概率與統(tǒng)計(jì)的綜合問題（基礎(chǔ)摸查+基礎(chǔ)夯實(shí)+優(yōu)化提升）學(xué)案-2025屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

第10部分第8節(jié)《概率與統(tǒng)計(jì)的綜合問題》-2025屆高考一輪復(fù)習(xí)-基礎(chǔ)摸查+基礎(chǔ)夯實(shí)+優(yōu)化提升基礎(chǔ)摸查【題型展示】題型一頻率分布直方圖例1為了解甲、乙兩種離子在小鼠體內(nèi)的殘留程度，進(jìn)行如下試驗(yàn)：將200只小鼠隨機(jī)分成A，B兩組，每組100只，其中A組小鼠給服甲離子溶液，B組小鼠給服乙離子溶液.每只小鼠給服的溶液體積相同、摩爾濃度相同.經(jīng)過一段時(shí)間后用某種科學(xué)方法測算出殘留在小鼠體內(nèi)離子的百分比.根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)分別得到如下直方圖：記C為事件：“乙離子殘留在體內(nèi)的百分比不低于5.5”，根據(jù)直方圖得到P(C)的估計(jì)值為0.70.(1)求乙離子殘留百分比直方圖中a，b的值；(2)分別估計(jì)甲、乙離子殘留百分比的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表).訓(xùn)練1某鄉(xiāng)鎮(zhèn)加大投資建設(shè)美麗鄉(xiāng)村，大力發(fā)展鄉(xiāng)村旅游產(chǎn)業(yè)，顯著提高了農(nóng)民收入.為了提升旅游質(zhì)量，打造特色旅游品牌，鎮(zhèn)政府聘請(qǐng)有關(guān)專家和環(huán)保部門工作人員50人，對(duì)A，B兩個(gè)特色旅游村進(jìn)行評(píng)價(jià)(滿分100分)，并得到A村評(píng)價(jià)分?jǐn)?shù)(單位：分)的頻數(shù)分布表和B村評(píng)價(jià)分?jǐn)?shù)的頻率分布直方圖，如下：A村評(píng)價(jià)分?jǐn)?shù)的頻數(shù)分布表分?jǐn)?shù)[60，65)[65，70)[70，75)[75，80)人數(shù)25810分?jǐn)?shù)[80，85)[85，90)[90，95)[95，100]人數(shù)14641B村評(píng)價(jià)分?jǐn)?shù)的頻率分布直方圖有關(guān)專家與環(huán)保部門工作人員對(duì)旅游村的評(píng)價(jià)分?jǐn)?shù)的規(guī)定如下：分?jǐn)?shù)[60，75)[75，90)[90，100]等級(jí)Ⅰ級(jí)Ⅱ級(jí)Ⅲ級(jí)等級(jí)越高旅游資源開發(fā)越好，如Ⅱ級(jí)好于Ⅰ級(jí).(1)估計(jì)A村評(píng)價(jià)分?jǐn)?shù)的眾數(shù)，并求a的值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)；(2)從參與評(píng)價(jià)的50人中隨機(jī)抽取1人，估計(jì)該人對(duì)A村評(píng)價(jià)分?jǐn)?shù)等級(jí)比B村評(píng)價(jià)分?jǐn)?shù)等級(jí)高的頻率；(3)以評(píng)價(jià)分?jǐn)?shù)為依據(jù)，比較A，B兩村旅游產(chǎn)業(yè)發(fā)展質(zhì)量情況.題型二成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析角度1獨(dú)立性檢驗(yàn)例2為加強(qiáng)環(huán)境保護(hù)，治理空氣污染，環(huán)境監(jiān)測部門對(duì)某市空氣質(zhì)量進(jìn)行調(diào)研，隨機(jī)抽查了100天空氣中的PM2.5和SO2濃度(單位：μg/m3)，得下表：SO2PM2.5[0，50)[150，475]合計(jì)[0，75)641680[75，115]101020合計(jì)7426100依據(jù)小概率值α＝0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析該市一天中空氣中PM2.5濃度是否和SO2濃度有關(guān)？角度2回歸方程及其應(yīng)用例3下表是國際數(shù)據(jù)公司(IDC)研究的全球近6年每年數(shù)字媒體閱讀產(chǎn)生的數(shù)據(jù)量(單位：ZB)及相關(guān)統(tǒng)計(jì)量的值：年份201520162017201820192020序號(hào)x123456年數(shù)據(jù)量y7917223443eq\o(x,\s\up6(－))eq\o(y,\s\up6(－))eq\o(z,\s\up6(－))eq\o(∑,\s\up14(6),\s\do5(i＝1))(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))2eq\o(∑,\s\up14(6),\s\do5(i＝1))(zi－eq\o(z,\s\up6(－)))eq\o(∑,\s\up14(6),\s\do5(i＝1))(zi－eq\o(z,\s\up6(－)))2eq\o(∑,\s\up14(6),\s\do5(i＝1))(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))(zi－eq\o(z,\s\up6(－)))3.522218141249表中zi＝lnyi，eq\o(z,\s\up6(－))＝eq\f(1,6)eq\o(∑,\s\up14(6),\s\do5(i＝1))zi.(1)根據(jù)上表數(shù)據(jù)信息判斷，方程y＝c1·ec2x(e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))更適宜作為該公司統(tǒng)計(jì)的年數(shù)據(jù)量y關(guān)于年份序號(hào)x的回歸方程類型，試求此回歸方程；(2)根據(jù)(1)中的回歸方程，預(yù)計(jì)2024年的全世界數(shù)字媒體閱讀產(chǎn)生的數(shù)據(jù)量是2021年的多少倍？并說明理由.(參考數(shù)據(jù)：e≈2.718，eq\r(e)≈1.648，結(jié)果精確到0.1)參考公式：回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(a,\s\up6(^))＋eq\o(b,\s\up6(^))x中，斜率最小二乘法公式eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up14(n),\s\do5(i＝1))（xi－\o(x,\s\up6(－))）（yi－\o(y,\s\up6(－))）,\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))（xi－\o(x,\s\up6(－))）2)＝eq\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xiyi－n\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)－n\o(x,\s\up6(－))2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－)).訓(xùn)練2某創(chuàng)新公司在第1個(gè)月至第7個(gè)月的5G經(jīng)濟(jì)收入y(單位：百萬元)關(guān)于月份x的數(shù)據(jù)如下表：時(shí)間(月份)1234567收入(百萬元)611213466101196根據(jù)以上數(shù)據(jù)繪制散點(diǎn)圖：(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，y＝ax＋b與y＝c·dx(a，b，c，d均為大于零的常數(shù))哪一個(gè)適宜作為5G經(jīng)濟(jì)收入y關(guān)于月份x的回歸方程類型？(給出判斷即可，不必說明理由)并根據(jù)你的判斷結(jié)果及表中的數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的回歸方程；(2)請(qǐng)你預(yù)測該公司8月份的5G經(jīng)濟(jì)收入.參考數(shù)據(jù)：eq\o(∑,\s\up14(7),\s\do5(i＝1))yieq\o(∑,\s\up14(7),\s\do5(i＝1))vieq\o(∑,\s\up14(7),\s\do5(i＝1))xiyieq\o(∑,\s\up14(7),\s\do5(i＝1))xivi100.45100.5446210.78271150.122.823.47其中設(shè)v＝lgy，vi＝lgyi.參考公式：對(duì)于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)(xi，vi)(i＝1，2，3，…，n)，其回歸直線eq\o(v,\s\up6(^))＝eq\o(β,\s\up6(^))x＋eq\o(α,\s\up6(^))的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：eq\o(β,\s\up6(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xivi－n\a\vs4\al(\o(x,\s\up6(－)))\a\vs4\al(\o(v,\s\up6(－))),\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)－n\o(x,\s\up6(－))2)，eq\o(α,\s\up6(^))＝eq\o(v,\s\up6(－))－eq\o(β,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－)).題型三概率與統(tǒng)計(jì)角度1概率與統(tǒng)計(jì)的綜合問題例4某中學(xué)為研究學(xué)生的身體素質(zhì)與課外體育鍛煉時(shí)間的關(guān)系，對(duì)該校200名學(xué)生的課外體育鍛煉平均每天運(yùn)動(dòng)的時(shí)間(單位：分鐘)進(jìn)行調(diào)查，將收集的數(shù)據(jù)分成[0，10)，[10，20)，[20，30)，[30，40)，[40，50)，[50，60]六組，并作出頻率分布直方圖(如圖)，將日均課外體育鍛煉時(shí)間不低于40分鐘的學(xué)生評(píng)價(jià)為“課外體育達(dá)標(biāo)”.(1)請(qǐng)根據(jù)直方圖中的數(shù)據(jù)填寫下面的2×2列聯(lián)表，試根據(jù)小概率值α＝0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，判斷“課外體育達(dá)標(biāo)”與性別是否有關(guān)？課外體育不達(dá)標(biāo)課外體育達(dá)標(biāo)合計(jì)男60女110合計(jì)(2)現(xiàn)按照“課外體育達(dá)標(biāo)”與“課外體育不達(dá)標(biāo)”進(jìn)行分層抽樣，抽取8人，再從這8名學(xué)生中隨機(jī)抽取3人參加體育知識(shí)問卷調(diào)查，記“課外體育不達(dá)標(biāo)”的人數(shù)為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望.角度2離散型隨機(jī)變量及其分布列例5某市某超市為了回饋新老顧客，決定在2023年元旦來臨之際舉行“慶元旦，迎新年”的抽獎(jiǎng)派送禮品活動(dòng).為設(shè)計(jì)一套趣味性抽獎(jiǎng)送禮品的活動(dòng)方案，該超市面向該市某高中學(xué)生征集活動(dòng)方案，該中學(xué)某班數(shù)學(xué)興趣小組提供的方案獲得了征用.方案如下：將一個(gè)4×4×4的正方體各面均涂上紅色，再把它分割成64個(gè)相同的小正方體.經(jīng)過攪拌后，從中任取兩個(gè)小正方體，記它們的著色面數(shù)之和為ξ，記抽獎(jiǎng)一次中獎(jiǎng)的禮品價(jià)值為η.(1)求P(ξ＝3)；(2)凡是元旦當(dāng)天在該超市購買物品的顧客，均可參加抽獎(jiǎng).記抽取的兩個(gè)小正方體著色面數(shù)之和為6，設(shè)為一等獎(jiǎng)，獲得價(jià)值50元的禮品；記抽取的兩個(gè)小正方體著色面數(shù)之和為5，設(shè)為二等獎(jiǎng)，獲得價(jià)值30元的禮品；記抽取的兩個(gè)小正方體著色面數(shù)之和為4，設(shè)為三等獎(jiǎng)，獲得價(jià)值10元的禮品，其他情況不獲獎(jiǎng).求某顧客抽獎(jiǎng)一次獲得的禮品價(jià)值的分布列與數(shù)學(xué)期望.角度3正態(tài)分布的綜合問題例6(2022·保定模擬)某食品店為了了解氣溫對(duì)銷售量的影響，隨機(jī)記錄了該店1月份其中5天的日銷售量y(單位：千克)與該地當(dāng)日最低氣溫x(單位：℃)的數(shù)據(jù)，如下表：x258911y1210887(1)求出y與x的回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))；(2)判斷y與x之間是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)，若該地1月份某天的最低氣溫為6℃，請(qǐng)用所求回歸方程預(yù)測該店當(dāng)日的銷售量；(3)設(shè)該地1月份的日最低氣溫X～N(μ，σ2)，其中μ近似為樣本平均數(shù)eq\o(x,\s\up6(－))，σ2近似為樣本方差s2，求P(3.8≤X≤13.4).附：①回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))中，eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xiyi－n\a\vs4\al(\o(x,\s\up6(－)))\a\vs4\al(\o(y,\s\up6(－))),\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)－n\o(x,\s\up6(－))2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－)).②eq\r(10)≈3.2，eq\r(3.2)≈1.8.若X～N(μ，σ2)，則P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545.訓(xùn)練3某城市A公司外賣配送員底薪是每月1800元，設(shè)一人每月配送的單數(shù)為X，若X∈[1，300]，每單提成3元，若X∈(300，600]，每單提成4元，若X∈(600，＋∞)，每單提成4.5元.B公司外賣配送員底薪是每月2100元，設(shè)一人每月配送單數(shù)為Y，若Y∈[1，400]，每單提成3元，若Y∈(400，＋∞)，每單提成4元.小王想在A公司和B公司之間選擇一份外賣配送員工作，他隨機(jī)調(diào)查了A公司外賣配送員甲和B公司外賣配送員乙在2022年4月份(30天)的送餐量數(shù)據(jù)，如下表：表1A公司外賣配送員甲送餐量統(tǒng)計(jì)日送餐量x/單131416171820天數(shù)2612622表2B公司外賣配送員乙送餐量統(tǒng)計(jì)日送餐量y/單111314151618天數(shù)4512351(1)設(shè)A公司外賣配送員月工資(單位：元)為f(X)，B公司外賣配送員月工資(單位：元)為g(Y)，當(dāng)X＝Y(jié)且X，Y∈(300，600]時(shí)，比較f(X)與g(Y)的大小關(guān)系；(2)將甲、乙4月份的日送餐量的頻率視為對(duì)應(yīng)公司的外賣配送員日送餐量的概率.①計(jì)算外賣配送員甲和乙的日送餐量的數(shù)學(xué)期望E(x)和E(y)；②請(qǐng)利用所學(xué)的統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)為小王做出選擇，并說明理由.基礎(chǔ)夯實(shí)1．第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)于2022年2月4日在中國北京開幕，簡稱“北京冬奧會(huì)”．某媒體通過網(wǎng)絡(luò)隨機(jī)采訪了某市100名關(guān)注“北京冬奧會(huì)”的市民，并將其年齡數(shù)據(jù)繪制成如圖所示的頻率分布直方圖．(1)已知[30,40)，[40,50)，[50,60)三個(gè)年齡段的人數(shù)依次成等差數(shù)列，求a，b的值；(2)該媒體將年齡在[30,50)內(nèi)的人群定義為高關(guān)注人群，其他年齡段的人群定義為次高關(guān)注人群，為了進(jìn)一步了解其關(guān)注項(xiàng)目．現(xiàn)按“關(guān)注度的高低”采用比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方式從參與采訪的100位關(guān)注者中抽取10人，并在這10人中隨機(jī)抽取3人進(jìn)行電視訪談，求此3人中來自高關(guān)注人群的人數(shù)X的分布列與均值．2．隨著生活水平的不斷提高，人們?cè)絹碓阶⒅仞B(yǎng)生．科學(xué)健身有利于降低脂肪含量，健身器材成為人們的新寵．某小區(qū)物業(yè)決定選購一款健身器材，物業(yè)管理員從該品牌的銷售網(wǎng)站了解到此款健身器材近五個(gè)月的實(shí)際銷量如表所示：月份7月8月9月10月11月月份編號(hào)t12345銷量y(萬臺(tái))0.50.611.41.7(1)求出銷量y關(guān)于月份編號(hào)t的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，并預(yù)測12月份該品牌此款健身器材的銷量；(2)該品牌銷售商為了促銷，采取“摸球定價(jià)格”的優(yōu)惠方式，其規(guī)則為：盒子內(nèi)裝有編號(hào)為1,2,3的三個(gè)完全相同的小球，有放回地摸三次，三次摸到相同編號(hào)的享受七折優(yōu)惠，三次僅有兩次摸到相同編號(hào)的享受八折優(yōu)惠，其余均九折優(yōu)惠．已知此款健身器材一臺(tái)標(biāo)價(jià)為10000元，設(shè)物業(yè)公司購買此款健身器材的價(jià)格為X，求X的分布列與均值．3．某市某部門為了了解全市中學(xué)生的視力情況，采用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法抽取了該市120名中學(xué)生，已知該市中學(xué)生男女人數(shù)比例為7∶5，他們的視力情況統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表所示：性別視力情況合計(jì)近視不近視男生30女生40合計(jì)120(1)請(qǐng)把表格補(bǔ)充完整，并根據(jù)小概率值α＝0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，判斷近視是否與性別有關(guān)；(2)如果用這120名中學(xué)生中男生和女生近視的頻率分別代替該市中學(xué)生中男生和女生近視的概率，且每名同學(xué)是否近視相互獨(dú)立．現(xiàn)從該市中學(xué)生中任選4人，設(shè)隨機(jī)變量X表示4人中近視的人數(shù)，求X的分布列及均值．附：χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d.α0.10.050.01xα2.7063.8416.6354．2022年3月，“兩會(huì)”在北京召開，會(huì)議吸引了全球的目光，對(duì)我國以后的社會(huì)經(jīng)濟(jì)發(fā)展有深刻的歷史意義，某媒體為調(diào)查本市市民對(duì)“兩會(huì)”的了解情況，進(jìn)行了一次“兩會(huì)”知識(shí)問卷調(diào)查(每位市民只能參加一次)，隨機(jī)抽取年齡在15～75歲之間的100人進(jìn)行調(diào)查，并按年齡繪制的頻率分布直方圖如圖所示，其分組區(qū)間為[15,25)，[25,35)，[35,45)，[45,55)，[55,65)，[65,75]，把年齡落在區(qū)間[15,35)和[35,75]內(nèi)的人分別稱為“青少年人”和“中老年人”．(1)若“青少年人”中有15人在關(guān)注“兩會(huì)”，根據(jù)已知條件完成下面的2×2列聯(lián)表，根據(jù)小概率值α＝0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，判斷關(guān)注“兩會(huì)”是否與年齡有關(guān)；(2)由(1)中結(jié)果，采用比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法從“青少年人”關(guān)注“兩會(huì)”和不關(guān)注“兩會(huì)”的人中抽取6人，再從這6人中選3人進(jìn)行專訪，設(shè)這3人中關(guān)注“兩會(huì)”的人數(shù)為X，求X的分布列和均值.年齡是否關(guān)注合計(jì)關(guān)注不關(guān)注青少年人15中老年人合計(jì)5050100附：χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，n＝a＋b＋c＋d.α0.050.010.001xα3.8416.63510.8285.某學(xué)校組織“一帶一路”知識(shí)競賽，有A，B兩類問題.每位參加比賽的同學(xué)先在兩類問題中選擇一類并從中隨機(jī)抽取一個(gè)問題回答，若回答錯(cuò)誤則該同學(xué)比賽結(jié)束；若回答正確則從另一類問題中再隨機(jī)抽取一個(gè)問題回答，無論回答正確與否，該同學(xué)比賽結(jié)束.A類問題中的每個(gè)問題回答正確得20分，否則得0分；B類問題中的每個(gè)問題回答正確得80分，否則得0分.已知小明能正確回答A類問題的概率為0.8，能正確回答B(yǎng)類問題的概率為0.6，且能正確回答問題的概率與回答次序無關(guān).(1)若小明先回答A類問題，記X為小明的累計(jì)得分，求X的分布列；(2)為使累計(jì)得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類問題？并說明理由.6.改革開放以來，人們的支付方式發(fā)生了巨大轉(zhuǎn)變.近年來，移動(dòng)支付已成為主要支付方式之一.為了解某校學(xué)生上個(gè)月A，B兩種移動(dòng)支付方式的使用情況，從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取了100人，發(fā)現(xiàn)樣本中A，B兩種支付方式都不使用的有5人，樣本中僅使用A和僅使用B的學(xué)生的支付金額分布情況如下：支付金額(元)支付方式(0，1000](1000，2000]大于2000僅使用A18人9人3人僅使用B10人14人1人(1)從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，估計(jì)該學(xué)生上個(gè)月A，B兩種支付方式都使用的概率；(2)從樣本僅使用A和僅使用B的學(xué)生各隨機(jī)抽取1人，以X表示這2人中上個(gè)月支付金額大于1000元的人數(shù)，求X的分布列和均值；(3)已知上個(gè)月樣本學(xué)生的支付方式在本月沒有變化.現(xiàn)從樣本僅使用A的學(xué)生中，隨機(jī)抽查3人，發(fā)現(xiàn)他們本月的支付金額都大于2000元.根據(jù)抽查結(jié)果，能否認(rèn)為樣本僅使用A的學(xué)生中本月支付金額大于2000元的人數(shù)有變化？說明理由.7.某企業(yè)對(duì)設(shè)備進(jìn)行升級(jí)改造，現(xiàn)從設(shè)備改造前、后生產(chǎn)的大量產(chǎn)品中各抽取了100件產(chǎn)品作為樣本，檢測某項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值，該項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值落在[20，40)內(nèi)的產(chǎn)品視為合格品，否則為不合格品.設(shè)備改造前樣本的頻率分布直方圖如圖所示.下表是設(shè)備改造后樣本的頻數(shù)分布表：質(zhì)量指標(biāo)值[15，20)[20，25)[25，30)[30，35)[35，40)[40，45]頻數(shù)2184814162(1)請(qǐng)估計(jì)該企業(yè)在設(shè)備改造前的產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)(同一組數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)所在區(qū)間的中點(diǎn)值表示)；(2)設(shè)備改造后，企業(yè)將不合格品全部銷毀，并對(duì)合格品進(jìn)行等級(jí)細(xì)分，質(zhì)量指標(biāo)值落在[25，30)內(nèi)的定為一等品，每件售價(jià)240元；質(zhì)量指標(biāo)值落在[20，25)或[30，35)內(nèi)的定為二等品，每件售價(jià)180元；其他的合格品定為三等品，每件售價(jià)120元.根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，用該樣本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的頻率代替從所有合格產(chǎn)品中抽到一件相應(yīng)等級(jí)產(chǎn)品的概率.現(xiàn)有一名顧客隨機(jī)購買兩件產(chǎn)品，設(shè)其支付的費(fèi)用為X(單位：元)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.8.某土特產(chǎn)超市為預(yù)估2023年元旦期間游客購買土特產(chǎn)的情況，于2022年元旦期間90位游客的購買情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到如下人數(shù)分布表.購買金額/元[0，15)[15，30)[30，45)[45，60)[60，75)[75，90]人數(shù)101520152010(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)完成2×2列聯(lián)表，并判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05的情況下認(rèn)為購買金額是否少于60元與性別有關(guān).不少于60元少于60元總計(jì)男40女18總計(jì)(2)為吸引游客，該超市推出一種優(yōu)惠方案：購買金額不少于60元可抽獎(jiǎng)3次，每次中獎(jiǎng)的概率為p(每次抽獎(jiǎng)互不影響，且p的值等于人數(shù)分布表中購買金額不少于60元的頻率)，中獎(jiǎng)1次減5元，中獎(jiǎng)2次減10元，中獎(jiǎng)3次減15元.若游客甲計(jì)劃購買80元的土特產(chǎn)，請(qǐng)列出實(shí)際付款數(shù)X(元)的分布列并求其數(shù)學(xué)期望.附參考公式：χ2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)，其中n＝a＋b＋c＋d.附表：α0.1500.1000.0500.0100.005xα2.0722.7063.8416.6357.879優(yōu)化提升9.水污染現(xiàn)狀與工業(yè)廢水排放密切相關(guān).某工廠深入貫徹科學(xué)發(fā)展觀，努力提高污水收集處理水平，其污水處理程序如下：原始污水必先經(jīng)過A系統(tǒng)處理，處理后的污水(A級(jí)水)達(dá)到環(huán)保標(biāo)準(zhǔn)(簡稱達(dá)標(biāo))的概率為p(0<p<1).經(jīng)化驗(yàn)檢測，若確認(rèn)達(dá)標(biāo)便可直接排放；若不達(dá)標(biāo)則必須進(jìn)入B系統(tǒng)處理后直接排放.某廠現(xiàn)有4個(gè)標(biāo)準(zhǔn)水量的A級(jí)水池，分別取樣、檢測.多個(gè)污水樣本檢測時(shí)，既可以逐個(gè)化驗(yàn)，又可以將若干個(gè)樣本混合在一起化驗(yàn).混合樣本中只要有樣本不達(dá)標(biāo)，混合樣本的化驗(yàn)結(jié)果必不達(dá)標(biāo).若混合樣本不達(dá)標(biāo)，則該組中各個(gè)樣本必須再逐個(gè)化驗(yàn)；若混合樣本達(dá)標(biāo)，則原水池的污水可直接排放.現(xiàn)有以下四種方案：方案一：逐個(gè)化驗(yàn)；方案二：平均分成兩組化驗(yàn)；方案三：三個(gè)樣本混在一起化驗(yàn)，剩下的一個(gè)單獨(dú)化驗(yàn)；方案四：四個(gè)樣本混在一起化驗(yàn).若化驗(yàn)次數(shù)的期望值越小，則方案越“優(yōu)”.(1)若p＝eq\f(2\r(2),3)，求2個(gè)A級(jí)水樣本混合化驗(yàn)結(jié)果不達(dá)標(biāo)的概率；(2)①若p＝eq\f(2\r(2),3)，現(xiàn)有4個(gè)A級(jí)水樣本需要化驗(yàn)，請(qǐng)問：方案一、二、四中哪個(gè)最“優(yōu)”？②若“方案三”比“方案四”更“優(yōu)”，求p的取值范圍.10.某廠生產(chǎn)不同規(guī)格的一種產(chǎn)品，根據(jù)檢測標(biāo)準(zhǔn)，其合格產(chǎn)品的質(zhì)量y(g)與尺寸x(mm)之間近似滿足關(guān)系式y(tǒng)＝c·xb(b，c為大于0的常數(shù)).按照某指標(biāo)測定，當(dāng)產(chǎn)品質(zhì)量與尺寸的比在區(qū)間(0.302，0.388)內(nèi)時(shí)為優(yōu)等品.現(xiàn)隨機(jī)抽取6件合格產(chǎn)品，測得數(shù)據(jù)如下：尺寸x(mm)384858687888質(zhì)量y(g)16.818.820.722.42425.5質(zhì)量與尺寸的比eq\f(y,x)0.4420.3920.3570.3290.3080.290(1)現(xiàn)從抽取的6件合格產(chǎn)品中再任選2件，求選中的2件均為優(yōu)等品的概率；(2)根據(jù)測得的數(shù)據(jù)作了初步處理，得相關(guān)統(tǒng)計(jì)量的值為下表：eq\o(∑,\s\up14(6),\s\do5(i＝1))(lnxi·lnyi)eq\o(∑,\s\up14(6),\s\do5(i＝1))(lnxi)eq\o(∑,\s\up14(6),\s\do5(i＝1))(lnyi)eq\o(∑,\s\up14(6),\s\do5(i＝1))(lnxi)275.324.618.3101.4根據(jù)所給統(tǒng)計(jì)量，求y關(guān)于x的非線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程.附：對(duì)于樣本(vi，ui)(i＝1，2，…，6)，其經(jīng)驗(yàn)回歸直線eq\o(u,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))·v＋eq\o(a,\s\up6(^))的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up14(n),\s\do5(i＝1))（vi－\o(v,\s\up6(－))）（ui－\o(u,\s\up6(－))）,\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))（vi－\o(v,\s\up6(－))）2)＝eq\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))viui－n\a\vs4\al(\o(v,\s\up6(－)))\a\vs4\al(\o(u,\s\up6(－))),\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))veq\o\al(2,i)－n\o(v,\s\up6(－))2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(u,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(v,\s\up6(－)).11．某學(xué)校共有3000名學(xué)生，其中男生1800人，為了解該校學(xué)生在校的月消費(fèi)情況，采取比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方式抽取100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，先統(tǒng)計(jì)他們某月的消費(fèi)金額，然后按“男生、女生”分成兩組，再分別將兩組學(xué)生的月消費(fèi)金額(單位：元)分成5組：[300,400)，[400,500)，[500,600)，[600,700)，[700,800]分別加以統(tǒng)計(jì)，得到如圖所示的頻率分布直方圖．(1)樣本中將月消費(fèi)金額不低于600元的學(xué)生稱為“高消費(fèi)群”．請(qǐng)你根據(jù)已知條件完成下列2×2列聯(lián)表，并根據(jù)小概率值α＝0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析該校學(xué)生屬于“高消費(fèi)群”是否與性別有關(guān)；性別是否屬于“高消費(fèi)群”合計(jì)屬于不屬于男生女生合計(jì)附：χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋dα0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828(2)以樣本估計(jì)總體，將調(diào)查所得到的頻率視為概率，現(xiàn)從該學(xué)校中每次隨機(jī)抽取1名學(xué)生，共抽取4次，且每次抽取的結(jié)果是相互獨(dú)立的，記被抽取的4名學(xué)生中屬于“高消費(fèi)群”的人數(shù)為X，求X的均值E(X)和方差D(X)．12．某公司為了提升一款產(chǎn)品的市場競爭力和市場占有率，對(duì)該款產(chǎn)品進(jìn)行了科技創(chuàng)新和市場開發(fā)，經(jīng)過一段時(shí)間的運(yùn)營后，統(tǒng)計(jì)得到x，y之間的五組數(shù)據(jù)如表所示：x12345y911142620其中，x(單位：百萬元)是科技創(chuàng)新和市場開發(fā)的總投入，y(單位：百萬元)是科技創(chuàng)新和市場開發(fā)后的收益．(1)求樣本相關(guān)系數(shù)r的大小(精確到0.01)，并判斷科技創(chuàng)新和市場開發(fā)后的收益y與科技創(chuàng)新和市場開發(fā)的總投入x的線性相關(guān)程度；(2)該公司對(duì)該產(chǎn)品的滿意程度進(jìn)行了調(diào)研，在調(diào)研100名男、女性消費(fèi)者后，得到數(shù)據(jù)如表所示：性別滿意程度合計(jì)滿意不滿意男性451055女性252045合計(jì)7030100根據(jù)小概率值α＝0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，判斷消費(fèi)者滿意程度是否與性別有關(guān)；(3)對(duì)(2)中調(diào)研的45名女性消費(fèi)者，按照其滿意程度進(jìn)行比例分配的分層隨機(jī)抽樣，從中抽出9名女性消費(fèi)者到公司進(jìn)行現(xiàn)場考察，再從這9名女性消費(fèi)者中隨機(jī)抽取4人進(jìn)行深度調(diào)研，記這4人中“滿意”的人數(shù)為X，求X的分布列及均值．參考公式：①r＝eq\f(\o(∑,\s\up14(n),\s\do5(i＝1))xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\r(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xi－\x\to(x)2\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))yi－\x\to(y)2))；②χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d.臨界值表：α0.10.050.010.001xα2.7063.8416.63510.828參考數(shù)據(jù)：eq\r(485)≈22.參考答案：基礎(chǔ)摸查【題型展示】例1解(1)由已知得0.70＝a＋0.20＋0.15，故a＝0.35，b＝1－0.05－0.15－0.70＝0.10.(2)甲離子殘留百分比的平均值的估計(jì)值為2×0.15＋3×0.20＋4×0.30＋5×0.20＋6×0.10＋7×0.05＝4.05.乙離子殘留百分比的平均值的估計(jì)值為3×0.05＋4×0.10＋5×0.15＋6×0.35＋7×0.20＋8×0.15＝6.00.訓(xùn)練1解(1)因?yàn)锳村評(píng)價(jià)分?jǐn)?shù)頻數(shù)最多的出現(xiàn)在[80，85)，所以估計(jì)A村評(píng)價(jià)分?jǐn)?shù)的眾數(shù)為eq\f(80＋85,2)＝82.5(分).由5×(0.012×2＋0.020＋0.024＋2a＋0.036＋0.040)＝1，解得a＝0.028.(2)設(shè)從參與評(píng)價(jià)的50人中隨機(jī)抽取1人，該人“對(duì)A村評(píng)價(jià)分?jǐn)?shù)等級(jí)為Ⅱ”的事件為A2，“對(duì)A村評(píng)價(jià)分?jǐn)?shù)等級(jí)為Ⅲ”的事件為A3；“對(duì)B村評(píng)價(jià)分?jǐn)?shù)等級(jí)為Ⅰ”的事件為B1，“對(duì)B村評(píng)價(jià)分?jǐn)?shù)等級(jí)為Ⅱ”的事件為B2.由題表可知，P(A2)＝eq\f(10＋14＋6,50)＝0.6，P(A3)＝eq\f(4＋1,50)＝0.1.由題圖可知，P(B1)＝(0.012＋0.020＋0.028)×5＝0.3，P(B2)＝(0.036＋0.040＋0.024)×5＝0.5.A村評(píng)價(jià)分?jǐn)?shù)等級(jí)比B村評(píng)價(jià)分?jǐn)?shù)等級(jí)高的概率為P(A2B1)＋P(A3B1)＋P(A3B2)＝P(A2)P(B1)＋P(A3)·P(B1)＋P(A3)P(B2)＝0.6×0.3＋0.1×0.3＋0.1×0.5＝0.26，所以該人對(duì)A村評(píng)價(jià)分?jǐn)?shù)等級(jí)比B村評(píng)價(jià)分?jǐn)?shù)等級(jí)高的概率估計(jì)值為0.26.(3)A村評(píng)價(jià)分?jǐn)?shù)的平均數(shù)eq\o(x,\s\up6(－))A＝eq\f(2,50)×62.5＋eq\f(5,50)×67.5＋eq\f(8,50)×72.5＋eq\f(10,50)×77.5＋eq\f(14,50)×82.5＋eq\f(6,50)×87.5＋eq\f(4,50)×92.5＋eq\f(1,50)×97.5＝79.3(分).B村評(píng)價(jià)分?jǐn)?shù)的平均數(shù)eq\o(x,\s\up6(－))B＝5×[0.012×(62.5＋97.5)＋0.020×67.5＋0.028×(72.5＋92.5)＋0.036×77.5＋0.040×82.5＋0.024×87.5]＝80.4(分).因?yàn)閑q\o(x,\s\up6(－))A＜eq\o(x,\s\up6(－))B，所以從評(píng)價(jià)分?jǐn)?shù)來看，B村旅游產(chǎn)業(yè)發(fā)展質(zhì)量要高于A村.例2解零假設(shè)為H0：該市一天中空氣中PM2.5濃度與SO2濃度無關(guān).χ2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)＝eq\f(100×（64×10－16×10）2,80×20×74×26)＝eq\f(3600,481)≈7.4844＞6.635＝x0.01，依據(jù)小概率值α＝0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以判斷H0不成立，即認(rèn)為該市一天中空氣中PM2.5濃度和SO2濃度有關(guān).例3解(1)由y＝c1·ec2x，兩邊同時(shí)取自然對(duì)數(shù)得lny＝ln(c1·ec2x)＝lnc1＋c2x，設(shè)z＝lny，則z＝lnc1＋c2x.因?yàn)閑q\o(x,\s\up6(－))＝3.5，eq\o(z,\s\up6(－))＝2，eq\o(∑,\s\up14(6),\s\do5(i＝1))(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))2＝18，eq\o(∑,\s\up14(6),\s\do5(i＝1))(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))(zi－eq\o(z,\s\up6(－)))＝9，所以eq\o(c,\s\up6(^))2＝eq\f(\o(∑,\s\up14(b),\s\do5(i＝1))（xi－\o(x,\s\up6(－))）（zi－\o(z,\s\up6(－))）,\o(∑,\s\up6(b),\s\do4(i＝1))（xi－\o(x,\s\up6(－))）2)＝eq\f(9,18)＝eq\f(1,2)，lneq\o(c,\s\up6(^))1＝eq\o(z,\s\up6(－))－eq\o(c,\s\up6(^))2eq\o(x,\s\up6(－))＝2－0.5×3.5＝0.25.所以z＝0.25＋0.5x＝lny，所以y＝e0.25＋0.5x.(2)令x＝7，得eq\o(y,\s\up6(^))1＝e0.25＋0.5×7＝e3.75.令x＝10，得eq\o(y,\s\up6(^))2＝e5.25，eq\f(\o(y,\s\up6(^))2,\o(y,\s\up6(^))1)＝e1.5＝eeq\r(e)≈4.5，預(yù)計(jì)2024年全世界產(chǎn)生的數(shù)據(jù)規(guī)模是2021年的4.5倍.訓(xùn)練2解(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，y＝c·dx適宜作為5G經(jīng)濟(jì)收入y關(guān)于月代碼x的回歸方程類型.∵y＝c·dx，兩邊同時(shí)取常用對(duì)數(shù)得lgy＝lg(c·dx)＝lgc＋lgd·x.設(shè)lgy＝v，∴v＝lgc＋lgd·x.∵eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,7)(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4，eq\o(v,\s\up6(－))＝eq\f(1,7)eq\o(∑,\s\up14(7),\s\do5(i＝1))vi＝eq\f(1,7)×10.78＝1.54，eq\o(∑,\s\up14(7),\s\do5(i＝1))xeq\o\al(2,i)＝12＋22＋32＋42＋52＋62＋72＝140，∴l(xiāng)geq\o(d,\s\up6(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up6(7),\s\do4(i＝1))xivi－7\a\vs4\al(\o(x,\s\up6(－)))\a\vs4\al(\o(v,\s\up6(－))),\o(∑,\s\up6(7),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)－7\o(x,\s\up6(－))2)＝eq\f(50.12－7×4×1.54,140－7×42)＝eq\f(7,28)＝0.25，把樣本中心點(diǎn)(4，1.54)代入v＝lgc＋lgd·x，得1.54＝lgeq\o(c,\s\up6(^))＋0.25×4，∴l(xiāng)geq\o(c,\s\up6(^))＝0.54，eq\o(v,\s\up6(^))＝0.54＋0.25x，∴l(xiāng)geq\o(y,\s\up6(^))＝0.54＋0.25x，∴y關(guān)于x的回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝100.54＋0.25x＝3.47×100.25x.(2)∵當(dāng)x＝8時(shí)，eq\o(y,\s\up6(^))＝3.47×100.25×8＝347，∴預(yù)測8月份的5G經(jīng)濟(jì)收入為347百萬元.例4解(1)由題意得“課外體育達(dá)標(biāo)”人數(shù)為200×[(0.02＋0.005)×10]＝50，則“課外體育不達(dá)標(biāo)”人數(shù)為150，∴列聯(lián)表如下：課外體育不達(dá)標(biāo)課外體育達(dá)標(biāo)合計(jì)男603090女9020110合計(jì)15050200假設(shè)H0為“課外體育達(dá)標(biāo)”與性別無關(guān).∴χ2＝eq\f(200×（60×20－30×90）2,90×110×150×50)＝eq\f(200,33)≈6.061>3.841＝x0.05.∴根據(jù)小概率α＝0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷H0不成立，即認(rèn)為“課外體育達(dá)標(biāo)”與性別有關(guān).(2)由題意采用分層抽樣在“課外體育達(dá)標(biāo)”的學(xué)生中抽取2人，在“課外體育不達(dá)標(biāo)”的學(xué)生中抽取6人，由題意知：ξ的所有可能取值為1，2，3，P(ξ＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(2,2),Ceq\o\al(3,8))＝eq\f(6,56)＝eq\f(3,28)；P(ξ＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(2,6)Ceq\o\al(1,2),Ceq\o\al(3,8))＝eq\f(30,56)＝eq\f(15,28)；P(ξ＝3)＝eq\f(Ceq\o\al(3,6),Ceq\o\al(3,8))＝eq\f(20,56)＝eq\f(5,14)；故ξ的分布列為ξ123Peq\f(3,28)eq\f(15,28)eq\f(5,14)故ξ的數(shù)學(xué)期望為E(ξ)＝1×eq\f(3,28)＋2×eq\f(15,28)＋3×eq\f(5,14)＝eq\f(9,4).例5解(1)64個(gè)小正方體中，三面著色的有8個(gè)，兩面著色的有24個(gè)，一面著色的有24個(gè)，另外8個(gè)沒有著色，∴P(ξ＝3)＝eq\f(Ceq\o\al(1,8)·Ceq\o\al(1,8)＋Ceq\o\al(1,24)·Ceq\o\al(1,24),Ceq\o\al(2,64))＝eq\f(640,2016)＝eq\f(20,63).(2)ξ的所有可能取值為0，1，2，3，4，5，6，η的取值為50，30，10，0，……5分P(η＝50)＝P(ξ＝6)＝eq\f(Ceq\o\al(2,8),Ceq\o\al(2,64))＝eq\f(28,2016)＝eq\f(1,72)，P(η＝30)＝P(ξ＝5)＝eq\f(Ceq\o\al(1,8)·Ceq\o\al(1,24),Ceq\o\al(2,64))＝eq\f(192,2016)＝eq\f(2,21)，P(η＝10)＝P(ξ＝4)＝eq\f(Ceq\o\al(2,24)＋Ceq\o\al(1,8)·Ceq\o\al(1,24),Ceq\o\al(2,64))＝eq\f(468,2016)＝eq\f(13,56)，P(η＝0)＝1－eq\f(1,72)－eq\f(2,21)－eq\f(13,56)＝eq\f(83,126).所以隨機(jī)變量η的分布列為η5030100Peq\f(1,72)eq\f(2,21)eq\f(13,56)eq\f(83,126)∴E(η)＝50×eq\f(1,72)＋30×eq\f(2,21)＋10×eq\f(13,56)＋0×eq\f(83,126)＝eq\f(370,63).例6解(1)eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,5)eq\o(∑,\s\up14(5),\s\do5(i＝1))xi＝eq\f(35,5)＝7，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(1,5)eq\o(∑,\s\up14(5),\s\do5(i＝1))yi＝eq\f(45,5)＝9，eq\o(∑,\s\up14(5),\s\do5(i＝1))xiyi－5eq\a\vs4\al(\o(x,\s\up6(－)))eq\a\vs4\al(\o(y,\s\up6(－)))＝2×12＋5×10＋8×8＋9×8＋11×7－5×7×9＝－28，eq\o(∑,\s\up14(5),\s\do5(i＝1))xeq\o\al(2,i)－5eq\o(x,\s\up6(－))2＝22＋52＋82＋92＋112－5×72＝50，∴eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(－28,50)＝－0.56.∴eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))＝9－(－0.56)×7＝12.92.∴所求的回歸方程是eq\o(y,\s\up6(^))＝－0.56x＋12.92.(2)由eq\o(b,\s\up6(^))＝－0.56＜0知，y與x之間是負(fù)相關(guān)，將x＝6代入回歸方程可預(yù)測該店當(dāng)日的銷售量eq\o(y,\s\up6(^))＝－0.56×6＋12.92＝9.56(千克).(3)由(1)知μ＝eq\o(x,\s\up6(－))＝7，由σ2＝s2＝eq\f(1,5)[(2－7)2＋(5－7)2＋(8－7)2＋(9－7)2＋(11－7)2]＝10，得σ≈3.2.從而P(3.8≤X≤13.4)＝P(μ－σ≤X≤μ＋2σ)＝P(μ－σ≤X≤μ)＋P(μ≤X≤μ＋2σ)＝eq\f(1,2)P(μ－σ≤X≤μ＋σ)＋eq\f(1,2)P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.8186.訓(xùn)練3解(1)當(dāng)X＝Y(jié)且X，Y∈(300，600]時(shí)，g(Y)＝g(X)；當(dāng)X∈(300，400]時(shí)，f(X)－g(Y)＝f(X)－g(X)＝(1800＋4X)－(2100＋3X)＝X－300>0；當(dāng)X∈(400，600]時(shí)，f(X)－g(Y)＝f(X)－g(X)＝(1800＋4X)－(2100＋4X)＝－300<0.所以當(dāng)X∈(300，400]時(shí)，f(X)>g(Y)；當(dāng)X∈(400，600]時(shí)，f(X)<g(Y).(2)①甲的日送餐量x的分布列為：x131416171820Peq\f(1,15)eq\f(1,5)eq\f(2,5)eq\f(1,5)eq\f(1,15)eq\f(1,15)乙的日送餐量y的分布列為：y111314151618Peq\f(2,15)eq\f(1,6)eq\f(2,5)eq\f(1,10)eq\f(1,6)eq\f(1,30)則E(x)＝13×eq\f(1,15)＋14×eq\f(1,5)＋16×eq\f(2,5)＋17×eq\f(1,5)＋18×eq\f(1,15)＋20×eq\f(1,15)＝16，E(y)＝11×eq\f(2,15)＋13×eq\f(1,6)＋14×eq\f(2,5)＋15×eq\f(1,10)＋16×eq\f(1,6)＋18×eq\f(1,30)＝14.②E(X)＝30E(x)＝480，480∈(300，600]；E(Y)＝30E(y)＝420，420∈(400，＋∞).所以A公司外賣配送員的平均月薪約為1800＋4E(X)＝3720(元)，B公司外賣配送員的平均月薪約為2100＋4E(Y)＝3780(元)，3720<3780，所以小王應(yīng)選擇做B公司外賣配送員.基礎(chǔ)夯實(shí)1．解(1)由題意可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2b＝a＋0.015，,0.010＋0.015×2＋b＋a×10＝1，))解得a＝0.035，b＝0.025.(2)利用比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方式從樣本中抽取10人，易知其中屬于高關(guān)注人群的有10×(0.035＋0.025)×10＝6(人)，則屬于次高關(guān)注人群的有4人，則X的所有可能取值為3,2,1,0，所以P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(3,6),C\o\al(3,10))＝eq\f(1,6)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,6)C\o\al(1,4),C\o\al(3,10))＝eq\f(1,2)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,6)C\o\al(2,4),C\o\al(3,10))＝eq\f(3,10)，P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(3,4),C\o\al(3,10))＝eq\f(1,30)，所以X的分布列為X3210Peq\f(1,6)eq\f(1,2)eq\f(3,10)eq\f(1,30)所以E(X)＝3×eq\f(1,6)＋2×eq\f(1,2)＋1×eq\f(3,10)＋0×eq\f(1,30)＝1.8.2．解(1)依題意知eq\x\to(t)＝eq\f(1,5)×(1＋2＋3＋4＋5)＝3，eq\x\to(y)＝eq\f(1,5)×(0.5＋0.6＋1＋1.4＋1.7)＝1.04，eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,5,)ti－\x\to(t)yi－\x\to(y),\i\su(i＝1,5,)ti－\x\to(t)2)＝eq\f(3.2,10)＝0.32，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(t)＝1.04－0.32×3＝0.08，故銷量y關(guān)于月份編號(hào)t的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝0.32t＋0.08.令t＝6，則eq\o(y,\s\up6(^))＝0.32×6＋0.08＝2.故可預(yù)測12月份該品牌此款健身器材銷量為2萬臺(tái)．(2)有放回地摸球，每次摸到某個(gè)編號(hào)的概率為eq\f(1,3)，則三次摸到相同編號(hào)的概率為3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))3＝eq\f(1,9)，僅有兩次摸到相同編號(hào)的概率為3×3×eq\f(1,3)×eq\f(1,3)×eq\f(2,3)＝eq\f(2,3).公司購買此款健身器材的價(jià)格X的所有可能取值為7000，8000，9000，其分布列為X700080009000Peq\f(1,9)eq\f(2,3)eq\f(2,9)故E(X)＝7000×eq\f(1,9)＋8000×eq\f(2,3)＋9000×eq\f(2,9)＝eq\f(73000,9).3．解(1)∵該市中學(xué)生男女人數(shù)比例為7∶5，∴抽取的120名學(xué)生中男生有70人，女生有50人，2×2列聯(lián)表如下：性別視力情況合計(jì)近視不近視男生304070女生104050合計(jì)4080120零假設(shè)為H0：近視與性別無關(guān)．根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)得，χ2＝eq\f(120×30×40－10×402,40×80×70×50)≈6.857>6.635＝x0.01，∴根據(jù)小概率值α＝0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷H0不成立，即認(rèn)為近視與性別有關(guān)．(2)∵用這120名中學(xué)生中男生和女生近視的頻率分別代替該市中學(xué)生中男生和女生近視的概率，∴每名學(xué)生近視的概率為eq\f(30＋10,120)＝eq\f(1,3)，由題意可得，X的所有可能取值為0,1,2,3,4，且隨機(jī)變量X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(1,3)))，P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))4－k，k＝0,1,2,3,4，∴X的分布列為X01234Peq\f(16,81)eq\f(32,81)eq\f(8,27)eq\f(8,81)eq\f(1,81)E(X)＝4×eq\f(1,3)＝eq\f(4,3).4．解(1)依題意可知，“青少年人”共有100×(0.015＋0.030)×10＝45(人)，“中老年人”共有100－45＝55(人)，2×2列聯(lián)表如下：年齡是否關(guān)注合計(jì)關(guān)注不關(guān)注青少年人153045中老年人352055合計(jì)5050100零假設(shè)為H0：關(guān)注“兩會(huì)”與年齡無關(guān)．結(jié)合列聯(lián)表的數(shù)據(jù)得χ2＝eq\f(100×20×15－30×352,50×50×55×45)≈9.091>6.635＝x0.01，所以根據(jù)小概率值α＝0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷H0不成立，即認(rèn)為關(guān)注“兩會(huì)”與年齡有關(guān)．(2)依題意可知，樣本中青少年人關(guān)注“兩會(huì)”的有15人，不關(guān)注“兩會(huì)”的有30人，采用比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法抽取6人，則關(guān)注“兩會(huì)”的抽取2人，不關(guān)注“兩會(huì)”的抽取4人，則X的所有可能取值為0,1,2，所以P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(0,2)C\o\al(3,4),C\o\al(3,6))＝eq\f(1,5)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(2,4),C\o\al(3,6))＝eq\f(3,5)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,2)C\o\al(1,4),C\o\al(3,6))＝eq\f(1,5)，故隨機(jī)變量X的分布列為X012Peq\f(1,5)eq\f(3,5)eq\f(1,5)所以E(X)＝0×eq\f(1,5)＋1×eq\f(3,5)＋2×eq\f(1,5)＝1.5.解(1)由題意得，X的所有可能取值為0，20，100，P(X＝0)＝1－0.8＝0.2，P(X＝20)＝0.8×(1－0.6)＝0.32，P(X＝100)＝0.8×0.6＝0.48，所以X的分布列為X020100P0.20.320.48(2)當(dāng)小明先回答A類問題時(shí)，由(1)可得E(X)＝0×0.2＋20×0.32＋100×0.48＝54.4.當(dāng)小明先回答B(yǎng)類問題時(shí)，記Y為小明的累計(jì)得分，則Y的所有可能取值為0，80，100，P(Y＝0)＝1－0.6＝0.4，P(Y＝80)＝0.6×(1－0.8)＝0.12，P(Y＝100)＝0.6×0.8＝0.48，所以Y的分布列為Y080100P0.40.120.48E(Y)＝0×0.4＋80×0.12＋100×0.48＝57.6.因?yàn)?7.6>54.4，即E(Y)>E(X)，所以為使累計(jì)得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答B(yǎng)類問題.6.解(1)由題意知，樣本中僅使用A的學(xué)生有18＋9＋3＝30(人)，僅使用B的學(xué)生有10＋14＋1＝25(人)，A，B兩種支付方式都不使用的學(xué)生有5人，故樣本中A，B兩種支付方式都使用的學(xué)生有100－30－25－5＝40(人).所以從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，該學(xué)生上個(gè)月A，B兩種支付方式都使用的概率為eq\f(40,100)＝0.4.(2)X的所有可能值為0，1，2.記事件C為“從樣本僅使用A的學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，該學(xué)生上個(gè)月的支付金額大于1000元”，事件D為“從樣本僅使用B的學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，該學(xué)生上個(gè)月的支付金額大于1000元”.由題設(shè)知，事件C，D相互獨(dú)立，且P(C)＝eq\f(9＋3,30)＝0.4，P(D)＝eq\f(14＋1,25)＝0.6，所以P(X＝2)＝P(CD)＝P(C)P(D)＝0.24.P(X＝1)＝P(Ceq\o(D,\s\up6(－))∪eq\o(C,\s\up6(－))D)＝P(C)P(eq\o(D,\s\up6(－)))＋P(eq\o(C,\s\up6(－)))P(D)＝0.4×(1－0.6)＋(1－0.4)×0.6＝0.52，P(X＝0)＝P(eq\a\vs4\al(\o(C,\s\up6(－)))eq\a\vs4\al(\o(D,\s\up6(－))))＝P(eq\o(C,\s\up6(－)))P(eq\o(D,\s\up6(－)))＝0.24.所以X的分布列為X012P0.240.520.24故X的均值E(X)＝0×0.24＋1×0.52＋2×0.24＝1.0.(3)記事件E為“從樣本僅使用A的學(xué)生中隨機(jī)抽查3人，他們本月的支付金額大于2000元”.假設(shè)樣本僅使用A的學(xué)生中，本月支付金額大于2000元的人數(shù)沒有變化，則由上個(gè)月的樣本數(shù)據(jù)得P(E)＝eq\f(1,Ceq\o\al(3,30))＝eq\f(1,4060).答案示例1：可以認(rèn)為有變化.理由如下：P(E)比較小，概率比較小的事件一般不容易發(fā)生.一旦發(fā)生，就有理由認(rèn)為本月的支付金額大于2000元的人數(shù)發(fā)生了變化，所以可以認(rèn)為有變化.答案示例2：無法確定有沒有變化.理由如下：事件E是隨機(jī)事件，P(E)比較小，一般不容易發(fā)生，但還有是可能發(fā)生的，所以無法確定有沒有變化.7.解(1)根據(jù)題圖可知，設(shè)備改造前樣本的質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)為5×(0.008×17.5＋0.032×22.5＋0.080×27.5＋0.024×32.5＋0.036×37.5＋0.020×42.5)＝30.2.根據(jù)設(shè)備改造前樣本的質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)估計(jì)設(shè)備改造前總體的質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)為30.2.(2)根據(jù)樣本的頻率分布估計(jì)總體的概率分布，合格的樣本中一、二、三等品的頻率分別為eq\f(1,2)，eq\f(1,3)，eq\f(1,6)，故從所有合格產(chǎn)品中隨機(jī)抽一件，抽到一、二、三等品的概率分別為eq\f(1,2)，eq\f(1,3)，eq\f(1,6).易知隨機(jī)變量X的取值為240，300，360，420，480，則P(X＝240)＝eq\f(1,6)×eq\f(1,6)＝eq\f(1,36)，P(X＝300)＝Ceq\o\al(1,2)×eq\f(1,3)×eq\f(1,6)＝eq\f(1,9)，P(X＝360)＝Ceq\o\al(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,6)＋eq\f(1,3)×eq\f(1,3)＝eq\f(5,18)，P(X＝420)＝Ceq\o\al(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,3)，P(X＝480)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,4).所以隨機(jī)變量X的分布列為X240300360420480Peq\f(1,36)eq\f(1,9)eq\f(5,18)eq\f(1,3)eq\f(1,4)所以E(X)＝240×eq\f(1,36)＋300×eq\f(1,9)＋360×eq\f(5,18)＋420×eq\f(1,3)＋480×eq\f(1,4)＝400.8.解(1)2×2列聯(lián)表如下：不少于60元少于60元總計(jì)男124052女182038總計(jì)306090零假設(shè)為H0：購買金額是否少于60元與性別無關(guān).χ2＝eq\f(90×（12×20－40×18）2,52×38×30×60)＝eq\f(1440,247)≈5.83>3.841＝x0.05，根據(jù)小概率值α＝0.05的χ2獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷H0不成立，因此能在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05的情況下認(rèn)為購買金額是否少于60元與性別有關(guān).(2)X的所有可能取值為65，70，75，80，且p＝eq\f(10＋20,90)＝eq\f(1,3).P(X＝65)＝Ceq\o\al(3,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(3)＝eq\f(1,27)，P(X＝70)＝Ceq\o\al(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(2)×eq\f(2,3)＝eq\f(2,9)，P(X＝75)＝Ceq\o\al(1,3)×eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(2)＝eq\f(4,9)，P(X＝80)＝Ceq\o\al(0,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(3)＝eq\f(8,27)，X的分布列為X65707580Peq\f(1,27)eq\f(2,9)eq\f(4,9)eq\f(8,27)E(X)＝65×eq\f(1,27)＋70×eq\f(2,9)＋75×eq\f(4,9)＋80×eq\f(8,27)＝75.優(yōu)化提升9.解(1)因?yàn)樵摶旌蠘颖具_(dá)標(biāo)的概率是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(2),3)))eq\s\up12(2)＝eq\f(8,9)，所以根據(jù)對(duì)立事件可知，混合樣本化驗(yàn)結(jié)果不達(dá)標(biāo)的概率為1－eq\f(8,9)＝eq\f(1,9).(2)①方案一：逐個(gè)化驗(yàn)，化驗(yàn)次數(shù)為4.方案二：由(1)知，每組兩個(gè)樣本化驗(yàn)時(shí)，若達(dá)標(biāo)則化驗(yàn)次數(shù)為1，概率為eq\f(8,9)；若不達(dá)標(biāo)則化驗(yàn)次數(shù)為3，概率為eq\f(1,9).故將方案二的化驗(yàn)次數(shù)記為ξ2，ξ2的所有可能取值為2，4，6.P(ξ2＝2)＝eq\f(8,9)×eq\f(8,9)＝eq\f(64,81)，P(ξ2＝4)＝Ceq\o\al(1,2)×eq\f(8,9)×eq\f(1,9)＝eq\f(16,81)，P(ξ2＝6)＝eq\f(1,9)×eq\f(1,9)＝eq\f(1,81)，其分布列如下：ξ2246Peq\f(64,81)eq\f(16,81)eq\f(1,81)所以方案二的期望E(ξ2)＝2×eq\f(64,81)＋4×eq\f(16,81)＋6×eq\f(1,81)＝eq\f(198,81)＝eq\f(22,9).方案四：混在一起化驗(yàn)，記化驗(yàn)次數(shù)為ξ4，ξ4的所有可能取值為1，5.P(ξ4＝1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(2),3)))eq\s\up12(4)＝eq\f(64,81)，P(ξ4＝5)＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(2),