2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：基本不等式（解析版）

第03講基本不等式

目錄

第一部分：基礎(chǔ)知識(shí).................................................2

第二部分：高考真題回顧.............................................3

第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過(guò)...........................................6

高頻考點(diǎn)一：基本不等式的內(nèi)容及辨析..............................6

高頻考點(diǎn)二：利用基本不等式比較大小..............................8

高頻考點(diǎn)三：利用基本不等式求最值...............................11

角度1：利用基本不等式求積最大值.............................11

角度2：利用基本不等式求和最小值.............................12

角度3：二次與二次（一次）的商式的最值.......................13

角度4：“1”的妙用求最值......................................15

角度5：條件等式求最值........................................16

高頻考點(diǎn)四：基本不等式的恒成立問(wèn)題.............................20

高頻考點(diǎn)五：利用基本不等式解決實(shí)際問(wèn)題.........................24

第四部分：典型易錯(cuò)題型............................................28

備注：利用基本不等式解題容易忽視“一正”，“三相等”.............28

第五部分：新定義題（解答題）......................................30

第一部分：基礎(chǔ)知識(shí)

1、基本不等式（一正，二定，三相等，特別注意“一正”，“三相等”這兩類陷阱）

①如果。>0,b>0,而《歹，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立.

②其中而叫做正數(shù)。，匕的幾何平均數(shù)；審叫做正數(shù)。，人的算數(shù)平均數(shù).

2、兩個(gè)重要的不等式

@a2+b2>2abBbeR）當(dāng)且僅當(dāng)a=人時(shí)，等號(hào)成立.

②abW（g）21a,beR）當(dāng)且僅當(dāng)a=匕時(shí)，等號(hào)成立.

3、利用基本不等式求最值

①已知》,y是正數(shù)，如果積型等于定值尸，那么當(dāng)且僅當(dāng)％=丁時(shí)，和％+y有最小值2，萬(wàn)；

q2

②已知x,y是正數(shù)，如果和％+y等于定值s,那么當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)，積封有最大值?一；

4

4、常用技巧

利用基本不等式求最值的變形技巧一一湊、拆（分子次數(shù)高于分母次數(shù)）、除（分子次數(shù)低于分母次數(shù)）

）、代（1的代入）、解（整體解）.

湊：湊項(xiàng)，例：xH-----=x—ciH------FaN2+a=3（x>a）；

f2_4+444「

②拆：例：_^=_-------=x+2+——=x—2+——+4>2A/4+4=8（X>

x—2x—2x—2x—3

③除：例：7Ti=^T〈i（x〉°）；

XH--

④1的代入：例：己知a>0力>O,a+Z;=l,求工+5的最小值.

ab

解析：1+1=（1+1）（^+^）=2+-+->4.

ababab

⑤整體解：例：已知〃，b是正數(shù)，且〃Z?=a+Z?+3,求a+b的最小值.

2

a+ba+bi9

解析：ab<Na+Z?+3即-（?+/?）-（6Z+/?）-3>0,解得

22

a+bN6（a+Z?4-2舍去）.

第二部分：高考真題回顧

1.(2022?全國(guó)?(甲卷文))已知9"'=10,。=10"'-11,6=8恒一9,則()

A.a>Q>bB.a>b>0C.b>a>0D.b>0>a

【答案】A

【分析】法一：根據(jù)指對(duì)互化以及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可知根=log910>l，再利用基本不等式，換底公式

可得機(jī)logs9>根，然后由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可解出.

【詳解】［方法一］:(指對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì))

由9J10可得機(jī)=1唱1°=^>1,而lg91gli〈產(chǎn)I1叫、［號(hào)］<l=(lgl0)2,所以^>黑，

即所以a=l(r-11>10聯(lián)1—11=0.

又lg81gio<Jg8；gl0］=愣2)<0g9)2,所以黑>疑，g|］log89>m,

所以6=8"'-9<漕3-9=0.綜上，a>0>b.

［方法二］:【最優(yōu)解】(構(gòu)造函數(shù))

由9m=10,可得旭=log910m(1,1.5).

根據(jù)。,6的形式構(gòu)造函數(shù)/(%)=--》-1(%>1),則/'(X)=加”--1,

令((無(wú))=0,解得％=加占，由根ulogglOe(1,1.5)知尤()e(0,l).

Ax)在(1,+8)上單調(diào)遞增，所以八10)>/(8),即a>b,

又因?yàn)?(9)=”足-10=0,所以a>O>b.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】法—：通過(guò)基本不等式和換底公式以及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較，方法直接常用，屬于通性通法；

法二：利用。,6的形式構(gòu)造函數(shù)/。)=/-工-15>1),根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得出大小關(guān)系，簡(jiǎn)單明了，是該

題的最優(yōu)解.

2.(2022?全國(guó)?(甲卷文理))已知AABC中，點(diǎn)。在邊BC上，ZADB=120°,AD=2,CD=2BD.當(dāng)，

AB

取得最小值時(shí)，BD=.

【答案】代-1/-1+6

AC2

【分析】設(shè)CD=23￡?=2/n>0,利用余弦定理表示出后，結(jié)合基本不等式即可得解.

AB7

【詳解】［方法一］:余弦定理

設(shè)CD=2BD=2m>0,

則在△ABD中，AB2=BD2+AD2-2BD-ADcosZADB=：zw2+4+2m,

在AACD中，AC2=CD2+AD2-2CD-ADcosZADC=4m2+4-4m,

2

AC_W+4-4/n_4(機(jī)2+4+2",-12(1+%)12

=4-

加以AB?zu2+4+2mm2+4+2m3

(m+l)+

m+1

>4——12.^4-2A/3

V7m+1

3

當(dāng)且僅當(dāng)用+1=；即根=6-1時(shí)，等號(hào)成立,

m+1

所以當(dāng)前取最小值時(shí)，利

故答案為：A/3-I.

［方法二］:建系法

令BD=t,以D為原點(diǎn)，0C為X軸，建立平面直角坐標(biāo)系.

貝IjC(2t,0),A(1,g),B(-t,0)

AC2_⑵-以+3_4/由+4__12

4>4-2-73

當(dāng)且僅當(dāng)f+l=#，即瓦）=6-1時(shí)等號(hào)成立。

［方法三］:余弦定理

設(shè)BD=x,CD=2x.由余弦定理得

C2=X2+4+2x,,°

9

*2A-)「.2c+b=12+6%,

b=4+4x-4x

c2=X2+4+2X,°.

<2Ao,「.2c+b=12+6%,

b=4+4x-4x

XC

令W，則一0%—2+6X2,

、

12+6x212+6x22

:.t2+2==6>6-2A/3,

x~+2x+4(x+l)+-^—

')X+1J

?>4-2A/3,

當(dāng)且僅當(dāng)x+l=ITT即x3+i時(shí)等號(hào)成立?

3.（2。22?全國(guó)?（新高考工卷））記MC的內(nèi)角A,5,C的對(duì)邊分別為―，已知比='

⑴若c號(hào)27r，求5

⑵求八二的最小值.

c

【答案】（l）g

0

(2)4A/2-5.

【分析】（。根據(jù)二倍角公式以及兩角差的余弦公式可將母=黑|萬(wàn)化成cos（A+B）=smB'再

TT

結(jié)合0<8<],即可求出;

2,20

⑵由⑴知。>8,A=再利用正弦定理以及二倍角公式將一化成4c嬴。-5

然后利用基本不等式即可解出.

z、e、rcosAsin2B2sinBcosBsin3

【詳解】⑴因?yàn)橛蓃—Q即n

sinB=cosAcosB-sinAsinB=cos(A+B)=—cosC=g

JTqr

而0<g<5,所以

兀71

(2)由(1)知，sinB=—cosC>0,所以一<。<兀,0<3<一,

22

而sin8=—cosC=sinIC—

I2

所以C=&+5,即有A=￥_2B,所以Be0,7J1,Ce713%

22k4j5'彳

sin2A+sin2Bcos22B+l-cos2B

所以

-2sin2Ccos2B

(2cos2B-l)24-1-cos2B

=4cos23+一一-5>2^-5=4A/2-5?

cos2Bcos-B

當(dāng)且僅當(dāng)cos2B=4時(shí)取等號(hào)，所以餐=的最小值為472-5.

第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過(guò)

高頻考點(diǎn)一：基本不等式的內(nèi)容及辨析

典型例題

例題L（2024上?陜西安康?高一?？计谀┫铝胁坏仁揭欢ǔ闪⒌氖牵ǎ?/p>

A.x2+1>2x（x>0）B.sinxd——-—>2（x^k7T,kGZ）

sinx

ii

C.^-^->1（XGR）D.t+->2（t>0）

【答案】D

【分析】根據(jù)各項(xiàng)所給條件，結(jié)合均值不等式分析、判斷作答.

【詳解】對(duì)于A,當(dāng)％=1時(shí)，x2+1=2x,A不正確；

對(duì)于B,當(dāng)了。左肛左EZ時(shí)，一l<sinx?l,且sinxwO,若一lVsinx<0,則sin%+「<0,B不正確；

sinx

對(duì)于C,VXGR,X2+1>1,則。<-?1,即C不正確；

x+1

對(duì)于D,當(dāng)力>0時(shí)，由均值不等式得t成立，當(dāng)且僅當(dāng)f=l時(shí)取等號(hào)，則D正確.

t

故選：D

例題2.（多選）（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）任取多組正數(shù)。也c,通過(guò)大量計(jì)算得出結(jié)論：空炳,

當(dāng)且僅當(dāng)。=b=c時(shí)，等號(hào)成立.若0<根<3,根據(jù)上述結(jié)論判斷帆2（3。的值可能是（）

A.717B.V15C.5D.3

【答案】BD

【分析】利用已知結(jié)論求出/（3-加）的最大值進(jìn)行判斷，為此需湊出三個(gè)正數(shù)的和為定值.

fl1\3

-m+—m+3-m

【詳】根據(jù)題意可得（3-加）=4x；機(jī)kW422________=4,

3

7

當(dāng)且僅當(dāng);根=3-加，即〃?=2時(shí)，等號(hào)成立.故療（3-切）的最大值為4.

從而AC不可能，BD可以取.

故選：BD.

練透核心考點(diǎn)

1.（2024?全國(guó)?高一假期作業(yè)）下列不等式中等號(hào)可以取到的是（）

AJX。+5H—[r:22B.x2+2H----N2

4dX2+2

21、c

C.xH——N2D-UiA

X

【答案】C

【分析】根據(jù)基本不等式使用條件逐一檢驗(yàn)取等條件即可得答案.

【詳解】解：對(duì)于A,因?yàn)楦蜤>0,所以4r大+-/^=22后彳=2,當(dāng)且僅當(dāng)

+5

+即尤2=-4,故等號(hào)不成立，故A不符合;

對(duì)于B,因?yàn)?+2>0,所以V+2+——>2=2,當(dāng)且僅當(dāng)尤2+2=^^,即一=-1,

尤②+2元2+2

故等號(hào)不成立，故B不符合;

對(duì)于C,因?yàn)闊o(wú)2>o,所以丁+5會(huì)去也占1

=2,當(dāng)且僅當(dāng)即-±1時(shí)取等號(hào)，故C符合;

X

對(duì)于D,因?yàn)殁?3>0,所以N+3+油方1~W=2,當(dāng)且僅當(dāng)|尤|+3=|1一

22弧+3〉審3,則>一2,故

區(qū)+3

等號(hào)不成立，故D不符合.

故選：C.

2.（多選）（2024上?河南漂河?高一潺河高中校考階段練習(xí)）下列命題中正確的是（）

2

A.不x」+5的最小值是2

Vx+4

B.當(dāng)x>l時(shí)，x+一1的最小值是3

x-1

C.當(dāng)0<x<10時(shí)，Jx（lO-x）的最大值是5

21

D.若正數(shù)x，y滿足一+—=3,則2x+y的最小值為3

【答案】BCD

【分析】利用基本不等式對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.

【詳解】A選項(xiàng)，苧盧=苧3+1=4^77+開(kāi)

Vx+4Jx+4yjx+4

但是J.+4=:，/+3=0無(wú)解,

所以①等號(hào)不成立，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤.

VX2+4

B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，x-l>0,

工+」一=尤-1+」一+122人-1).—'―+1=3,

x-1x-1V尤T

當(dāng)且僅當(dāng)1=時(shí)等號(hào)成立，所以B選項(xiàng)正確.

C選項(xiàng)，當(dāng)0<x<10時(shí)，10-x>0,

所以］無(wú)（10_尤）4犬+：一工=5,

當(dāng)且僅當(dāng)x=10-x,x=5時(shí)等號(hào)成立，所以C選項(xiàng)正確.

2x+y=g(2x+y)21

D選項(xiàng)，x，y是正數(shù),—+—

%y

47郵HU=3,

2y_2x

xy

當(dāng)且僅當(dāng)'，x=y=i時(shí)等號(hào)成立，所以D選項(xiàng)正確.

-+-=3

Uy

故選：BCD

高頻考點(diǎn)二：利用基本不等式比較大小

典型例題

例題1.（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）對(duì)于任意〃，b￡R,下列不等式一定成立的是（）

a+bi_b,b,,a,

A.------->4abB.a+—22C.-+->2D.|-|+|-|>2

2aabab

【答案】D

b

【分析】當(dāng)，<0/<0時(shí)，可判斷A；當(dāng)Q<0時(shí)，可判斷B；當(dāng)一<0時(shí)，可判斷C；利用均值不等式，可判

斷D.

【詳解】選項(xiàng)A：當(dāng)“<0涉<0時(shí)，胃<0,族>0,—<4ab，不成立，故A錯(cuò)誤；

22

選項(xiàng)B：當(dāng)Q<0時(shí)，a+—<0,aH—<2,不成立，故B錯(cuò)誤；

Qa

選項(xiàng)c：當(dāng)eh<0時(shí)，h-+n^<0,h-+n^<2,不成立，故C錯(cuò)誤；

aabab

選項(xiàng)D：由|4,白有意義，故a*0,6w0,因此|々>0,#|>0

abab

由均值不等式，伍再=2,當(dāng)且僅當(dāng)|勺=|白，即時(shí)等號(hào)成立

ab\abab

故D正確

故選：D

例題2.（2024下?福建?高一校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）杭州，作為2023年亞洲運(yùn)動(dòng)會(huì)的舉辦城市，以其先進(jìn)的科

技和創(chuàng)新能力再次吸引了全球的目光.其中首次采用"機(jī)器狗”在田徑賽場(chǎng)上運(yùn)送鐵餅等，迅速成為了全場(chǎng)的

焦點(diǎn).已知購(gòu)買x臺(tái)"機(jī)器狗"的總成本為/（彳）=5*2+工+20（萬(wàn)元）.

⑴若使每臺(tái)"機(jī)器狗"的平均成本最低，問(wèn)應(yīng)買多少臺(tái)？

⑵現(xiàn)安排標(biāo)明"汪1"、"汪2"、"汪3"的3臺(tái)"機(jī)器狗"在同一場(chǎng)次運(yùn)送鐵餅，且運(yùn)送的距離都是120米.3臺(tái)"機(jī)

器狗"所用時(shí)間（單位:秒）分別為（，T2,1."汪1”有一半的時(shí)間以速度（單位:米/秒）匕奔跑，另一半

的時(shí)間以速度匕奔跑；"汪2"全程以速度J羽奔跑；"汪3"有一半的路程以速度匕奔跑，另一半的路程以

速度匕奔跑，其中K>。，K>0,且hw%則哪臺(tái)機(jī)器狗用的時(shí)間最少？請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】⑴40

（2廣汪1"用的時(shí)間最少，理由見(jiàn)解析

【分析】（1）平均成本為y=d"，利用比較不等式，即可求解函數(shù)的最值；

X

（2）利用速度，時(shí)間和路程的關(guān)系，分別求解（，T2,T3,再根據(jù)不等式，比較時(shí)間大小，即可求解.

【詳解】（1）由題意，購(gòu)買x臺(tái)"機(jī)器狗"的總成本為+尤+20,

80

貝IJ每臺(tái)機(jī)器狗的平均成本為>?+2昭刁+1=1+1=2,

當(dāng)且僅當(dāng)白1x='20時(shí)，即x=40時(shí)，等號(hào)成立，

80x

所以，若使每臺(tái)"機(jī)器狗"的平均成本最低，應(yīng)買40臺(tái).

11r_JZ9_

（2）由題意，“汪1〃滿足手K+多匕=120,可得「K+匕,

222

.120

〃汪2〃滿足（收酸=120,可得小而

T6060120

Y—-------|-----------------------------

"汪3"滿足匕K2次,

匕+匕

2匕匕w2乂匕

時(shí),匕力匕,

乂+匕一2

所以及<麻，

%十V2

因?yàn)閬V>0,匕>0,且匕*匕,

所以可得U管>打說(shuō),

V+K>師>篝

則吃上>0,

所以（<（<（,所以"汪1"用的時(shí)間最少.

練透核心考點(diǎn)

1.（多選）（2024上?湖南常德?圖三統(tǒng)考期末）已知a>8>0,則下列不等式一定成立的是（）

2abla2+/?2

a+b<\~

11

C.〃+Z?+ln(oZ?)>2D.------<------

1+lna1+lnZ?

【答案】AB

【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)和基本不等式判斷AB,利用特值法判斷CD.

【詳解】<a>6>0,「.1H—<1+—即。<---<---,「?---->----，A正確;

ababQ+1Z?+l

2ab2ab-a+b

由基本不等式知：/—=4ob<———,當(dāng)且僅當(dāng)a=〃時(shí)等號(hào)成立

a+b2Jab2

y.a2+b2>2ab,2（a2+/）n（a+b），

3色即史2wH,當(dāng)且僅當(dāng)“=b時(shí)等號(hào)成立;

242一丫2

已知a>3>0,故也<<世運(yùn)，B正確；

a+bV2

令a=\,b=—,a+b+\n(ab}=1H--FIn—=—<2,C錯(cuò)誤;

eeee

令6=」，l+ln&=l+lnl=0,分母為零無(wú)意義，D錯(cuò)誤.

ee

故選：AB.

2.（多選）（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）十六世紀(jì)中葉，英國(guó)數(shù)學(xué)家哈利奧特用表示不等號(hào)，并逐

漸被數(shù)學(xué)界所接受，不等號(hào)的引入對(duì)不等式發(fā)展影響深遠(yuǎn).若某同學(xué)從一樓到五樓原路往返的速度分別為。

和伙0<。<勿，記兩速度的算術(shù)平均值為匕，全程的平均速度為打，則下列選項(xiàng)正確的是（）

ab

A.v=----B.a<v2<^Jab

2a+b

【答案】BCD

【分析】利用基本不等式以及不等式的性質(zhì)求解.

【詳解】設(shè)一樓到五樓的距離為S,

_a+b_2slab

由題知匕=亍A錯(cuò)誤；

ab

%lb

因?yàn)椤?-a=a(——--1),

a+ba+b

2b2b2ab

且Ovavb,所以Q+〃V力，所以-->1,---l>0,所以-->tz,

a+ba+ba+b

又因?yàn)閍+b>2〃^，(因?yàn)閍】b,所以取不到等號(hào))，所以~<[―=,B正確;

a+b2y/ab

對(duì)C,因?yàn)轲辀,所以疝<巴也，

Q?+Z?2Q?+〃+2QZ?Q?+Z??—2QZ?[CL—b)2

-----------------------------=-----------------=---------->0

2444

即審（尸’c正確;

對(duì)D,因?yàn)椋╝+b）之-4"=（〃一〃了>0,

所以（。+”>4出即哈黑，口正確;

故選:BCD.

高頻考點(diǎn)三：利用基本不等式求最值

角度1：利用基本不等式求積最大值

典型例題

例題:1.（2024上?安徽?高一校聯(lián)考期末）若正數(shù)蒼'滿足&+2"=2?，則孫的最大值為（）

93

A.6B.9C.-D.-

42

【答案】C

【分析】由基本不等式求解即可.

【詳解】解：因?yàn)?+=20N2J2A,

所以<12,y[xy<^,xy<^,

3

當(dāng)且僅當(dāng)尤=3,y時(shí)取等號(hào).

4

故選：C.

例題2.（2024下?重慶?高三重慶巴蜀中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知x>0,y>0,向量日=（陽(yáng)y）,b=（2,1）,萬(wàn)石=1,

則孫的最大值為.

【答案】1/0.125

O

【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可得2x+y=l,結(jié)合題意利用基本不等式，即可求得答案.

【詳解】由題意知益=（x,y）石=（2,1）,濟(jì)1=1,故2x+y=l,

又x>0,y>0,所以l=2x+y2212xy,

故當(dāng)且僅當(dāng)2無(wú)=>,結(jié)合2x+y=l,即2尤=y=：時(shí)取等號(hào)，

82

故孫的最大值為:，

O

故答案為：—

O

角度2：利用基本不等式求和最小值

典型例題

例題1.（2024上?安徽蕪湖?高一統(tǒng)考期末）若實(shí)數(shù)滿足孫=1,則/+2y2的最小值為（）

A.1B.y/2C.2D.2近

【答案】D

【分析】通過(guò)沖=i求出y,代入所求式消元，運(yùn)用基本不等式求解即得.

【詳解】由孫=1可知XN0,則y=L代入/+2/得：尤2+2/=/+金22夜，

xx

當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即當(dāng)天=±蚯時(shí)，/+2卡取得最小值2夜.

故選：D.

例題2.（2024上?廣西?高一校聯(lián)考期末）已知片+〃=必+4,則6的最大值為（）

A.2B.4C.8D.272

【答案】B

【分析】利用基本不等式可得關(guān)于“+人的一元二次不等式，解不等式即可.

【詳解】a2+b2=ab+4,則有（4+32=3帥+4?3（。+—+4,

4

可得（〃+加2416,即a+b<4,當(dāng)且僅當(dāng)。=b=2時(shí)，等號(hào)成立.

所以a+Z?的最大值為4.

故選：B

例題3.（2024上?湖北?高一校聯(lián)考期末）已知x>:,則工+^^二的最小值為_(kāi)_________

22x-l

【答案】3

【分析】利用基本不等式求得正確答案.

【詳解】由于％>7，所以兀一大>—1>。,

22

1111

所以1+=X---F+—

2x-l2212

11/-1

>2----+—=。2+一,

2x-l22

當(dāng)且僅當(dāng)x-』=」一,x=?i時(shí)等號(hào)成立,

22x-l2

所以x+上的最小值為

故答案為：；+&

角度3；二次與二次（一次）的商式的最值

典型例題

例題L（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）函數(shù)〃x）=*；（x<0）的最大值為.

【答案】1-2后-2#+1

【分析】首先化簡(jiǎn)可得〃》）=生土9=2彳+3+1=-（-2尤+/-）+1,由-x>0則可以利用基本不等式求最

XX-X

值即可.

【詳解】因?yàn)閤<0,貝!J-x>0,

^VXf(x}=2x+X+3=2x+-+l=-(-2x+—)+1

XX-x

<-2^-2x—+1=1-276,

當(dāng)且僅當(dāng)-2x=3，即工=-亞時(shí)等號(hào)成立，

-x2

所以〃元)的最大值為1-2#.

故答案為：1-26.

例題2.（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）函數(shù)y=3（x>2）的最小值為

【答案】11

【分析】將函數(shù)化為y=N-2+99+5,利用基本不等式求其最小值，注意取值條件即可.

x-2

了洋冷刀1r+-i(%—+5(%—2)+9c9yy.n

［詳解］由)=-----------------=x—2-i------F5,X.%—2>0,

x—2x—2

所以y22，(％-2)?一+5=11,當(dāng)且僅當(dāng)尤一2=—^,即％=5時(shí)等號(hào)成立,

Vx—2%—2

所以原函數(shù)的最小值為11.

故答案為：11

3元一3

例題3.（2。24?全國(guó)?高三專題練習(xí)）函數(shù)小尸…^在。,的上的最大值為------------

【答案】|3

【分析】令X-I=t，貝卜>0,則，利用基本不等式計(jì)算可得.

zr+jH—

t

【詳解】解：因?yàn)?a)=J3——r-37，%￡(1，+8),令％—1=1,則"0,

2x-x+1

?/\3t3t3,33

f(t}=---------------=---------=--------<—,——=—

則2Q+1)2_Q+1)+12產(chǎn)+3f+22-L~27,

2r+3+-

44I乙I*"IJ

2

當(dāng)且僅當(dāng)2"-,/=1即％=2時(shí)，等號(hào)成立.

t

3

故〃X）的最大值為

3

故答案為：—

角度4：“1”的妙用求最值

典型例題

Q1

例題1.（2024上?安徽?高一校聯(lián)考期末）已知正數(shù)x,y滿足—+—=1,則x+2y的最小值是（）

xy

A.6B.16C.20D.18

【答案】D

【分析】將所求的式子乘以“甘，然后利用基本不等式求解即可.

Q1

【詳解】因?yàn)檎龜?shù)％,y滿足一+—=1,

%y

則x+2y=（x+2y）［§+Lj=10+^+2210+2^JZH=18,

當(dāng)且僅當(dāng)皿=土，即尤=12,y=3時(shí)等號(hào)成立.

xy

故選：D

例題2.（多選）（2024上,福建漳州?高一統(tǒng)考期末）已知a>0,b>0,且a+2b=2,則（）

1129

A.必的最大值為:B.上+1的最小值為:

4ab2

C./+4〃的最小值為2D.S+2）（6+2）的最大值為8

【答案】BC

【分析】A選項(xiàng)，利用基本不等式直接進(jìn)行求解；B選項(xiàng)，利用基本不等式“甘的妙用求出最值；C選項(xiàng),

a+2〃=2兩邊平方后，利用基本不等式求出答案；D選項(xiàng)，變形得到（a+2）（6+2）=8-2〃<8,D錯(cuò)誤.

【詳解】A選項(xiàng)，因?yàn)椤?gt;0,6>0,由基本不等式得a+26220^,

即。64；,故A錯(cuò)誤；

B選項(xiàng)，因?yàn)閍>0,b>。，

由N122丫。7、1ca葭5。5而9

abb）\2）2ba2vba2

當(dāng)且僅當(dāng)即。=b=:時(shí)，等號(hào)成立，

ba3

129

故上+：的最小值為2,B正確；

ab2

C選項(xiàng)，a+2b=2兩邊平方得a?+4"+4/=4,

4。6=4-（/+4/）,其中4a6V/+462,

當(dāng)且僅當(dāng)。=?,即。=1力=；時(shí)，等號(hào)成立，

故4一（片+4/）4。2+462,解得1+4/22,

a1+4b2的最小值為2,C正確；

D選項(xiàng)，因?yàn)閍+2b=2,a>0,b>0,

所以（a+2）0+2）=（2-2"2）0+2）=8—2從<8,

故D錯(cuò)誤.

故選：BC

角度5：條件等式求最值

典型例題

例題1.（2024下?重慶?高三重慶南開(kāi)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）對(duì)于正數(shù)a,b,有（2H+l）（a+b）=6"，貝必+b

的取值范圍是（）

A.（0,1]B.[1,右]C.[1,2]D.[2,舟]

【答案】C

【分析】根據(jù)題意可得利用基本不等式可得“-2"+「—一（a+丁,再結(jié)合二次函數(shù)不等式求解

2-^------^-+1

4

方法即可求解.

6ab3

【詳解】由題可知:a+b=

2ab+l2ab+l

因?yàn)?。都是正?shù)，所以4（當(dāng)且僅當(dāng)。=6時(shí)取等），

a+Z?=3-----------<3---------------z

2

所以2ab+l(fl+M(當(dāng)且僅當(dāng)a=6時(shí)取等)，

2、------^-+1

4

化簡(jiǎn)可得（a+6）2-3（a+6）+2V0,解得lVa+bW2,故C正確.

故選：C.

1221

例題2.（多選）（2024上?安徽合肥?高一合肥一中?？计谀┮阎龜?shù)滿足〃2—+：/之一+六則（）

abab

A.ab>3B.(?+&)2>12

1+1>2611c

cD.-+-<2

ab3ab

【答案】ABD

【分析】利用不等式的性質(zhì)可判定A項(xiàng)，結(jié)合基本不等式可判定B項(xiàng)，利用特殊值可判定C項(xiàng)，根據(jù)條件

放縮得出即可得出。>1,6>1判定D項(xiàng).

ab

【詳解】對(duì)于A,a>—+—,b>—+—,a>O,b>O,:.a+b>—+—=+j,

ababababab

所以必23,A選項(xiàng)正確；

對(duì)于B,由題+—1_](〃+b)=3(2+7H—]N3X2+2.|=12,

\ab)IbaJ(\baJ

當(dāng)且僅當(dāng)q=b=有等號(hào)成立，故B選項(xiàng)正確；

對(duì)于C,可取特殊值。=6=2滿足題意，則工+，=1<”，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

ab3

122111

又寸于D9,：a2—I——I—,a>0,Z?>0,1.a>—,b>——/>1,>1,

ababab

即a>l,6>l,則工+工<2,故D正確.

ab

故選：ABD

練透核心考點(diǎn)

1.(2024上?福建龍巖?高一福建省武平縣第一中學(xué)校聯(lián)考期末)已知無(wú)且x+y-個(gè)=g,則2x+y

的最小值是()

A.2A/2B.4C.472D.5

【答案】D

【分析】由已知可得=再根據(jù)基本不等式求解即可.

【詳解】由x+y-孫=:，得(x-l)(y-l)=g,

因?yàn)樗詘-l>0,y-l>0,

則2x+y=2(x_l)+(yT+322j2(x_l)(y_l)+3=5,

當(dāng)且僅當(dāng)2(x—l)=(y-l),即尤=*y=2時(shí)，等號(hào)成立，

所以2x+y的最小值是5.

故選：D.

2.(多選)(2024下?吉林通化?高三梅河口市第五中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試)已知。>08>0,若a+?=1,則

()

A.a+b>一B.a+b<\

121

C.的最大值為丁D.—H7的最小值為8

4ab

【答案】ABD

【分析】對(duì)于AB：根據(jù)題意消去。，結(jié)合6的取值范圍分析求解；對(duì)于C：根據(jù)基本不等式運(yùn)算求解；對(duì)于

D：根據(jù)“1〃的靈活應(yīng)用結(jié)合基本不等式分析求解.

【詳角軍】因?yàn)閍>O,b>。，a+2b=l,則。=1—2Z?>。，可得

對(duì)于選項(xiàng)AB：因?yàn)椤?6=1—2Z?+）=1—〃，

所以〃+Q+Z?V1,故AB正確;

對(duì)于選項(xiàng)J因?yàn)樵t=m（如《,厘」

當(dāng)且僅當(dāng)。=26=:時(shí)，等號(hào)成立，

所以必的最大值為:，故C錯(cuò)誤；