2025年高考數(shù)學一輪復習講義：導數(shù)與函數(shù)的極值、最值（原卷版）

專題17導數(shù)與函數(shù)的極值、最值（新高考專用）

目錄

【知識梳理】................................................................2

【真題自測】................................................................2

【考點突破】................................................................4

【考點1］根據(jù)函數(shù)圖象判斷極值..............................................4

【考點2】求已知函數(shù)的極值..................................................5

【考點3】由函數(shù)的極值求參數(shù).................................................6

【考點4】利用導數(shù)求函數(shù)的最值..............................................7

【分層檢測】................................................................9

【基礎篇】..................................................................9

【能力篇】.................................................................11

【培優(yōu)篇】.................................................................11

考試要求：

1.借助函數(shù)圖象，了解函數(shù)在某點取得極值的必要和充分條件.

2.會用導數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值3會求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值.

知識梳理

1.函數(shù)的極值

(1)函數(shù)的極小值：

函數(shù)y=/(x)在點x=a的函數(shù)值五a)比它在點x=a附近其他點的函數(shù)值都小，/(a)=0；而且在

點x=a附近的左側片x)<0,右側外0>0.則a叫做函數(shù)y=/(x)的極小值點，火。)叫做函數(shù)丁=

段)的極小值.

(2)函數(shù)的極大值：

函數(shù)y=/(x)在點x=b的函數(shù)值汽6)比它在點x=b附近其他點的函數(shù)值都大，/(/?)=0；而且在

點、x=b附近的左側［於)〉0,右側［(x)<0.則b叫做函數(shù)y=*x)的極大值點,犬。)叫做函數(shù)丁=

汽x)的極大值.

(3)極小值點、極大值點統(tǒng)稱為極值點,極小值和極大值統(tǒng)稱為極值.

2.函數(shù)的最大(小)值

(1)函數(shù)人功在區(qū)間［a,加上有最值的條件：

如果在區(qū)間［a,加上函數(shù)y=?x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，那么它必有最大值和最小值.

(2)求y=/(x)在區(qū)間［a,加上的最大(小)值的步驟：

①求函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(a,上的極值;

②將函數(shù)y=/U)的各極值與端點處的函數(shù)值Na),1。)比較,其中最大的一個是最大值，最小

的一個是最小值.

|常用結論

1.求最值時，應注意極值點和所給區(qū)間的關系，關系不確定時，需要分類討論，不可想當然認

為極值就是最值.

2.函數(shù)最值是“整體”概念，而函數(shù)極值是“局部”概念，極大值與極小值之間沒有必然的大

小關系.

「,真題自測

一、單選題

b

1.(2022?全國,高考真題)當x=l時，函數(shù)/(尤)=alnx+—取得最大值-2,貝U/'(2)=()

x

2

1

A.-1B.——cD.1

2-I

2.（2022?全國?高考真題）已知正四棱錐的側棱長為/,其各頂點都在同一球面上.若該球的體積為36萬，且

34/436,則該正四棱錐體積的取值范圍是（）

27812764

A.吟B.C.D.[18,27]

3.（2021?全國IWJ考真題）設若"為函數(shù)/（%）=〃（X-的極大值點，則（)

A.a<bB.a>bC.ab<a2D.ab>a1

二、多選題

（2023?全國,高考真題）若函數(shù)/（x）=alnx+g+5（axO）既有極大值也有極小值，則（

4.).

A.bc>0B.ab>0C.b1+Sac>0D.ac<0

5.（2023,全國,[Wj考真題）已知函數(shù)“X）的定義域為R,〃孫）=y2f（x）+x7（y）,則（).

A./(0)=0B./(1)=0

C.是偶函數(shù)D.x=0為的極小值點

6.（2022,全國考真題）已知函數(shù)/(x)=/-x+l,則()

A.7（x）有兩個極值點B./⑺有三個零點

c.點（0,D是曲線y=/（x）的對稱中心D.直線y=2x是曲線>=/（元）的切線

三、填空題

7.（2022?全國?高考真題）已知x=X]和尤=%分另IJ是函數(shù)/（x）=2優(yōu)一ex?（a>0且awl）的極小值點和極

大值點.若不<々，則a的取值范圍是

8.（2021?全國,高考真題）函數(shù)/（x）=|2x-l|-21nx的最小值為.

■考點突破

【考點1]根據(jù)函數(shù)圖象判斷極值

一、單選題

1.（21-22高三?北京西城?開學考試）如圖所示，已知直線、=履與曲線y=/（x）相切于兩點，函數(shù)

g（x）^kx+m[m>0）,則對函數(shù)*x）=g（x）-〃x）描述正確的是（）

3

yt

^b\X-/\x

A.有極小值點，沒有極大值點B.有極大值點，沒有極小值點

C.至少有兩個極小值點和一個極大值點D.至少有一個極小值點和兩個極大值點

2.(21-22高二下?北京西城?期末)設函數(shù)/■⑴=，+元+4x的極小值為一8,其導函數(shù)〉=/'(村的圖

象過點(一2,0),如圖所示，則/(x)=()

二、多選題

3.(2022?山東臨沂?模擬預測)設函數(shù)〃x)=ln(x+l)+(7(尤2-x),其中。力，則()

Q

A.當時，f(x)有2個極值點

B.當.<0時有1個極值點

Q

C.當時，〃尤)有0個極值點.

D.若Vx>0,外力20成立，則OWaWl

4.(2023?湖北武漢?模擬預測)已知函數(shù)y=/(x)和y=g(x)的圖像都是R上連續(xù)不斷的曲線，如果

/W<g(x),當且僅當x=l時/(l)=g⑴=1,那么下列情形可能出現(xiàn)的是()

A.1是的極大值，也是g(x)的極大值B.1是“X)的極大值，也是g(x)的極小值

C.1是的極小值，也是g(x)的極小值D.1是“尤)的極小值，也是g(x)的極大值

三、填空題

5.(2021.四川成都.模擬預測)已知函數(shù)〃尤)的定義域為[T5],其部分自變量與函數(shù)值的對應情況如表:

x-10245

4

f(x)312.513

〃元）的導函數(shù)/（X）的圖象如圖所示.給出下列四個結論：

If'M

\/0~245X

①/（元）在區(qū)間［T,。］上單調(diào)遞增；

②“X）有2個極大值點；

③的值域為［1,3］；

④如果"上,5］時，〃x）的最小值是1,那么/的最大值為4.

其中，所有正確結論的序號是.

6.（2023?陜西寶雞?二模）若函數(shù)/（耳=6'-67+；尤3-如無極值點，則實數(shù)。的取值范圍是.

反思提升：

由圖象判斷函數(shù)y=/（x）的極值，要抓住兩點：（1）由y=/（x）的圖象與x軸的交點，可得函數(shù)y

=/（x）的可能極值點；（2）由導函數(shù)y=f（x）的圖象可以看出y=f（x）的值的正負，從而可得函數(shù)y

=/（x）的單調(diào)性.兩者結合可得極值點.

【考點2】求已知函數(shù)的極值

一、單選題

1.（2024?寧夏銀川?一模）若函數(shù)/（x）=（f一改一2卜'在x=-2處取得極大值，則了⑺的極小值為（）

A.-6e2B.-4eC.-2e2D.一e

2.（2024?四川成都?二模）函數(shù)/（x）=e*+asinx,xe（Tt,+?））,下列說法不正確的是（）

A.當a=—1時，〃x）＞0恒成立

B.當。=1時，f（x）存在唯一極小值點為

C.對任意。＞0,〃力在上均存在零點

D.存在。＜0,/（力在xw（-兀,收）上有且只有一個零點

二、多選題

3.（23-24高二下,江蘇南京?階段練習）已知/（%）=幺+疝討+2,g（尤）=/（%）-ex,則（）

A.函數(shù)/（%）在上的最大值為3B.Vx＞0,/（x）＞2

5

C.函數(shù)g(x)在(3,4)上沒有零點D.函數(shù)g(x)的極值點有2個

—g

4.(2024?全國?模擬預測)已知『x>’則方程/⑺-(A+3"(x)+34=0可能有()

_彳2—4x—1,xW0,

個解.

A.3B.4C.5D.6

三、填空題

5.(2023?全國?模擬預測)己知定義在R上的奇函數(shù)〃x)滿足當x>0時，〃2x)/(x+4)=16，a-8)/'(x)20

(尸(x)為"力的導函數(shù))，且〃力<0,則“力的極大值為.

6.(2023?西藏拉薩?一模)已知函數(shù)〃力=(%-。)卜2-0-1卜-可，函數(shù)f(x)的圖象與x軸的交點關于y軸

對稱，當.=》時，函數(shù)；當函數(shù)“X)有三個零點時，函數(shù)“X)的極大值為.

反思提升：

運用導數(shù)求函數(shù)兀￥)極值的一般步驟：

(1)確定函數(shù)火X)的定義域；

(2)求導數(shù)/(X);

(3)解方程了(為=0,求出函數(shù)定義域內(nèi)的所有根；

(4)列表檢驗/(x)在/(x)=0的根次左右兩側值的符號；

(5)求出極值.

【考點3】由函數(shù)的極值求參數(shù)

一、單選題

1.(2024?遼寧葫蘆島?一模)已知函數(shù)/(x)=e*-ox2在R上無極值，則"的取值范圍是()

A.B.1一00，1'1C.[0,e)D.0,1

2.(2024?全國?模擬預測)已知函數(shù)"X)="(si：：cosx)+x在(0,兀)上恰有兩個極值點,則實數(shù)。的取值范

圍是()

A.—e4,+>?B.(-

(

C.(0,e)D,[。，『54c

二、多選題

3.(2024?全國?模擬預測)已知函數(shù)7'(尤)=(x-aY+6.若過原點可作函數(shù)的三條切線，貝|()

6

A./（x）恰有2個異號極值點B.若a>0,則Z?e（0,?23）*

C./（“恰有2個異號零點D.若〃<0,則。€（/,o）

4.（2024?江蘇徐州?一模）已知函數(shù)〃x）=e，（x-ae）aeR,則下列說法正確的是（）

A.當。=-1時，“X）有唯一零點

B.當心；時，〃x）是減函數(shù)

C.若外力只有一個極值點，則aWO或。=g

D.當a=l時，對任意實數(shù)乙總存在實數(shù)外,聲,使得/（，）=/（*）--

玉_工2

三、填空題

5.（2023?四川遂寧,模擬預測）已知函數(shù)/'。）=3,函數(shù)8（元）=5皿2如+0）3>0）的兩相鄰對稱中心之間

1-X

的距離為1,且X=1■為函數(shù)y=g（x）的一個極大值點.若方程/（x）=g（尤）在-l,w+3]（〃eZ）上的所有

根之和等于2024,則滿足條件中整數(shù)”的值構成的集合為

6.（2024?陜西銅川?三模）若函數(shù)/（x）=o?+也有兩個極值點，則實數(shù)。的取值范圍為.

X

反思提升：

1.已知函數(shù)極值，確定函數(shù)解析式中的參數(shù)時，要注意：根據(jù)極值點的導數(shù)為0和極值這兩個

條件列方程組，利用待定系數(shù)法求解.

【考點4】利用導數(shù)求函數(shù)的最值

一、單選題

1.（2022?福建福州?三模）已知函數(shù)/（尤）=冷與，以下結論中錯誤的是（）

A.f（x）是偶函數(shù)B./（尤）有無數(shù)個零點

C./⑺的最小值為D.〃x）的最大值為1

2.（2024?浙江金華,三模）若存在直線與曲線〃x）=Vr,g（x）=x?+a都相切，則。的范圍為（）

「1、」[5]「5）（5-

A.B.-1,—C.—'+0°D.

L7127」[27）I27J

二、多選題

3.（2024?河南南陽?模擬預測）已知函數(shù)〃x）=x2-2alnx-1,則（）

A.若曲線y=/（x）在。，/⑴）處的切線方程為y=2x-2,貝壯=2

B.若。=1,則函數(shù)〃尤）的單調(diào)遞增區(qū)間為。,也）

7

C.若a>0,則函數(shù)“X）在區(qū)間[1,E）上的最小值為"一2加°-1

D.^xe[l,+oo）,/（x）>0,貝的取值范圍為（-8內(nèi)

4.（2022?全國?模擬預測）已知函數(shù)〃x）=;tsinx+依2（aeA）,則下列說法正確的是（）

A.當。=1時，函數(shù)/（x）當且僅當在x=0時取極小值

B.當。=-1時，函數(shù)有無數(shù)個零點

C.V<26（^x>,-1],/（x）<0

D.若在區(qū)間[0,鼻上的最小值是0,貝必并

三、填空題

5.（2024?廣東廣州?模擬預測）若x>0,關于x的不等式/22alm:-4x+l恒成立，則正實數(shù)。的最大值

ex

為.

6.（23-24高三下?陜西西安?階段練習）已知函數(shù)〃尤）=2尤3-3尤2+3.設左為正數(shù)，對于任意羽若典尤）|,

|〃x+初二者中至少有一個大于2,則%的取值范圍是.

反思提升：

1.利用導數(shù)求函數(shù)#x）在[。，加上的最值的一般步驟：

（1）求函數(shù)在（a,力內(nèi)的極值.

（2）求函數(shù)在區(qū)間端點處的函數(shù)值五a）,?.

（3）將函數(shù)?x）的各極值與汽0,汽0）比較，其中最大的一個為最大值，最小的一個為最小值.

2.求函數(shù)在無窮區(qū)間（或開區(qū)間）上的最值，不僅要研究其極值情況，還栗研究其單調(diào)性，并通

過單調(diào)性和極值情況，畫出函數(shù)的大致圖象，然后借助圖象觀察得到函數(shù)的最值.

分層檢測

【基礎篇】

一、單選題

1.（2024?全國,模擬預測）設玉,三為函數(shù)〃x）=x（尤-2）（尤-a）（其中a>0）的兩個不同的極值點，若不等

式〃%）+/伍）20成立，則實數(shù)。的取值范圍為（）

A.[1,4]B.（0,4]C.（0,1）D.（4,內(nèi)）

2.（2024?江西鷹潭二模）已知函數(shù)〃x）=￡,xe（O,—）,則下列命題不正確的是（）

8

A./（x）有且只有一個極值點B./⑴在上單調(diào)遞增

11

C.存在實數(shù)ae（0,+co）,使得/（“）=-D.f（x）有最小值-?

eee

3.（2024?四川雅安?三模）已知函數(shù)〃%）=511169%+5/005@%（69>0）,則下列說法中正確的個數(shù)是（）

①當0=2時，函數(shù)y=/（》）-21ogM有且只有一個零點；

②當0=2時，函數(shù)y=/（x+0）為奇函數(shù)，則正數(shù)。的最小值為1；

③若函數(shù)>=〃力在］。，:上單調(diào)遞增，則0的最小值為J；

<13?5"

④若函數(shù)y=〃x）在（0,兀）上恰有兩個極值點，則。的取值范圍為.

A.1B.2C.3D.4

4.（23-24高二下?湖北武漢?階段練習）若函數(shù)〃x）的導數(shù)r（x）=x-sinx,〃x）的最小值為0,則函數(shù)

V=/（x）-cosx的零點為（）

A.0B.±0C.±2D.2ht(keZ)

二、多選題

5.（2024?全國?模擬預測）已知函數(shù)〃x）=a（x+l『（x-l）"（其中機+〃>0,。*0）的部分圖象如圖所示,

m<3nC.m>0>nD.a<0

6.（2024?全國?模擬預測）已知函數(shù)〃尤）=歸'+.在定義域內(nèi)既存在極大值點又存在極小值點，則（）

b4

A.ab>0B.—<-y

ae

c.4a-be2>0D.對于任意非零實數(shù)。，總存在實數(shù)b滿足題意

7.（2。24.江西.二模）若…恒成立,則實數(shù)。的取值可以是（）

9

e+1

A.0B.曉C.eD./

三、填空題

8.（2024,廣東?模擬預測）〃x）=cos尤cos2x在xe[0,兀|的極值點個數(shù)為個.

9.（2022?北京海淀?一模）已知函數(shù)〃尤）=浮與，給出下列四個結論：①Ax）是偶函數(shù)；②/（x）有無數(shù)

X+1

個零點；③/（X）的最小值為-g;④/（X）的最大值為1.其中，所有正確結論的序號為.

10.（2024?四川成都,三模）已知函數(shù)〃x）=xe=〃式工，若存在最小值，且最小值為上，則實數(shù)優(yōu)的

m

值為______

四、解答題

11.（2024?全國?模擬預測）已知函數(shù)/（x）=lnx+"的單調(diào)遞增區(qū)間為（0,1）.

⑴求函數(shù)〃尤）的圖象在點（ej（e））處的切線方程；

（2）若函數(shù)g（無）="尤）有兩個零點，求實數(shù)a的取值范圍.

12.（2024,陜西咸陽?三模）已知函數(shù)/。）=巴史+犬-1.

X

（1）當4=1時，求函數(shù)g（X）=/（元）-X極值；

（2）若對任意xe[l,+8）,/（無經(jīng)。+1恒成立，求實數(shù)