2025屆福州市重點中學高考仿真卷數(shù)學試卷含解析

2025屆福州市重點中學高考仿真卷數(shù)學試卷注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若，則，，，的大小關系為（）A． B．C． D．2．已知雙曲線的離心率為，拋物線的焦點坐標為，若，則雙曲線的漸近線方程為（）A． B．C． D．3．如圖是國家統(tǒng)計局公布的年入境游客（單位：萬人次）的變化情況，則下列結論錯誤的是（）A．2014年我國入境游客萬人次最少B．后4年我國入境游客萬人次呈逐漸增加趨勢C．這6年我國入境游客萬人次的中位數(shù)大于13340萬人次D．前3年我國入境游客萬人次數(shù)據(jù)的方差小于后3年我國入境游客萬人次數(shù)據(jù)的方差4．已知直線：與橢圓交于、兩點，與圓：交于、兩點.若存在，使得，則橢圓的離心率的取值范圍為（）A． B． C． D．5．過拋物線的焦點的直線交該拋物線于，兩點，為坐標原點.若，則直線的斜率為()A． B． C． D．6．已知函數(shù)，其中表示不超過的最大正整數(shù)，則下列結論正確的是（）A．的值域是 B．是奇函數(shù)C．是周期函數(shù) D．是增函數(shù)7．若干年前，某教師剛退休的月退休金為6000元，月退休金各種用途占比統(tǒng)計圖如下面的條形圖.該教師退休后加強了體育鍛煉，目前月退休金的各種用途占比統(tǒng)計圖如下面的折線圖.已知目前的月就醫(yī)費比剛退休時少100元，則目前該教師的月退休金為（）.A．6500元 B．7000元 C．7500元 D．8000元8．已知復數(shù)滿足，則（）A． B． C． D．9．“完全數(shù)”是一些特殊的自然數(shù)，它所有的真因子（即除了自身以外的約數(shù)）的和恰好等于它本身.古希臘數(shù)學家畢達哥拉斯公元前六世紀發(fā)現(xiàn)了第一、二個“完全數(shù)”6和28，進一步研究發(fā)現(xiàn)后續(xù)三個完全數(shù)”分別為496，8128，33550336，現(xiàn)將這五個“完全數(shù)”隨機分為兩組，一組2個，另一組3個，則6和28不在同一組的概率為（）A． B． C． D．10．已知，且，則在方向上的投影為（）A． B． C． D．11．如圖，這是某校高三年級甲、乙兩班在上學期的5次數(shù)學測試的班級平均分的莖葉圖，則下列說法不正確的是（）A．甲班的數(shù)學成績平均分的平均水平高于乙班B．甲班的數(shù)學成績的平均分比乙班穩(wěn)定C．甲班的數(shù)學成績平均分的中位數(shù)高于乙班D．甲、乙兩班這5次數(shù)學測試的總平均分是10312．已知空間兩不同直線、，兩不同平面，，下列命題正確的是（）A．若且，則 B．若且，則C．若且，則 D．若不垂直于，且，則不垂直于二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．一個算法的偽代碼如圖所示，執(zhí)行此算法，最后輸出的T的值為________.14．若直線與直線交于點，則長度的最大值為____．15．已知，，且，則的最小值是______.16．的展開式中的系數(shù)為________________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某調(diào)查機構為了了解某產(chǎn)品年產(chǎn)量x(噸)對價格y(千克/噸)和利潤z的影響，對近五年該產(chǎn)品的年產(chǎn)量和價格統(tǒng)計如下表：x12345y17.016.515.513.812.2（1）求y關于x的線性回歸方程；（2）若每噸該產(chǎn)品的成本為12千元，假設該產(chǎn)品可全部賣出，預測當年產(chǎn)量為多少時，年利潤w取到最大值？參考公式：18．（12分）如圖，在四棱錐中，是邊長為的正方形的中心，平面，為的中點.（Ⅰ）求證：平面平面；（Ⅱ）若，求二面角的余弦值.19．（12分）已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）曲線在點處的切線斜率為.（i）求；（ii）若，求整數(shù)的最大值.20．（12分）在四棱錐中，是等邊三角形，點在棱上，平面平面．（1）求證：平面平面；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值的最大值；（3）設直線與平面相交于點，若，求的值．21．（12分）如圖，四棱錐的底面為直角梯形，，，，底面，且，為的中點.（1）證明：；（2）設點是線段上的動點，當直線與直線所成的角最小時，求三棱錐的體積.22．（10分）在平面直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.（1）求直線的普通方程和曲線的直角坐標方程；（2）若直線與曲線交于、兩點，求的面積.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】因為，所以，因為，，所以,.綜上；故選D.2、A【解析】

求出拋物線的焦點坐標，得到雙曲線的離心率，然后求解a，b關系，即可得到雙曲線的漸近線方程．【詳解】拋物線y2＝2px（p＞0）的焦點坐標為（1，0），則p＝2，又e＝p，所以e2，可得c2＝4a2＝a2+b2，可得：ba，所以雙曲線的漸近線方程為：y＝±．故選：A．【點睛】本題考查雙曲線的離心率以及雙曲線漸近線方程的求法，涉及拋物線的簡單性質(zhì)的應用．3、D【解析】

ABD可通過統(tǒng)計圖直接分析得出結論，C可通過計算中位數(shù)判斷選項是否正確.【詳解】A．由統(tǒng)計圖可知：2014年入境游客萬人次最少，故正確；B．由統(tǒng)計圖可知：后4年我國入境游客萬人次呈逐漸增加趨勢，故正確；C．入境游客萬人次的中位數(shù)應為與的平均數(shù)，大于萬次，故正確；D．由統(tǒng)計圖可知：前年的入境游客萬人次相比于后年的波動更大，所以對應的方差更大，故錯誤.故選：D.【點睛】本題考查統(tǒng)計圖表信息的讀取以及對中位數(shù)和方差的理解，難度較易.處理問題的關鍵是能通過所給統(tǒng)計圖，分析出對應的信息，對學生分析問題的能力有一定要求.4、A【解析】

由題意可知直線過定點即為圓心，由此得到坐標的關系，再根據(jù)點差法得到直線的斜率與坐標的關系，由此化簡并求解出離心率的取值范圍.【詳解】設，且線過定點即為的圓心，因為，所以，又因為，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以.故選：A.【點睛】本題考查橢圓與圓的綜合應用，著重考查了橢圓離心率求解以及點差法的運用，難度一般.通過運用點差法達到“設而不求”的目的，大大簡化運算.5、D【解析】

根據(jù)拋物線的定義，結合，求出的坐標，然后求出的斜率即可．【詳解】解：拋物線的焦點，準線方程為，設，則，故，此時，即．則直線的斜率．故選：D．【點睛】本題考查了拋物線的定義，直線斜率公式，屬于中檔題．6、C【解析】

根據(jù)表示不超過的最大正整數(shù)，可構建函數(shù)圖象，即可分別判斷值域、奇偶性、周期性、單調(diào)性，進而下結論.【詳解】由表示不超過的最大正整數(shù)，其函數(shù)圖象為選項A，函數(shù)，故錯誤；選項B，函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，故錯誤；選項C，函數(shù)是以1為周期的周期函數(shù)，故正確；選項D，函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，但在整個定義域范圍上不具備單調(diào)性，故錯誤.故選：C【點睛】本題考查對題干的理解，屬于函數(shù)新定義問題，可作出圖象分析性質(zhì)，屬于較難題.7、D【解析】

設目前該教師的退休金為x元，利用條形圖和折線圖列出方程，求出結果即可．【詳解】設目前該教師的退休金為x元，則由題意得：6000×15%﹣x×10%＝1．解得x＝2．故選D．【點睛】本題考查由條形圖和折線圖等基礎知識解決實際問題，屬于基礎題．8、A【解析】

根據(jù)復數(shù)的運算法則，可得，然后利用復數(shù)模的概念，可得結果.【詳解】由題可知：由，所以所以故選：A【點睛】本題主要考查復數(shù)的運算，考驗計算，屬基礎題.9、C【解析】

先求出五個“完全數(shù)”隨機分為兩組，一組2個，另一組3個的基本事件總數(shù)為，再求出6和28恰好在同一組包含的基本事件個數(shù)，根據(jù)即可求出6和28不在同一組的概率.【詳解】解：根據(jù)題意，將五個“完全數(shù)”隨機分為兩組，一組2個，另一組3個，則基本事件總數(shù)為，則6和28恰好在同一組包含的基本事件個數(shù)，∴6和28不在同一組的概率.故選：C.【點睛】本題考查古典概型的概率的求法，涉及實際問題中組合數(shù)的應用.10、C【解析】

由向量垂直的向量表示求出，再由投影的定義計算．【詳解】由可得，因為，所以．故在方向上的投影為．故選：C．【點睛】本題考查向量的數(shù)量積與投影．掌握向量垂直與數(shù)量積的關系是解題關鍵．11、D【解析】

計算兩班的平均值，中位數(shù)，方差得到正確，兩班人數(shù)不知道，所以兩班的總平均分無法計算，錯誤，得到答案.【詳解】由題意可得甲班的平均分是104，中位數(shù)是103，方差是26.4；乙班的平均分是102，中位數(shù)是101，方差是37.6，則A，B，C正確.因為甲、乙兩班的人數(shù)不知道，所以兩班的總平均分無法計算，故D錯誤.故選：.【點睛】本題考查了莖葉圖，平均值，中位數(shù)，方差，意在考查學生的計算能力和應用能力.12、C【解析】因答案A中的直線可以異面或相交，故不正確；答案B中的直線也成立，故不正確；答案C中的直線可以平移到平面中，所以由面面垂直的判定定理可知兩平面互相垂直，是正確的；答案D中直線也有可能垂直于直線，故不正確．應選答案C．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

由程序中的變量、各語句的作用，結合流程圖所給的順序，模擬程序的運行，即可得到答案.【詳解】根據(jù)題中的程序框圖可得：,執(zhí)行循環(huán)體，，不滿足條件，執(zhí)行循環(huán)體，，此時，滿足條件，退出循環(huán)，輸出的值為.故答案為：【點睛】本題主要考查了程序和算法，依次寫出每次循環(huán)得到的，的值是解題的關鍵，屬于基本知識的考查.14、【解析】

根據(jù)題意可知,直線與直線分別過定點,且這兩條直線互相垂直,由此可知,其交點在以為直徑的圓上,結合圖形求出線段的最大值即可.【詳解】由題可知,直線可化為,所以其過定點,直線可化為,所以其過定點,且滿足,所以直線與直線互相垂直,其交點在以為直徑的圓上,作圖如下:結合圖形可知,線段的最大值為,因為為線段的中點,所以由中點坐標公式可得,所以線段的最大值為.故答案為:【點睛】本題考查過交點的直線系方程、動點的軌跡問題及點與圓的位置關系;考查數(shù)形結合思想和運算求解能力;根據(jù)圓的定義得到交點在以為直徑的圓上是求解本題的關鍵;屬于中檔題.15、8【解析】

由整體代入法利用基本不等式即可求得最小值.【詳解】，當且僅當時等號成立.故的最小值為8，故答案為：8.【點睛】本題考查基本不等式求和的最小值，整體代入法，屬于基礎題.16、【解析】

在二項展開式的通項中令的指數(shù)為，求出參數(shù)值，然后代入通項可得出結果.【詳解】的展開式的通項為，令，因此，的展開式中的系數(shù)為.故答案為：.【點睛】本題考查二項展開式中指定項系數(shù)的求解，涉及二項展開式通項的應用，考查計算能力，屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）當時，年利潤最大．【解析】

（1）方法一：令，先求得關于的回歸直線方程，由此求得關于的回歸直線方程.方法二：根據(jù)回歸直線方程計算公式，計算出回歸直線方程.方法一的好處在計算的數(shù)值較小.（2）求得w的表達式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)作出預測.【詳解】（1）方法一：取，則得與的數(shù)據(jù)關系如下123457.06.55.53.82.2，，，.，，關于的線性回歸方程是即，故關于的線性回歸方程是.方法二：因為，，，，，所以，故關于的線性回歸方程是，（2）年利潤，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知:當時，年利潤最大．【點睛】本小題主要考查回歸直線方程的求法，考查利用回歸直線方程進行預測，考查運算求解能力，屬于中檔題.18、（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）由正方形的性質(zhì)得出，由平面得出，進而可推導出平面，再利用面面垂直的判定定理可證得結論；（Ⅱ）取的中點，連接、，以、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，利用空間向量法能求出二面角的余弦值.【詳解】（Ⅰ）是正方形，，平面，平面，、平面，且，平面，又平面，平面平面；（Ⅱ）取的中點，連接、，是正方形，易知、、兩兩垂直，以點為坐標原點，以、、所在直線分別為、、軸建立如圖所示的空間直角坐標系，在中，，，，、、、，設平面的一個法向量，，，由，得，令，則，，.設平面的一個法向量，，，由，得，取，得，，得.，二面角為鈍二面角，二面角的余弦值為.【點睛】本題考查面面垂直的證明，同時也考查了利用空間向量法求解二面角，考查推理能力與計算能力，屬于中等題.19、（1）在上增；在上減；（2）（i）；（ii）2【解析】

（1）求導求出，對分類討論，求出的解，即可得出結論；（2）（i）由，求出的值；（ii）由（i）得所求問題轉化為，恒成立，設，，只需，根據(jù)的單調(diào)性，即可求解.【詳解】（1）當時，，即在上增；當時，，，，，即在上增；在上減；（2）（i），.（ⅱ），即，即，只需.當時，，在單調(diào)遞增，所以滿足題意；當時，，，，所以在上減，在上增，令，..在單調(diào)遞減，所以所以在上單調(diào)遞減，，綜上可知，整數(shù)的最大值為.【點睛】本題考查函數(shù)導數(shù)的綜合應用，涉及函數(shù)的單調(diào)性、導數(shù)的幾何意義、極值最值、不等式恒成立，考查分類討論思想，屬于中檔題.20、（1）證明見解析（2）（3）【解析】

（1）取中點為,連接,由等邊三角形性質(zhì)可得,再由面面垂直的性質(zhì)可得,根據(jù)平行直線的性質(zhì)可得,進而求證；（2）以為原點,過作的平行線,分別以,,分別為軸,軸,軸建立空間直角坐標系,設,由點在棱上,可設,即可得到,再求得平面的法向量,進而利用數(shù)量積求解；（3）設,,則,求得,,即可求得點的坐標,再由與平面的法向量垂直,進而求解.【詳解】（1）證明:取中點為,連接,因為是等邊三角形,所以,因為且相交于,所以平面,所以,因為,所以,因為,在平面內(nèi),所以,所以.（2）以為原點,過作的平行線,分別以,,分別為軸,軸,軸建立空間直角坐標系,設,則,,,,因為在棱上,可設,所以,設平面的法向量為,因為,所以,即,令,可得,即,設直線與平面所成角為,所以,可知當時,取最大值.（3）設,則有,得,設,那么,所以,所以.因為,,所以.又因為,所以,,設平面的法向量為,則,即,,可得,即因為在平面內(nèi),所以,所以,所以,即,所以或者（舍）,即.【點睛】本題考