2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義：冪函數(shù)與二次函數(shù)（原卷版）

專題09募函數(shù)與二次函數(shù)（新高考專用）

目錄

【知識梳理】................................................................2

【真題自測】................................................................3

【考點(diǎn)突破】................................................................4

【考點(diǎn)1】募函數(shù)的圖象和性質(zhì)4

【考點(diǎn)2】求二次函數(shù)的解析式................................................5

【考點(diǎn)3］二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)...............................................6

【分層檢測】................................................................8

【基礎(chǔ)篇】..................................................................8

【能力篇】..................................................................9

【培優(yōu)篇】.................................................................10

考試要求：

11

1.了解黑函數(shù)的概念；結(jié)合函數(shù)丁=羽y=%3,丁=用，丁=:的圖象，了解它們的變化情

況；

2.理解二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，能用二次函數(shù)、方程、不等式之間的關(guān)系解決簡單問題.

■,知識梳理

L幕函數(shù)

(1)募函數(shù)的定義

一般地，函數(shù)丫=二叫做幕函數(shù),其中x是自變量，a是常數(shù).

⑵常見的五種募函數(shù)的圖象

(3)募函數(shù)的性質(zhì)

①募函數(shù)在(0,+8)上都有定義；

②當(dāng)a>0時(shí)，募函數(shù)的圖象都過點(diǎn)(1,1)和(0,0),且在(0,+8)上單調(diào)遞增;

③當(dāng)a<0時(shí)，募函數(shù)的圖象都過點(diǎn)(1,1),且在(0,+8)上單調(diào)遞減.

2.二次函數(shù)

⑴二次函數(shù)解析式的三種形式

一般式：/("M'f+bx+cgwo).

頂點(diǎn)式：fix)=a(x—m)2+n(a^G),頂點(diǎn)坐標(biāo)為(如〃).

零點(diǎn)式：4x)=a(x—xi)(x—X2)(aW0),xi,&為4x)的零點(diǎn).

(2)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)

2

頂點(diǎn)624ac—b^\

l

坐標(biāo)V—2a-4aJ

奇偶性當(dāng)Z?=0時(shí)是偶函數(shù)，當(dāng)6W0時(shí)是非奇非偶函數(shù)

在j在（b

上是減函數(shù)；一8,Fl上是增函數(shù)；

單調(diào)性

在卜品）上是增函數(shù)]上是遮函數(shù)

4°°在[-5+8

I常用結(jié)論

1.二次函數(shù)的單調(diào)性、最值與拋物線的開口方向和對稱軸及給定區(qū)間的范圍有關(guān).

[a>0,[a<Q,

2.若於）=ax2+bx+c（aW0）,則當(dāng)，時(shí)，恒有火x）>0；當(dāng)，時(shí)，恒有加）<0.

U<0U<0

3.（1）嘉函數(shù)y=y中，a的取值影響募函數(shù)的定義域、圖象及性質(zhì)；

（2）募函數(shù)的圖象一定會出現(xiàn)在第一象限內(nèi)，一定不會出現(xiàn)在第四象限.

,,真題自測

1.（2023?全國，高考真題）設(shè)函數(shù)〃耳=2'（1）在區(qū)間（0,1）上單調(diào)遞減，貝lj”的取值范圍是（）

A.(ro,-2]B.[-2,0)

C.（0,2]D.[2,+oo）

22

2.（202”全國?高考真題）設(shè)B是橢圓C：t+與=l（a>6>0）的上頂點(diǎn)，若C上的任意一點(diǎn)P都滿足l尸B|<26,

ab

則C的離心率的取值范圍是（）

「行1

A.——AB.1C.D.°'2

L2Jr

0605則的大小關(guān)系為（）

3.（2023?天津?高考真題）設(shè)。=1.01/6=i.01,c=O.6,

A.a<b<cB.b<a<c

C.c<b<aD.c<a<b

，C=log1,則(

4.（2022?天津,高考真題）已知。=2°-7,b=I2

A.a>c>bB.b>c>aC.a>b>cD.c>a>b

二、填空題

2

5.（2020?江蘇考真題）已知y=/（x）是奇函數(shù)，當(dāng)xzo時(shí),-3，則H-8）的值是—.

三、解答題

3

6.（23-24高一下?上海?期中）已知哥函數(shù)〃了卜—功片何蚱％）為奇函數(shù)，且在區(qū)間（0,+“）上是嚴(yán)格減函

數(shù).

⑴求函數(shù)y=/（x）的表達(dá)式;

（2）對任意實(shí)數(shù)xe1,1,不等式〃力4/+4,恒成立，求實(shí)數(shù)/的取值范圍.

考點(diǎn)突破

【考點(diǎn)1］幕函數(shù)的圖象和性質(zhì)

一、單選題

1.（2024?四川成都?模擬預(yù)測）設(shè)命題P：加eR,使〃尤）=（m-1）——+3是累函數(shù)，且在（0,+“）上單調(diào)遞

減；命題q:Vxe（2,M）,2，>尤2,則下列命題為真的是（）

A.7?B.C.Z7A4D.（~<p）vq

2.（2022?上海黃浦?模擬預(yù)測）下列函數(shù)定義域?yàn)椋?,+8）的是（）

A.y=-B.y=lnxC.y=4xD.y=tanx

X

二、多選題

3.（20-21高三上?遼寧遼陽?期末）下列函數(shù)中是奇函數(shù)，且值域?yàn)镽的有（）

.1

A./（x）=xB./（%）=%+—

x

C.f（x）=x+sinxD./（x）=x-5

4.（23-24高一上?貴州?階段練習(xí)）現(xiàn)有4個(gè)幕函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列選項(xiàng)可能成立的是（）

A.p=3,m=2,n=-3

B.p=4,m=3,a=—,n=—2

3

q=-；,n=-3

C.p=2,m=3,

1

D.p=—m=~,q=-2,n=-

2314

4

三、填空題

5.(2024?北京延慶?一模)已知函數(shù)〃x)=xa(0<a<l)在區(qū)間(-1,0)上單調(diào)遞減，則a的一個(gè)取值為.

6.(2022?全國?模擬預(yù)測)若暴函數(shù)y=(4-a-5)/的圖像關(guān)于y軸對稱，則實(shí)數(shù)。=.

反思提升：

(1)幕函數(shù)的形式是丁=b3?1^),其中只有一個(gè)參數(shù)a,因此只需一個(gè)條件即可確定其解析式.

(2)在區(qū)間(0,1)上，幕函數(shù)中指數(shù)越大，函數(shù)圖象越靠近x軸(簡記為“指大圖低”)，在區(qū)間

(1,十8)上，賽函數(shù)中指數(shù)越大，函數(shù)圖象越遠(yuǎn)離X軸.

⑶在比較幕值的大小時(shí)，必須結(jié)合賽值的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，借助其單調(diào)性進(jìn)行比較，

準(zhǔn)確掌握各個(gè)幕函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【考點(diǎn)2］求二次函數(shù)的解析式

一、單選題

1.(2024?陜西?模擬預(yù)測)設(shè)函數(shù)“X)的定義域?yàn)镽,且/(—芯+1)=—/(尤+1)，〃尤+2)=〃一無+2),當(dāng)

xe［0,l］時(shí),/(X)=2X2+Z?X+C,/(3)-/(2)=6,則6+c=()

A.-4B.-3C.1D.-2

2.(2024?全國?模擬預(yù)測)已知二次函數(shù)滿足對于任意的尤,yeR,/(%)/(J)=/(xv),且〃2)=4.

若/(p+q)+/(q)=i，則/+2"的最大值與最小值之和是()

A.4+2&B.2A/2C.4D.忘

二、多選題

3.(2023?河北滄州?三模)已知二次函數(shù)g(x)滿足g(x-4)=g(2-x),g(x)>x-當(dāng)xe(0,2)時(shí)，

函數(shù)/(x)的定義域?yàn)镽,y=/(x)+eX是奇函數(shù)，y=/(x)-3e”是偶函數(shù)，e為自然對數(shù)的

底數(shù)，則()

A.函數(shù)g(x)的最小值為。

B./(0)=1

C./(g(x))>-l

D.函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)/'(x)的最小值為2魚

4.(2023?全國?模擬預(yù)測)已知二次函數(shù)〃尤)滿足對于任意的=〃肛)且〃2)=4.若

〃p+q)+〃q)=i，則下列說法正確的是()

5

A.p+2q>-\B.p+2q<^2

C.p2+2^2<2-V2D.p~+2q~V2+

三、填空題

5.（21-22高二下?重慶沙坪壩■期末）已知函數(shù)〃%）=62+法+0（"0）的圖象關(guān)于，軸對稱,且與直線＞=%

相切，寫出滿足上述條件的一個(gè)函數(shù)/（*）=.

反思提升：

求二次函數(shù)解析式的方法

---［二點(diǎn)坐標(biāo)j—r選用一般式）

■］頂點(diǎn)坐標(biāo)）

（已知）—［對稱軸}T選用頂點(diǎn)式］

■（最大（?。┲担?/p>

——［與％軸兩交點(diǎn)坐標(biāo)］~4選用零點(diǎn)式）

【考點(diǎn)3］二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)

一、單選題

1.（2024?全國?模擬預(yù)測）已知函數(shù)〃x）=log“（f-依+1）在區(qū)間1,2］上有最大值或最小值，則實(shí)數(shù)”的

取值范圍為（）

A.B.（U）C.D,（1,2）

2.（2023?廣東韶關(guān)?模擬預(yù)測）已知方程x+5+lnx=0和x+5+e"=0的解分別是a和6，貝！|函數(shù)

7?（x）=（x+a）（x+尸）的單調(diào)遞減區(qū)間是（）

B.?,+°°

A.C.(-oo,5]D.[5,+oo)

二、多選題

32

3.(2023?湖南株洲?一模)已知sinl5。是函數(shù)/(元)=%尤4+^x+6Z2x+^x+6Z0(?4,(23,6Z2,^,^0GZ,6Z4w0)的

零點(diǎn)，則下列說法正確的是（）

A.-=16B./（cosl5°）=0

a。

c./（-x）=/（x）D.〃x）向「3

4.（2024?河南信陽?模擬預(yù)測）若函數(shù)=加一2）x+l|在上單調(diào)，則實(shí)數(shù)機(jī)的值可以為（）

15

A.—1B.C.—D.3

22

三、填空題

6

5.（23-24高三下?福建?開學(xué)考試）已知函數(shù)〃x）=〈"的值域?yàn)镽,則實(shí)數(shù)a的取值范圍

\x-2a\-2,x>a

為.

6.（23-24高三下?青海西寧?開學(xué)考試）已知函數(shù)〃尤）=lg，+ar+l）在區(qū)間（f,-2）上單調(diào)遞減，貝lj°的

取值范圍為.

反思提升：

1.研究二次函數(shù)圖象應(yīng)從''三點(diǎn)一線一開口”進(jìn)行分析，“三點(diǎn)”中有一個(gè)點(diǎn)是頂點(diǎn)，另兩個(gè)

點(diǎn)是圖象上關(guān)于對稱軸對稱的兩個(gè)點(diǎn)，常取與x軸的交點(diǎn)；“一線”是指對稱軸這條直線；“一

開口”是指拋物線的開口方向.

2.求解與二次函數(shù)有關(guān)的不等式問題，可借助二次函數(shù)的圖象特征，分析不等關(guān)系成立的條件.

3.閉區(qū)間上二次函數(shù)最值問題的解法：抓住“三點(diǎn)一軸”數(shù)形結(jié)合，三點(diǎn)是指區(qū)間兩個(gè)端點(diǎn)和

中點(diǎn)，一軸指的是對稱軸，結(jié)合圖象，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及分類討論的思想求解.

4不等式恒成立求參數(shù)范圍，一般有兩個(gè)解題思路：一是分離參數(shù)；二是不分離參數(shù)，直接借

助于函數(shù)圖象求最值.這兩個(gè)思路，最后都是轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題.

分層檢測

【基礎(chǔ)篇】

一、單選題

1.（2011?遼寧沈陽?一模）已知函數(shù)/（x）=ax2+bx+c,若a>〃>c且a+b+c=0,則它的圖象可能是（）

2.（2023高三上?江蘇徐州?學(xué)業(yè)考試）已知累函數(shù)”司=（加+2〃7-2）/在（0,+功上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)加的

值為（）

A.-3B.-1C.3D.1

3.（2024?全國?模擬預(yù)測）若函數(shù)了⑴十一處2）x+i|在一；,；上單調(diào)，則實(shí)數(shù)優(yōu)的取值范圍為（）

A.ri，i][3,11B.1（，2]卜2

1_2」|_2」1_2」2」

-11「91「11「9-

C.--JU3,—D._萬,2J3,—

7

4.（2023?全國?模擬預(yù)測）已知集合4=卜卜=”],B={xeZ|x2<4},則Ac3的子集的個(gè)數(shù)為（）

A.1B.2C.4D.8

二、多選題

5.（2021?遼寧?模擬預(yù)測）已知函數(shù)〃力=52一"+""""’（即小）=爐+?-可，xeR）則（）

[x+x-a,x>a

A.當(dāng)。=0時(shí)，是偶函數(shù)B.〃力在區(qū)間上是增函數(shù)

C.設(shè)外力最小值為N,則NW；D.方程〃x）=l可能有2個(gè)解

6.（23-24高一上?浙江?期中）若實(shí)數(shù)4，々，%滿足尤3-2.=尤3-3*=1,則下列不等關(guān)系可能成立的是（）

A.xx<x2<x3B.x2<x3<x1C.x3<x2<xxD.x3<xx<x2

7.（2024?全國?模擬預(yù)測）下列函數(shù)中既是奇函數(shù)，又是定義域上的減函數(shù)的是（）

A.f（x）=-3x5B.f（x）=2'

c-/（”=：D-〃*）=一2產(chǎn)

三、填空題

8.（2023?上海閔行?一模）已知二次函數(shù)“同=加+%+。的值域?yàn)?，鞏?則函數(shù)g（x）=2。。的值域

為.

9.（2023?廣東珠海?模擬預(yù)測）已知函數(shù)〃力=/+如-2%+1在區(qū)間[2,+8）上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)優(yōu)的取值

范圍是.

10.（2020,安徽蚌埠,三模）已知命題oHxeR,使得cos2x+sin尤+1>小，若命題p是假命題，則實(shí)數(shù)m

的取值范圍是.

四、解答題

11.（2023?山東?一模）已知二次函數(shù)“X）滿足/（。）=-1,頂點(diǎn)為（1,-2）.

⑴求函數(shù)〃尤）的解析式；

⑵若函數(shù)〃尤）在區(qū)間團(tuán)-1，4]上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

12.（21-22高一上?遼寧?階段練習(xí)）已知幕函數(shù)f（x）=（m2+2m-2）xm2-7（meZ）的定義域?yàn)镽,且在a+⑹

上單調(diào)遞增.

⑴求m的值；

（2）Vxe[l,2],不等式4（x）-3x+2>0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

8

【能力篇】

一、單選題

1.（2024?黑龍江齊齊哈爾?二模）早在西元前6世紀(jì)，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派已經(jīng)知道算術(shù)中項(xiàng)，幾何中項(xiàng)以及調(diào)

和中項(xiàng)，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派哲學(xué)家阿契塔在《論音樂》中定義了上述三類中項(xiàng)，其中算術(shù)中項(xiàng)，幾何中項(xiàng)的

定義與今天大致相同.若2"+2"=1，貝lj（4"+l）（4"+l）的最小值為（）

259925

A.—B.—C.-D.—

416416

二、多選題

2.（2023?河南?模擬預(yù)測）已知x>y>0,貝U（）

2

A.log2（x+l）>log2（/+l）B.cosx>cosy

C.（x+1）3>（y+l）3D.e-r+1>e-v+1

三、填空題

x2—3x,x<3

3.（2023