù)列，若存在，求出九〃的值；若不存在,請說明

理由.

2.設(shè)正項數(shù)列加“｝的前〃項和為S“，并且對于所有的正整數(shù)“，為與1的等差中項等于S,,與1的等比中項.

(1)求數(shù)列｛%｝的通項公式.

111c

(2)證明：—+—++-<2-

8.(2024屆江蘇省宿遷市高三下學(xué)期三模)在數(shù)列｛4｝中,卬=2,/+*=3.2"(〃eN*).

(1)求數(shù)列｛4｝的通項公式；

(2)已知數(shù)列也｝滿足4-4審..44--1=消；

①求證：數(shù)列也｝是等差數(shù)列；

②若么=3，設(shè)數(shù)列g(shù)=勺的前”項和為7；，求證：7；,<14.

9.(2024屆江蘇省蘇州大學(xué)高三下學(xué)期高考考前)已知數(shù)列｛q｝滿足q=1,。向=。,+2".

(1)求數(shù)列｛4｝的通項公式；

⑵記bn+求數(shù)列｛2｝的前2〃-1項和S2“T.

10.(2024屆天津市河西區(qū)高三下學(xué)期質(zhì)量調(diào)查三)已知遞增數(shù)列｛凡｝的前"項和為s“，且4S,=d+4〃，

〃￡N*.

(1)求數(shù)列｛4｝的通項公式；

⑵設(shè)bn=+a2c+生C：+■??+a?C".

(i)求數(shù)列也｝的通項公式；

山求到吐q.

a

t=lki,4+2>

11.(2024屆陜西省渭南市瑞泉中學(xué)高三第