數(shù)學(xué)課堂探究：獨(dú)立性檢驗(yàn)

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精課堂探究探究一相互獨(dú)立事件的概率相互獨(dú)立事件的概率求解要使用相互獨(dú)立事件的概率公式，即若事件A與事件B相互獨(dú)立，則滿足P(AB）＝P（A）P(B）,涉及兩個(gè)以上獨(dú)立事件，則用相互獨(dú)立事件定義的推廣，應(yīng)用公式時(shí)，一定要優(yōu)先判斷事件之間的關(guān)系．【典型例題1】下列是某班英語及數(shù)學(xué)成績(jī)的分布表，已知該班有50名學(xué)生,成績(jī)分1～5共5個(gè)檔次．如：表中所示英語成績(jī)?yōu)榈?檔，數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)榈?檔的學(xué)生有5人，現(xiàn)設(shè)該班任意一名學(xué)生的英語成績(jī)?yōu)榈趍檔，數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)榈趎檔．（1）求m＝4，n＝3的概率；（2)若m＝2與n＝4是相互獨(dú)立的，求a，b的值．思路分析：能理解表中數(shù)據(jù)的含義是解題的關(guān)鍵，再根據(jù)兩事件獨(dú)立列出等式,進(jìn)而求出參數(shù)a，b的值．解:（1)由表知英語成績(jī)?yōu)榈?檔、數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)榈?檔的學(xué)生有7人,而總學(xué)生數(shù)為50人,∴P＝eq\f（7，50)。(2)由題意知，a＋b＝3。①又m＝2與n＝4相互獨(dú)立，所以P(m＝2）P（n＝4）＝P（m＝2，n＝4），即eq\f（1＋b＋6＋a,50）·eq\f(3＋1＋b,50)＝eq\f(b,50).②由①②,解得a＝2，b＝1.探究二獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用獨(dú)立性檢驗(yàn)實(shí)際上是檢驗(yàn)兩個(gè)分類變量是否相關(guān),相關(guān)的程度有多大，其應(yīng)用過程是先通過χ2統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算公式求出χ2的值，其值越大，說明兩個(gè)分類變量有關(guān)系成立的可能性越大,具體統(tǒng)計(jì)判斷如下：若χ2＞6.635,則有99％的把握說A與B有關(guān)；若χ2＞3。841，則有95%的把握說A與B有關(guān)，這樣就可以拒絕統(tǒng)計(jì)假設(shè)H0；反之，若χ2≤3。841，我們就認(rèn)為沒有充分的證據(jù)說事件A與B有關(guān)．【典型例題2】某企業(yè)有兩個(gè)分廠生產(chǎn)某種零件，按規(guī)定內(nèi)徑尺寸(單位：mm）的值落在[29.94，30。06)的零件為優(yōu)質(zhì)品．從兩個(gè)分廠生產(chǎn)的零件中各抽出了500件,量其內(nèi)徑尺寸,得結(jié)果如下表：甲廠：分組[29。86,29.90)［29。90,29.94）［29。94,29。98）[29。98,30。02)頻數(shù)126386182分組［30。02,30。06）[30。06，30。10)[30.10,30。14）頻數(shù)92614乙廠:分組[29。86，29.90）［29。90,29。94)[29.94，29.98）［29。98,30.02）頻數(shù)297185159分組［30.02，30。06）[30。06，30.10）［30。10，30。14）頻數(shù)766218(1)試分別估計(jì)兩個(gè)分廠生產(chǎn)的零件的優(yōu)質(zhì)品率；(2）由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填下面2×2列聯(lián)表，并問是否有99％的把握認(rèn)為“兩個(gè)分廠生產(chǎn)的零件的質(zhì)量有差異"。甲廠乙廠合計(jì)優(yōu)質(zhì)品非優(yōu)質(zhì)品合計(jì)附:χ2＝eq\f(n(n11n22－n12n21）2，n1＋n2＋n＋1n＋2)，P（χ2≥k0）0。050.01k03.8416.635思路分析：(1）利用樣本的頻率來估計(jì)零件的優(yōu)質(zhì)品率;(2)對(duì)題干中甲、乙兩廠的數(shù)據(jù)信息進(jìn)行歸納整理完成2×2列聯(lián)表，再求出χ2的值并結(jié)合檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行判斷．解:（1）甲廠抽查的產(chǎn)品中有360件優(yōu)質(zhì)品，從而甲廠生產(chǎn)的零件的優(yōu)質(zhì)品率估計(jì)為eq\f（360，500)＝72％；乙廠抽查的產(chǎn)品中有320件優(yōu)質(zhì)品,從而乙廠生產(chǎn)的零件的優(yōu)質(zhì)品率估計(jì)為eq\f（320，500）＝64％。(2)甲廠乙廠合計(jì)優(yōu)質(zhì)品360320680非優(yōu)質(zhì)品140180320合計(jì)5005001000χ2＝eq\f（1000×(360×180－320×140）2,500×500×680×320)＝7.353＞6.635，所以有99%的把握認(rèn)為“兩個(gè)分廠生產(chǎn)的零件的質(zhì)量有差異”．探究三易錯(cuò)辨析易錯(cuò)點(diǎn):忽略公式P（AB)＝P（A）·P(B)的使用前提而致誤【典型例題3】有10個(gè)零件,其中3個(gè)次品，現(xiàn)從中任取2個(gè),記A：恰好有1個(gè)次品，B：至少有1個(gè)次品，求P（AB）．錯(cuò)解:由題意,得P(A)＝eq\f（7,15),P（B)＝eq\f（8,15)，則P(AB）＝P(A）P（B)＝eq\f（7,15）×eq\f(8,15）＝eq\f(56，225)。錯(cuò)因分析：因?yàn)锳:恰好有1個(gè)次品，B：至少有1個(gè)次品，所以AB：恰好有1個(gè)是次品，即P(AB）＝P(A)≠P(A）P(B），從而