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江西省新余市渝水區(qū)第一中學(xué)2025屆高三第三次測評數(shù)學(xué)試卷注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時請按要求用筆。3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試卷上答題無效。4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.在中,已知,,,為線段上的一點(diǎn),且,則的最小值為()A. B. C. D.2.趙爽是我國古代數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家,大約公元222年,趙爽為《周髀算經(jīng)》一書作序時,介紹了“勾股圓方圖”,又稱“趙爽弦圖”(以弦為邊長得到的正方形是由個全等的直角三角形再加上中間的一個小正方形組成的,如圖(1)),類比“趙爽弦圖”,可類似地構(gòu)造如圖(2)所示的圖形,它是由個全等的三角形與中間的一個小正六邊形組成的一個大正六邊形,設(shè),若在大正六邊形中隨機(jī)取一點(diǎn),則此點(diǎn)取自小正六邊形的概率為()A. B.C. D.3.小王因上班繁忙,來不及做午飯,所以叫了外賣.假設(shè)小王和外賣小哥都在12:00~12:10之間隨機(jī)到達(dá)小王所居住的樓下,則小王在樓下等候外賣小哥的時間不超過5分鐘的概率是()A. B. C. D.4.某人2018年的家庭總收人為元,各種用途占比如圖中的折線圖,年家庭總收入的各種用途占比統(tǒng)計如圖中的條形圖,已知年的就醫(yī)費(fèi)用比年的就醫(yī)費(fèi)用增加了元,則該人年的儲畜費(fèi)用為()A.元 B.元 C.元 D.元5.已知集合,則()A. B.C. D.6.一個正四棱錐形骨架的底邊邊長為,高為,有一個球的表面與這個正四棱錐的每個邊都相切,則該球的表面積為()A. B. C. D.7.已知是虛數(shù)單位,則()A. B. C. D.8.設(shè),,,則的大小關(guān)系是()A. B. C. D.9.已知復(fù)數(shù)(為虛數(shù)單位)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是()A. B. C. D.10.設(shè)為拋物線的焦點(diǎn),,,為拋物線上三點(diǎn),若,則().A.9 B.6 C. D.11.函數(shù)的部分圖像如圖所示,若,點(diǎn)的坐標(biāo)為,若將函數(shù)向右平移個單位后函數(shù)圖像關(guān)于軸對稱,則的最小值為()A. B. C. D.12.下列圖形中,不是三棱柱展開圖的是()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.在中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別是a,b,c,且,,,則_______.14.已知數(shù)列為等差數(shù)列,數(shù)列為等比數(shù)列,滿足,其中,,則的值為_______________.15.已知,,求____________.16.《易經(jīng)》是中國傳統(tǒng)文化中的精髓,如圖是易經(jīng)八卦(含乾、坤、巽、震、坎、離、艮、兌八卦),每一卦由三根線組成(""表示一根陽線,""表示一根陰線),從八卦中任取兩卦,這兩卦的六根線中恰有兩根陽線,四根陰線的概率為_______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖,在三棱柱中,是邊長為2的菱形,且,是矩形,,且平面平面,點(diǎn)在線段上移動(不與重合),是的中點(diǎn).(1)當(dāng)四面體的外接球的表面積為時,證明:.平面(2)當(dāng)四面體的體積最大時,求平面與平面所成銳二面角的余弦值.18.(12分)已知函數(shù).(1)當(dāng)時,求不等式的解集;(2)若的解集包含,求的取值范圍.19.(12分)過點(diǎn)作傾斜角為的直線與曲線(為參數(shù))相交于M、N兩點(diǎn).(1)寫出曲線C的一般方程;(2)求的最小值.20.(12分)如圖所示,四棱柱中,底面為梯形,,,,,,.(1)求證:;(2)若平面平面,求二面角的余弦值.21.(12分)的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知,.求C;若,求,的面積22.(10分)如圖,在等腰梯形中,AD∥BC,,,,,分別為,,的中點(diǎn),以為折痕將折起,使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)位置(平面).(1)若為直線上任意一點(diǎn),證明:MH∥平面;(2)若直線與直線所成角為,求二面角的余弦值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】
在中,設(shè),,,結(jié)合三角形的內(nèi)角和及和角的正弦公式化簡可求,可得,再由已知條件求得,,,考慮建立以所在的直線為軸,以所在的直線為軸建立直角坐標(biāo)系,根據(jù)已知條件結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算求得,然后利用基本不等式可求得的最小值.【詳解】在中,設(shè),,,,即,即,,,,,,,,即,又,,,則,所以,,解得,.以所在的直線為軸,以所在的直線為軸建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系,則、、,為線段上的一點(diǎn),則存在實(shí)數(shù)使得,,設(shè),,則,,,,,消去得,,所以,,當(dāng)且僅當(dāng)時,等號成立,因此,的最小值為.故選:A.【點(diǎn)睛】本題是一道構(gòu)思非常巧妙的試題,綜合考查了三角形的內(nèi)角和定理、兩角和的正弦公式及基本不等式求解最值問題,解題的關(guān)鍵是理解是一個單位向量,從而可用、表示,建立、與參數(shù)的關(guān)系,解決本題的第二個關(guān)鍵點(diǎn)在于由,發(fā)現(xiàn)為定值,從而考慮利用基本不等式求解最小值,考查計算能力,屬于難題.2、D【解析】
設(shè),則,小正六邊形的邊長為,利用余弦定理可得大正六邊形的邊長為,再利用面積之比可得結(jié)論.【詳解】由題意,設(shè),則,即小正六邊形的邊長為,所以,,,在中,由余弦定理得,即,解得,所以,大正六邊形的邊長為,所以,小正六邊形的面積為,大正六邊形的面積為,所以,此點(diǎn)取自小正六邊形的概率.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查概率的求法,考查余弦定理、幾何概型等基礎(chǔ)知識,考查運(yùn)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.3、C【解析】
設(shè)出兩人到達(dá)小王的時間,根據(jù)題意列出不等式組,利用幾何概型計算公式進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)小王和外賣小哥到達(dá)小王所居住的樓下的時間分別為,以12:00點(diǎn)為開始算起,則有,在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),如圖所示:圖中陰影部分表示該不等式組的所表示的平面區(qū)域,所以小王在樓下等候外賣小哥的時間不超過5分鐘的概率為:.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查了幾何概型中的面積型公式,考查了不等式組表示的平面區(qū)域,考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.4、A【解析】
根據(jù)2018年的家庭總收人為元,且就醫(yī)費(fèi)用占得到就醫(yī)費(fèi)用,再根據(jù)年的就醫(yī)費(fèi)用比年的就醫(yī)費(fèi)用增加了元,得到年的就醫(yī)費(fèi)用,然后由年的就醫(yī)費(fèi)用占總收人,得到2019年的家庭總收人再根據(jù)儲畜費(fèi)用占總收人求解.【詳解】因?yàn)?018年的家庭總收人為元,且就醫(yī)費(fèi)用占所以就醫(yī)費(fèi)用因?yàn)槟甑木歪t(yī)費(fèi)用比年的就醫(yī)費(fèi)用增加了元,所以年的就醫(yī)費(fèi)用元,而年的就醫(yī)費(fèi)用占總收人所以2019年的家庭總收人為而儲畜費(fèi)用占總收人所以儲畜費(fèi)用:故選:A【點(diǎn)睛】本題主要考查統(tǒng)計中的折線圖和條形圖的應(yīng)用,還考查了建模解模的能力,屬于基礎(chǔ)題.5、C【解析】
由題意和交集的運(yùn)算直接求出.【詳解】∵集合,∴.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了集合的交集運(yùn)算.集合進(jìn)行交并補(bǔ)運(yùn)算時,常借助數(shù)軸求解.注意端點(diǎn)處是實(shí)心圓還是空心圓.6、B【解析】
根據(jù)正四棱錐底邊邊長為,高為,得到底面的中心到各棱的距離都是1,從而底面的中心即為球心.【詳解】如圖所示:因?yàn)檎睦忮F底邊邊長為,高為,所以,到的距離為,同理到的距離為1,所以為球的球心,所以球的半徑為:1,所以球的表面積為.故選:B【點(diǎn)睛】本題主要考查組合體的表面積,還考查了空間想象的能力,屬于中檔題.7、B【解析】
根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算法則,直接計算,即可得出結(jié)果.【詳解】.故選B【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的乘法,熟記運(yùn)算法則即可,屬于基礎(chǔ)題型.8、A【解析】
選取中間值和,利用對數(shù)函數(shù),和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【詳解】因?yàn)閷?shù)函數(shù)在上單調(diào)遞增,所以,因?yàn)閷?shù)函數(shù)在上單調(diào)遞減,所以,因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)在上單調(diào)遞增,所以,綜上可知,.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查利用對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小;考查邏輯思維能力和知識的綜合運(yùn)用能力;選取合適的中間值是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題、??碱}型.9、A【解析】
直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡,求得的坐標(biāo)得出答案.【詳解】解:,在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算,考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義,屬于基礎(chǔ)題.10、C【解析】
設(shè),,,由可得,利用定義將用表示即可.【詳解】設(shè),,,由及,得,故,所以.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查利用拋物線定義求焦半徑的問題,考查學(xué)生等價轉(zhuǎn)化的能力,是一道容易題.11、B【解析】
根據(jù)圖象以及題中所給的條件,求出和,即可求得的解析式,再通過平移變換函數(shù)圖象關(guān)于軸對稱,求得的最小值.【詳解】由于,函數(shù)最高點(diǎn)與最低點(diǎn)的高度差為,所以函數(shù)的半個周期,所以,又,,則有,可得,所以,將函數(shù)向右平移個單位后函數(shù)圖像關(guān)于軸對稱,即平移后為偶函數(shù),所以的最小值為1,故選:B.【點(diǎn)睛】該題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì),根據(jù)圖象求出函數(shù)的解析式是解決該題的關(guān)鍵,要求熟練掌握函數(shù)圖象之間的變換關(guān)系,屬于簡單題目.12、C【解析】
根據(jù)三棱柱的展開圖的可能情況選出選項.【詳解】由圖可知,ABD選項可以圍成三棱柱,C選項不是三棱柱展開圖.故選:C【點(diǎn)睛】本小題主要考查三棱柱展開圖的判斷,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、9【解析】
已知由余弦定理即可求得,由可求得,即可求得,利用正弦定理即可求得結(jié)果.【詳解】由余弦定理和,可得,得,由,,,由正弦定理,得.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查正余弦定理在解三角形中的應(yīng)用,難度一般.14、【解析】
根據(jù)題意,判斷出,根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可得,再令數(shù)列中的,,,根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì),列出等式,求出和的值即可.【詳解】解:由,其中,,可得,則,令,,可得.①又令數(shù)列中的,,,根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì),可得,所以.②根據(jù)①②得出,.所以.故答案為.【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】
求出向量的坐標(biāo),然后利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可計算出結(jié)果.【詳解】,,,因此,.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算,考查計算能力,屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】
觀察八卦中陰線和陽線的情況為3線全為陽線或全為陰線各一個,還有6個是1陰2陽和1陽2陰各3個。抽取的兩卦中共2陽4陰的所有可能情況是一卦全陰、另一卦2陽1陰,或兩卦全是1陽2陰。【詳解】八卦中陰線和陽線的情況為3線全為陽線的一個,全為陰線的一個,1陰2陽的3個,1陽2陰的3個。抽取的兩卦中共2陽4陰的所有可能情況是一卦全陰、另一卦2陽1陰,或兩卦全是1陽2陰。∴從8個卦中任取2卦,共有種可能,兩卦中共2陽4陰的情況有,所求概率為。故答案為:?!军c(diǎn)睛】本題考查古典概型,解題關(guān)鍵是確定基本事件的個數(shù)。本題不能受八卦影響,我們關(guān)心的是八卦中陰線和陽線的條數(shù),這樣才能正確地確定基本事件的個數(shù)。三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)證明見解析(2)【解析】
(1)由題意,先求得為的中點(diǎn),再證明平面平面,進(jìn)而可得結(jié)論;(2)由題意,當(dāng)點(diǎn)位于點(diǎn)時,四面體的體積最大,再建立空間直角坐標(biāo)系,利用空間向量運(yùn)算即可.【詳解】(1)證明:當(dāng)四面體的外接球的表面積為時.則其外接球的半徑為.因?yàn)闀r邊長為2的菱形,是矩形.,且平面平面.則,.則為四面體外接球的直徑.所以,即.由題意,,,所以.因?yàn)?,所以為的中點(diǎn).記的中點(diǎn)為,連接,.則,,,所以平面平面.因?yàn)槠矫妫云矫?(2)由題意,平面,則三棱錐的高不變.當(dāng)四面體的體積最大時,的面積最大.所以當(dāng)點(diǎn)位于點(diǎn)時,四面體的體積最大.以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則,,,,.所以,,,.設(shè)平面的法向量為.則令,得.設(shè)平面的一個法向量為.則令,得.設(shè)平面與平面所成銳二面角是,則.所以當(dāng)四面體的體積最大時,平面與平面所成銳二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查平面與平面的平行、線面平行,考查平面與平面所成銳二面角的余弦值,正確運(yùn)用平面與平面的平行、線面平行的判定,利用好空間向量是關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.18、(1);(2).【解析】
(1)對范圍分類整理得:,分類解不等式即可.(2)利用已知轉(zhuǎn)化為“當(dāng)時,”恒成立,利用絕對值不等式的性質(zhì)可得:,問題得解.【詳解】當(dāng)時,,當(dāng)時,由得,解得;當(dāng)時,無解;當(dāng)時,由得,解得,所以的解集為(2)的解集包含等價于在上恒成立,當(dāng)時,等價于恒成立,而,∴,故滿足條件的的取值范圍是【點(diǎn)睛】本題主要考查了含絕對值不等式的解法,還考查了轉(zhuǎn)化能力及絕對值不等式的性質(zhì),考查計算能力,屬于中檔題.19、(1);(2).【解析】
(1)將曲線的參數(shù)方程消參得到普通方程;(2)寫出直線MN的參數(shù)方程,將參數(shù)方程代入曲線方程,并將其化為一個關(guān)于的一元二次方程,根據(jù),結(jié)合韋達(dá)定理和余弦函數(shù)的性質(zhì),即可求出的最小值.【詳解】(1)由曲線C的參數(shù)方程(是參數(shù)),可得,即曲線C的一般方程為.(2)直線MN的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),將直線MN的參數(shù)方程代入曲線,得,整理得,設(shè)M,N對應(yīng)的對數(shù)分別為,,則,當(dāng)時,取得最小值為.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)參數(shù)方程的問題,涉及到的知識點(diǎn)有參數(shù)方程向普通方程的轉(zhuǎn)化,直線的參數(shù)方程的應(yīng)用,屬于簡單題目.20、(1)證明見解析(2)【解析】
(1)取中點(diǎn)為,連接,,,,根據(jù)線段關(guān)系可證明為等邊三角形,即可得;由為等邊三角形,可得,從而由線面垂直判斷定理可證明平面,即可證明.(2)以為原點(diǎn),,,為,,軸建立空間直角坐標(biāo)系,寫出各個點(diǎn)的坐標(biāo),并求得平面和平面的法向量,即可由法向量法求得二面角的余弦值.【詳解】(1)證明:取中點(diǎn)為,連接,,,如下圖所示:因?yàn)?,,,所以,故為等邊三角形,則.連接,因?yàn)?,,所以為等邊三角形,則.又,所以平面.因?yàn)槠矫?,所?(2)由(1)知,因?yàn)槠矫嫫矫?,平面,所以平面,以為原點(diǎn),,,為,,軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,易求,則,,,,則,,.設(shè)平面的法向量,則即令,則,,故.設(shè)平面的法向量,則則令,則,,故,所以.由圖可知,二面角為鈍二面角角,所以二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查線面垂直的判定,由線面垂直判定線線垂直,由空間向量法求平面與平面形
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