2025屆河南省焦作市重點(diǎn)中學(xué)高考數(shù)學(xué)押題試卷含解析

2025屆河南省焦作市重點(diǎn)中學(xué)高考數(shù)學(xué)押題試卷注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知，復(fù)數(shù)，，且為實(shí)數(shù)，則（）A． B． C．3 D．-32．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的，則①處應(yīng)填寫（）A． B． C． D．3．已知正四面體的棱長(zhǎng)為，是該正四面體外接球球心，且，，則（）A． B．C． D．4．已知函數(shù)（）的最小值為0，則（）A． B． C． D．5．直線l過(guò)拋物線的焦點(diǎn)且與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，則的最小值是A．10 B．9 C．8 D．76．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（）A． B． C． D．7．已知為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)，，則A． B．C． D．8．偶函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，，求（）A． B． C． D．9．是的（）條件A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要10．展開(kāi)項(xiàng)中的常數(shù)項(xiàng)為A．1 B．11 C．-19 D．5111．已知直線過(guò)雙曲線C：的左焦點(diǎn)F，且與雙曲線C在第二象限交于點(diǎn)A，若（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則雙曲線C的離心率為A． B． C． D．12．已知半徑為2的球內(nèi)有一個(gè)內(nèi)接圓柱，若圓柱的高為2，則球的體積與圓柱的體積的比為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．滿足線性的約束條件的目標(biāo)函數(shù)的最大值為_(kāi)_______14．已知函數(shù)在定義域R上的導(dǎo)函數(shù)為,若函數(shù)沒(méi)有零點(diǎn),且,當(dāng)在上與在R上的單調(diào)性相同時(shí),則實(shí)數(shù)k的取值范圍是______.15．《九章算術(shù)》卷5《商功》記載一個(gè)問(wèn)題“今有圓堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺.問(wèn)積幾何？答曰：二千一百一十二尺，術(shù)曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”，這里所說(shuō)的圓堡瑽就是圓柱體，它的體積為“周自相乘，以高乘之，十二而一”，就是說(shuō)：圓堡瑽（圓柱體）的體積為（底面圓的周長(zhǎng)的平方高），則由此可推得圓周率的取值為_(kāi)_______.16．已知等比數(shù)列滿足公比，為其前項(xiàng)和，，，構(gòu)成等差數(shù)列，則_______．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）在四棱錐中，底面為直角梯形，，，，，，，分別為，的中點(diǎn)．（1）求證：．（2）若，求二面角的余弦值．18．（12分）設(shè)為實(shí)數(shù),在極坐標(biāo)系中,已知圓（）與直線相切,求的值．19．（12分）已知函數(shù).（1）解不等式；（2）使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍.20．（12分）已知橢圓的上頂點(diǎn)為，圓與軸的正半軸交于點(diǎn)，與有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)且都在軸上，（為坐標(biāo)原點(diǎn)）.（1）求橢圓的方程；（2）已知點(diǎn)，不過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，證明：直線與直線的斜率互為相反數(shù).21．（12分）某大型單位舉行了一次全體員工都參加的考試，從中隨機(jī)抽取了20人的分?jǐn)?shù).以下莖葉圖記錄了他們的考試分?jǐn)?shù)（以十位數(shù)字為莖，個(gè)位數(shù)字為葉）：若分?jǐn)?shù)不低于95分，則稱該員工的成績(jī)?yōu)椤皟?yōu)秀”.（1）從這20人中任取3人，求恰有1人成績(jī)“優(yōu)秀”的概率；（2）根據(jù)這20人的分?jǐn)?shù)補(bǔ)全下方的頻率分布表和頻率分布直方圖，并根據(jù)頻率分布直方圖解決下面的問(wèn)題.組別分組頻數(shù)頻率1234①估計(jì)所有員工的平均分?jǐn)?shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；②若從所有員工中任選3人，記表示抽到的員工成績(jī)?yōu)椤皟?yōu)秀”的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.22．（10分）己知，，.（1）求證：；（2）若，求證：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】

把和代入再由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算化簡(jiǎn)，利用虛部為0求得m值．【詳解】因?yàn)闉閷?shí)數(shù)，所以，解得.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的概念，考查運(yùn)算求解能力.2、B【解析】

模擬程序框圖運(yùn)行分析即得解.【詳解】；；.所以①處應(yīng)填寫“”故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查程序框圖，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.3、A【解析】

如圖設(shè)平面，球心在上，根據(jù)正四面體的性質(zhì)可得，根據(jù)平面向量的加法的幾何意義，重心的性質(zhì)，結(jié)合已知求出的值.【詳解】如圖設(shè)平面，球心在上，由正四面體的性質(zhì)可得：三角形是正三角形，，，在直角三角形中，，，，，，因?yàn)闉橹匦?，因此，則，因此，因此，則，故選A.【點(diǎn)睛】本題考查了正四面體的性質(zhì)，考查了平面向量加法的幾何意義，考查了重心的性質(zhì)，屬于中檔題.4、C【解析】

設(shè)，計(jì)算可得，再結(jié)合圖像即可求出答案.【詳解】設(shè)，則，則，由于函數(shù)的最小值為0，作出函數(shù)的大致圖像，結(jié)合圖像，，得，所以.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了分段函數(shù)的圖像與性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化思想，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題.5、B【解析】

根據(jù)拋物線中過(guò)焦點(diǎn)的兩段線段關(guān)系，可得；再由基本不等式可求得的最小值．【詳解】由拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程可知p=2因?yàn)橹本€l過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，由過(guò)拋物線焦點(diǎn)的弦的性質(zhì)可知所以因?yàn)闉榫€段長(zhǎng)度，都大于0，由基本不等式可知，此時(shí)所以選B【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的基本性質(zhì)及其簡(jiǎn)單應(yīng)用，基本不等式的用法，屬于中檔題．6、A【解析】

先利用最高點(diǎn)縱坐標(biāo)求出A，再根據(jù)求出周期，再將代入求出φ的值.最后將代入解析式即可.【詳解】由圖象可知A＝1，∵，所以T＝π，∴.∴f（x）＝sin（2x+φ），將代入得φ）＝1，∴φ，結(jié)合0＜φ，∴φ.∴.∴sin.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的據(jù)圖求式問(wèn)題以及三角函數(shù)的公式變換.據(jù)圖求式問(wèn)題要注意結(jié)合五點(diǎn)法作圖求解.屬于中檔題.7、B【解析】

由可得，所以，故選B．8、D【解析】

推導(dǎo)出函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，由此可得出，代值計(jì)算即可.【詳解】由于偶函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則，，，則，所以，函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，由于當(dāng)時(shí)，，則.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的對(duì)稱性和奇偶性求函數(shù)值，推導(dǎo)出函數(shù)的周期性是解答的關(guān)鍵，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于中等題.9、B【解析】

利用充分條件、必要條件與集合包含關(guān)系之間的等價(jià)關(guān)系，即可得出?！驹斀狻吭O(shè)對(duì)應(yīng)的集合是，由解得且對(duì)應(yīng)的集合是，所以，故是的必要不充分條件，故選B?！军c(diǎn)睛】本題主要考查充分條件、必要條件的判斷方法——集合關(guān)系法。設(shè)，如果，則是的充分條件；如果B則是的充分不必要條件；如果，則是的必要條件；如果，則是的必要不充分條件。10、B【解析】

展開(kāi)式中的每一項(xiàng)是由每個(gè)括號(hào)中各出一項(xiàng)組成的，所以可分成三種情況.【詳解】展開(kāi)式中的項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，有3種情況：（1）5個(gè)括號(hào)都出1，即；（2）兩個(gè)括號(hào)出，兩個(gè)括號(hào)出，一個(gè)括號(hào)出1，即；（3）一個(gè)括號(hào)出，一個(gè)括號(hào)出，三個(gè)括號(hào)出1，即；所以展開(kāi)項(xiàng)中的常數(shù)項(xiàng)為，故選B.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理知識(shí)的生成過(guò)程，考查定理的本質(zhì)，即展開(kāi)式中每一項(xiàng)是由每個(gè)括號(hào)各出一項(xiàng)相乘組合而成的.11、B【解析】

直線的傾斜角為，易得．設(shè)雙曲線C的右焦點(diǎn)為E，可得中，，則，所以雙曲線C的離心率為.故選B．12、D【解析】

分別求出球和圓柱的體積，然后可得比值.【詳解】設(shè)圓柱的底面圓半徑為，則，所以圓柱的體積.又球的體積，所以球的體積與圓柱的體積的比，故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查幾何體的體積求解，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解析】

作出不等式組表示的平面區(qū)域，將直線進(jìn)行平移，利用的幾何意義，可求出目標(biāo)函數(shù)的最大值。【詳解】由，得，作出可行域，如圖所示：平移直線，由圖像知，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，截距最小，此時(shí)取得最大值。由，解得，代入直線，得?！军c(diǎn)睛】本題主要考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題的解法——平移法。14、【解析】

由題意可知：為上的單調(diào)函數(shù)，則為定值，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知為上的增函數(shù)，則在，單調(diào)遞增，求導(dǎo)，則恒成立，則，根據(jù)函數(shù)的正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求得的取值范圍．【詳解】若方程無(wú)解，則或恒成立，所以為上的單調(diào)函數(shù)，都有，則為定值，設(shè)，則，易知為上的增函數(shù)，，，又與的單調(diào)性相同，在上單調(diào)遞增，則當(dāng)，，恒成立，當(dāng)，時(shí)，，，，，，此時(shí)，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，正弦函數(shù)的性質(zhì)，輔助角公式，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．15、3【解析】

根據(jù)圓堡瑽（圓柱體）的體積為（底面圓的周長(zhǎng)的平方高）,可得,進(jìn)而可求出的值【詳解】解:設(shè)圓柱底面圓的半徑為,圓柱的高為,由題意知,解得.故答案為:3.【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓柱的體積公式.只要能看懂題目意思,結(jié)合方程的思想即可求出結(jié)果.16、0【解析】

利用等差中項(xiàng)以及等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式即可求解.【詳解】由，，是等差數(shù)列可知因?yàn)椋?，故答案為?【點(diǎn)睛】本題考查了等差中項(xiàng)的應(yīng)用、等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式，需熟記公式，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）見(jiàn)解析（2）【解析】

（1）由已知可證明平面，從而得證面面垂直，再由，得線面垂直，從而得，由直角三角形得結(jié)論；（2）以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，用空間向量法示二面角．【詳解】（1）證明：連接，，．，，平面．平面，平面平面．，為的中點(diǎn)，．平面平面，平面．平面，．為斜邊的中點(diǎn)，，（2），由（1）可知，為等腰直角三角形，則．以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，則，記平面的法向量為由得到，取，可得，則．易知平面的法向量為．記二面角的平面角為，且由圖可知為銳角，則，所以二面角的余弦值為．【點(diǎn)睛】本題考查用面面垂直的性質(zhì)定理證明線面垂直，從而得線線垂直，考查用空間向量法求二面角．在立體幾何中求異面直線成的角、直線與平面所成的角、二面角等空間角時(shí)，可以建立空間直角坐標(biāo)系，用空間向量法求解空間角，可避免空間角的作證過(guò)程，通過(guò)計(jì)算求解．18、【解析】

將圓和直線化成普通方程.再根據(jù)相切,圓心到直線的距離等于半徑,列等式方程,解方程即可.【詳解】解:將圓化成普通方程為,整理得．將直線化成普通方程為．因?yàn)橄嗲?所以圓心到直線的距離等于半徑,即解得．【點(diǎn)睛】本題考查極坐標(biāo)方程與普通方程的互化,考查直線與圓的位置關(guān)系,是基礎(chǔ)題.19、（1）；（2）或.【解析】

（1）分段討論得出函數(shù)的解析式，再分范圍解不等式，可得解集；（2）先求出函數(shù)的最小值，再建立關(guān)于的不等式，可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，無(wú)解；當(dāng)時(shí)，；綜上，不等式的解集為；（2），又，或.【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)，絕對(duì)值不等式的解法，以及關(guān)于函數(shù)的存在和任意的問(wèn)題，屬于中檔題.20、（1）（2）證明見(jiàn)解析【解析】

（1）根據(jù)條件可得，進(jìn)而得到，即可得到橢圓方程；（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，分別表示出直線和直線斜率，相加利用根與系數(shù)關(guān)系即可得到.【詳解】解：（1）圓與有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)且都在軸上，所以，又，，解得，故橢圓的方程為；（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，整理可得，則，解得，設(shè)點(diǎn)，，則，，所以，故直線與直線的斜率互為相反數(shù).【點(diǎn)睛】本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，涉及橢圓的幾何性質(zhì)，關(guān)鍵是求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，屬于中檔題．21、（1）；（2）①82，②分布列見(jiàn)解析，【解析】

（1）從20人中任取3人共有種結(jié)果，恰有1人成績(jī)“優(yōu)秀”共有種結(jié)果，利用古典概型的概率計(jì)算公式計(jì)算即可；（2）①平均數(shù)的估計(jì)值為各小矩形的組中值與其面積乘積的和；②要注意服從的是二項(xiàng)分布，不是超幾何分布，利用二項(xiàng)分布的分布列及期望公式求解即可.【詳解】（1）設(shè)從20人中任取3人恰有1人成績(jī)“優(yōu)秀”為事件，則，所以，恰有1人“優(yōu)秀”的概率為.（2）組別分組頻數(shù)頻率120.01260.03380.04440.02①，估計(jì)所有員工的平均分為82②的可能取值為0、1、2、3，隨機(jī)選取1人是“優(yōu)秀”的概率為，∴；；；；∴的分布列為0123∵，∴數(shù)學(xué)期望.【點(diǎn)睛】本題考查古典概型