冀教七年級上學(xué)期《27 角的和與差》

冀教新版七年級上學(xué)期《2.7角的和與差》

一.解答題（共37小題）

1.如圖，已知NAOB=NCOD=90。，ZBOC=34°.

（1）判斷NBOC與NAOD之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由;

（2）若OE平分NAOC,求NEOC的余角的度數(shù).

2.如圖，ZAOB=ZDOC=90°,0E平分NAOD,反向延長射線OE至F.

（1）NAOD和NBOC是否互補？說明理由；

（2）射線。F是/BOC的平分線嗎？說明理由:

3.如圖，已知同一平面內(nèi)NAOB=90。，ZAOC=50°.

（1）問題發(fā)現(xiàn)：NBOD的余角是,/BOC的度數(shù)是；

（2）拓展探究：若0D平分NBOC,0E平分NAOC,則NDOE的度數(shù)是

（3）類比延伸：在（2）條件下，如果將題目中的NAOB=90。改為NAOB=2/0；

NAOC=60。改為NA0C=2a（a<45°）,其他條件不變，你能求出NDOE嗎？

若能，請你寫出求解過程：若不能，請說明理由.

4.在同一平面內(nèi)已知NAOB=150°,ZCOD=90°,0E平分NBOD.

(1)當(dāng)NCOD的位置如圖1所示時，且NEOC=35。，求NAOD的度數(shù)；

(2)當(dāng)NCOD的位置如圖2所示時，作NAOC的角平分線OF,求/EOF的度

數(shù);

(3)當(dāng)NCOD的位置如圖3所示時,若NAOC與NBOD互補，請你過點0作

射線0M,使得NCOM為NAOC的余角,并求出NMOE的度數(shù).(題中的

角都是小于平角的角)

5.如圖，已知NAOB=50°,0D是NCOB的平分線.

(1)如圖1,當(dāng)NAOB與NCOB互補時，求NCOD的度數(shù);

6.如圖，點0是直線AB上任一點，射線0D和射線0E分別平分NAOC和N

BOC.

(1)填空：與NAOE互補的角有；

(2)若NCOD=30°,求/DOE的度數(shù)；

(3)當(dāng)/AOD=a。時，請直接寫出NDOE的度數(shù).

7.如圖，已知NAOB=NCOD

(1)試說明NAOC二NBOD；

(2)若NAOB=NCOD=90。，指出NAOD和NBOC之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理

由.

(1)試猜想NAOD與NCOB在數(shù)量上是相等，互余，還是互補的關(guān)系.

(2)當(dāng)NCOD繞著點0旋轉(zhuǎn)到圖(2)所示位置時，你在(1)中的猜想還成

立嗎？請用你所學(xué)的知識加以說明.

9.如圖，0是直線AB上一點，ZCOD=90°,OE、OF分別是NCOB、ZAOD

的平分線，且NCOB：ZAOD=4：9.

(1)寫出圖中NBOD的余角和補角；

(2)求NAOC的度數(shù)

10.如圖，己知OM平分NAOB,ON平分NBOC.

(1)若NAOB=90°,ZBOC=30°,則NM0N=；

(2)若NAOB二a,ZBOC=(3,其它條件不變，則NM0N=；

(3)當(dāng)0C運動到NA0B內(nèi)部時，其余條件不變，請你畫出圖形并猜想NMON

與/AOB、NBOC的數(shù)量關(guān)系式，并說明理由.

（1）如圖1,當(dāng)射線0C在NAOB的內(nèi)部時，

若NAOB=70。，則NDOE的度數(shù)為；

若NAOB=90。，則NDOE的度數(shù)為；

若NAOB=120。，則NDOE的度數(shù)為......

由此我們可以發(fā)現(xiàn)一個結(jié)論：ZDOE與NAOB之間的數(shù)量關(guān)系為;

（2）如圖2,當(dāng)射線0C在NAOB的外部時，（1）中的結(jié)論是否成立？請說

明理由

14.如圖①，ZAOB=ZCOD=90°,0M平分NAOC,ON平分NBOD.

（1）已知NBOC=20。，且NAOD小于平角，求NMON的度數(shù)；

（2）若（1）中NBOOa,其它條件不變，求NMON的度數(shù)；

（3）如圖②，若NBOC二a,且NAOD大于平隹，其它條件不變，求NMON

的度數(shù).

15.已知0為直線AB上的一點，ZCOE=90°,射線OF平分NAOE.

（1）在圖1中，當(dāng)NCOF=36。時，貝IJNBOE=,當(dāng)NCOF=m。時，則N

BOE=；以此判斷NCOF和NBOE之間的數(shù)量關(guān)系是;

（2）若將NCOE繞點。旋轉(zhuǎn)至圖2的位置，試問（1）中/COF和NBOE之間

的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化？若不發(fā)生變化，請你加以證明；若發(fā)生變化，請

你說明理由；

（3）若將NCOE繞點0旋轉(zhuǎn)至圖3的位置，繼續(xù)探究NCOF和NDOE之間的數(shù)

量關(guān)系，并說明理由.

圖1

16.如圖,已知0為直線AD上一點，ZAOC與NAOB互補，OM、ON分別

是NAOC、/AOB的平分線，ZMON=56°.

（1）NCOD與NAOB相等嗎？請說明理由；

（2）求NBOC的度數(shù);

（3）求NAOB與NAOC的度數(shù).

17.如圖1,點0為直線AB上一點，過點0作射線0C,使NBOC=120。，將

一直角三角板的直角頂點放在點0處，一邊0M在射線0B上，另一邊ON

部，且0M恰好平分NBOC.此時NAOM二度；

（2）如圖3,繼續(xù)將圖2中的三角板繞點0按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，使得ON在

NAOC的內(nèi)部.探究NAOM與/NOC之間數(shù)量關(guān)系，并說明你的理由：

（3）將圖1中的三角板繞點0以每秒10。的速度沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)一周，在旋

轉(zhuǎn)的過程中，若直線ON恰好平分NAOC,則此時三角板繞點0旋轉(zhuǎn)的時間

是多少秒？（直接寫出答案即可，不必說明理由）

18.如圖①，點0為直線AB上一點，過點0作射線0C,將一直角三角板如

圖擺放（NMON=90。）.

(1)將圖①中的三角板繞點0旋轉(zhuǎn)一定的角度得圖②，使邊0M恰好平分/

BOC,問：ON是否平分/AOC?請說明理由；

(2)將圖①中的三角板繞點0旋轉(zhuǎn)一定的角度得圖③，使邊ON在NBOC的內(nèi)

部，如果NBOC=60。，則NBOM與NNOC之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說

明理由.

19.點。為直線AR上一點，過點。作射線OC,使/BOC=6S。.將一直角二角

板的直角頂點放在點。處.

(1)如圖①，將三角板MON的一邊ON與射線0B重合時，則NMOC=；

(2)如圖②，將三角板MON繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)一定角度，此時0C是NMOB

的角平分線，求旋轉(zhuǎn)角NBON二；ZCON=.

(3)將三角板MON繞點0逆時針旋轉(zhuǎn)至圖③時，ZNOC=5°,求NAOM.

20.如圖，點0是直線AB上的一點，將一直角三角板如圖擺放，過點。作

射線0E平分NBOC.

(1)如圖1,如果NAOC=40。，依題意補全圖形，寫出求NDOE度數(shù)的思路

(不必寫出完整的推理過程)；

(2)當(dāng)直角三角板繞點0順時針旋轉(zhuǎn)一定的角度得到圖2,使得直角邊0C在

直線AB的上方，若NAOOa,其他條件不變，請你直接用含a的代數(shù)式

表示NDOE的度數(shù)；

(3)當(dāng)直角三角板繞點0繼續(xù)順時針旋轉(zhuǎn)一周，回到圖1的位置，在旋轉(zhuǎn)過

程中你發(fā)現(xiàn)NAOC與/DOE((TWNAOCW180。，(TWNDOEW180。)之間有

怎樣的數(shù)量關(guān)系？請直接寫出你的發(fā)現(xiàn).

21.如圖，直角三角板的直角頂點。在直線AB上，OC,0D是三角板的兩條

直角邊，0E平分/AOD.

(1)若NCOE=20°,則NBOD=；若NCOE二a,貝ijNBOD=(用

含a的代數(shù)式表示)

(2)當(dāng)三角板繞。逆時針旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時，其它條件不變，試猜測NCOE

與/BOD之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由.

22.如圖1,點0為直線AB上一點，過點0作射線0C,使NBOC=112。.將

一直角三角板的直角頂點放在點0處，一邊0M在射線0B上，另一邊ON

在直線AB的下方.

(1)將圖1中的三角板繞點0逆時針旋轉(zhuǎn)至圖2,使一邊0M在NBOC的內(nèi)部，

且恰好平分NBOC,問：直線ON是否平分/AOC?請說明理由；

(2)將圖1中的三角板繞點0按每秒4。的速度沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)一周，在旋

轉(zhuǎn)的過程中，第t秒時，直線ON恰好平分銳角NAOC,則t的值為多少？

(3)將圖1中的三角板繞點0順時針旋轉(zhuǎn)至圖3,使ON在NAOC的內(nèi)部，請

探究：NAOM與NNOC之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

23.已知將一副三角板(直角三角板OAB和直角三角板OCD,ZAOB=90°,Z

ABO=45°,ZCDO=90°,ZCOD=60°)

(1)如圖1擺放，點0、A、C在一直線上，則NBOD的度數(shù)是多少？

(2)如圖2,將直角三角板OCD繞點0逆時針方向轉(zhuǎn)動，若要0B恰好平分

ZCOD,則NAOC的度數(shù)是多少？

(3)如圖3,當(dāng)三角板OCD擺放在NAOB內(nèi)部時，作射線0M平分NA0C,射

線0N平分NBOD,如果三角板OCD在NAOB內(nèi)繞點0任意轉(zhuǎn)動，ZM0N

的度數(shù)是否發(fā)生變化？如果不變，求其值；如果變化，說明理由.

24.如圖1,點0為直線AB上一點，過點0作射線0C,使NBOC=120。，將

一直用三角板的直角頂點放在點0處，一邊0M在射線0B上，另一邊0N

在直線AB的下方.

(1)將圖1中的三角板繞點0逆時針旋轉(zhuǎn)至圖2,使一邊0M在NBOC的內(nèi)部，

且恰好平分NBOC,設(shè)0N的反向延長線為0D,則/COD=°,Z

AOD=°.

(2)將圖1中的三角板繞點0順時針旋轉(zhuǎn)至圖3,使0N在NAOC的內(nèi)部，求

ZA0M-ZNOC的度數(shù).

25.如圖，點0為直線AB上一點，過點0作射線0C,使NBOC=110。.將一

直角三角板的直角頂點放在點0處（ZOMN=30°）,一邊0M在射線0B上，

另一邊ON在直線AB的下方.

（1）將圖1中的三角板繞點0逆時針旋轉(zhuǎn)至圖2,使一邊0M在NBOC的內(nèi)部，

且恰好平分NBOC.求NBON的度數(shù).

（2）將圖1中的三角板繞點0以每秒5。的速度沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)一周，在旋

轉(zhuǎn)的過程中，第t秒時，直線ON恰好平分銳角NAOC,則t的值為

（直接寫出結(jié)果）.

（3）將圖1中的三角板繞點0順時針旋轉(zhuǎn)至圖3,使ON在NAOC的內(nèi)部，請

探究NAOM與NNOC的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

26.閱讀解題過程，回答問題.

如圖，OC在NAOB內(nèi)，/AOB和NCOD都是直角，且NBOC=30。，求NAOD

的度數(shù).

解：過0點作射線0M,使點M,0,A在同一直線上.

因為NM0D+NBOD=90°,ZBOC+ZBOD=90°,

所以NBOC=NMOD,

所以NAOD=1800-ZBOC=180°-30°=150°

(1)如果NBOC=60。，那么NAOD等于多少度？如果NBOC二n。，那么NAOD

等于多少度?

(2)如果NAOB二NDOLx。，ZAOD=y°,求NBOC的度數(shù).

27.如圖(1),將兩塊直角三角板的直角頂點C疊放在一起.

(1)試判斷NACE與/BCD的大小關(guān)系，并說明理由；

(2)若NDCE=3O°,求NACB的度數(shù)；

(3)猜想NACB與NDCE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

(4)若改變其中一個二角板的位置，如圖(2),則第(3)小題的結(jié)論還成立

圖⑴S(2)

28.如圖1,一副三角板的兩個直角重疊在一起，ZA=30°,ZC=45°,ACOD

固定不動，AAOB繞著0點順時針旋轉(zhuǎn)a°(0°<a<180°)

(1)若AAOB繞著0點旋轉(zhuǎn)圖2的位置，若NBOD=60。，則NAOC二；

(2)若0°<a<90°,在旋轉(zhuǎn)的過程中NBOD+/AOC的值會發(fā)生變化嗎？若不

變化，請求出這個定值；

(3)若9(TV(xV180。，問題(2)中的結(jié)論還成立嗎？說明理由.

A

29.如圖，己知NBOC=30。，0M平分NAOC,ON平分NBOC.

（1）如果N已知AOM與NMOB互為余角，求/MON的度數(shù)；

（2）如果已知中NAOB=80。，其他條件不變，NMON等于度.

（3）如果已知中NBOC=60。，其他條件不變，NMON等于度.

（4）從（1）、（2）、（3）中你能看出有什么規(guī)律.

30.如圖，點0在直線AB上，過0作射線OC,ZBOC=100°,一直角三角

板的直角頂點與點0重合，邊0M與0B重合，邊ON在直線AB的下方.

（1）三角板繞點0逆時針旋轉(zhuǎn)一定的角度，蘭邊0M在NBOC的內(nèi)部，ON

在AB的下方時，

①若NBON=10。，求/COM的度數(shù)；

②探究NCOM與NBON之間的數(shù)量關(guān)系，并簡單說明理由；

（2）若三角板繞點0按每秒10。的速度沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)的過程

中，第t秒時，直線ON恰好平分銳角NAOC,則t的值為（直接

31.將一副直角三角板按如圖1擺放在直線AD上(直角三角板OBC和直角三

角板MON,ZOBC=90°,ZBOC=45°,ZMON=90°,ZMNO=30°),保持

三角板OBC不動，將三角板MON繞點。以每秒8。的速度順時針方向旋轉(zhuǎn)

t秒.

(1)如圖2,當(dāng)t=秒時，0M平分NAOC,此時NNOC-Z

AOM=_______；

(2)繼續(xù)旋轉(zhuǎn)三角板MON,如圖3,使得OM、ON同時在直線0C的右側(cè)，

猜想NNOC與NAOM有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由(數(shù)量關(guān)系中不能含t)；

(3)直線AD的位置不變，若在三角板MON開始順時針旋轉(zhuǎn)的同時，另一

個三角板OBC也繞點0以每秒2。的速度順時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)0M旋轉(zhuǎn)至射線

0D上時，兩個三角板同時停止運動.

①當(dāng)t=秒時，/MOC=15。：

②請直接寫出在旋轉(zhuǎn)過程中，ZNOC與NAOM的數(shù)量關(guān)系(數(shù)量關(guān)系中不能

含t).

32.如圖甲，將一副三角板的兩個直角頂點重合在一起放置.

(1)當(dāng)NBOC=60。時，ZAOD=.

當(dāng)ZBOC=70°時，ZAOD=.

(2)如圖乙，NAOC與NBOD的大小關(guān)系如何？請說明理由.

(3)若把三角板COD繞點0順時針旋轉(zhuǎn)到如圖乙的位置時，(2)中的結(jié)論還

成立嗎？為什么？

AA

(1)如圖1,ZROC=?0°,則/AOD二:(指小于平角的角，下同)

(2)如圖2,ZBOC=60°,則NAOD=；

(3)若NBOC=100°,則NAOD=；

(4)如圖3,當(dāng)/AOB的位置固定不動，ZCOD繞角頂點0任意旋轉(zhuǎn)，設(shè)N

BOC=n°,則NAOD的度數(shù)是多少(用含n的式子表示)，說明你的理由.

34.操作：某興趣小組在研究用一副三角板拼角時，小明和小亮分別拼出圖1

和圖2所示的兩種圖形.如圖1,小明把30。和90。的角拼在一起；如圖2,小

亮把60。和90。的角按方式拼在一起，并在各自所拼的圖形中分別作出NAOB、

ZCOD的平分線OE、OF.

探究：(1)請你計算出圖1中NEOF的度數(shù).

(2)仿照(1)的做法，通過計算，可得圖2中NEOF=

猜測：當(dāng)有公共頂點的兩個角和一條邊重合，且這兩個角在公共邊的異側(cè)時,

這兩個角的平分線所夾的角為.(用。，p的式子表示)

說理：請你畫出圖形，并結(jié)合圖形說明你歸納結(jié)果的正確性.

35.(1)如圖1所示，將一副三角尺的直角頂點重合在點。處.

①NAOC與NBOD相等嗎？說明理由；

②NAOD與NBOC數(shù)量上有什么關(guān)系嗎？說明理由.

(2)若將這副三角尺按圖2所示擺放，直角頂點重合在點。處，不添加字母,

分析圖中現(xiàn)有標(biāo)注字母所表示的角；

①找出圖中相等關(guān)系的角；

②找出圖中互補關(guān)系的角，并說明理由.

36.如圖，已知NAOB=140。，NCOE與NEOD互余，OE平分NAOD.

(1)若NCOE=40°,則NDOE=,ZBOD=；

(2)設(shè)NCOE二a,NBOD邛，請?zhí)骄縜與0之間的數(shù)量關(guān)系.

37.已知NAOC=NBOD=a(0°<a<180°)

(1)如圖1,若a=90°

①寫出圖中一組相等的角(除直角外),理由是

②試猜想NCOD和NA0B在數(shù)量上是相等、互余、還是互補的關(guān)系，并說明理

由；

(2)如圖2,ZCOD+ZAOB和NAOC滿足的等量關(guān)系是；當(dāng)a=°,

NCOD和NAOB互余.

冀教新版七年級上學(xué)期《2.7角的和與差》

參考答案與試題解析

一.解答題（共37小題）

1.如圖，已矢口NAOB=NCOD=90°,ZBOC=34°.

（1）判斷NBOC與NAOD之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由;

（2）若0E平分NAOC,求NEOC的余角的度數(shù).

【分析】（1）根據(jù)角之間的關(guān)系解答即可；

（?）根據(jù)角平分線的定義和互余解答即可.

【解答】解：（1）NBOC與NAOD之間的數(shù)量關(guān)系為NBOC+NAOD=180。,

因為ZAOB=ZCOD=9O0,ZAOB+ZBOC+ZCOD+ZAOD=360°,

所以NBOC+NAOD=3600-ZAOB-ZCOD=180°,

（2）因為NAOB=90°,ZBOC=34°,

所以NAOC=ZAOB+ZBOC=124°,

因為OE平分NAOC,

所以/EOC=ZAOE=-iZAOC=62°,

2

所以NEOC余角的度數(shù)為90°-ZE0C=28°.

【點評】考查了余角和補角，關(guān)鍵是根據(jù)角平分線的定義解答.

2.如圖，ZAOB=ZDOC=90°,OE平分NAOD,反向延長射線OE至F.

（1）NAOD和NBOC是否互補？說明理由；

（2）射線OF是NBOC的平分線嗎？說明理由；

O

R

【分析】（1）根據(jù)和等于180。的兩個角互補即可求解；

（2）通過求解得到NCOF=NBOF,根據(jù)角平分線的定義即可求解；

【解答】解：（1）因為NAOD+NBOC

=360°-ZAOB-ZDOC

=360°-90°-90°

=180°,

所以NAOD和NBOC互補.

（2）因為OE平分NAOD,

所以NAOE:NDOE,

因為NCOF=180°?ZDOC-ZDOE=90°-ZDOE,

ZBOF=180°-ZAOB-ZAOE=90°-ZAOE,

所以/COF:/BOF,即OF是/BOC的平分線.

【點評】考查了余角和補角，關(guān)鍵是根據(jù)角平分線的定義解答.

3.如圖，已知同一平面內(nèi)NAOB=90°,ZAOC=50°.

（1）問題發(fā)現(xiàn)：NB0D的余角是/AOD,NBOC的度數(shù)是150°；

（2）拓展探究：若0D平分NBOC,0E平分NAOC,則NDOE的度數(shù)是口^；

（3）類比延伸：在（2）條件下，如果將題目中的NAOB=90。改為NAOB=2/B；

NAOC=60。改為NA0C=2a（a<45"）,其他條件不變，你能求出/DOE嗎？

若能，請你寫出求解過程：若不能，請說明理由.

【分析】（1）直接根據(jù)余角的定義得到NBOD的余角，利用NBOC=NAOB+N

AOC求出即可；

（2）利用角平分線的性質(zhì)和（1）中所求得出答案即可；

（3）根據(jù)角平分線的性質(zhì)求出即可.

【解答】解：（1）VZAOB=90°,

AZAOD+ZBOD=90°,

AZBOD的余角是NAOD,

VZAOC=60°,

AZB0C=ZA0B+ZA0C=90o+60°=150°,

故答案為：ZAOD,150°；

(2);OD平分NBOC,OE平分NAOC,

???ZCOD=-^ZBOC=75°,ZCOE=iZAOC=30°,

22

AZDOE的度數(shù)為：ZCOD-ZCOE=45O；

故答窠為：45°；

(3)VZAOB=P°,ZAOC=2a,

AZBOC=p+2a,

VOD>OE平分NBOC,ZAOC,

???/DOC」NBOC邛+a,NCOE」NAOC=a,

22

/.ZDOE=ZCOD-ZCOE=p+a-a邛.

【點評】此題主要考查了角平分線的性質(zhì)以及有關(guān)角的計算，熟練利用角平分

線的性質(zhì)得出是解題關(guān)鍵.

4.在同一平面內(nèi)已知NAOBE50。，ZCOD=90°,0E平分NBOD.

(1)當(dāng)NCOD的位置如圖1所示時，且NEOC=35。，求NAOD的度數(shù)；

(2)當(dāng)NCOD的位置如圖2所示時，作NAOC的角平分線OF,求NEOF的度

數(shù)；

(3)當(dāng)NCOD的位置如圖3所示時，若NAOC與NBOD互補，請你過點0作

射線OM,使得NCOM為NAOC的余角，并求出NMOE的度數(shù).(題中的

角都是小于平角的角)

【分析】(1)根據(jù)角平分線的定義和角的和差即可得到結(jié)論:

(2)根據(jù)角平分線的定義和角的和差即可得到結(jié)論；

(3)根據(jù)余角的性質(zhì)和角平分線的定義即可得到結(jié)論.

【解答】解：(1)VZCOD=90°,ZEOC=35°,

AZEOD=55°,

VOE平分NBOD,

.'.ZBOD=2ZEOD=HO0,

ZAOD=ZAOB-ZBDD=40°；

(2)VZAOB=150°,ZCOD=90°,

ZAOC+ZBOD=360°-150°-90°=120°,

VOF平分NAOC,OE平分NBOD,

；?NCOF:1/AOC,/DOE;L/BOD,

22

AZCOF+ZDOE=60°,

.?.ZEOF=60o+90°=150°；

(3)設(shè)/AOC=a,

,/ZAOB=150°,ZC0D=90o,

/.ZAOD=90°-a,ZBOC=150°-a,

：NAOC與NBOD互補，

AZAOC+ZBOD=180°,

AZAOD+ZBOC=180°,

.*.90°-a+150°-a=180°,

.,.a=30°,

即NAOC=30。,

AZBOD=150°,

VOE平分NBOD,

.,.ZDOE=ZBOE=75%

如圖3,VZCOM為/AOC的余角，

AZCOM=60°,

/.ZDOM=30°,

/.ZMOE=ZMOD+ZDOE=300+75°=105°,

如備用圖，VZCOM為NAOC的余角，

.\ZCOM=60°,

ZBOM=60°,

AZM0E=ZB0M+ZB0E=60°+75o=135°：

綜上所述，ZMOE的度數(shù)為105?；?35°.

【點評】本題考查了余角和補角的知識，解答本題的關(guān)鍵是掌握互余兩角之和

為90°,互補兩角之和為180°.

5.如圖，已知NAOB=50。，OD是NCOB的平分線.

(1)如圖1,當(dāng)NAOB與NCOB互補時，求NCOD的度數(shù)；

(2)如圖2,當(dāng)NAOB與NCOB互余時，求NCOD的度數(shù).

【分析】(1)根據(jù)NAOB與NCOB互補，可得NCOB的度數(shù)，根據(jù)角平分線定

義可得結(jié)論；

(2)根據(jù)NAOB與NCOB互余，可得NCOB的度數(shù)，根據(jù)角平分線定義可得

結(jié)論.

【解答】解：(1),../AOB與NCOB互補

ZCOB=180°-ZAOB=180°-50°=130°,(2分)

VOD是NCOB的平分線

AZCOD=-i-ZCOB=A-x130O=65。；(4分).

22

(2):/AOB與/COB互余，

/.ZCOB=900-ZAOB=90°-50°=40°,(6分)

,?，OD是NCOB的平分線，

AZCOD=-^ZCOB=^x40°=20°.(8分).

22

【點評】此題考查了角的計算，以及角平分線定義，弄清題中的圖形是解本題

的關(guān)鍵.

6.如圖，點0是直線AB上任一點，射線0D和射線0E分別平分NAOC和N

BOC.

(1)填空：與NAOE互補的角有NBOE、NCOE；

(2)若NCOD=30。，求NDOE的度數(shù)；

(3)當(dāng)NAOD=a。時，請直接寫出ZDOE的度數(shù).

【分析】(1)先求出NBOE二NCOE,再由NAOE+NBOE=180。，即可得出結(jié)論;

(2)先求出NCOD、ZCOE,即可得出NDOE=90。；

(3)先求出/AOC、ZCOD,再求出NBOC、ZCOE,即可得出NDOE=90。.

【解答】解:(1)?；OE平分NBOC,

ZBOE=ZCOE；

VZAOE+ZBOE=180°,

.?.ZAOE+ZCOE=180°,

???與NAOE互補的角是NBOE、ZCOE；

故答案為NBOE、ZCOE；

(2)TOD、OE分別平分NAOC、ZBOC,

???ZCOD=ZAOD=30°,ZCOE=ZBOE=-^ZBOC,

2

AZAOC=2X30°=60°,

AZBOC=180e-6O°=12O°,

/.ZCOE=-^ZBOC=60°,

2

???ZDOE=ZCOD+ZCOE=90°；

(3)當(dāng)NAOD=a°時，ZDOE=90°.

【點評】本題考查了余角和補角以及角平分線的定義；熟練掌握兩個角的互余和

互補關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵.

7.如圖，已知NAOB=NCOD

(1)試說明NAOC二NBOD；

(2)若NAOB=NCOD=90。，指出NAOD和NBOC之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理

【分析】（1）根據(jù)直角的定義可得NAOB=NCOD=90。，然后解答即可;

（2）根據(jù)互補和角的關(guān)系解答即可.

【解答】解（1）VZAOB=ZCOD

ZAOC+ZBOC=ZBOD+ZBOC

AZAOC=ZBOD

（2）ZAOD+ZBOC=180°（或NAOD和NBOC互補）

理由：*.*ZAOD=ZAOC+ZBOC+ZBOD

???ZAOD+ZBOC

=NAOC+NBOC+NBOD+NBOC

=（ZAOC+ZBOC）+（ZBOD+ZBOC）

=ZAOB+ZCOD

VZAOB=ZCOD=90°

.\ZAOD+ZBOC=180°

【點評】本題考查了余用和補角的定義，根據(jù)直角的定義可得NAOB=NCOD=90。

是解題的關(guān)鍵.

（1）試猜想NAOD與NCOB在數(shù)量上是相等，互余，還是互補的關(guān)系.

（2）當(dāng)NCOD繞著點0旋轉(zhuǎn)到圖（2）所示位置時，你在（1）中的猜想還成

立嗎？請用你所學(xué)的知識加以說明.

【分析】（1）根據(jù)直角的定義可得NAOB=NCOD=90°,然后用NAOD和NCOB

表示出NBOD,列出方程整理即可得解；

（2）根據(jù)周角等于360。列式整理即可得解.

【解答】解：⑴/AOD與NCOB互補.

理由如下：VZAOB>NCOD都是直角，

.\ZAOB=ZCOD=90o,

AZBOD=ZAOD-ZAOB=ZAOD-90°,

ZBOD=ZCOD-ZCOB=90°-ZCOB,

AZAOD-90°=90°-ZCOB,

/.ZAOD+ZCOB=180°,

???NAOD與NCOB互補;

（2）成立.

理由如下：VZAOB>NCOD都是直角，

AZAOB=ZCOD=90°,

?/ZAOB+ZBOC+ZCOD+ZAOD=360°,

AZAOD+ZCOB=180°,

AZAOD與NCOB互補.

【點評】本題考查了余角和補角的定義，比較簡單，用兩種方法表示出NBOD

是解題的關(guān)鍵.

9.如圖，0是直線AB上一點，ZCOD=90°,OE、OF分別是NCOB、ZAOD

的平分線，且NCOB：ZA0D=4：9.

(1)寫出圖中NBOD的余角和補角：

(2)求NAOC的度數(shù)

【分析】(1)依據(jù)NCOD=90°,ZAOB=180°,即叮得到NBOD的余角為NBOC,

ZBOD的補角為NAOD；

(2)依據(jù)NCOB：ZA0D=4：9,即可得到9(90,-NBOD)=4(180°-NBOD),

求得NBOD=18。，即可得到NAOC的度數(shù).

【解答】解：(1)VZCOD=90°,ZAOB=180°,

ZBOC=90°-ZBOD,ZAOD=180°-ZBOD,

即NBOD的余角為NBOC,ZBOD的補角為NAOD；

(2)ZCOB：ZAOD=4：9,且NBOC=90。-ZBOD,ZAOD=180°-ZBOD,

/.9(90°-ZBOD)=4(180°-ZBOD),

解得NBOD=18°,

.'.ZBOC=90°-18°=72°,

,ZAOC=180°-72°=108°.

【點評】此題主要考查了角平分線的定義以及余角和補角，根據(jù)角平分線定義

得出所求角與已知角的關(guān)系轉(zhuǎn)化求解.

10.如圖，已知OM平分NAOB,ON平分NBOC.

(1)若NAOB=90°,ZBOC=30°,則NMON=60。；

(2)若NAOB=a,ZBOC=p,其它條件不變，則NMON二人(ct+B);

2

(3)當(dāng)OC運動到NAOB內(nèi)部時，其余條件不變，請你畫出圖形并猜想NMON

與NAOB、NBOC的數(shù)量關(guān)系式，并說明理由.

【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義求得NMOB,ZBON,再根據(jù)角的和差關(guān)系

即可求解；

（2）根據(jù)角平分線的定義求得NMOB,ZBON.再根據(jù)角的和差關(guān)系即可求

解；

（3）根據(jù)角平分線的定義求得NMOB,ZBON.再根據(jù)角的和差關(guān)系即可求

解.

【解答】解：（1）?.?NAOB=90°,ZBOC=30°,OM,ON分別平分NAOB,Z

BOC,

ZMOB=^ZAOB=45°,ZBON=-^ZBOC=15°,

22

AZMON=ZMOB+ZBON=60°.

故答案為：60°；

(2)VZAOB=a,ZBOC=p,OM,ON分別平分NAOB,ZBOC,

/.ZMOB=—ZAOB=—a,ZBON=—ZBOC=—p,

2222

AZMON=ZMOB+ZBON=-i-(a+p).

故答案為：1(a+f)；

乙

(3)VOM,ON分另］平分NAOB,ZBOC,

???NMOB二工/AOB,NCON二工NBOC,

22

ZMON=ZMOB-ZCON=—(ZAOB-ZBOC).

2

【點評】本題考查了角平分線定義，角的有關(guān)計算的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是求

出NMOB,NBON的大小.

11.如圖，直線SN_L直線WE,垂足是點0,射線ON表示正北方向，射線

0E表示正東方向.已知射線0B的方向是南偏東m。，射線0C的方向是北偏

東n°,且m。的角與n。的角互余.

(1)寫出圖中與NBOE互余的角：NBOS,NCOE.

(2)若射線0A是NBON的角平分線，探索NBOS與NAOC的數(shù)量關(guān)系.

【分析】(1)由NBOS+NCON=90°、NBOS+NCON+NBOE+COE=180°可得答案.

(?)根據(jù)。A是/BON的角平線，可得/NOA與/NOB的關(guān)系，根據(jù)兩角互

補，可得NBON與NSOB的關(guān)系，再根據(jù)角平分線，可得NNOA與NNOB

的關(guān)系，根據(jù)兩角互余，可得NNOC與NSOB的關(guān)系，根據(jù)角的和差，可

得答案.

【解答】解：(1)圖中與NBOE互余的角有NBOS,

由m。的角與n。的角互余知NBOS+NCON=90。，

,/ZBOS+ZCON+ZBOE+COE=180°,

AZBOE+COE=90°,

VZBOE=m°,ZCOE=n°,且m°+no=90°,

AZBOE+ZCOE=90°.

故答案為：ZBOS,ZCOE；

(2)ZAOC=—ZBOS.

2

???射線OA是NBON的角平分線,

AZNOA=—ZNOB,

2

VZBOS+ZBON=180°,

AZBON=180°-ZBOS,

ZNOA=-^ZBON=90°--IZBOS,

22

,/ZNOC+ZBOS=90°,ZNOC=90°-ZBOS,

???ZAOC=ZNOA-ZNOC=90°-工/BOS-(90°-ZBOS)

2

AZAOC=-^ZBOS.

2

【點評】本題主要考查余角和補角，解題的關(guān)鋌是掌握余角和補角的定義及角

平分線的性質(zhì)、角的和差計算.

(2)在圖1中，設(shè)NAOOa,ZNOB=p,請?zhí)骄縜與B之間的數(shù)量關(guān)系［必

須寫出推理的主要過程，但每一步后面不必寫出理由);

(3)在己知條件不變的前提下，當(dāng)NAOB繞著點O順時針轉(zhuǎn)動到如圖2的位

置，此時a與B之間的數(shù)量關(guān)系是否還成立？若成立，請說明理由；若不

成立，請直接寫出此時a與。之間的數(shù)量關(guān)系.

【分析】(1)先根據(jù)余角的定義計算NBOC=50。，再由角平分線的定義計算/

BOM=100°,根據(jù)角的差可得NBON的度數(shù)；

(2)同理先計算NMOB=2NBOC=2(90°-a)=180°-2a,再根據(jù)NBON二NMON

-ZBOM列等式即可；

(3)同理可得NMOB=180。-2a,再根據(jù)NBON+NMON=NBOM列等式即可.

【解答】(10分)

解：(1)如圖1,???/人。(：與/80(2互余，

AZAOC+ZBOC=90°,

VZAOC=40°,

AZBOC=50°,

VOC平分NMOB,

AZMOC=ZBOC=50°,

.\ZBOM=100°,

VZMON=40°,

AZBON=ZMON-ZBOM=140°-100°=40°,

故答案為：50,40；…(4分)

(2)解：P=2a-40°,理由是：

如圖1,VZAOC=a,

AZBOC=90°-a,

TOC平分NMOB,

AZMOB=2ZBOC=2(90°-a)=180°-2a,...(5分)

又〈NMON=NBOM+/BON,

.?.140°=180°-B|JP=2a-40°：(7分)

(3)不成立，此時此時a與B之間的數(shù)量關(guān)系為：2a+0=4O。，(8分)

理由是：如圖2,VZAOC=a,ZNOB=p,

.?.ZBOC=90°-a,

TOC平分NMOB,

.*.ZMOB=2ZBOC=2(90°-a)=180°-2a,

,/ZBOM=ZMON+ZBON,

，1800-2a=140°+p,B|J2a+B=40°,

答：不成立，此時此時a與0之間的數(shù)量關(guān)系為：2a+B=40。，(10分)

【點評】本題考查了角平分線定義，角的有關(guān)計算的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是求

出注意利用數(shù)形結(jié)合的思想，熟練掌握角的和與差的關(guān)系.

13.已知NAOB,OD,OE分別為NAOC,NBOC的角平分線

(1)如圖1,當(dāng)射線OC在NAOB的內(nèi)部時,

若NAOB=70°,則NDOE的度數(shù)為35°：

若NAOB=90。，則NDOE的度數(shù)為45。；

若NAOB=120。，則/DOE的度數(shù)為60?！?/p>

由此我們可以發(fā)現(xiàn)一個結(jié)論：ZDOE與NAOB之間的數(shù)量關(guān)系為/DOE=?N

乙

AOB；

(2)如圖2,當(dāng)射線0C在NAOB的外部時，(1)中的結(jié)論是否成立？請說

明理由

【分析】(1)根據(jù)角平分線定義得出NDOC=qNAOC,NEOCM/BOC,求出

22

NDOE=L(ZAOC+ZBOC)二工/AOB,即可得出答案；

22

(2)根據(jù)角平分線定義得出NDOC二工NAOC,/EOC二1/BOC,求出NDOE二

22

—(ZAOC-ZBOC)二工/AOB,即可得出答案.

22

【解答】解：(1)如圖1,當(dāng)射線0C在NAOB的內(nèi)部時，

VOD,0E分別為NAOC,/BOC的角平分線，

AZDOC=—ZAOC,ZEOC=—/BOC,

22

AZDOE=ZDOC+ZEOC=—(ZAOC+ZBOC)J/AOB,

22

若NAOB=70。，則NDOE的度數(shù)為35。

若NAOB=90°,則NDOE的度數(shù)為45。

若NAOB=120°,則NDOE的度數(shù)為60°,

由此我們可以發(fā)現(xiàn)一個結(jié)論：ZDOE與NAOB之間的數(shù)量關(guān)系為NDOE=1N

2

AOB,

故答案為：35°,45°,60°,ZDOE=4ZAOB：

2

(2)當(dāng)射線0C在NAOB的外部時(1)中的結(jié)論仍然成立.理由是:

???0D、OE分別是NAOC、NBOC的角平分線

AZCOD=iZAOC,

2

NEOC」NBOC,

2

ZDOE=ZEOC-ZCOD,

=-^ZBOC--IZAOC,

22

=^ZAOB.

2

【點評】本題天考查了角的有關(guān)計算和角平分線定義，能夠求出/DOE=aNAOB

是解此題的關(guān)鍵，求解過程類似.

14.如圖①，ZAOB=ZCOD=90°,OM平分NAOC,ON平分NBOD.

(1)已知NBOC=20。，且NAOD小于平角，求NMON的度數(shù)；

(2)若(1)中NBOC=a,其它條件不變，求NMON的度數(shù)；

(3)如圖②，若/BOC=a,且NAOD大于平隹，其它條件不變，求NMON

的度數(shù).

【分析】(1)依據(jù)NAOB=NCOD=90°,ZBOC=20°,即可得至ljNAOC=NBOD=90°

-20°=70°.再根據(jù)0M平分NAOC,ON平分NBOD,即可得出NMON=/

MOC+ZCOB+ZBON=90°；

(2)依據(jù)NAOB=NCOD=90。，ZBOC=a,即可得至ijNAOC=NBOD=90。-Q.再

根據(jù)0M平分NAOC,ON平分NBOD,可得NMOC=NBON=45。-Lx,進(jìn)

2

而得到NMON=NMOC+NCOB+NBON=90°；

(3)依據(jù)/AOB=NCOD=90。，ZBOC=a,可得NAOC=NBOD=9(T+a.再根據(jù)

OM平分NAOC,ON平分NBOD,即可得至lj/MOC:/80"45。+工(1,卻可

2

得出NMON=NMOC-ZCOB+ZBON=90°.

【解答】解：(1)VZAOB=ZCOD=90°,ZBOC=20°,

ZAOC=ZBOD=90°-20°=70°.