2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義：二項(xiàng)式定理（解析版）

專題60二項(xiàng)式定理（新高考專用）

目錄

【知識梳理】................................................................2

【真題自測】................................................................3

【考點(diǎn)突破】................................................................6

【考點(diǎn)1】展開式中的通項(xiàng)問題.................................................6

【考點(diǎn)2】二項(xiàng)式系數(shù)的和與各項(xiàng)系數(shù)的和問題..................................9

【考點(diǎn)3］二項(xiàng)式系數(shù)的最值問題..............................................13

【分層檢測】...............................................................16

【基礎(chǔ)篇】.................................................................16

【能力篇】.................................................................22

考試要求：

能用多項(xiàng)式運(yùn)算法則和計(jì)數(shù)原理證明二項(xiàng)式定理，會(huì)用二項(xiàng)式定理解決與二項(xiàng)展開式有關(guān)的簡

單問題.

:知識梳理

1.二項(xiàng)式定理

(1)二項(xiàng)式定理：(a+b)n=C%"+C%'「%H-----h-------bC防"5eN*)；

(2)通項(xiàng)公式：Tk+i=C￥a"F眇,它表示第1+1項(xiàng);

⑶二項(xiàng)式系數(shù)：二項(xiàng)展開式中各項(xiàng)的系數(shù)C2,CL…，CL

2.二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)

性質(zhì)性質(zhì)描述

對稱性與首末等距離的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等，即C—CQ

Yl~\~1

當(dāng)左＜〃時(shí)，是遞增的

二項(xiàng)式系2(?N*)

增減性

數(shù)an+1

當(dāng)左＞2(〃?N*)時(shí)，是遞減的

n

('

二項(xiàng)式當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，中間的一項(xiàng)1“取得最大值

系數(shù)最大值n-1?+1

當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，中間的兩項(xiàng)，〃'與，"相等且取得最大值

3.各二項(xiàng)式系數(shù)和

(1)3+。)〃展開式的各二項(xiàng)式系數(shù)和：C2+CRC^——HC—名

⑵奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和，即cHcHcH-=cHcHc5

---=2"-1.

|常用結(jié)論

(a+0)”的展開式形式上的特點(diǎn)

(1)項(xiàng)數(shù)為n+1.

⑵各項(xiàng)的次數(shù)都等于二項(xiàng)式的募指數(shù)n,即。與6的指數(shù)的和為n.

⑶字母。按降嘉排列，從第一項(xiàng)開始，次數(shù)由〃逐項(xiàng)減1直到零；字母6按升嘉排列，從第

一項(xiàng)起，次數(shù)由零逐項(xiàng)增1直到機(jī)

⑷二項(xiàng)式系數(shù)從c2,ct一直到cL,a.

.真題自測

一、單選題

2

1.（2024?北京?高考真題）在k-石了的展開式中，V的系數(shù)為（）

A.6B.-6C.12D.-12

2.（2022?北京,高考真題）若（2彳-1）4+%/+%尤2+aF+a＜），則%+的+%=（）

A.40B.41C.-40D.-41

二、填空題

3.（2024?全國?高考真題）+的展開式中，各項(xiàng)系數(shù)中的最大值為.

4.（2024?天津?高考真題）在+；]的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為.

5.（2024?上海,高考真題）在（x+1）”的二項(xiàng)展開式中，若各項(xiàng)系數(shù)和為32,則/項(xiàng)的系數(shù)為.

6.（2023?天津?高考真題）在12尤3一:]的展開式中，/的系數(shù)為.

7.（2022?全國?高考真題）的展開式中x?/的系數(shù)為（用數(shù)字作答）.

8.（2022?浙江,[WJ考真題）已知多項(xiàng)式（％+2）（x-1）4=。0+〃]%+2/+，則。2=

%+%+%+〃4+〃5=

參考答案:

題號12

答案AB

1.A

【分析】寫出二項(xiàng)展開式，令4-]=3,解出廠然后回代入二項(xiàng)展開式系數(shù)即可得解.

【詳解】的二項(xiàng)展開式為（+]=C%"[_4）'=c；（T’尤W,（r=0』,2,3,4），

令4一;=3,解得廠=2,

故所求即為C；（_仔=6.

故選：A.

2.B

【分析】利用賦值法可求4+出+。4的值.

[詳解]令X=1,則知++。2+4+。0=1'

x=_11貝！]%一%+%—q+/2Q=（_3）’=81,

3

M1+810

故〃4+%+%=2=41，

故選：B.

3.5

【分析】先設(shè)展開式中第r+1項(xiàng)系數(shù)最大,進(jìn)而求出廠即可求

解.

【詳解】由題展開式通項(xiàng)公式為0<r<10_areZ,

設(shè)展開式中第〃+1項(xiàng)系數(shù)最大,

、29

F2—

42933

=<即一夕(又〃￡Z,故r=8,

/3344

r<——

4

所以展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)是第9項(xiàng)，且該項(xiàng)系數(shù)為=5.

故答案為：5.

4.20

【分析】根據(jù)題意結(jié)合二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)分析求解即可.

【詳解】因?yàn)檑恼归_式的通項(xiàng)為加=屋￡][埒=36-2rq/(r-3),r=0,1,--,6.

令6(—3)=0,可得，=3,

所以常數(shù)項(xiàng)為3°C：=20.

故答案為：20.

5.10

【分析】令x=l,解出〃=5,再利用二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)合理賦值即可.

【詳解】令尤=1,(1+1)"=32,即2"=32,解得〃=5,

4

所以(x+l)5的展開式通項(xiàng)公式為4+1=G-5-r,令57=2,貝什=3,

.-.7；=C,x2=10x2.

故答案為：10.

6.60

【分析】由二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式寫出其通項(xiàng)公式加1=(-1)726-*><><產(chǎn)…，令18-4左=2確定上的值,

然后計(jì)算r項(xiàng)的系數(shù)即可.

【詳解】展開式的通項(xiàng)公式a=晨(2尤3>[_口=(_琰X取xC：X尤X,

令18—4左=2可得，k=4,

則州項(xiàng)的系數(shù)為(-1)4x26-4xC^=4x15=60.

故答案為：60.

7.-28

【分析】0-￡|(x+y)8可化為(x+yy-?x+y)8,結(jié)合二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式求解.

【詳解】因?yàn)?l-J|(x+yY=(x+y)s-上任+曠丫，

VxJx

所以(尤+?的展開式中含Vy6的項(xiàng)為C；fy6-2：《尤3y5=-28fy6,

l-[J(x+的展開式中x2y6的系數(shù)為-28

故答案為：-28

8.8-2

【分析】第一空利用二項(xiàng)式定理直接求解即可，第二空賦值去求，令x=0求出％,再令尤=1即可得出答案.

【詳解】含/的項(xiàng)為：x.C：-(-1)3+2.C^.%2.(-1)2=-4x2+12x2=8x2,故的=8；

令x=0,即2=%,

令X=1f艮[J0=%+%+%+/+&+。5，

團(tuán)%+%+%+。4+〃5=—2,

故答案為：8；—2.

5

■考點(diǎn)突破

【考點(diǎn)1】展開式中的通項(xiàng)問題

一、單選題

1.（2022?全國?模擬預(yù)測）已知（“+尤）［1+9的展開式中1的系數(shù)為10,則實(shí)數(shù)a的值為（）

11

A.一B.一C.-2

22

2.（2022?廣東?模擬預(yù)測）若。是一組數(shù)據(jù)0,2,0,2的方差,則的展開式的常數(shù)項(xiàng)為（

A.-210B.3360C.210

二、多選題

3.（2022?江蘇揚(yáng)州?模擬預(yù)測）已知/（力=（尤2+工］,則下列說法中正確的有（）

A.的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為84

B.“X）的展開式中不含，的項(xiàng)

C.f（x）的展開式中的各項(xiàng)系數(shù)之和與二項(xiàng)式系數(shù)之和相等

D./（X）的展開式中的二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第四項(xiàng)和第五項(xiàng)

4.（2022?江蘇泰州?模擬預(yù)測）若（1+%）+（1+%）2+―+（1+兀）2。22=/+4%+—+〃2022兄2022,則（）

A.〃O=2O22B.=GO23

20222022

c.D.￡（一1）'%4=1

1=1i=i

三、填空題

5.（2022?上海?模擬預(yù)測）在（1+3?）“1-也甘的展開式中，尤的系數(shù)為

6.（21-22高三下,山東德州?階段練習(xí)）在的展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)之和與各項(xiàng)系數(shù)之和比為1:64,

則展開式的常數(shù)項(xiàng)為

參考答案:

題號1234

答案BBACABD

1.B

6

55

【分析】因?yàn)椋╝+x）[l+￡[1++xfi+-i,結(jié)合二項(xiàng)展開的通項(xiàng)公式運(yùn)算求解.

4IX

【詳解】卜+工）的展開式的通項(xiàng)公式為7；M=Gxl5-，xRj=C：Cj,r=0,l,2,3,4,5,

回")("()=++1)

HaCs+Cj=10a+5=10,解得a=g,

故選：B.

2.B

【分析】根據(jù)數(shù)據(jù)信息，求解出方差。的值，代入二項(xiàng)式中，求解二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，求解常數(shù)項(xiàng)即

可.

【詳解】解：數(shù)據(jù)0,2,0,2的平均值為1,故方差（"If+（2一4+（。-1）2+-=[,

故二項(xiàng)式為1五,其展開式的通項(xiàng)公式為（+1=（2；。僅占r30-5「

=(-1廣1.23.廠

令牛=。，解得r=6,

故常數(shù)項(xiàng)為T1=(-1)6xX24=3360.

故選：B.

3.AC

（分析]根據(jù)二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式以及二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)即可解出.

【詳解】因?yàn)椴?￡|9展開式的通項(xiàng)公式加=71廣H=c/-3，，所以

當(dāng)r=6Z=C；=84,A正確；

當(dāng)r=7時(shí)，4=C；獷3=q,B錯(cuò)誤；

了（無）的展開式中各項(xiàng)系數(shù)和為23二項(xiàng)式系數(shù)之和為23C正確；

根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)可知，C；=C；最大，所以，〃x）的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第五項(xiàng)和第六項(xiàng),

D錯(cuò)誤.

故選：AC.

4.ABD

7

【分析】令x=0,可求得％=2022,判斷A；寫出出的求解式子，結(jié)合組合數(shù)的性質(zhì)化簡，即可判斷B；

2022

令％=-1,即可求得Z(—1)4的值，判斷(1+X)+(1+X)2+...+(1+X)2022=%+%￥+…+%。??/02?兩邊求

Z=1

2022

導(dǎo)數(shù)，令x=T,即可求得判斷D.

Z=1

【詳解】當(dāng)x=0時(shí)，2022=a0,故A對；

+C；+C：+…+C；o22=C；+C；+C：+…+C|=，B

a2=Cl022C短3對；

令X=-1,則0=4_q+2-%+%--a2021+42022，

2022

0E(T)&=一%=-2022,故c錯(cuò)；

Z=1

220222022

對等式(l+x)+(l+x)H--F(l+x)=a0+a{xH--Fa2O22x兩邊求導(dǎo)，

20212021

即1+2(1+x)+3(1+ip+…+2022(1+x)=%+2a2x+-??+2022a2022x

令"x=-1,貝(J1=%—2出+3。3—4%+???+2021。2()21—2022%022，

2022

團(tuán)￡(一1尸以=1,故D對，

1=1

故選：ABD.

5.17

【分析】利用二項(xiàng)式定理寫出兩個(gè)二項(xiàng)式的展開式，再分析計(jì)算作答.

【詳解】因(1+34)3=1+94+27X+27X?,(1-也『=1-5</7+10療-10》+5苫a-無必，

則在(1+3?興1-哄了的展開式中，含x的項(xiàng)為：27尤+(-10x)=17x,

所以所求x的系數(shù)為17.

故答案為：17

6.1215

【分析】根據(jù)二項(xiàng)式定理可知各項(xiàng)系數(shù)和為4*，二項(xiàng)式系數(shù)和為2"，可求出〃=6,然后在判斷展開式的常

數(shù)項(xiàng).

【詳解】解：由題意得：

令x=l,則1+j=1=4",所以、+京)的展開式中，各項(xiàng)系數(shù)和為4"

又二項(xiàng)式系數(shù)和為2",所以5=2"=64,解得”=6.

二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)=C；3rx^r,令6-|廠=0,得廠=4

8

所以展開式的常數(shù)項(xiàng)為C：3,=1215.

故答案為：1215.

反思提升：

（1）求二項(xiàng)展開式中的特定項(xiàng)，一般是化簡通項(xiàng)公式后，令字母的指數(shù)符合要求（求常數(shù)項(xiàng)時(shí)，

指數(shù)為零；求有理項(xiàng)時(shí)，指數(shù)為整數(shù)等），解出項(xiàng)數(shù)Z+1,代回通項(xiàng)公式即可.

（2）對于幾個(gè)多項(xiàng)式積的展開式中的特定項(xiàng)問題，一般都可以根據(jù)因式連乘的規(guī)律，結(jié)合組合

思想求解，但栗注意適當(dāng)?shù)剡\(yùn)用分類方法，以免重復(fù)或遺漏；也可利用排列組合的知識求解.

（3）對于三項(xiàng)式問題一般先變形化為二項(xiàng)式再解決，或利用展開式的原理求解.

【考點(diǎn)2】二項(xiàng)式系數(shù)的和與各項(xiàng)系數(shù)的和問題

一、單選題

1.（2021?江西?模擬預(yù)測）在［x+三）的展開式中，只有第六項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，且所有項(xiàng)的系數(shù)和為0,

則含/的項(xiàng)系數(shù)為（）

A.45B.-45C.120D.-120

2.（2022?山東德州?二模）己知。＞0,二項(xiàng)式上+右）的展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為64,則展開式中的常

數(shù)項(xiàng)為（）

A.36B.30C.15D.10

二、多選題

3.（2022?福建龍巖?一模）已知二項(xiàng)式-上丫的展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和是上，則下列說法正確的有（）

V128

A.展開式共有7項(xiàng)B.二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第4項(xiàng)

C.所有二項(xiàng)式系數(shù)和為128D.展開式的有理項(xiàng)共有4項(xiàng)

4.（2022?廣東深圳?二模）已知（2-%了=%+41+〃2兀2-1--l-^x8,貝!］（）

A.=28B.%+/+,??+=1

C同+同+同+…+同=38D.Q]+24+3/+???+8。8=—8

、填空題

729

5.（2022?遼寧沈陽?一模）在的展開式中，各項(xiàng)系數(shù)和與二項(xiàng)式系數(shù)和的比值為育，則二項(xiàng)展

開式中的常數(shù)項(xiàng)為.

9

2022

6.（2022?湖南長沙?一■模）已知（1—4x）=aQ+aAxH---1-a^^x,貝成■+方---卜2n=

參考答案:

題號1234

答案ACCDAD

1.A

【分析】先由只有第六項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，求出”=10;再由展開式的所有項(xiàng)的系數(shù)和為0,用賦值法求

出a=-1,用通項(xiàng)公式求出x6的項(xiàng)的系數(shù).

【詳解】回在1+/J的展開式中，只有第六項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，

回在卜+旦]的展開式有11項(xiàng)，即?=10；

而展開式的所有項(xiàng)的系數(shù)和為0,

令x=l,代入卜+[=0,B|J(l+a)'°=0,所以a=-l.

orrl02r

回\一是展開式的通項(xiàng)公式為：Tr+l=C[ox'~J=(-l)q0x~,

要求含丁的項(xiàng)，只需102=6,解得片2,所以系數(shù)為(-1)i-品='10一x9=45.

/X_L

故選：A

【點(diǎn)睛】二項(xiàng)式定理類問題的處理思路：利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)進(jìn)行分析.

2.C

【分析】先根據(jù)"所有項(xiàng)的系數(shù)和“求得。，然后利用二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式求得正確答案.

【詳解】令x=l,則可得所有項(xiàng)的系數(shù)和為(1+。)6=64且。＞0,解得。=1,

(x+J|的展開式中的通項(xiàng)J=C*6,,左=0,1,…,6,

回當(dāng)上=2時(shí)，展開式中的常數(shù)項(xiàng)為C：=15.

故選：C

3.CD

【分析】運(yùn)用代入法，結(jié)合二項(xiàng)式系數(shù)和公式、通項(xiàng)公式以及二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)逐一判斷即可.

【詳解】因?yàn)槎?xiàng)式-,丫的展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和是上，

I2x)128

10

所以令x=l可得：fVl—1—]=」一=L=—!—n〃=7.

I2xlJ1282"128

A：因?yàn)閣=7,所以展開式共有8項(xiàng)，因此本選項(xiàng)說法不正確；

B：因?yàn)椤?7,所以二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第4項(xiàng)和第5項(xiàng)，

因此本選項(xiàng)說法不正確；

C：因?yàn)椤?7,所以所有二項(xiàng)式系數(shù)和為27=128,所以本選項(xiàng)說法正確；

8-3r

r

D：由B可知：Tr+i=C；-（-ly-2--x^^當(dāng)廠=。,2,4,6時(shí)，對應(yīng)的項(xiàng)是有理項(xiàng),

故本選項(xiàng)說法正確，

故選：CD

4.AD

【分析】結(jié)合賦值法、導(dǎo)數(shù)運(yùn)算以及二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式求得正確答案.

【詳解】由（2—%）=%+qx+/無?+...+火龍&,

令％=0得。0=27A選項(xiàng)正確.

令x=l得%+q+%+…+4=1,q+2+,,,+%=1—28,B選項(xiàng)錯(cuò)誤.

二項(xiàng)式（2-4展開式的通項(xiàng)公式為G-28f.（-X）r=（-l）r.28Tq?V,

由此可知％,“3,“5,%是負(fù)數(shù)，%,〃4,“6,“8為正數(shù)，

所以令X——1得%—%+4—〃3+〃4—〃5+〃6—%+〃8=38,

―4+%—〃3+〃4—〃5+—%+%=38—2^,

即同+同+同+…+同=38—28,C選項(xiàng)錯(cuò)誤

由（2—%）=CLQ+ClyX+Q2f+?,,+,

兩邊求導(dǎo)得—8（2—兀）=q+2a2兀+Bq%?+,?,+，

令尤=1得。1+2出+3/-----1~8〃8=-8,所以D選項(xiàng)正確.

故選：AD

5.240

【分析】由已知求得鹿=6,再根據(jù)二項(xiàng)式通項(xiàng)公式的展開式求出常數(shù)項(xiàng)即可.

【詳解】1+2]的展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)和為2〃，

11

得?治

令犬=1,的展開式中，各項(xiàng)系數(shù)和為3",

由題意可得，嬰，即目=9解得…,

所以Q+的展開式的通項(xiàng)為=&2%6-%「$=&2%6等,

令6-會(huì)=0,解得r=4,故展開式的常數(shù)項(xiàng)為C：2,=15x16=240,

故答案為：240

6.0

【分析】利用賦值法可得答案.

【詳解】根據(jù)題意，今x=0,得.=（1一0廣=1,令x=g,得（1-2產(chǎn)2=%+*+號+...+黑，

因此與+爭爭+…+黑=1-4=。，

故答案為：0.

反思提升：

1.“賦值法”普遍適用于恒等式，是一種重要的方法，對形如（ax+?"，（af+fer+cyYa,》?R）

的式子求其展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和，常用賦值法.

2.若Hx）=ao+aix+a2fd--\-anXn,則?x）展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為火1）,奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和為

I../⑴+/（T）加粉黃衣粉夕/u.../⑴一f（一1）

ao十42十。4H—=4禺?dāng)?shù)項(xiàng)東數(shù)N本1為a1十。3十a(chǎn)5H—=2.

【考點(diǎn)3】二項(xiàng)式系數(shù)的最值問題

一、單選題

1.（2022?山西臨汾?二模）（石+三）的展開式中x的系數(shù)等于其二項(xiàng)式系數(shù)的最大值，則a的值為（）

A.2B.3C.4D.-2

2.（2024?安徽?二模）已知21的展開式二項(xiàng)式系數(shù)和為256,則展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為（）

A.第5項(xiàng)B.第6項(xiàng)C.第7項(xiàng)D.第8項(xiàng)

二、多選題

3.（2022?廣東茂名?二模）已知［2x+｝］的展開式共有13項(xiàng)，則下列說法中正確的有（）

A.所有奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為2葭B.所有項(xiàng)的系數(shù)和為3"

12

C.二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第6項(xiàng)或第7項(xiàng)D.有理項(xiàng)共5項(xiàng)

4.（2024高三下?河南?專題練習(xí)）已知|/+亍J（〃eN*）的展開式中第4項(xiàng)與第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，

且展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和為2187,則下列說法正確的是（）

A.展開式中奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為64

B.展開式中存在常數(shù)項(xiàng)

C.展開式中含/項(xiàng)的系數(shù)為560

D.展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為672戶

三、填空題

5.（21-22高三下?全國?開學(xué)考試）已知，2的展開式中，第4項(xiàng)的系數(shù)與倒數(shù)第4項(xiàng)的系數(shù)之比為;,

則展開式中最大的二項(xiàng)式系數(shù)值為.

6.（2024高三上?全國?競賽）在（1+依）8的展開式中，若V的系數(shù)為一56,則。=；若展開式中有且僅

有公項(xiàng)的系數(shù)最大，則。的取值范圍是.

參考答案:

題號1234

答案ACBDACD

1.A

【分析】根據(jù)+可知二項(xiàng)式系數(shù)最大值為第=10,再根據(jù)二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式賦值即可求出.

【詳解】因?yàn)?+三］的展開式的通項(xiàng)公式為&=項(xiàng)（?『［￡［=仁"芋，令號=1,即r=1時(shí),

尤的系數(shù)為5a,而二項(xiàng)式系數(shù)最大值為c；=10,所以5a=10,即a=2.

故選：A.

2.C

【分析】根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)和可得〃=8,即可根據(jù)通項(xiàng)特征，列舉比較可得最大值.

【詳解】由已知2"=256,故〃=8,故通項(xiàng)為九1=（-以《2晨8一2?（4=0,1,8）,故

奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)為正數(shù)，偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)為負(fù)數(shù)，

13

《2。=1,《22＜（3智,腰26=4d24".黑=警=：＞

>1

故C；26最大，因此第七項(xiàng)的系數(shù)最大,

故選：C.

3.BD

【分析】根據(jù)展開式的通向公式以及二項(xiàng)式系數(shù)的的性質(zhì)求解判斷.

【詳解】因?yàn)椤?1=13,所以”=12,所有奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為2"，故A錯(cuò)誤,

令x=l,得所有項(xiàng)的系數(shù)和為3口，故B正確，

由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)可知二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第7項(xiàng)，故C錯(cuò)誤，

（J.Y,,_4

（）3,2r

因?yàn)檎归_式通項(xiàng)為=C72x-X=2-C；2x

4

當(dāng)12-§廠為整數(shù)時(shí)，r=0,3,6,9,12,共有5項(xiàng)，故D正確.

故選：BD.

4.ACD

【分析】利用通項(xiàng)公式4M=C'?an-'b'結(jié)合第4項(xiàng)與第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等可知C：=C：,可推出〃=7,再

7

由各項(xiàng)系數(shù)和為2187,利用賦值x=l可得（1+幻7=2187,解得。=2,從而得到一個(gè)已知的二項(xiàng)式/+

再利用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)和方法去判斷各選項(xiàng).

【詳解】由二項(xiàng)式的展開式中第4項(xiàng)與第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，所以C：=C＞解得〃=7,

又展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和為2187,即當(dāng)x=l時(shí)，（1+4=2187,解得。=2,

所以二項(xiàng)式的系數(shù)之和為2,=128,

又由奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和與偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和相等，

則奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為gxl28=64,故A正確；

由的展開式的通項(xiàng)小=2gJ等，令14-|r=0,

解得r=］，故展開式中不存在常數(shù)項(xiàng)，故B錯(cuò)誤；

又令14-gr=4,解得廠=4,所以展開式中含/項(xiàng)的系數(shù)為=560,故C正確;

14

2c22川C丁1316

由；一七丁自——<r<——又TEN,所以r=5,

2(2233

5「3

所以展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為4+1=25?/產(chǎn)=672/，故D正確.

故選：ACD.

5.35

【分析】寫出通項(xiàng)公式，然后得第4項(xiàng)的系數(shù)與倒數(shù)第4項(xiàng)的系數(shù)，列式求解〃，利用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)求

解答案.

【詳解】由題意,的展開式的通項(xiàng)為(包,所以展開式中第4

3

2111

項(xiàng)的系數(shù)為c：2,倒數(shù)第4項(xiàng)的系數(shù)為C；3.2"\所以「二；,1=5,即熹=-6=1,得〃=7,

Cn-ZZ22

所以展開式中最大的二項(xiàng)式系數(shù)值為G=35或C；=35.

故答案為：35

【分析】第一空，根據(jù)二項(xiàng)式展開式中無3的系數(shù)，列式求解，可得a的值；第二空，討論。的取值范圍,

結(jié)合題意，列出不等式組，求解即可得答案.

【詳解】由題意知在(1+6)8的展開式中，V的系數(shù)為C》3=_56,

即56a3=—56,a3=—1,a=—\,

若展開式中有且僅有尤4項(xiàng)的系數(shù)最大，。=。不合題意，

當(dāng)a>0時(shí)，所以項(xiàng)的系數(shù)均為正數(shù)，則需滿足

即得—4<〃<己5；

54

當(dāng)〃<0時(shí)，奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)均為正數(shù)，偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)均為負(fù)數(shù),

則此時(shí)需滿足>￡"：，解得-巫<a<-巫，

C8tz>C8tz25

15

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第二空解決的關(guān)鍵是，注意”。時(shí)，二項(xiàng)展開式中系數(shù)的正負(fù)情況，從而列式得

解.

反思提升：

二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)的確定方法：當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，展開式中第W+1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，最大

值為°”；當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，展開式中第丁項(xiàng)和第丁項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，最大值為（，，或

?4-1

C丁

分層檢測

【基礎(chǔ)篇】

一、單選題

1.（2024?北京懷柔?模擬預(yù)測）在?！?一（［的展開式中，常數(shù)項(xiàng)是（）

9999

A.-B.----C.D.

442~2

已知（一牙3+幺

2=4+4,_____?%?〃23則共+今+…+號+〃22=(

（?江蘇?二模）d)

2.2023卜.22十%23，

VX）xx

A.-1B.0C.1D.2

3.（2024?遼寧?一模）的展開式中的系數(shù)為（)

A.55B.-70C.30D.-25

4.（23-24高三上?云南昆明,階段練習(xí)）已知42似4+“能被9整除，則整數(shù)。的值可以是（）

A.-12B.-7C.9D.13

二、多選題

5.（2024?山西臨汾?三模）在［2一w］的展開式中（）

A.所有奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和為128

B.二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第5項(xiàng)

C.有理項(xiàng)共有兩項(xiàng)

D.所有項(xiàng)的系數(shù)的和為3'

6.（2023?山東青島?一模）在的展開式中，下列說法正確的是（）

16

A.常數(shù)項(xiàng)是1120B.第四項(xiàng)和第六項(xiàng)的系數(shù)相等

C.各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為256D.各項(xiàng)的系數(shù)之和為256

7.（23-24高二上,山東青島,期末）我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中展示了二項(xiàng)

式系數(shù)表，數(shù)學(xué)愛好者對楊輝三角做了廣泛的研究.則下列結(jié)論正確的是（）

楊輝三角

第

0行

第

1行

11

第

2行

第121

3行

第11

4行33

14641

第

5行

第101051

6行15

1615201561

第

7行

第

8行172135352171

18285670562881

行

第9

防

第1193684126126843691

侑

第11104512021025221012045101

115516533046246233016555111

A.第6行、第7行、第8行的第7個(gè)數(shù)之和為第9行的第8個(gè)數(shù)

B.1+C；+C"C；=C；

C.第2020行的第1010個(gè)數(shù)最大

D.第12行中從左到右第2個(gè)數(shù)與第3個(gè)數(shù)之比為2:11

三、填空題

56

8.（2023?河北,模擬預(yù)測）已知多項(xiàng)式（x—2）5+（x—I），=%+6尤+的廠+—I-a5x+abx,則q=.

9.（22-23高二下?湖南?期末）在二項(xiàng)式（?一：］的展開式中只有第4項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開式中的

常數(shù)項(xiàng)為.

10.（2023?江蘇南通,一模）（x-2y+l）s展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為.

參考答案:

題號1234567

答案ADCBABACABD

1.A

【分析】由二項(xiàng)式定理得展開通項(xiàng)并整理，令6-3廠=0,求出「回代到展開通項(xiàng)即可求解.

2

【詳解】（3d-的展開式通項(xiàng)為Tr+l=C；（3x廣；一（［=竽3-（一口尸，,（o<r<3,rGN*

由題意令6-3廠=0,解得r=2,從而常數(shù)項(xiàng)是匕=€：；33一21￡|2=：

17

故選：A.

2.D

【分析】先根據(jù)二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求得知=T，再利用賦值法，令x=g，進(jìn)而即可求解.

【詳解】由(2-，]=4+幺+”+…+與+絳，

<X)XXXX

則詈=&=42。[口=-土，得心一，

令x=g,得0=a°+2q+22q+…+222心+223心,

左右兩邊除以2%得。+郎F"1-----+a22+,

所以卷+會(huì)+…+詈+%=。-(-2)=2-

故選：D.

3.C

【分析】借助二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式計(jì)算即可得.

【詳解】對"一了丫，有幾匚螳/乂-^=(_1)出：/5*,

令人=2,有n=(-1)2瑪產(chǎn)2y2=10尤3,2,

令左=3,有n=5l)3C*5-3y3=『iofy3,

貝I]IxlOx?9+1一斗x(—10x2y3)=30//,

故「-三｝x-y)5的展開式中xb?的系數(shù)為30.

故選：C.

4.B

1348

【分析】根據(jù)二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式可得42。24+〃=22?349*/9-r(-1力—2+〃，貝>2+1能被9整除，結(jié)

k=0

合選項(xiàng)即可求解.

404

【詳解】因?yàn)?2必+a=28+〃=2x8】349+4=2x(9-1)1349+。

134813494

=2￡[Cf349x9-x(-l/]-2+a,

k=0

1348

又鼠X9049T*J]力能被9整除，

女=0

18

所以-2+。能被9整除，

由選項(xiàng)知當(dāng)。=-7時(shí)符合，當(dāng)。=-12,9或13時(shí)均不符合.

故選：B.

5.AB

【分析】先求出二項(xiàng)式系數(shù)和，奇數(shù)項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)和等于偶數(shù)項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)和，即可確定A；二項(xiàng)式系數(shù)的

最大項(xiàng)，即為中間項(xiàng)，可確定B；整理出通項(xiàng)公式配|卜底)=(-!)*?284c標(biāo)式\再對女賦值,

即可確定C；令x=l,可求出所有項(xiàng)的系數(shù)的和，從而確定D.

8

【詳解】對于A,二項(xiàng)式系數(shù)和為，則所有奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和為土9=128,故A正確；

2

對于B,二項(xiàng)式系數(shù)最大為C；,則二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第5項(xiàng)，故B正確；

對于C，G=C；；D=(一1戶284晨/1(04”8,"2，兀1為有理項(xiàng)，左可取的值為0,3,6,所

以有理項(xiàng)共有三項(xiàng)，故C錯(cuò)誤；

對于D,令x=l,則所有項(xiàng)系數(shù)和為［：-亞1=1,故D錯(cuò)誤.

故選：AB.

6.AC

【分析】根據(jù)二項(xiàng)式定理,的通項(xiàng)公式為Tk+l=晨2i(-1)\8口,對于A,令左=4進(jìn)行判斷;對于B,令

笈=3和左=5計(jì)算判斷即可;對于C,因?yàn)椤?8,所以各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為2'=256可進(jìn)行判斷;對于D,令

x=l即可進(jìn)行判斷.

【詳解】根據(jù)二項(xiàng)式定理-的通項(xiàng)公式為小=C：28^(-l)S8-2\

對于A,常數(shù)項(xiàng)為C；24(-l)4=1120,故A正確；

對于B,第四項(xiàng)的系數(shù)為C；2『_l)3=7792,第六項(xiàng)的系數(shù)為C；2-5(_l)5=一448,故B錯(cuò)誤；

對于C,因?yàn)椤?8,所以各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為愛=256,故C正確；

對于D,令x=l,各項(xiàng)的系數(shù)之和為1,故D錯(cuò)誤.

故選:AC.

7.ABD

19

【分析】根據(jù)楊輝三角讀出數(shù)據(jù)即可判斷A,利用組合數(shù)公式判斷B,分析各行數(shù)據(jù)的特征，即可判斷C,

求出第12行中從左到右第2個(gè)數(shù)與第3個(gè)數(shù)，即可判斷D.

【詳解】對于A：第6行，第7行，第8行的第7個(gè)數(shù)字分別為：I,7,28,其和為1+7+28=36；

而第9行第8個(gè)數(shù)字就是36,故A正確；

對于B：因?yàn)?+￡+或+^=1+5+號+^1=56,C；=1^1=56,

所以1+C；+或+C；=C；,故B正確;

對于C：由圖可知：第九行有〃+1個(gè)數(shù)字，

如果"是偶數(shù)，則第]+1（最中間的）個(gè)數(shù)字最大；

n+1ri+1

如果〃是奇數(shù)，則第安和第宰+1個(gè)數(shù)字最大，并且這兩個(gè)數(shù)字一樣大，

22

所以第2020行的第1011個(gè)數(shù)最大，故C錯(cuò)誤；

對于D：依題意：第12行從左到右第2個(gè)數(shù)為C；?=12,第12行從左到右第3個(gè)數(shù)為C；?=66,

所以第12行中從左到右第2個(gè)數(shù)與第3個(gè)數(shù)之比為12:66=2:11,故D正確；

故答案為：ABD.

8.74

【分析】利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)分別求得"-2）5和的展開式的尤項(xiàng)，進(jìn)而求得q的值.

【詳解】對于（X-2）5,

其二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)為=C"5T（一2），，

令5-r=l,得廠=4,

故（=Cb（-2）4=80x,

對于（X-1）6,

其二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)為￡包=^^一氣-1y，

令6—左=],得左=5,故￡=C；x（—1）5二一6%,

所以《=80+（-6）=74.

故答案為：74.

15

9.——

4

【分析】根據(jù)題意可確定〃的值，繼而求得二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，令工的指數(shù)等于0,求得〃的值，即可

20

求得答案.

【詳解】因?yàn)槎?xiàng)式-的展開式中只有第4項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大,

故二項(xiàng)式［石的展開式有7項(xiàng)，則〃=6,

故的通項(xiàng)公式為T3=晨（?）?（一gy=（-;yr=0,1,2,…,6,

3

令3——r=0,.*.r=2,

2

故展開式中的常數(shù)項(xiàng)為（-1）2晨=?,

故答案為：--

4

10.-60

【分析】根據(jù)二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式進(jìn)行求解即可.

【詳解】（x-2y+l）5=［l+（x-2y）］5,

設(shè)該二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式為加=4仔，.（》_2月=5（》-2月，

因?yàn)閒y的次數(shù)為3,所以令廠=3,

二項(xiàng)式（x-2?的通項(xiàng)