2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義：平面向量基本定理及坐標(biāo)表示（原卷版）

專(zhuān)題29平面向量基本定理及坐標(biāo)表示（新高考專(zhuān)用）

目錄

【知識(shí)梳理】................................................................2

【真題自測(cè)】................................................................3

【考點(diǎn)突破】................................................................3

【考點(diǎn)1］平面向量基本定理的應(yīng)用............................................3

【考點(diǎn)2］平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算................................................5

【考點(diǎn)3］平面向量共線的坐標(biāo)表示............................................7

【分層檢測(cè)】................................................................8

【基礎(chǔ)篇】..................................................................8

【能力篇】..................................................................9

【培優(yōu)篇】.................................................................10

考試要求：

1.理解平面向量基本定理及其意義.

2.掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示.

3.會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算.

4.理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件.

；知識(shí)梳理

L平面向量的基本定理

條件ei,e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量

對(duì)于這?平面內(nèi)的任一向量a,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)/U,初，使〃=區(qū)經(jīng)

結(jié)論

+22￡2

若ei,e2不共線,我們把｛ei,02｝叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個(gè)

基底

基底

2.平面向量的正交分解

把一個(gè)向量分解為兩個(gè)互相垂直的向量,叫做把向量作正交分解.

3.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

⑴向量加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算及向量的模

設(shè)。=(尤1,yi),b=(X2,yi),則

a+b=(xi+x2,yi+y2),a—Z>=(XLX2,yi—y2),幾a=(尢n,7vi),|a|='/君+y?.

(2)向量坐標(biāo)的求法

①若向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則終點(diǎn)坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo).

②設(shè)A(xi,yi),3(x2,,2),則AB=(X2—xi,y2-yi),|AB|=、/"(一―xi)2+(丫2-yi)

4.平面向量共線的坐標(biāo)表示

設(shè)a=(xi,yi),b=(x2,yi),向量a,灰Z>WO)共線的充要條件是人\21x2券=0.

|常用結(jié)論

1.平面內(nèi)不共線向量都可以作為基底，反之亦然.

2.若a與〃不共線，2a+〃方=0,則/l=〃=0.

3.向量的坐標(biāo)與表示向量的有向線段的起點(diǎn)、終點(diǎn)的相對(duì)位置有關(guān)系.兩個(gè)相等的向量，無(wú)論起

點(diǎn)在什么位置，它們的坐標(biāo)都是相同的.

.真題自測(cè)

一、單選題

1.(2023?全國(guó)?高考真題)正方形ABCD的邊長(zhǎng)是2,E是AB的中點(diǎn)，則比.麗=()

A.亞B.3C.2A/5D.5

2

2.（2023?全國(guó)?高考真題）已知向量￡=（1,1））=（1,一1）,若僅+"）乂￡+叫，則（）

A.4+4=1B.X+〃=—1

C.沏=1D.AjU=-l

3.(2022?全國(guó)?高考真題)已知向量。=(3,4)萬(wàn)=(1,0),c=a+醫(yī)，若<a,c〉=<B,c>,貝()

A.-6B.-5C.5D.6

4.(2022?全國(guó)?高考真題)已知向量Z=(2,l)石=(-2,4),貝()

A.2B.3C.4D.5

5.(2022?全國(guó)?高考真題)在AASC中，點(diǎn)。在邊A8上，BD=2DA.記回=加，詼=萬(wàn)，則而=()

A.3m—2nB.—2/+3為C.3/+2萬(wàn)D.2/+3為

二、填空題

6.(2021?全國(guó)?高考真題)已知向量a=(l,3),B=(3,4),若(〃-萩)則2=.

r考點(diǎn)突破

【考點(diǎn)11平面向量基本定理的應(yīng)用

一、單選題

1.（21-22高一下?重慶北暗階段練習(xí)）設(shè)蕊團(tuán)是兩個(gè)不平行的向量，則下列四組向量中，不能組成平面向

量的一個(gè)基底的是（）

A.G+%和q-qB.q+2e?和e2+26

C.3q—2e?和44—6qD.e?，和e,+q

2.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，在邊長(zhǎng)為2的等邊AABC中，點(diǎn)E為中線2。的三等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)2）,

點(diǎn)尸為BC的中點(diǎn)，則而.麗=（）

二、多選題

3.（2024?廣西?二模）已知AABC內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,6,c,O為44BC的重心，cosA=g,AO=2,則

3

.1—.1

A.AO=-AB+-ACB.ABACk<3

44—

C.AABC的面積的最大值為3#D.。的最小值為26

4.（2022?廣東惠州?一模）如圖，點(diǎn)。是正八邊形ABCDEFGH的中心，且卜q=1,則（）

?O

AB

A.而與麗能構(gòu)成一組基底B.OAOC=0

D.ACCD=-^

C.OA+OC=y/2OB

三、填空題

5.（2024?天津紅橋?二模）太極圖被稱(chēng)為"中華第一圖"，其形狀如陰陽(yáng)兩魚(yú)互抱在一起，因而被稱(chēng)為“陰陽(yáng)魚(yú)

太極圖”.如圖所示的圖形是由半徑為2的大圓。和兩個(gè)對(duì)稱(chēng)的半圓弧組成的，線段MN過(guò)點(diǎn)。且兩端點(diǎn)

N分別在兩個(gè)半圓上，點(diǎn)尸是大圓上一動(dòng)點(diǎn)，令麗=￡,PN=b，若所=4￡+4-則4=；a-b

的最小值為

6.（2024?天津?二模）在AABC中，AM^2MB<P是MC的中點(diǎn)，延長(zhǎng)釬交BC于點(diǎn)￡>.設(shè)通=3,AC=b，

3

則正可用a,B表不為,若AD=&,cos/BAC=y，則AABC面積的最大值為.

反思提升：

（1）應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、

減或數(shù)乘運(yùn)算.一般將向量“放入”相關(guān)的三角形中，利用三角形法則列出向量間的關(guān)系.

（2）用平面向量基本定理解決問(wèn)題的一般思路是：先選擇一個(gè)基底，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)

論表示成向量的形式，再通過(guò)向量的運(yùn)算來(lái)解決.注意同一個(gè)向量在不同基底下的分解是不同

的，但在每個(gè)基底下的分解都是唯一的.

【考點(diǎn)2】平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

一、單選題

4

1.(12-13高一上?黑龍江牡丹江?期末)已知1=(1,1),方=(2,5),2=(3,x),若(81辦工=30,則尤=()

A.6B.5C.4D.3

2.(2024?湖南邵陽(yáng)?一模)如圖所示，四邊形ABCD是正方形,又,"分別8(7,OC的中點(diǎn)，若

加=尢而+〃麗,2,〃eR,貝!)22-〃的值為()

二、多選題

3.(2022?湖北十堰?模擬預(yù)測(cè))已知向量方=(3,4),3=(2/』-。，則下列結(jié)論正確的是()

A.當(dāng)r=i時(shí)，?正+ii=ar

B.當(dāng)/>-2時(shí)，向量正與向量元的夾角為銳角

C.存在/<0,使得m〃n

D.若而J_K則f=-2

4.(2023?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))如圖1是一款家居裝飾物一一博古架，它始見(jiàn)于北宋宮廷、官邸.博古架是類(lèi)似于

書(shū)架式的木器，其每層形狀不規(guī)則，前后均敞開(kāi)，無(wú)板壁封擋，便于從各個(gè)位置觀賞架上放置的器物.某博

古架的部分示意圖如圖2中實(shí)線所示，網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1,則下列結(jié)論正確的是()

毗嶗■器I

圖1

A.BQ1OJ

r,3

B.^AY=xDV+yHM貝"+工一萬(wàn)

C.(AY+OjyBQ+2DV-HM=0

5

9

D.設(shè)Z為線段AK上任意一點(diǎn)，則無(wú)?豆的取值范圍是-“40

三、填空題

5.（2022?湖南岳陽(yáng)?三模）設(shè)點(diǎn)P在以A為圓心，半徑為1的圓弧BC上運(yùn)動(dòng)（包含8,C兩個(gè)端點(diǎn)），WAC

=—,且Q=x而+>*,x+y的取值范圍為.

6.（2020?山西?三模）如圖，在回ABC中，AD=2DC,點(diǎn)P是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).^^根須+鞏正，則

m,〃滿(mǎn)足的等式是.

反思提升：

平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的技巧

（1）向量的坐標(biāo)運(yùn)算主要是利用向量加、減、數(shù)乘運(yùn)算的法則來(lái)進(jìn)行求解的，若已知有向線段

兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則應(yīng)先求向量的坐標(biāo).

（2）解題過(guò)程中，常利用向量相等其坐標(biāo)相同這一原則，通過(guò)列方程（組）來(lái)進(jìn)行求解.

【考點(diǎn)3】平面向量共線的坐標(biāo)表示

一、單選題

1.（23-24高二上,四川綿陽(yáng),期末）直線2x-3y+l=0的一個(gè)方向向量是（）

A.（3,2）B.（2,3）C.（3,-2）D.（2-3）

2.（2024?河北秦皇島?二模）已知向量2=（私2加+3）,1=（1,4加+1）,貝1]"機(jī)=-十是"2與B共線”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

二、多選題

3.（2024?山東聊城二模）已知向量￡=（-1,2）石=。,九），若方在￡上的投影向量為日，則（）

A.2=3B.a//b

C.a_L0-a）D.Z與萬(wàn)的夾角為45。

6

4.（2024?甘肅張掖?一模）下列命題錯(cuò)誤的是（）

A.對(duì)空間任意一點(diǎn)。與不共線的三點(diǎn)A,B,C,若9=工或+y礪+z^其中x,V,zeR且無(wú)+y+z=l,

則尸,A,B,C四點(diǎn)共面

B.已知苕=（1,-1）,5=3,1）,花與5的夾角為鈍角，則d的取值范圍是d<l

c.若乙，B共線，則

D.若商，5共線，則一定存在實(shí)數(shù)％使得石=成

三、填空題

5.（22-23高三上,廣西貴港?階段練習(xí)）已知向量通=（3,2m-4）,配=（2,4）,若A,B,C三點(diǎn)共線，貝U

6.（2024?江西鷹潭?模擬預(yù)測(cè)）AABC的三內(nèi)角A,B,C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別是a,b,c,設(shè)向量p=（a+c,b）,

q=（b+c,a-c）,若向量方與向量［共線，則角A=.

反思提升：

1.兩平面向量共線的充要條件有兩種形式：（1）若a=（xi,yi）,b=（X2,"）,則?！?的充要條件

是xiy2—x2yi=0;

（2）若a〃伙》W0）,則.=肪.

2.向量共線的坐標(biāo)表示既可以判定兩向量平行，也可以由平行求參數(shù).當(dāng)兩向量的坐標(biāo)均非零時(shí),

也可以利用坐標(biāo)對(duì)應(yīng)成比例來(lái)求解.

分層檢測(cè)

【基礎(chǔ)篇】

一、單選題

1.（2024?黑龍江?模擬預(yù)測(cè)）已知在梯形ABCO中，AB//CD且滿(mǎn)足初=2配，E為AC中點(diǎn)，尸為線段A3上

靠近點(diǎn)2的三等分點(diǎn)，設(shè)池=a,AD=b，則訪=（）.

2一1亍3一”5一”1一1廣

A.—a——bB.—a——bC.—a——bD.-a——b

324612226

2.（2023?廣東?模擬預(yù)測(cè)）古希臘數(shù)學(xué)家帕波斯在其著作《數(shù)學(xué)匯編》的第五卷序言中，提到了蜂巢，稱(chēng)蜜

蜂將它們的蜂巢結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)為相同并且拼接在一起的正六棱柱結(jié)構(gòu)，從而儲(chǔ)存更多的蜂蜜，提升了空間利用

率，體現(xiàn)了動(dòng)物的智慧，得到世人的認(rèn)可.已知蜂巢結(jié)構(gòu)的平面圖形如圖所示，則荏=（）

7

3―-5—?5-.3-

A.——CE+-DEB.——CE+-DE

2662

2―.5--5—.2--

C.——CE+-DED.——CE+-DE

3663

3.（2024?陜西?模擬預(yù)測(cè)）已知兩個(gè)向量方=（2,-1）,5=（后租）,且0+5），（萬(wàn)-方）,則加的值為（）

A.±1B.+^/2C.+2D.+2>/3

4.(2024?浙江溫州?三模)平面向量￡=0〃,2),5=(-2,4),若2〃倒悶，貝打"=()

A.-1B.1C.-2D.2

二、多選題

5.（2021?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）在AABC中，D,E,P分別是邊BC,C4,AB的中點(diǎn)，AD,BE,C尸交于

點(diǎn)G,貝U()

--1--1----1—.1―.

A.EF=-CA——BCB.BE=——AB+-BC

2222

C.AD+BE=FCD.GA+GB+GC=0

6.（21-22高三上?福建福州?期中）已知平面向量次、OB＞而為三個(gè)單位向量，且次.痂=0，若

OC=xOA+yOB（x,yeR）,則x+y的可能取值為（）

A.0B.1C.0D.2

7.（2023?廣東?二模）若平面向量日=（〃,2）,5=（1,m-1）,其中"，“eR’則下列說(shuō)法正確的是（）

A.若2汗+B=(2,6),則1〃行

B.若a=-2B,則與5同向的單位向量為

c.若"=1,且苕與5的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為

D.若在上B,則Z=2"+4m的最小值為4

三、填空題

8.（2024?貴州貴陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè)）已知向量2=（-1,2）,b=（m,-4）,則（Z-2可〃（2￡+可，則實(shí)數(shù)機(jī)=.

8

9.（2024?黑龍江?二模）已知向量萬(wàn)=（1,根），石=（",6）,若石=3商，則.

10.（2023,河南?模擬預(yù)測(cè)）在平行四邊形A3CD中，AD=2AB=2,5DLDC,點(diǎn)M為線段8的中點(diǎn)，

則MAMB=-

四、解答題

11.（23-24高三上?江蘇徐州?階段練習(xí)）在“1SC中，E為AC的中點(diǎn)，。為邊BC上靠近點(diǎn)8的三等分點(diǎn).

⑴分別用向量抽，而表示向量市S而；

⑵若點(diǎn)N滿(mǎn)足4麗+2通=3恁，證明：B,N,E三點(diǎn)共線.

12.（2023?湖南永州?二模）已知AABC的內(nèi)角A&C的對(duì)邊分別為a,4c,且向量沆=（26-a,c）與向量

n=（cosA,cosC）共線.

⑴求C；

（2）若C=3AA5C的面積為也，求a+6的直

2

【能力篇】

一、單選題

1.（2024?全國(guó),模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)4（2,1）,*1,加+1）,C（m+2,-3）,K|Afi|-|Ac|=AB.C4,貝那=（）

11

A.±-B.±2C.-D.2

22

二、多選題

2.（2023,湖北襄陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè)）在直角梯形A3CD中，A8_LA￡>,荏=2配,E為AB中點(diǎn)，分別為線段

OE的兩個(gè)三等分點(diǎn)，點(diǎn)尸為線段上任意一點(diǎn)，若Q=X麗+〃麗，則X+〃的值可能是（）

27一一

三、填空題

3.（2023?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）在平行四邊形ABQ）中，點(diǎn)A（0,0）,5（-4,4）,仇2,6）.若AC與瓦）的交點(diǎn)為M,

則DM的中點(diǎn)E的坐標(biāo)為

四、解答題

TT

4.（23-24高