解答提升題02銳角三角函數(shù)的應(yīng)用-2024年中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)講練測（解析版）

解答提升題02銳角三角函數(shù)的應(yīng)用

目錄

?題型特訓(xùn)?精準(zhǔn)提分____________

題型而麗滓背果下曲銳鬲與麗嫡應(yīng)用

類型一三角形與銳角三角函數(shù)的綜合問題

類型二四邊形與銳角三角函數(shù)的綜合問題

類型三圓與銳角三角函數(shù)的綜合問題

類型四一次函數(shù)與銳角三角函數(shù)的綜合問題

類型五二次函數(shù)與銳角三角函數(shù)的綜合問題

類型六反比例函數(shù)與銳角三角函數(shù)的綜合問題

題型02實(shí)際背景下的銳角三角函數(shù)的應(yīng)用

類型七仰角、俯角問題

類型八方位角問題

類型九坡比問題

類型+其它實(shí)際應(yīng)用問題

第I頁共162頁

題型特訓(xùn)-精準(zhǔn)提分

題型01純數(shù)學(xué)背景下的銳角三角函數(shù)的應(yīng)用

類型一三角形與銳角三角函數(shù)的綜合問題

I.（2023?浙江?一模）如圖I,以BC中，ZAC0=9O°.AC=3,SC=4./＞為斜邊人8上的一動(dòng)點(diǎn)（不

包含A,8兩端點(diǎn)），以CP為對稱軸將*36翻折得到連接

BA'PA

備用圖

（1）如圖2,當(dāng)CPJLAB時(shí),求RV的長.

（2）當(dāng)翻折得到的-A'CP中有一邊與AB垂直時(shí)，求M的長.

【答案】⑴1

5”k5或5

【分析】（1）當(dāng)CP_LAB時(shí)，由勾股定理求出48的長,在RHCB中,cosZA=^—,任RtzMPC中,

An

cosNA=、^，求出其尸的長，再由A/T=2八尸，BA'+AA'=AB,即可求出2W的長:

（2）當(dāng)A'CJL仞于。時(shí),在RlMDC中,CD,八。和8。的長，由折疊性質(zhì)得八'。的長，在Rl血W中,

129

利用勾股定理得出RA'的長，當(dāng)A'P_LA8時(shí)，過點(diǎn)C作C。，，仍于。.由（2）可知。=（,八。=],

得I：1APDC為等腰直角三角形，得到PD=CD,.KI1PAf和BP的長.利用勾股定理即可求出B4’的長.

【詳解】（I）解:如圖I,當(dāng)C『_LA8時(shí).

BA'PA

圖1

在R144C3中，4c3=90°.

第2頁共162貝

..AC2BC2=AB2>

：.AB'=3'+4’=25,

/.AB=5.

在RtA/lCft中,ZACH=90。.

AC3.八8C4

cosZA?—,sinZA=—=—,

AB5AB5

在Rt&PC中，ZAPC=90p.

八APAP3

cosNA==—=-,

AC35

9

：.AP=~,

5

aIQ

由折疊性質(zhì)可知A4yAp-2x,Y,

又?.?M+/W=,tB=5,

?=5-"二

55

(2)“iCP_LAB時(shí),由(I)可知BA'=g.

當(dāng)A'CJLAZHO時(shí)，如圖2,

CD4

而4—=—

AC35

5

乂?.BD+AD=AB=5.

：.BD=5-AD=5--=—,

55

由折血性所可知.AfC=AC=^.

又?.?NC=CO+4。.

.?./ro=4rC-CD=3--=-,

55

在RlMA'3ZBDA'=90°.

A0+9=BA@，

第3次共162頁

?…眇哥=處

圖3

過點(diǎn)C件C￡>_LA3尸。，由（2）可知CD：?,AD=^,

JJ

由折總性質(zhì)可知NI=N2.PA=PA.

又???N47N=/l+/2=90p

ZI=Z2=45°,

X-N2+N3=9（尸，

,?.Z3=45°.

.?.Z2=z3,

12

；.PD=CD=-^,

乂PA=PD+AD.

12921

555

又???%=%，

：.PA'=-.

5

>1..-BP=AB-PA,

BP=5--=-,

55

在RlZSBPA中,NBPA'=90°.

BP2+PA2=BA'2，

第4頁共162貝

/.B.X的長可能為(或警^或竿.

【點(diǎn)冊】本題考查r解直角三角形,涉及勾股定理，折疊的性質(zhì),正確作出鋪助線.分情況討論是解答

本題的關(guān)犍.

2.(2024?浙江寧波?一?！啡鐖D①、圖②、圖③均是5x5的正方形M格,每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn),

(2)如圖②，在網(wǎng)格中找格點(diǎn)E(一個(gè)即可)，畫出使得tan//18￡=g.

⑶如圖③,。為格點(diǎn),在AC邊.上找點(diǎn)￡使得由/A昭).

【答案】(I)見解析

(2)見解析

(3)見解析

【分析】本題考查了正方形網(wǎng)格上作圖，解期的夫鍵是利用正方形和相似三角形的性質(zhì)來找尋到作圖的

方法.

AF4F1

(1)如圖，構(gòu)造.A"s,、/WC,因蕓=蕓=故作網(wǎng)絡(luò)線上尸與八8相交于點(diǎn)￡

BLCr2

(2)如圖，連接加＞與MN,相交于點(diǎn)E,因矩形4MAW的對角線相等且互相平分，所以有

AE=-AP=-AB.因此有tan/A8E=空=』.

22AB2

(3)如圖，設(shè)Q為AC邊上的格點(diǎn),連接股與⑷V,相交「力,人在接防殳4c￡,由▲MFS-NQ尸

可得若=痣=1則"=二,即"91itan?ABE—=

FNNQ2AN5AR5AB5

【詳解】(1)如圖，點(diǎn)洋即為所求.

第5次共162頁

圖②

(3)如圖，點(diǎn)E即為所求.

圖③

3.(2023?浙江湖州,模擬預(yù)測)如圖。，在J8C.和一兒獨(dú)中，/孫0二/g七二好，乙鉆C=Z40￡=3O。,

AC與比相交于點(diǎn)尸，點(diǎn)。在8c邊上，連接CE.

(1)求證：AARZACE：

AH

(2)17—=V3,求sinNCDE的值:

Bl)

(3)將“跖燒點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度到(如圖切.若NA￡?=300.AE=?，C￡7=6.

求8￡的長.

第6頁共162貝

【答案】(I)見解析

⑵正

6

⑶2VH

【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，解直用三角形：

(1)根據(jù)題意得出ZBAD=ZCAE,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出絲=￡.進(jìn)而即可

得證：

(2)根據(jù)題.苣設(shè)其。=小，則80=。,根據(jù)得出，EC=ya,進(jìn)而根據(jù)正弦的定義.

即可求解;

(3)連接8/『，證明△BAOSACAE,得出8。=6&，進(jìn)而CRlZSBm中，勾股定理，即可求解.

【詳解】(I)證明：?；/&tC=//M￡=90°.Z/WC=ZAZ?E=30°.

..BAC-..DAE./LBAD=ZCAE

.ABAC

"'AD~'AE'

sABD^^ACE^

⑵解：V^ABD^tACE

：.ZABD=ZACE=30°.

,：ZBAC=9(尸.ZABC=3(T

/.Z4C?=60s

Z.ECD=ZACB+ZACE=90°

PC

：.sinZCDE=—.

DE

Bl)

設(shè)AD=>]3a.則BD=a.

(*RlAADE中，AE=tanZ.ADExAD=—AD=a.DE=2AE=2a

3

'：-ABCMACE

AEEC

.”73

??EC=-a

3

第7更共162頁

在R【cA￡7/中，A￡=石,40^=30。

AAD'-734E*-V15.E'D'-2AE1?2Js

■:NBAC=N/X4￡=9(r

二ZBALf=Z.CAE

:.△班"S^G4￡

，

???B詼D=6R

二BD'=6G?

?.?Z4FZX=600./BEA=300,

/.N8￡7/=90°.

在RlABED't1.BE'=。爐-印。=，（小『一（2石丫=2后.

4.（2023?浙江寧波?模擬預(yù)測）如圖I,在四邊形A8CO中，AB=BC,AD=CD,E是邊8c上一點(diǎn),

線段8的垂直平分線分別交8D,CE于點(diǎn)F,。，連結(jié)M,EF.

⑵如圖2,連結(jié)AE交BD于點(diǎn)G若EF//CD,求證：若二竿

第8頁共162貝

33

（3）如圖3,已知/ft4/A90°.BE=EF.若tan4BD="DF求加??的長.

【答案】（1）見解析

（2）見解析

鴻

【分析】（I）連接FC,利用全等三角形的判定證明A46雌△CM得到/W=/CD尸，再推理出

△AD2MDF得到AF=CF，根幅重“平分線的性質(zhì)即可求解：

（2）利用相似三角形的判定方法證出△ABDs△陽尸，得到絲=絲后轉(zhuǎn)化為空=坐.內(nèi)可用

EFBEAFBE

ffl形面積的比值關(guān)系推導(dǎo)出笑一墓即可；

BEGE

（3）過點(diǎn)石作EHJ.5OJ”.設(shè)由3.BH=4a,利用?:角函數(shù)的比值又系問臺(tái)“的式「，；*出尸D

的長即可求解.

【詳解】11）證明：如圖，連接CT,

,/AB=BC.AI>=CD.BD^BD.

:.△ABgACBD(SSS).

??.ZADF=Z.CDF,

又?.?AXCD,DF=DF.

AAPF^ACDF(SAS),

/.AF=CF.

?.?FQ星直平分CE.

/.FF=CF.

AF=EF：

(2)正明：,:△A8g△C8/).EF//CD

，dCB"二EBF,

：.AABDsgRF，

第9次共162頁

.ADAB

..---=----,

EFBE

X.V△ABD皿CBD.

：.ZABl>=ZCBI).

二8￡>為/ABC的平分線，

(；TlAB.此的距.

.$_AB_4G

"SKGBEGE'

.ADAG

13）解：如圖，過點(diǎn)七作UH.BDI'H.

tanZEBH=lanZ.ABD=—,

4

:.僅.BH=4a.

則BE=EF=y/(3af+(4a『=5a，BF=2BH=&，,

..EH3a3

..、”1/EBH=—=—=一,

BE5a5

sin4EBH=4=絲=3.

BF&，5

14

FQ==^a.

24

空工=3

lanZQBE

BQBQ4

/.BQ=-j-a,

327

/.EQ=CQ^BQ-BE=^a-5a=-^a.

7729

BC=BE+EQ+Qf^Sa+—</+—</=(1>

?：cosZEBH

第IO頁共162頁

AF=EF=5a=—.

7

【點(diǎn)暗】本題考查了垂彼定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，三角函數(shù)解直知

三角形等知識點(diǎn)，合理作出輔助線和利用好邊的比值關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

5.（2023?浙江金華?三模）任RIAA6CU，，Z^?C=9CT.AB=5,HC=4.點(diǎn)。為AC的中點(diǎn)，點(diǎn)￡為

折紋A-8-C上一動(dòng)點(diǎn)，連接DE,以。E為邊作正方形。"6（點(diǎn)/為點(diǎn)。繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90"得

到），直線FG與直線BC,AC的交點(diǎn)分別為M.N.

（1）當(dāng)點(diǎn)E在線段A3上時(shí)，

①若AE=ED,求此時(shí)AE的長：

②若直坦尸G過點(diǎn)C,求此時(shí)正方形OEFG的面枳：

（2）是否存在點(diǎn)E,使得-CMN是等腰三角形？若存在，求該三角形的腰長，若不存在，請說明理由.

【答案】（1延八￡=菅；②正方形?！?的面積為5

（2）存在，-CMN的度長為§或或;或今

6486384

【分析】（1）①作E尸，AC,解直角三角形4防即可求得結(jié)果：

②作件FHIACJH.（1GQ1ACrQ.可證得oEHD,DQG.從而GQ=DH.DQ=EH.故設(shè)4F=5r.

^DQ=EH=Ax.AH=3.x.GQ=OH=2-3x,求出CQ=C￡>-OQ=°-4A,由tanNCDG=tan/CGQ

22

可得罟=強(qiáng)，從而列式計(jì)算即可：

C/Q

（2）分為四種情形：當(dāng)點(diǎn)E在AB上，CW=OV時(shí),可得出即是乙UW?的平分線,從而坐=空=1，

EKDK4

第II頁共162頁

可求得由，根據(jù)=可求得。E，根據(jù)-DERS-NDG,得出段=g.進(jìn)而求得ON，

OND(>

進(jìn)步得出結(jié)果：當(dāng)點(diǎn)石在，處時(shí)，可求得8W,進(jìn)而求得CW.根據(jù)OE〃廣G，列出m=等，進(jìn)

而求得結(jié)果：當(dāng)點(diǎn)E在BC上，CT)=CE時(shí),作C"_L龐J交尸GrX.i殳XN=x,則XC=3x.設(shè)DH=?.

則HX=%.CH=3d,從而得出a=3x,可證得一OWS/XJN,利用相似二角形的性質(zhì)即可求得CN：

當(dāng)力E=CK時(shí)，可得CW=MN,作￡TJMC于丁，作?！╛L6c于〃，可求得C7\從而得出Q￡,EF,

CE,根據(jù)MJHESCERW，得出絲.=空.求出EW.進(jìn)一步得出結(jié)果.

作砂_L4C于尸,

/Z4fiC=9(r.AB=3,BC=4.

AC=5,

.八AB3

AC5

.?。是AC的中點(diǎn)，

/AE=DE，

：.AF=FD=-AD=-.

24

5

…4FI25

cosNA312

5

②如圖2,

(1ACF，，作GQ1AC于Q,

第12頁共162頁

?./品'。=皿26=900,

:.NED"+￡DEH=90°.

■:ZEDG=90°,

/.N￡T，+NQDG=90",

NDEH=NQDG.

DE=DG,

；.EHL匕/>GG（AAS）.

：.GQ=DH,DQ=EH,

設(shè)AV=5.r,則DQ=E"=4X,A//=3X,GQ=DH=^-3X,

：.CQ=CD-DQ=^-4x,

同理可得：NCDG=NCGQ,

：.tanZC/X；=tanNC'GQ.

.GQ_CQ

*'DOGQ'

：.GQ'=DQCQ.

AEH=4x=2.DH=^-3x=\.

:.DE2=EH2+DH2=5,

...正方形OE“G的面枳為5：

（2）荏在點(diǎn)E,使aCW是等腰三角形:

如圖3.

當(dāng)點(diǎn)E在AB上，CM=CN時(shí)，則可=/CWN,

第13?共162頁

DE//FG.

/.N/V=LADE,

'："=/￡?用=90°,

/.NFEB=NCMN.

作DRLAB于R.

〃例=/ORE=90°,

‘?NFEB+Z.DER=NDER+NEl)R-

NEDR=/FEB.

ZADF.=/EDR-

曲是Z4DR的平分線.

.AEAD5

'~ER~~DR~4'

3

??八/?=："=?,

22

DE2=ER2+DR'=1+4=—.

99

：4EDR="4ERD=/DGN-

?.aDERs,NDG.

.DE_ER

'ON-DG'

/DE=DCi.

*.DEZ=DNER,

：.CN=DN-DC=,

326

如圖4.

圖4

第14頁共162頁

當(dāng)點(diǎn)E在8處時(shí)，

?/DE/7FG,

：.NCMN=NDBC，

,/BD=CD，

：.ZDHC=/DCB=NMCN.

NCMN=4MCN、

.,.CN=MN,

?.EM-EF_BD_E_25

sinNBMFsinNACB36

CM=BM-BC=-，

6

DE//FG.

.CNCM

CDBC

,華；

54

2

如圖5.

A

圖5

當(dāng)點(diǎn)￡在BCE.CD=CE9i，則ZCNM=NCDE=Z.CED=ZCMN.

:.CM=CN.

作CHIDEfH.交FGT-X.

2

由⑵如圖3可知：tan△/AC"=lan/E/XF=3=L

223

設(shè)XN=x,則XC=3x，設(shè)D〃=a，則〃X=2?C〃=M,

??a=3A*?

第15it共162頁

/.DG=DE=2DH=6x.

?：CX//DG.

HCXNSMN.

.CNCX3xI

..——==—=—

DNDG6.x2

：.CN=-DC=~,

36

如圖6,

'"iDE=CE時(shí)，則ZCW=N￡DC=NDCE=NMW,

CM=MN.

作￡TJ./C于T.作DH1BC于H,

：.CT=-CD=~,

24

???田明如缶［哈

5

由上如：ADHES^EFM?

.DHDE

'~EF=~EM

325

2=五.

25EM

16

歿

384

6252525

：.CM=EM-CE=

384-l6~384

綜上所述:氯麗的腰長為2臺(tái)5或s弓或5之或2急5.

6486384

【點(diǎn)腳】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì),

解宜角三角形等知識，解決問題的關(guān)鍵是畫出圖形進(jìn)行分類討論.

第16頁共162頁

6.(2023?浙江紹興?模擬預(yù)溯)小明在學(xué)習(xí)角平分線知識的過程中，做了進(jìn)一步探究：如圖1,在中,

N'fiAC的平分線文5c于點(diǎn)D.

發(fā)現(xiàn)復(fù)=絲?小明想通過證明來盼證這個(gè)結(jié)論證明：延長至￡，使得AC=AE，…

ACCD

請你完成上述證明過程：

結(jié)論應(yīng)用

已知在M8C中,ZC=3(r>.NB=a,8c邊上有一動(dòng)點(diǎn)。,連結(jié)AD.點(diǎn)8關(guān)于AD的對稱點(diǎn)為點(diǎn)，連

結(jié)AS交8c于點(diǎn)￡\

(1)請你完成發(fā)現(xiàn)中的證明過程：

⑵如圖2當(dāng)a=3(F.AKLBC,求愛的值；

(3)如圖3當(dāng)a=45。，八方與“取?的邊垂直時(shí)，求器的假.

【答案】(I)見解析

(2)2

⑶近或在或1

9

【分析】

AnR[)

(1)延長班至E,使得AC=AE.連接CE.可推出NB，S=".從而八?！–￡,從而推出三=三,

AECD

進(jìn)一步得出結(jié)論；

從而得出器=當(dāng)=2：

(2)"I■推出A。產(chǎn)分N8A￡.

DEAE

知：.=當(dāng)=應(yīng)，當(dāng)從&_1.47時(shí)，作/1"’8<7干尸，

(3)分為三種情形:當(dāng)AB」8c時(shí)，由(1)

DEAE

4F=]&,從而得出BD_AB_2^241,'ff±AB

不妨設(shè)4c=3,則=AF=-AC=—iA

222DEAEV32

時(shí)，可得出黑二郎

DbAE

【詳解】(I)

第17?共162頁

證明：如圖I.

延長AA至舊,使得AC=AE，連接C￡.

.?.Zfc=Z^Ck.

ZfiAC=ZE+4==2H

AO平分N7MC,

：.^BAC=2^BAD.

.?.ZZMD=N￡,

:.AD//CE.

ABBD

----=——,

AECD

ABHD

——=一；

ACCD

(2)

解：.A/r±BC,

ZAE6=90°.

.23=30。，

：.AB=2AE.

?點(diǎn)8關(guān)于M的對稱點(diǎn)為點(diǎn)M

.:4。平分

BDAfi-

----=—=2；

DEAE

(3)

解：如黑2,

第18頁共162頁

A

圖2

“iA913c時(shí),

如圖3.

當(dāng)61AC時(shí),

作A尸/BC于尸.

彳、妨設(shè)AC=3.IARsAC-tanCa.t?n■J\?

AF=-AC=-.AB=j2AF=-42.

222

如圖4,

圖4

“iAglAB時(shí)，

可得/AEB=//?_45。,

第19?共162頁

BDAB,

--=---=]

DEAE

籍應(yīng)畔或I.

標(biāo)上所述:

【點(diǎn)睛】

本題考杳了軸對稱的性質(zhì)，ffj平分線的定義，解直用三角形，平行線分線段成比例定理等知識，解決問

題的關(guān)值是分類討論.

7.(2023?浙江紹興?模擬預(yù)測)在<03和△C8中，ZA()B=ZC()D=^r,直線AC與8。交于點(diǎn)M.

⑴如圖I若NO48=/OC?)=45。，求證:AC-BD-.

(2)如圖2,若NO48=/Cm=30。，寫出8。與AC的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

(3)如圖2,若NOAB=NOCD=a,請直接寫出/?。與4c的數(shù)量關(guān)系(用含。的式子表示).

【答案】(I)證明詳見解析：

(2)BD=-AC-理由見解析

3

(3)BDACLina

【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì),正切的定義；

(I)證明aAOCg-AOTXSAS),根據(jù)全等：角形侑性旗，即可用證：

(2)證明SAOCS./QD,即可得證：

(3)依廖笆.得出黑=獸=」一.證明0人。。6,伙)/),則%=經(jīng)=_!一,即可得出結(jié)論

OBDOtanaBDOB【an"

【詳解】(l)證明：QZAOB=ZCOD=9(r,NOAB=NOCD=45。.

/.NOCD=Z.ODC=45°.ZO4fl=NOBA=45。.

；.NAOC=NBOD,

<\MOCfllAflOD'l',

OA=OB,

,ZAOC=乙BOD.

OC=OD

第20頁共162頁

.?▲AOgMOO(SAS),

/.AC=BD.

(2)解：結(jié)論：BD=^-AC.

理由：如圖2中QZAOB二ZCOD=9(F.ZOAB-Z(X：D=3(尸.

:.AO=&OB，CO=JiOD.

.AOCO

?，----=-----,

OBDO

QZ4O3=ZCOD=90°.

：.ZAOC=^BOD.

:.^AOC^ABOD.

謊嘿s

：,BD=&ACz

(3)解：結(jié)論：HD~ACuma.

理由：QZAOA=/CW=91r,4OAB=4OCD=a，

:.(>R=()Atana.IX)=COtana.

.AOCO=I

OBDOtana'

QZAO3=ZCW=900.

，ZAOC=/BOD.

...AC=—OA?---I--,

BDOBtana

?—=ACtana.

類型二四邊形與銳角三角函數(shù)的綜合問題

8.(2023?浙江祖州?模擬預(yù)測》如圖,在“6C中，。是AC上的一點(diǎn),延長80至。，使80=8.連

接A?、CD.

⑴當(dāng)心〃BC時(shí)，求證：四邊形A8CD是平行四邊形.

第21?共162頁

(2)在(1)的條件下，過。作交8c于E,連接OE,若。。=16,AD=\2,tanZfiDE=^,求

4

CE的長.

【答案】(1)詳見解析

(2)2

【分析】(1)根據(jù)ASA證明京旗工84,得BC=4).再由平行四邊形的判定即可得出”已

(2)由線段垂直平分線的性質(zhì)得則NE8￡>=N8QE，再由銳角三角函數(shù)定義得。。=6,則

BE=1J然后由平行四邊形的性質(zhì)褥5c=4)=12,即可得出結(jié)論.

【詳解】⑴AD\BC.

：.Z.OBC=Z.ODA,

在AQBC和中，

Z()BC=ZODA

BO=DO,

Z.BOC=Z.DOA

QCW0OQ八(ASA).

BC=AD-

又.皿BC,

...四ih形ABCD星平濘四邊形：

(2);OE±BD.OB=OD.80=16.

:.DE=BE.BO=00=8,NB0B=90a.

:.ZEBD=ZBDE.

OF3

tanZEBD=—=lanZBDE=

OB4

.-.O￡=-Ofi=-x8=6.

44

/.BE=yjOB'+OE2=V82+6:=10-

由(1)可知,四邊形A8CQ是平行四邊形.

：.BC=AD=\2.

:.CE=BC-BE=\2-]0=2,

即a?的長為2.

【點(diǎn)腦】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性灰、勾股定

理以及銳角三角函數(shù)定義等知識，熟練華握平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)健

第22頁共162頁

9.（2023?浙江衢州?模擬預(yù)測）如圖1，在?48a沖，AH=6,八。=46，N6=60。，AELAB.AE,

8C的嫵長線交于點(diǎn)”.

⑵如圖2,NBAE的角平分線交8c于點(diǎn)P，點(diǎn)Q在""上；

（3）

①當(dāng)公APQ為等胺三角形時(shí)，求AQ的長：

⑷②如圖3,當(dāng)點(diǎn)。在線段E/上，連接PE.將sP￡。沿莊翻折得到，點(diǎn)M恰好落在AD邊上,

試求線段AQ的長.

【答案】（1）12-473

（2）①八。=3應(yīng)-3或6-3&或6拒-6：②9

【分析】《I）解直角三角形人"F，求得M，進(jìn)而求得結(jié)果;

（2）①作PF_LAB于尸，分為三種情形：當(dāng)其。=也時(shí),可推出“PQ是等腹百角.角豚新’?二角形AP3

求得P八進(jìn)而求得結(jié)果,進(jìn)而求得，1。=人尸和八。=4尸怡形：②可推出從而

ZAEP=ZB=fAr.進(jìn)而推出NAEM=/PEM-/4EP=&F,從而求得￡?/,進(jìn)一步得出結(jié)果.

【詳解】（1）*?.?四邊形ABCD是平行四四膾

BC=AD=4yf3.AB//CD.

A￡_L孫

Zfi4F=90°,

cos/?cos600

..CF=BF-BC=\2-4>/3:

(2)①如圖1,

第23?共162頁

圖I

當(dāng)人Q=PQ時(shí),

..ZPAQ=^\PQ,

作?！ㄓ贖,

?.Z/i4F=<XF.八/?平分/眇3,

：.ZBAP=ZPAF=45°.

ZAPQ=45°,

：.ZAQP=^.

圖I

(5Rl^PBH'I1.=tanB=tan600=>/3.

BH

設(shè)8〃7，77/■6，

PH

在.Rl-PHA中，—=tanZBAP=(an450=1,

AH

:.AH=PH=a.

IllAH+8H=Aff得,

&a+a=6,

；.a=36-3,

:.AQ=PQ=PH=3五-3,

圖2

第24頁共162頁

當(dāng)AQ=AP時(shí),

由上知：AQ=AP=42PH=6-342,

如圖3,

圖3

力AP=P。時(shí)，

同理可過：AQ=>J2AP=642-6,

綜上所述：八Q=3企-3或6-3應(yīng)或6應(yīng)-6：

②如圖4,

.-.ZD=ze=60°.AB//CD.

AELAli.

.-.AE1DE.

AE=AD.sin/>=43xg=6，

AE=AB=f).

NZMP=NE4/>,八P=A/L

AJiAP^^EAP(SAS).

，Z4EP=NB=60°,

將一P￡0沼PE能折得到△制.

/.NP皿=NPEQ=18(r-ZAEP=120°.

/.ZAEM=NPEM-Z4A7>=1200—6(尸=6(尸,

VZAED-OO3,ZD=6(r,

：.ZEAD=3(T，

.-.Z￡4D+ZAEW=9(r.

第25?共162頁

.1.Z4W￡=90°,

.-.EQ=EM=^AE=3,

..AQ=AE=E（2=6+3=9.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形分類，解豆角二角形,折壯得性質(zhì)，全等三角形的

判定和性質(zhì)等知識，解決問題的關(guān)鍵是特殊性（4即=60改）.

10.（2024?浙江?一?！贰締栴}背景】如圖I,數(shù)學(xué)實(shí)設(shè)課上，學(xué)習(xí)小組進(jìn)行探究活動(dòng)，分別以點(diǎn)&C為國

心，以大于；8c為半徑畫《，兩弧相交『點(diǎn)凡F,作直線EF交BCT?點(diǎn).0,連接AO：②將."8。沿AO

翻折，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)落在點(diǎn)P處，作射線,W交C/）于點(diǎn)Q.

【問題提出】在矩形A8CD中，AD=24,AB=\6,求紋段CQ的長.

【問題,解決】（I）經(jīng)過小組合作、探究、展示，其中的兩個(gè)方案如下：

方案一：連結(jié)如圖2.經(jīng)過推理、計(jì)算可求出線段CQ的長.

方案:延長AO交DC的延長線于點(diǎn)/?.如圖3.經(jīng)過推理、計(jì)免可求出線段。。的長.

請你任選其中一種方案求線段CQ的長.

【問題反思】（2）在前面的已知條件及解決方法卜.繼續(xù)探究，連接C尸并延長，交八。于點(diǎn)〃，求P”的

長.

【分析】（I）方案一：連接3,由解折的不變性，知”=AB=16,OP=OB=12、

Rl_QP8Rt=QCO（HL）,推出也=CQ,設(shè)/>Q=CQ=x,在RtZU/）Q中，利用勾股定理處式ii好求

解即可；

方案一證KAO交DC的延長線于點(diǎn)R.iF明NOAQ=4.推出。4=QK.iSCQ=x.同方案一即可

求解：

（2）連接“并延長，交ADF點(diǎn)〃.連接W交CP于點(diǎn)丁，過點(diǎn)戶作PG_L4）.垂足為G,由（I）

知Rl@P8Ri_CC。.AQ=25.I）Q=1,易證▲勿叱內(nèi)⑺“人，）,得到NP7D=NC7n=9O"即可得

到AO〃CW,由加/〃8,得到四邊形Aa7/是1J四邊形，進(jìn)而得到AH=CO=12,根據(jù)

第26頁共162頁

sinZDAQ=需=爺，cos/ZMQ=器=爺，，求出GP.AG,進(jìn)而得到fiG.由勾股定理即可求出PH.

【詳解】解：方案?：連接儀?，如圖2.

,四邊形A8CD是矩形，

?二AB=CD=16.AD=BC=2A.

由作圖知50=OC=，8。=12,

2

由翻折的不變性,知人/，=人8=16.OP=OB=\2rZAPO=ZB=90°.

：.OP=OC=12,NQPO=NC=90°.

文CQ=OQ,

：.QPfJ^^QCO(\W^,

：.PQ=CQ.

設(shè)P0=CQ=x,則A0=l6+x,D^=16-x,

在RtAADQ中，ADZ+QD2=AQ2,即24?+(l6-xf=(l6+x『，

解得x=9.

線段CQ的長為9：

方案二：延長A。交。C的延長線「點(diǎn)R如匡，

?.?四邊形制8是矩形,

/.AB=CD=\6,AD=BC=24,

第27?共162頁

由作圖知8O=OC=；8C=I2,

AB//CR.

：.ZR=ZBAO.

由翻折佬不變性,>JIZBAO=ZOAQ.

：.ZOAQ=NR,

：.QA=QR,

設(shè)CQ=x,則QA=Q/?=l6+x,D<2=l6-,v,

在RlZkOQ中，AD:-^QD-=AQ',即24?+(16-xf=(16+xf,

解得x=9.

???線段CQ的長為%

(2)連接C7?并延長.交ADJ?點(diǎn)"連接"交bJ?點(diǎn)八過點(diǎn)，作PGLt”垂足為G.

lh(I)二Rt?。尸性Ri?。,AQ=25,DQ=7,

OP=OC,ZPOT=ZCOT,

.OT=OT.

4.7PO^ArC'O(SAS).

???ZPTO=ZC7O=9(r.

NOA@=NR.QA=QR,

.?"OQ=90".

:.^AOQ=ZCTO=9QP,

：■AO//CH,

AH//CO.

二四邊形AOCH是平行四邊形,

第28頁共162頁

?1?AH=CO=\2.

GPADAG

sinZ小DA八O=-Q--Q--=——,cosZ，.八DA'八Q=——=——

AQAPAQAP

5DQAP7x16112⑺ADAP24x16384

GP=-------=-----=—,AG=-------=------=,

AQ2525AQ2525

.”“38484

..n（r二AG-AH=’.?-12=?

【點(diǎn)暗】本題考查了作線段的垂直平分線，翻折的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和

性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，解題的關(guān)犍是學(xué)會(huì)利用參

數(shù)構(gòu)建方程解決問題.

11.（2023?浙江衢州?模擬預(yù)測）在矩形八8CQ中,AB=4.BC=6.點(diǎn)E在射線BC上.連接點(diǎn)8

關(guān)于直淺AE的對稱點(diǎn)為￡,連接八星，BE-

（1）如圖I,當(dāng)8E經(jīng)過點(diǎn)。時(shí),求證：AD^DE.

⑵如圖2,當(dāng)E為6C的中點(diǎn)，連結(jié),求ian/8C￡.

⑶當(dāng)CE=；BC時(shí)，求"8'E與矩形A8CD重合部分的面積.

【答案】（I）見解析

<4

（3）8

【分析】（1）根據(jù)對稱，證明~W9*A*F（SAS：，,進(jìn)而證明一ABES八8￡（SAS）,對應(yīng)角相等，再根

據(jù)矩形的性歷推出〃AE=/&E4,進(jìn)而作答：

（2）連接89.由（1）對應(yīng)線收成比例,求出8W.△陽火？為直角三角形，根據(jù)勾股

定理推出BC，進(jìn)而求tanNBCE：

（3）①+睦時(shí),AB=BE.④他為等B5直角三角形，根據(jù)正方形的性質(zhì).與矩形A8CD市勺

部分的面積.即,白八9￡的面積.

第29頁共162頁

【詳解】（I）證明;連接BB,，交AEF點(diǎn)尸,

?.?點(diǎn)8關(guān)于直線AE的對稱點(diǎn)為8’,

.■BF=ffF,他=90°，

XvAF=AF

，-A8尸治-A*產(chǎn)(SAS),

..AB=AB'.ZlffAE=^BAE.

又；AE=AE，

ABE^..AB1E(SAS).

：.ZBEA=ZHEA-

??,矩形/CD,

.1.Zfi4D=Z4BC=90°,

.?.Zn4E+/a4E=9O=.

^BAE+^BEA=90P.

\?DAE?BB\.

：.ZDAE=^EA.

AD=DE：

(2)解：連接SB'交A￡『M，

由（1）得,

B^IAE.BW=&M,BE=￡E=3

ZBAE=^BAE,ZBMA=ZABC=9(r

:.處Ms1bAEB,

BMAB

:.-----=——.

FBAE

第30頁共162頁

5

BB'=2BM=—

5

點(diǎn)七為8C的中點(diǎn),

:.BE=CE=/i'E=3.

△陋C為H角三角形,

BC=>!BC2-BB'2=y

24

tanNHCE=—=-^-=-

BC電3

24

(3)解：當(dāng)CE=：8C時(shí)，即8￡=AH=4,

為等腰直角:角形，

連接5后，則四邊形ABE&為正方形，

-ABE與矩形ABCD庖介部分的面積為AAffE的面積,

，S/=g/Vr”=：x4x4=8.

【點(diǎn)牌】本題考查矩形性質(zhì)，對稱的性質(zhì)，三角形相似的判定與性質(zhì)，三角函數(shù)，三角形全等的判定與

性質(zhì)，等綜合題，作輔助線是解題的關(guān)鍵.

12.(2D23?浙江寧波?一模)【基礎(chǔ)鞏固】

(1)如圖I,四邊形八8CD是正方形，點(diǎn)E是邊8c上與點(diǎn)8不重合的任意一點(diǎn)，EF=AE,乙四=?X尸，

點(diǎn)G是射線BC上一點(diǎn)，求證：Z.FCG=45°.

證明思格：在A8上截取瓶=3E,因?yàn)锳B=8C,所以AK=C￡,請完成接下去的證明；

【嘗試應(yīng)用】

(2)如圖2,在矩形ABCD中，點(diǎn)E是邊8c上與8不重合的任意?點(diǎn)，tanN5CG="=2,ZAEF=^.r,

AE

點(diǎn)G是射線8c卜.一點(diǎn)，求槳的值；

【拓展提高】

(3)如圖3,在矩形A8C。中，點(diǎn)E是邊八力上一點(diǎn)，連結(jié)BE,作NERT；=N￡B兒使點(diǎn)/?'，G分別落在

第31?共162頁

邊BC,CD.上.若2BE=5BF,且tan/C尸G=g,求sin/乃FC的值.

圖I圖2圖3

【答案】(1)見解析：＜2)；；(3)叵

-4

【分析】

(I)先證明/CBAE=Z.CEF.證明E4K-FEC(SAS).得出ZAKE=Z.ECF,進(jìn)而可得Z.FCG=ZBKE=45。：

(2)作N/業(yè)例=N尸，交線段八8于點(diǎn)”，證明△任“?△好。，得出普=告=1,進(jìn)而可得

—=tanZE.WB=tanZFCG=2,即可求解：

BM

C〃ftp,

(3)過由G作NRGH=NE尸G,即止〃G〃.&EBFs?FGH，得出皆?啜:=一設(shè)CG=。,則W=九，

FGBE5

FG=/，得出6〃=半”,進(jìn)而根據(jù)正弦的定義，即可求.解.

【詳解】證明：(1)???//4尸=90"

.?.ZAEB+NC￡T=90"

乂?,四邊形ABC。是正方形.

.-.ZABC=90°.

:.AAEB￥ZHAE=^r.

：.ZBAE=ZCEF.

召二￡4K和&”￡C中，

AE=EF

ZKAE=ZCEF,

AK=EC

.▲E4Kg/EC(SAS),

ZAKE=^ECF.

■;BK=BE,ZB=90°.

:.NFCG=NBKE=45"

(2)作乙WW=//?、，交線段人8千點(diǎn)A/.

第32頁共162頁

z64E5+ZC￡/'=900.

又。四力形ABCD是矩形,

.1.ZA5C=9(F.AD=BC,

.-.Z4￡B+Zfi4E=90°.

;"BAE=NCEF,

.?.ZM￡WSA￡R7,

.AE1/?./sc

..-^7=—=-.ZAME=Z.ECF

乂；./BME=4FCG，

RF

--=tanZ.EMH=tanZ.FCG=2,

BM

.ABAM+RMAM+BM_

"'BC=CE+BE=2/W+2ftV/"2"

(3)