2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義：成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析（解析版）

專(zhuān)題57成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析（新高考專(zhuān)用）

目錄

【知識(shí)梳理】................................................................2

【真題自測(cè)】................................................................4

【考點(diǎn)突破】...............................................................14

【考點(diǎn)1】成對(duì)數(shù)據(jù)的相關(guān)性..................................................14

【考點(diǎn)2】回歸分析..........................................................17

【考點(diǎn)3】獨(dú)立性檢驗(yàn)........................................................25

【分層檢測(cè)】...............................................................35

【基礎(chǔ)篇】.................................................................35

【能力篇】.................................................................43

考試要求：

1.了解樣本相關(guān)系數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義.

2.了解一元線性回歸模型和2X2列聯(lián)表，會(huì)運(yùn)用這些方法解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.

3.會(huì)利用統(tǒng)計(jì)軟件進(jìn)行數(shù)據(jù)分析.

融知識(shí)梳理

1.變量的相關(guān)關(guān)系

(1)相關(guān)關(guān)系

兩個(gè)變量有關(guān)系，但又沒(méi)有確切到可由其中的一個(gè)去精確地決定另一個(gè)的程度，這種關(guān)系稱(chēng)為

相關(guān)關(guān)系.

(2)相關(guān)關(guān)系的分類(lèi)：正相關(guān)和負(fù)相關(guān).

(3)線性相關(guān)

一般地，如果兩個(gè)變量的取值呈現(xiàn)正相關(guān)或負(fù)相關(guān)，而且散點(diǎn)落在一條直線附近,我們就稱(chēng)這

兩個(gè)變量線性相關(guān).

一般地，如果兩個(gè)變量具有相關(guān)性，但不是線性相關(guān)，那么我們就稱(chēng)這兩個(gè)變量非線性相關(guān)或

曲線相關(guān).

2.樣本相關(guān)系數(shù)

⑴相關(guān)系數(shù)廠的計(jì)算

變量x和變量y的樣本相關(guān)系數(shù)r的計(jì)算公式如下：

11

S一M-y)

?=1

(2)相關(guān)系數(shù)r的性質(zhì)

①當(dāng)r>0時(shí)，稱(chēng)成對(duì)樣本數(shù)據(jù)正相關(guān)；當(dāng)r<0時(shí)，成對(duì)樣本數(shù)據(jù)負(fù)相關(guān)；當(dāng)r=0時(shí)，成對(duì)樣

本數(shù)據(jù)間沒(méi)有線性相關(guān)關(guān)系.

②樣本相關(guān)系數(shù)r的取值范圍為「一1,11

當(dāng)|r|越接近1時(shí)，成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越強(qiáng)；

當(dāng)|r|越接近0時(shí)，成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越弱.

3.一元線性回歸模型

(1)經(jīng)驗(yàn)回歸方程與最小二乘法

我們將〈=￡+:稱(chēng)為y關(guān)于％的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，也稱(chēng)經(jīng)驗(yàn)回歸函數(shù)或經(jīng)驗(yàn)回歸公式，其圖形稱(chēng)

為經(jīng)驗(yàn)回歸直線.這種求經(jīng)驗(yàn)回歸方程的方法叫做最小二乘法，求得的3二叫做。的最小二

2

乘估計(jì),

其中

nn

y

—?一1)(”?—J)Hx,yl,~ln^Jc~y

-i=i=1

b=—n

2v2

S(JC,—JC)ZJ/i-nx

=1i=i

a=y-bx.

(2)利用決定系數(shù)F刻畫(huà)回歸效果

(乂一3,尸

z

J?=l-—n

\、

:=1,收越大，即擬合效果越好，F(xiàn)越小，模型擬合效果越差.

4.列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(yàn)

(1)2X2列聯(lián)表

一般地，假設(shè)有兩個(gè)分類(lèi)變量X和匕它們的取值分別為｛xi,基｝和｛”，"｝,其2X2列聯(lián)表

為

y

X合計(jì)

尸券

X~X\aba+b

X~X2cdc~\~d

合計(jì)a~\~cb+dn—a~\~b~\~c~\~d

⑵臨界值

H(nd-be")2

/=(小)(c+d)Q+c)?忽略/的實(shí)際分布與該近似分布的誤差后,對(duì)于任何

小概率值a,可以找到相應(yīng)的正實(shí)數(shù)Xa,使得「&三發(fā))=&成立.我們稱(chēng)Xa為a的臨界值，這

個(gè)臨界值就可作為判斷H大小的標(biāo)準(zhǔn).

(3)獨(dú)立性檢驗(yàn)

基于小概率值a的檢驗(yàn)規(guī)則是：

當(dāng)三、我時(shí)，我們就推斷Ho不成立，即認(rèn)為X和Y不獨(dú)立，該推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)a；

當(dāng)/2＜羽時(shí)，我們沒(méi)有充分證據(jù)推斷Ho不成立，可以認(rèn)為X和y獨(dú)立.

這種利用X2的取值推斷分類(lèi)變量X和y是否獨(dú)立的方法稱(chēng)為X2獨(dú)立性檢驗(yàn)，讀作“卡方獨(dú)立

性檢驗(yàn)”，簡(jiǎn)稱(chēng)獨(dú)立性檢驗(yàn).

下表給出了X2獨(dú)立性檢驗(yàn)中幾個(gè)常用的小概率值和相應(yīng)的臨界值

3

a0.10.050.010.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

I常用結(jié)論

1.求解經(jīng)驗(yàn)回歸方程的關(guān)鍵是確定回歸系數(shù):，b,應(yīng)充分利用回歸直線過(guò)樣本點(diǎn)的中心（x,y）.

2.根據(jù)經(jīng)驗(yàn)回歸方程計(jì)算的（值，僅是一個(gè)預(yù)報(bào)值，不是真實(shí)發(fā)生的值.

3.根據(jù)/的值可以判斷兩個(gè)分類(lèi)變量有關(guān)的可信程度，若/越大，則兩分類(lèi)變量有關(guān)的把握越

大.

BE真題自測(cè)

一、單選題

1.（2024?全國(guó)?高考真題）某農(nóng)業(yè)研究部門(mén)在面積相等的100塊稻田上種植一種新型水稻，得到各塊稻田的

畝產(chǎn)量（單位：kg）并整理如下表

畝產(chǎn)

[900,950)[950,1000)[1000,1050)[1050,1100)[1100,1150)[1150,1200)

量

頻數(shù)61218302410

根據(jù)表中數(shù)據(jù)，下列結(jié)論中正確的是（）

A.100塊稻田畝產(chǎn)量的中位數(shù)小于1050kg

B.100塊稻田中畝產(chǎn)量低于1100kg的稻田所占比例超過(guò)80%

C.100塊稻田畝產(chǎn)量的極差介于200kg至300kg之間

D.100塊稻田畝產(chǎn)量的平均值介于900kg至1000kg之間

2.（2023?全國(guó)?高考真題）某學(xué)校為了解學(xué)生參加體育運(yùn)動(dòng)的情況，用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法作抽樣

調(diào)查，擬從初中部和高中部?jī)蓪庸渤槿?0名學(xué)生，已知該校初中部和高中部分別有400名和200名學(xué)生,

則不同的抽樣結(jié)果共有（）.

A.C-C短種B.CMC鼠種

C.CQc禽種D.C%C北種

二、多選題

3.（2023?全國(guó)?高考真題）有一組樣本數(shù)據(jù)%,…其中4是最小值，%是最大值，則（）

A.無(wú)2，無(wú)3，羽，尤5的平均數(shù)等于不，%，…，%的平均數(shù)

B.毛,尤3，4尤5的中位數(shù)等于百，%，1%的中位數(shù)

4

C.x2,x3,x4,x5的標(biāo)準(zhǔn)差不小于占,馬，…，毛的標(biāo)準(zhǔn)差

D.尤3，%毛的極差不大于百，…,毛的極差

三、解答題

4.（2024?全國(guó)?高考真題）某工廠進(jìn)行生產(chǎn)線智能化升級(jí)改造，升級(jí)改造后，從該工廠甲、乙兩個(gè)車(chē)間的產(chǎn)

品中隨機(jī)抽取150件進(jìn)行檢驗(yàn)，數(shù)據(jù)如下：

優(yōu)級(jí)品合格品不合格品總計(jì)

甲車(chē)間2624050

乙車(chē)間70282100

總計(jì)96522150

⑴填寫(xiě)如下列聯(lián)表:

優(yōu)級(jí)品非優(yōu)級(jí)品

甲車(chē)間

乙車(chē)間

能否有95%的把握認(rèn)為甲、乙兩車(chē)間產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率存在差異？能否有99%的把握認(rèn)為甲，乙兩車(chē)間產(chǎn)品

的優(yōu)級(jí)品率存在差異？

（2）已知升級(jí)改造前該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率p=0.5,設(shè)萬(wàn)為升級(jí)改造后抽取的n件產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率.如果

萬(wàn)〉P+1.65J上，二口,則認(rèn)為該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率提高了，根據(jù)抽取的150件產(chǎn)品的數(shù)據(jù)，能否認(rèn)為生

產(chǎn)線智能化升級(jí)改造后，該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率提高了？（麗*12.247）

n(ad-bc)2

(〃+Z?)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2>k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

5.（2023?全國(guó)?高考真題）一項(xiàng)試驗(yàn)旨在研究臭氧效應(yīng)，試驗(yàn)方案如下：選40只小白鼠，隨機(jī)地將其中20

只分配到試驗(yàn)組，另外20只分配到對(duì)照組，試驗(yàn)組的小白鼠飼養(yǎng)在高濃度臭氧環(huán)境，對(duì)照組的小白鼠飼養(yǎng)

在正常環(huán)境，一段時(shí)間后統(tǒng)計(jì)每只小白鼠體重的增加量（單位：g）.試驗(yàn)結(jié)果如下：

5

對(duì)照組的小白鼠體重的增加量從小到大排序?yàn)?/p>

15.218.820.221.322.523.225.826.527.530.1

32.634.334.835.635.635.836.237.340.543.2

試驗(yàn)組的小白鼠體重的增加量從小到大排序?yàn)?/p>

7.89.211.412.413.215.516.518.018.819.2

19.820.221.622.823.623.925.128.232.336.5

⑴計(jì)算試驗(yàn)組的樣本平均數(shù);

（2）（回）求40只小白鼠體重的增加量的中位數(shù)加，再分別統(tǒng)計(jì)兩樣本中小于，"與不小于機(jī)的數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù),

完成如下列聯(lián)表

n<m>m

對(duì)照組□□

試驗(yàn)組□□

（回）根據(jù)G）中的列聯(lián)表，能否有95%的把握認(rèn)為小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與在正常環(huán)境中體重的增加

量有差異?

n(ad-bc)2

(a+6)(c+d)(a+c)(6+d),

P(K2>k]0.1000.0500.010

k2.7063.8416.635

6.（2023?全國(guó),高考真題）一項(xiàng)試驗(yàn)旨在研究臭氧效應(yīng).實(shí)驗(yàn)方案如下：選40只小白鼠，隨機(jī)地將其中20

只分配到實(shí)驗(yàn)組，另外20只分配到對(duì)照組，實(shí)驗(yàn)組的小白鼠飼養(yǎng)在高濃度臭氧環(huán)境，對(duì)照組的小白鼠飼養(yǎng)

在正常環(huán)境，一段時(shí)間后統(tǒng)計(jì)每只小白鼠體重的增加量（單位：g）.

⑴設(shè)X表示指定的兩只小白鼠中分配到對(duì)照組的只數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

⑵實(shí)驗(yàn)結(jié)果如下：

對(duì)照組的小白鼠體重的增加量從小到大排序?yàn)椋?/p>

15.218.820.221.322.523.225.826.527.530.1

32.634.334.835.635.635.836.237.340.543.2

實(shí)驗(yàn)組的小白鼠體重的增加量從小到大排序?yàn)椋?/p>

6

7.89.211.412.413.215.516.518.018.819.2

19.820.221.622.823.623.925.128.232.336.5

(i)求40只小鼠體重的增加量的中位數(shù)機(jī)，再分別統(tǒng)計(jì)兩樣本中小于機(jī)與不小于的數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)，完成如下

列聯(lián)表：

n<m>m

對(duì)照組□□

實(shí)驗(yàn)組U□

(ii)根據(jù)(i)中的列聯(lián)表，能否有95%的把握認(rèn)為小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與正常環(huán)境中體重的增加量

有差異.

n^ad-bcy

附：K2=

(a+6)(c+d)(a+c)(b+d)，

0.1000.0500.010

2

P(K>k0)2.7063.8416.635

7.(2023?全國(guó)?高考真題)某廠為比較甲乙兩種工藝對(duì)橡膠產(chǎn)品伸縮率的處理效應(yīng)，進(jìn)行10次配對(duì)試驗(yàn)，

每次配對(duì)試驗(yàn)選用材質(zhì)相同的兩個(gè)橡膠產(chǎn)品，隨機(jī)地選其中一個(gè)用甲工藝處理，另一個(gè)用乙工藝處理，測(cè)

量處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率.甲、乙兩種工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率分別記為％,%[=1,2,…,10).試

驗(yàn)結(jié)果如下：

試驗(yàn)序號(hào)i12345678910

伸縮率看545533551522575544541568596548

伸縮率力536527543530560533522550576536

記入=%記的樣本平均數(shù)為樣本方差為?.

=1,2,…,10),4,Z2,…,z10z,

⑴求1/；

(2)判斷甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率是否有顯著提高(如果

z>2.￡，則認(rèn)為甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提高，否

V10

7

則不認(rèn)為有顯著提高)

8.(2023?全國(guó)?高考真題)某研究小組經(jīng)過(guò)研究發(fā)現(xiàn)某種疾病的患病者與未患病者的某項(xiàng)醫(yī)學(xué)指標(biāo)有明顯差

異，經(jīng)過(guò)大量調(diào)查，得到如下的患病者和未患病者該指標(biāo)的頻率分布直方圖：

利用該指標(biāo)制定一個(gè)檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)，需要確定臨界值c,將該指標(biāo)大于。的人判定為陽(yáng)性，小于或等于c的人判

定為陰性.此檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)的漏診率是將患病者判定為陰性的概率，記為。9);誤診率是將未患病者判定為陽(yáng)

性的概率，記為我。).假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率.

⑴當(dāng)漏診率p(c)=0.5%時(shí)，求臨界值c和誤診率4(c)；

(2)設(shè)函數(shù)〃c)=p(c)+q(c),當(dāng)ce［95,105］時(shí)，求/(c)的解析式，并求/(c)在區(qū)間［95,105］的最小值.

參考答案：

題號(hào)123

答案CDBD

1.C

【分析】計(jì)算出前三段頻數(shù)即可判斷A；計(jì)算出低于1100kg的頻數(shù)，再計(jì)算比例即可判斷B；根據(jù)極差計(jì)

算方法即可判斷C；根據(jù)平均值計(jì)算公式即可判斷D.

【詳解】對(duì)于A,根據(jù)頻數(shù)分布表可知，6+12+18=36<50,

所以畝產(chǎn)量的中位數(shù)不小于1050kg,故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,畝產(chǎn)量不低于1100kg的頻數(shù)為24+10=34,

所以低于1100kg的稻田占比為：00=66%,故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,稻田畝產(chǎn)量的極差最大為1200-900=300,最小為1150-950=200,故C正確；

對(duì)于D,由頻數(shù)分布表可得，平均值為

—x(6x925+12x975+18xl025+30xl075+24xll25+10xl175)-1067,故D錯(cuò)誤.

8

故選；C.

2.D

【分析】利用分層抽樣的原理和組合公式即可得到答案.

【詳解】根據(jù)分層抽樣的定義知初中部共抽取60義照=40人，高中部共抽取60義嬰=20,

根據(jù)組合公式和分步計(jì)數(shù)原理則不同的抽樣結(jié)果共有C%C2種.

故選：D.

3.BD

【分析】根據(jù)題意結(jié)合平均數(shù)、中位數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差以及極差的概念逐項(xiàng)分析判斷.

【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：設(shè)兀2，兀3，%4，%5的平均數(shù)為相，再，々，…，％6的平均數(shù)為〃，

則Xy++玉+工4+無(wú)5+，6%2+玉+*4+芯52（%+）一（/+X）+X3+芯4）

、n~m~64—12

因?yàn)闆](méi)有確定2（玉+工6），/+尤2+犬3+%4的大小關(guān)系，所以無(wú)法判斷根，〃的大小，

例如：1,2,3,4,5,6,可得加=〃=3.5；

例如1,1,1,1,1,7,可得根=1,〃=2；

例如1,2,2,2,2,2,可得帆=2,"=，；故A錯(cuò)誤；

6

對(duì)于選項(xiàng)B:不妨設(shè)再工匕（飛W尤6，

可知尤2,三,%,%的中位數(shù)等于國(guó),今,…％的中位數(shù)均為■^滬，故B正確;

對(duì)于選項(xiàng)C:因?yàn)檎际亲钚≈?，血是最大值?/p>

則%,當(dāng)，工4，尤5的波動(dòng)性不大于玉，工2,…，%的波動(dòng)性，即X2,X3,X4,X5的標(biāo)準(zhǔn)差不大于玉,馬，…，%的標(biāo)準(zhǔn)差,

例如：2,4,6,8,10,12,則平均數(shù)"=:（2+4+6+8+10+12）=7,

4,6,8,10,則平均數(shù)%=；（4+6+8+10）=7,

2222

標(biāo)準(zhǔn)差$2=^[（4-7）+（6-7）+（8-7）+（10-7）]=^5,

顯然叵>6，即。>$2；故c錯(cuò)誤；

3

對(duì)于選項(xiàng)D：不妨設(shè)x,<x2<x3<x4<x5<x6,

則％-玉之三-3，當(dāng)且僅當(dāng)玉=%，%=%時(shí)，等號(hào)成立，故D正確;

9

故選：BD.

4.(1)答案見(jiàn)詳解

(2)答案見(jiàn)詳解

【分析】(1)根據(jù)題中數(shù)據(jù)完善列聯(lián)表，計(jì)算K?,并與臨界值對(duì)比分析;

(2)用頻率估計(jì)概率可得萬(wàn)=0.64,根據(jù)題意計(jì)算p+1.65、陛二2,結(jié)合題意分析判斷.

Vn

【詳解】(1)根據(jù)題意可得列聯(lián)表:

優(yōu)級(jí)品非優(yōu)級(jí)品

甲車(chē)間2624

乙車(chē)間7030

可得爪2「50(26x30-24x70)275

—=4.6875

'50x100x96x5416

因?yàn)?.841<4.6875<6.635,

所以有95%的把握認(rèn)為甲、乙兩車(chē)間產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率存在差異，沒(méi)有99%的把握認(rèn)為甲，乙兩車(chē)間產(chǎn)品的

優(yōu)級(jí)品率存在差異.

(2)由題意可知：生產(chǎn)線智能化升級(jí)改造后，該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品的頻率為9需6=0.64,

用頻率估計(jì)概率可得7=0.64,

又因?yàn)樯?jí)改造前該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率P=。.5,

貝IJ0+1.65EHU=0.5+1.65)。50_。??0.5+1.65x工0.567，

\nV15012.247

可知萬(wàn)〉p+1.65回三五，

Vn

所以可以認(rèn)為生產(chǎn)線智能化升級(jí)改造后，該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率提高了.

5.(1)19.8

(2)(i)m=23.4；列聯(lián)表見(jiàn)解析，(ii)能

【分析】(1)直接根據(jù)均值定義求解；

(2)(i)根據(jù)中位數(shù)的定義即可求得利=23.4,從而求得列聯(lián)表；

(ii)利用獨(dú)立性檢驗(yàn)的卡方計(jì)算進(jìn)行檢驗(yàn)，即可得解.

【詳解】(工)試驗(yàn)組樣本平均數(shù)為：

10

^(7.8+9.2+11.4+12.4+13.2+15.5+16.5+18.0+18.8+19.2+19.8+20.2

396

+21.6+22.8+23.6+23.9+25.1+28.2+32.3+36.5)=—=19.8

(2)(i)依題意，可知這40只小鼠體重的中位數(shù)是將兩組數(shù)據(jù)合在一起，從小到大排后第20位與第21位

數(shù)據(jù)的平均數(shù)，

由原數(shù)據(jù)可得第11位數(shù)據(jù)為可.8,后續(xù)依次為19.2,19.8,20.2,20.2,21.3,21.6,22.5,22.8,23.2,23.6,…,

故第20位為23.2,第21位數(shù)據(jù)為23.6,

23.2+23.6-/

所以機(jī)=---------=23.4,

2

故列聯(lián)表為：

<m>m合計(jì)

對(duì)照組61420

試驗(yàn)組14620

合計(jì)202040

2

,—r,B240x(6x6-14xl4)乙/八八oO/l1

(II)由(i)可得，K=----------------—=6.400>3.841,

20x20x20x20

所以能有95%的把握認(rèn)為小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與在正常環(huán)境中體重的增加量有差異.

6.⑴分布列見(jiàn)解析，E(X)=1

(2)(i)機(jī)=23.4；列聯(lián)表見(jiàn)解析，(ii)能

【分析】(1)利用超幾何分布的知識(shí)即可求得分布列及數(shù)學(xué)期望；

(2)(i)根據(jù)中位數(shù)的定義即可求得m=23.4,從而求得列聯(lián)表；

(ii)利用獨(dú)立性檢驗(yàn)的卡方計(jì)算進(jìn)行檢驗(yàn)，即可得解.

【詳解】(1)依題意，X的可能取值為01,2,

1Q「1019of)「20181Q

則尸(X=0)=旨4，尸(X=l)=壽=黑P(x=2)=皆/

所以X的分布列為:

X012

192019

P

783978

192019

故E(X)=0x——+lx——+2x——=l.

783978

11

(2)(i)依題意，可知這40只小白鼠體重增量的中位數(shù)是將兩組數(shù)據(jù)合在一起，從小到大排后第20位與

第21位數(shù)據(jù)的平均數(shù)，觀察數(shù)據(jù)可得第20位為23.2,第21位數(shù)據(jù)為23.6,

23.2+23.6

所以根==23.4,

2

故列聯(lián)表為:

<m>m合計(jì)

對(duì)照組61420

實(shí)驗(yàn)組14620

合計(jì)202040

40x(6x6—14x14)2

(ii)由(i)可得,=6.400>3.841,

20x20x20x20

所以能有95%的把握認(rèn)為小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與正常環(huán)境中體重的增加量有差異.

7.(l)z=ll,$2=61；

⑵認(rèn)為甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提高.

【分析】(1)直接利用平均數(shù)公式即可計(jì)算出工亍，再得到所有的z,值，最后計(jì)算出方差即可;

(2)根據(jù)公式計(jì)算出2、工的值，和［比較大小即可.

V10

,、_545+533+551+522+575+544+541+568+596+548廠廠。。

(1)x=-----------------------------------------------------=552.3,

_536+527+543+530+560+533+522+550+576+536一］。

y=-----------------------------------------------------=541.3,

10

彳=元一9=552.3—541.3=11,

z小一。的值分別為：9,6,8,-8,15,11,19,18,20,12,

痂2_(9-11)2+(6-11)2+(8-11)2+(-8-11)2+(15-11)2+0+(19-11)2+(18-11)2+(20-11)2+(12-11)2

RA.S=

10

區(qū),2=2府=^M^，故有222」工,

(2)由(1)知：2=11,2.

10V10

所以認(rèn)為甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提高.

8.(l)c=97.5,“(c)=3.5%；

-0.008c+0.82,95100

(2)/(c)=，最小值為0.02.

0.01c-0.98,100<c<105

12

【分析】（1）根據(jù)題意由第一個(gè)圖可先求出C,再根據(jù)第二個(gè)圖求出C297.5的矩形面積即可解出;

(2)根據(jù)題意確定分段點(diǎn)100,即可得出/(c)的解析式，再根據(jù)分段函數(shù)的最值求法即可解出.

【詳解】(1)依題可知，左邊圖形第一個(gè)小矩形的面積為5x0.002>0.5%,所以95<c<100,

所以(0-95)x0.002=0.5%,解得：c=97.5,

4(c)=0.01x(100-97.5)+5x0.002=0.035=3.5%.

(2)當(dāng)ce［95,100］時(shí),

/(c)=p(c)+q(c)=(c-95)X0.002+(100-c)x0.01+5x0.002=-0.008c+0.82>0.02；

當(dāng)ce(100,105］時(shí)，

/(c)=p(c)+q(c)=5x0.002+(c-100)x0.012+(105-c)x0.002=0.01c-0.98>0,02,

f—0.008c+0.82,95<c<100

故/?=《，

［0.01c-0.98,100<c<105

所以/(c)在區(qū)間［95,105］的最小值為0.02.

.考點(diǎn)突破

【考點(diǎn)1】成對(duì)數(shù)據(jù)的相關(guān)性

一、單選題

1.（2024?四川成都?二模）對(duì)變量蒼丁有觀測(cè)數(shù)據(jù)（x,,yJ（ieN*）,得散點(diǎn)圖1；對(duì)變量""有觀測(cè)數(shù)據(jù)

（%加J（ieN*）,得散點(diǎn)圖2/表示變量羽＞之間的線性相關(guān)系數(shù)，4表示變量“#之間的線性相關(guān)系數(shù)，則

下列說(shuō)法正確的是（）

A.變量尤與y呈現(xiàn)正相關(guān)，且用〈同B.變量x與y呈現(xiàn)負(fù)相關(guān)，且用〉同

C.變量尤與y呈現(xiàn)正相關(guān)，且用＞同D.變量X與y呈現(xiàn)負(fù)相關(guān),且用〈同

2.（2024?四川涼山?三模）調(diào)查某校高三學(xué)生的身高尤和體重y得到如圖所示散點(diǎn)圖，其中身高x和體重，相

關(guān)系數(shù)r=0.8255,則下列說(shuō)法正確的是（

13

A.學(xué)生身高和體重沒(méi)有相關(guān)性

B.學(xué)生身高和體重呈正相關(guān)

C.學(xué)生身高和體重呈負(fù)相關(guān)

D.若從樣本中抽取一部分，則這部分的相關(guān)系數(shù)一定是0.8255

二、多選題

3.（22-23高三上?江蘇無(wú)錫?期末）已知由樣本數(shù)據(jù)（42,3,…,10）組成的一個(gè)樣本，得到經(jīng)驗(yàn)回歸方

程為尸2X-0.4,且元=2,去除兩個(gè)樣本點(diǎn)（-2,1）和（2,-1）后，得到新的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為$=3x+g.在余

下的8個(gè)樣本數(shù)據(jù)和新的經(jīng)驗(yàn)回歸方程中（）.

A.相關(guān)變量x,y具有正相關(guān)關(guān)系

B.新的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為9=3x-3

C.隨著自變量尤值增加，因變量y值增加速度變小

D.樣本（4,8.9）的殘差為-0.1

4.（2024?湖南衡陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè)）為了研發(fā)某種流感疫苗，某研究團(tuán)隊(duì)收集了10組抗體藥物的攝入量與體內(nèi)

抗體數(shù)量的數(shù)據(jù)，并對(duì)這些數(shù)據(jù)作了初步處理，得到了如圖所示的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值，抗體藥物攝

入量為單位：mg）,體內(nèi)抗體數(shù)量為y（單位：AU/mL）.根據(jù)散點(diǎn)圖，可以得到回歸直線方程為：

y=0.34尤+0.05.下列說(shuō)法正確的是（）

咋

17.2-

17.1-.

17-???

16.9-?

16.8-??

16.7-??

16.6-?

16.51----1----------1----------1----------1----------1----------1----------1---------1—->

48.84949.249.449.649.85050.250.4X

A.回歸直線方程表示體內(nèi)抗體數(shù)量與抗體藥物攝入量之間的線性相關(guān)關(guān)系

B.回歸直線方程表示體內(nèi)抗體數(shù)量與抗體藥物攝入量之間的函數(shù)關(guān)系

C.回歸直線方程可以精確反映體內(nèi)抗體數(shù)量與抗體藥物攝入量的變化趨勢(shì)

14

D.回歸直線方程可以用來(lái)預(yù)測(cè)攝入抗體藥物后體內(nèi)抗體數(shù)量的變化

三、填空題

5.(23-24高三上?浙江?開(kāi)學(xué)考試)已知成對(duì)樣本數(shù)據(jù)(4%),(%,%)，???，(尤“，％2亞3)中占,馬，…,當(dāng)互不相等，

且所有樣本點(diǎn)(4％)(1=1,2,-,?)都在直線y=-白+1上，則這組成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)r=

參考答案:

題號(hào)1234

答案CBABDAD

1.C

【分析】利用散點(diǎn)圖，結(jié)合相關(guān)系數(shù)的知識(shí)可得答案.

【詳解】由題意可知，變量羽y的散點(diǎn)圖中，、隨x的增大而增大，所以變量尤與y呈現(xiàn)正相關(guān)；

再分別觀察兩個(gè)散點(diǎn)圖，圖1比圖2點(diǎn)更加集中，相關(guān)性更好，所以線性相關(guān)系數(shù)用>同.

故選：c.

2.B

【分析】由散點(diǎn)圖的特點(diǎn)可分析相關(guān)性的問(wèn)題，從而判斷選項(xiàng)ABC,根據(jù)相關(guān)系數(shù)的定義可判斷選項(xiàng)D.

【詳解】由散點(diǎn)圖可知，散點(diǎn)的分布集中在一條直線附近，

所以學(xué)生身高和體重具有相關(guān)性，A不正確；

又身高尤和體重'的相關(guān)系數(shù)為r=0.8255,相關(guān)系數(shù)r>0,

所以學(xué)生身高和體重呈正相關(guān)，B正確，C不正確；

從樣本中抽取一部分，相關(guān)性可能變強(qiáng)，也可能變?nèi)?，所以這部分的相關(guān)系數(shù)不一定是0.8255,D不正確.

故選：B.

3.ABD

【分析】根據(jù)線性回歸方程的求法、意義可判斷ABC,再由殘差的概念判斷D.

101

【詳解】￡玉=20,X新平均數(shù)gx20=2.5,y=2x2-04=3.6.

i=l8

y新平均數(shù)：xl0x3.6=4.5,134.5=3x2.5+2,團(tuán)B=一3?

o

新的線性回歸方程$=3X+5,x,y具有正相關(guān)關(guān)系，A對(duì).

新的線性回歸方程：9=3X-3,B對(duì).

由線性回歸方程知，隨著自變量x值增加，因變量y值增加速度恒定，C錯(cuò)；

X=4,y=9,8.9—9=-0.1,D對(duì).

故選：ABD.

15

4.AD

【分析】根據(jù)回歸方程的意義判斷即可.

【詳解】回歸直線方程只能表示體內(nèi)抗體數(shù)量與抗體藥物攝入量之間的線性相關(guān)關(guān)系，不是函數(shù)關(guān)系，A正

確，B錯(cuò)誤，

回歸直線方程不能精確反映體內(nèi)抗體數(shù)量與抗體藥物攝入量的變化趨勢(shì)，但可以用來(lái)預(yù)測(cè)攝入抗體藥物后

體內(nèi)抗體數(shù)量的變化，C錯(cuò)誤，D正確.

故選：AD.

5.-1

【分析】根據(jù)給定條件，利用相關(guān)系數(shù)的定義求解作答.

【詳解】因?yàn)樗袠颖军c(diǎn)(4％)"=1,2,…㈤都在直線>=_；X+1上，顯然直線y=-；x+l的斜率一;<0,

所以樣本數(shù)據(jù)成負(fù)相關(guān)，相關(guān)系數(shù)為-L

故答案為：—1

反思提升：

判斷相關(guān)關(guān)系的兩種方法：

(1)散點(diǎn)圖法：如果樣本點(diǎn)的分布從整體上看大致在某一曲線附近，變量之間就有相關(guān)關(guān)系；

如果樣本點(diǎn)的分布從整體上看大致在某一直線附近，變量之間就有線性相關(guān)關(guān)系.

(2)決定系數(shù)法：利用決定系數(shù)判定，F(xiàn)越趨近1,擬合效果越好，相關(guān)性越強(qiáng).

【考點(diǎn)2】回歸分析

一、單選題

1.(2024?四川綿陽(yáng)?二模)已知變量x,y之間的線性回歸方程為9=2x+l,且變量x,y之間的一組相關(guān)數(shù)

據(jù)如表所示，

X2468

y58.213m

則下列說(shuō)法正確的是()

A.m=17

B.變量y與x是負(fù)相關(guān)關(guān)系

C.該回歸直線必過(guò)點(diǎn)(5,11)

D.x增加1個(gè)單位，y一定增加2個(gè)單位

2.(2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))2023年第19屆亞運(yùn)會(huì)在杭州舉行，亞運(yùn)會(huì)的吉祥物琮琮、蓮蓮、宸宸深受大家

喜愛(ài)，某商家統(tǒng)計(jì)了最近5個(gè)月銷(xiāo)量，如表所示：若y與無(wú)線性相關(guān)，且線性回歸方程為夕=-0.6元+心則

下列說(shuō)法不正確的是()

16

時(shí)間X12345

銷(xiāo)售量y/萬(wàn)只54.543.52.5

A.由題中數(shù)據(jù)可知，變量y與x負(fù)相關(guān)

B.當(dāng)x=5時(shí)，殘差為0.2

C.可以預(yù)測(cè)當(dāng)x=6時(shí)銷(xiāo)量約為2.1萬(wàn)只

D.線性回歸方程9=-0.6x+d中?=5.7

二、多選題

3.（23-24高三上?廣東揭陽(yáng),期末）2023年入冬以來(lái)，流感高發(fā)，某醫(yī)院統(tǒng)計(jì)了一周中連續(xù)5天的流感就診

人數(shù)y與第x（x=l,2,3,4,5）天的數(shù)據(jù)如表所示.

X12345

y2110a15a90109

根據(jù)表中數(shù)據(jù)可知無(wú)，y具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，其經(jīng)驗(yàn)回歸方程為歹=20元+10,則（）

A.樣本相關(guān)系數(shù)在（0』內(nèi)B.當(dāng)x=2時(shí)，殘差為-2

C.點(diǎn)（3,15a）一定在經(jīng)驗(yàn)回歸直線上D.第6天到該醫(yī)院就診人數(shù)的預(yù)測(cè)值為130

4.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）為了預(yù)測(cè)某地的經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)情況，某經(jīng)濟(jì)學(xué)專(zhuān)家根據(jù)該地2023年1?6月的GDP

的數(shù)據(jù)y（單位：百億元）建立了線性回歸模型，得到的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y=o.42x+a，其中自變量x指的

是1?6月的編號(hào)，其中部分?jǐn)?shù)據(jù)如表所示：

時(shí)間2023年）月2023年2月2023年3月2023年4月2023年5月2023年6月

編號(hào)X123456

y/百億元)1為%11.107為為

參考數(shù)據(jù)：Ex2=796,^(y,.-y)2=70.

i=li=l

則下列說(shuō)法正確的是（）

A.經(jīng)驗(yàn)回歸直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3.5,11）

B.<7=10.255

C.根據(jù)該模型，該地2023年12月的GDP的預(yù)測(cè)值為14.57百億元

D.相應(yīng)于點(diǎn)（%，%）的殘差為。二。3

17

三、填空題

5.（2024?江蘇?一模）已知變量尤,y的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表，對(duì)表中數(shù)據(jù)作分析，發(fā)現(xiàn)y與X之間具有線性相關(guān)

關(guān)系，利用最小二乘法，計(jì)算得到經(jīng)驗(yàn)回歸直線方程為N=08x+&,據(jù)此模型預(yù)測(cè)當(dāng)x=10時(shí)3的值

為.

X56789

y3.54566.5

6.（2024?陜西渭南?一模）己知一組數(shù)據(jù)點(diǎn)（4％）（1=1,2,…,7）,用最小二乘法得到其線性回歸方程為

77

y=—2x+4,若X%=7,貝1JZ-

i=li=l

四、解答題

7.（2024?山東日照?二模）某公司為考核員工，采用某方案對(duì)員工進(jìn)行業(yè)務(wù)技能測(cè)試，并統(tǒng)計(jì)分析測(cè)試成績(jī)

以確定員工績(jī)效等級(jí).

⑴已知該公司甲部門(mén)有3名負(fù)責(zé)人，乙部門(mén)有4名負(fù)責(zé)人，該公司從甲、乙兩部門(mén)中隨機(jī)選取3名負(fù)責(zé)人

做測(cè)試分析，記負(fù)責(zé)人來(lái)自甲部門(mén)的人數(shù)為X,求X的最有可能的取值：

2%馬一7點(diǎn)

-------------0.02

-7/

i=l

（回）已知某部門(mén)測(cè)試的平均成績(jī)?yōu)?0分，估計(jì)其績(jī)效等級(jí)優(yōu)秀率；

（回）根據(jù)統(tǒng)計(jì)分析，大致認(rèn)為各部門(mén)測(cè)試平均成績(jī)*?其中〃近似為樣本平均數(shù)元，〃近似為

樣本方差$2.經(jīng)計(jì)算20,求某個(gè)部門(mén)績(jī)效等級(jí)優(yōu)秀率不低于0.78的概率.

參考公式與數(shù)據(jù)：（1）in0.15?-1.9,e12?3.32,ln5.2?1.66.

〃__

八Z%，y一心丁

②線性回歸方程9=加+4中，》=號(hào)---------，d=y-bx.

「xf-nx2

i=l

③若隨機(jī)變量X~N（〃,CT2）,則尸—bvXv〃+b）=0.6826,P3—2（J<X<〃+2b）=0.9544,

18

P(〃-3b<X<M+3b)=0.9974.

8.(22-23高三上?山東青島?期末)由個(gè)小正方形構(gòu)成長(zhǎng)方形網(wǎng)格有行和〃列.每次將一個(gè)小球放到一個(gè)

小正方形內(nèi)，放滿(mǎn)為止，記為一輪.每次放白球的頻率為P,放紅球的概率為q,P+4=L

⑴若根=2,p=q=g,記y表示100輪放球試驗(yàn)中"每一列至少一個(gè)紅球”的輪數(shù)，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表：

n12345

y7656423026

求y關(guān)于"的回歸方程Iny=訪+4,并預(yù)測(cè)〃=10時(shí)，y的值；(精確到1)

1?

(2)若〃?=2,〃=2,p=§,q=~,記在每列都有白球的條件下，含紅球的行數(shù)為隨機(jī)變量X,求X的分

布列和數(shù)學(xué)期望；

⑶求事件"不是每一列都至少一個(gè)紅球"發(fā)生的概率，并證明：(1-//"丫+(1-

k

YjXj^kx-y$一

附：經(jīng)驗(yàn)回歸方程系數(shù)：g=上4--------------，a=y-bx,\>,Jn%=53,記=3.8.

一履?1=1

f=l

參考答案:

題號(hào)1234

答案CBADAC

1.C

【分析】根據(jù)給定數(shù)據(jù)及回歸方程求出樣本中心點(diǎn)，再逐項(xiàng)判斷即可得解.

—2+4+6+8「-5+8.2+13+zn26.2+

【詳解】依題意,

4―4

262+m

由不=2x5+1,解得根*8,A錯(cuò)誤;

回歸方程3=2尤+1中，2>0,則變量y與x是正相關(guān)關(guān)系，B錯(cuò)誤;

由于樣本中心點(diǎn)為(5,11),因此該回歸直線必過(guò)點(diǎn)(5,11),C正確;

由回歸方程知，x增加1個(gè)單位，y大約增加2個(gè)單位，D錯(cuò)誤.

故選：C

2.B

【分析】對(duì)于選項(xiàng)A,利用表中數(shù)據(jù)變化情況或看回歸方程的方正負(fù)均可求解；對(duì)于選項(xiàng)B,利用樣本中心

點(diǎn)求出線性回歸方程，再利用回歸方程即可求出預(yù)測(cè)值，進(jìn)而可求出殘差；對(duì)于選項(xiàng)C,利用回歸方程即可

求出預(yù)測(cè)值；對(duì)于選項(xiàng)D,利用回歸方程一定過(guò)樣本中心點(diǎn)即可求解.

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【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A,從數(shù)據(jù)看，y隨x的增大而減小，所以變量y與元負(fù)相關(guān)，故A正確;

1+2+3+4+5。5+4.5+4+3.5+2.5

對(duì)于選項(xiàng)B,由表中數(shù)據(jù)知亍=------------=33.9,

55

所以樣本中心點(diǎn)為（3,3.9）,將樣本中心點(diǎn)（3,3.9）代入￡=—0.6%+6中得6=3.9+1.8=5.7,

所以線性回歸方程為a=-0.6犬+5.7,所以為=-0.6x5+5.7=2.7,殘差2=2.5—2.7=-0.2,故B錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)C,當(dāng)x=6時(shí)銷(xiāo)量約為夕=-0.6><6+5.7=2.1（萬(wàn)只），故C正確.

對(duì)于選項(xiàng)D,由B選項(xiàng)可知3=3.9+1.8=5.7,故D正確.

故選：B.

3.AD

【分析】x,y具有較強(qiáng)的正相關(guān)關(guān)系，可判斷相關(guān)系數(shù)的范圍，判斷A；計(jì)算x,y的平均值，代入回歸直

線方程求出。的值，即可求出x=2時(shí)的預(yù)測(cè)值，求得殘差，判斷B；看（3,15a）是否適合回歸直線方程，判

斷C；將x=6代入回歸直線方程，求出預(yù)測(cè)值，判斷D.

【詳解】由題意可知x,y具有較強(qiáng)的正相關(guān)關(guān)系，故樣本相關(guān)系數(shù)在（0』內(nèi)，A正確;

1+2+3+4+521+10々+15。+90+1090匚

根據(jù)題意得:==3,y=--------------------=44+5〃，

5

故44+51=20x3+10,解得a=5.2,

故當(dāng)元=2時(shí)，9=20x2+10=50,殘差為10a—50=2,B錯(cuò)誤;

點(diǎn)（3,15。）即點(diǎn)（3,78）,當(dāng)x=3時(shí)，9=20x3+10=70,

即點(diǎn)（3,15a）不在經(jīng)驗(yàn)回歸直線上，C錯(cuò)誤；

當(dāng)x=6時(shí)，y=20x6+10=130,即第6天到該醫(yī)院就診人數(shù)的預(yù)測(cè)值為130,D正確，

故選：AD

4.AC

【分析】求得數(shù)據(jù)的樣本中心點(diǎn)，即可判斷A；結(jié)合回歸直線方程求出°可判斷B；將x=12代入回歸直線

方程求得預(yù)測(cè)值，可判斷C；根據(jù)殘差的計(jì)算可判斷D.

【詳解】選項(xiàng)A：由題意得：于=2x（l+2+3+4+5+6）=3.5,

6

因?yàn)椤辍甓?96,2卜廠司=?；—692=70,所以796—6歹2=70,得歹二11,

i=li=l'i=l

因此該經(jīng)驗(yàn)回歸直線經(jīng)過(guò)樣本點(diǎn)的中心（3.5,11）,故A正確；

選項(xiàng)B：由A知，11=0.42x3.5+4，得a=9.53，故B錯(cuò)誤；

選項(xiàng)C：由B得￡=0.42X+9.53,貝lj當(dāng)x=12時(shí)，￡=14.57,

20

故該地2023年12月的GDP的預(yù)測(cè)值為14.57百億元，故C正確；

選項(xiàng)D：當(dāng)x=4時(shí)，9=0.21,相應(yīng)于點(diǎn)（%%）的殘差為1L107-11.21=-0.103,

（相應(yīng)于點(diǎn)（%,%）的殘差3=%-少），故D錯(cuò)誤，

故選：AC

5.7.4

【分析】經(jīng)驗(yàn)回歸直線方程夕=嬴+4過(guò)樣本點(diǎn)的中心（3），所以把伍工）代入R0.8X+G求得G的值，再

代入x=10求解即可.

【詳解】由已知得了=7,9=5,即樣本點(diǎn)中心（7,5）,

因?yàn)榻?jīng)驗(yàn)回歸直線方程亍=0.8x+