數(shù)學建模習題集

數(shù)學一一探求模式

什么是數(shù)學？數(shù)學是研究現(xiàn)實世界的空間形式與數(shù)量關系的科學。在數(shù)

學中，我們研究客觀世界中量性的規(guī)律性，也就是說，研究（量化）模式，所

以數(shù)學也是研究模式的科學，它涉及模式的觀察，猜測的檢驗以及結(jié)果的估

計。例如，人們對勾股定理的認識過程就經(jīng)過一個探求模式的過程.在我國

最早詳細記載勾股定理的首推《周髀算經(jīng)》，它大約寫于公元前235年至公

元前145年之間。書的開篇就以商高回答周公何題的形式提出：“數(shù)之法出

于圓方，圓出于方，方出于矩，矩出于九九八十一，故折矩以為勾廣三、股

修四、徑隅五。既方其外，半之一矩，環(huán)而共盤得三、四、五，兩矩共長二

十有五是謂積矩。故禹之所以治天下者此數(shù)之所由生也?！彼f的是，

條線段分成3：4:5所構(gòu)成的三角形是直角三隹形，這樣的三角形內(nèi)接于圓

且弦為直徑，同時還有等式32+42=52成立（見圖1）。這說明商高通過觀察

個別直角三角形勾、股、弦之間的量值關系，已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了勾股定理的特殊情

況.《周髀算經(jīng)》又在“陳子曰”下說：“若求斜至R者，以H下為勾，日

高為股，勾、股各自乘，并而開方除之，得斜至日?！边@就是說，

科至日（蘢）=府’而（見圖2）

上式就是勾股定理的一般形式。它說明陳子已通過觀察特殊的一些直角

三角形的勾、股、弦之間的量值關系，發(fā)現(xiàn)了一般規(guī)律，從而提出了上述的

勾股定理。

圖1

A勾

在數(shù)學上，對于某個數(shù)學問題通篇觀察一些特殊情形，從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律而

提出的一般性猜測，必須進行驗證才能確認它成立。對勾股定理的證明，世

界上有許許多多方法，在我國是以趙爽（公元3世紀三國東吳人）在《周髀算

經(jīng)》注中所撰寫的《勾股圓方圖注》為最早。趙爽畫了一張他所謂的“弦圖”

（圖3）,其中每一個直角三角形稱為“朱實”，中間的一個小正方形叫“中

黃實”，以弦為邊的正方形ABEF叫“弦實”。由于四個朱實加上一個黃實

就等于弦實，所以有下式成立：

4Xgab+（b-a）1=cl,

即

a2+b2=c2o

這樣，趙爽就用割補法證明了勾股定理。

A

EB3

除了邊長分別為3、4和5的直角三角形外，是否還有其他的三邊長都是

整數(shù)的直角三角形呢？

公元三世紀魏晉時期，我國古代數(shù)學家劉徽進一步研究了三條邊長都是

整數(shù)的直角三角形。他發(fā)現(xiàn)，還有許多直角三角形，它們的邊長也都是整數(shù),

例如，5、12、13；7、24、25；8、15、17；20、21、

29；…。

若以x、y、z分別表示勾、股、弦，那么用代數(shù)的語言來說，以上各組

數(shù)都是不定方程

x2+y2=z2

的整數(shù)解。滿足這個不定方程的整數(shù)解(x、y、z)就叫做勾股數(shù)。

劉徽不僅舉出了不少勾股數(shù)，而旦用出入相補原理證明了勾股數(shù)的一般

形式是

2mn,n2-m2,n2+m2.

其中n,m(n>m)是任意整數(shù)(在古希臘差不多與劉徽同時的數(shù)學家刁番都也

獨立地證明了這一結(jié)果)。這就解決了不定方程x?+y2=z?的整數(shù)解問題。然

而，人類對模式的探求永遠也不會中止，1637年，法國數(shù)學家費爾馬對上述

問題，也就是將一個平方數(shù)分為兩個平方數(shù)的問題，發(fā)生了興趣。他進一步

地探求，能否將一個三次方幕分為兩個三次方易之和，將一個四次方幕分

為兩個四次方事之和，或者更一般地將一個n次方幕分為兩個n次方察之和？

他在刁番都著作《算術(shù)》拉丁文譯本的空白處寫了一段簡短的筆記，給出一

個否定的結(jié)論：“不可能把一個正整數(shù)的二次方幕分成兩個二次方幕的和，

一個四次方冢分成兩個四次方累的和；或者一般地說，不能把任意一個次數(shù)

大于2的正整數(shù)的方塞分成兩個同次方幕的和。”接著他又寫道：“我發(fā)現(xiàn)

了這個論斷的證明，但是書上的空白太窄了，寫不下。”這就是著名的費爾

馬猜想。這個猜想可以用不定方程表示：設n>2,不定方程

xn+yn=zn

除了xyz二0外沒有其他整數(shù)解。費爾馬關于這一猜想的證明(如果真有的話)

從未被人找到過。三百多年來，許多數(shù)學家都曾為求得其證明而努力。人們

開始只能對于許多給定的n來證明費爾馬猜想成立，貝西(1605—1675)利用

費爾馬的提示給出了n=4的證明，后來瑞士數(shù)學家歐拉(1707—1783)又

證明了n=3的情形，1857年德國數(shù)學家?guī)炷瑺?1810—1893)創(chuàng)立了理想數(shù)理

論，證明了對于小于100的奇素數(shù)，費爾馬猜想成立。他所建立的理想數(shù)理

論為代數(shù)數(shù)論奠定了基礎，成了許多數(shù)學分支的重要工具。對費爾馬猜想的

最終證明雖然難度極大，但是，人們相信，隨著現(xiàn)代數(shù)學理論的發(fā)展，這個

堡壘必將會被攻破。

1993年夏季，美國數(shù)學家威爾斯（Awiles）從橢圓曲線的方向來證明費公

馬猜想，論文發(fā)表以后，人們發(fā)現(xiàn)了在他的證明中有一個小漏洞。1994年9

月威爾斯和另一位數(shù)學家泰勒（RTaylor）彌補了這個漏洞，最終完成了費爾

馬猜想的證明，數(shù)學家們夢寐以求的目標終于達到了。

由上面的例子可以看到探求模式的過程一般要經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問題、分析問題

和解決問題的一種創(chuàng)造性過程。因此，在學習數(shù)學時，不僅要學習定義和定

理等基礎知識，當然，它們是十分重要而右.用的，而且還要學習探求模式時

數(shù)學所提供的有特色的思維方式，以提高創(chuàng)造力（包括發(fā)散性思維能力，集

中性思維能力和人的個性品質(zhì)等）和調(diào)控能力（包括問題解決時解題策略的

選擇，整個過程的組織和思路的調(diào)整等），從而提高發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和

解決問題的能力。在當今的信息時代，應用這些數(shù)學思維方式的經(jīng)驗所構(gòu)成

的能力已成為一種日益重要的智力，它使人們能吸收新的想法，適應各種變

化，對模棱兩可的事件能發(fā)現(xiàn)模式并能解決非常規(guī)的問題。

在學習探求模式的過程中，我們也必須注意到，人們探求模式的最終目

的還是為了應用。早在《周髀算經(jīng)》中曾記載陳子利用勾股定理求出從地面

一點到太陽的距離。據(jù)傳說古埃及人在建筑宏偉的金字塔時也用過勾股定

理。當今隨著社會的發(fā)展，生產(chǎn)力的提高，科技的進步，數(shù)學的應用更是日

益廣泛，不斷深入。因此，我們在學習數(shù)學知識的同時還要學習運用數(shù)學知

識，在解決各種現(xiàn)實生活問題的過程中，進一步發(fā)現(xiàn)數(shù)學的魅力，進一步體

會數(shù)學的意義、思想和方法。

第1題檢驗臺最佳位置

n臺機器位于一直線上（圖1—1）,它們所生產(chǎn)的零件必須送到一個檢驗

臺上，經(jīng)檢驗合格后，才能送往下一道工序繼續(xù)加工。已知移動零件所需的

費用與所移動的距離成正比，問檢驗臺放在哪里可使移動零件所花費的總費

用最省？

>>?？"RaiHa

圖1-1

為了求解，我們首先必須理解題意。設用直線上的點Mi表示第i臺機器

的位置，點A表示檢驗臺的位置，因為將零件移到檢驗臺所需的費用與所移

動的距離成正比，所以我們的問題就是要在直線上確定A點的位置使檢驗臺

到各機器的距離之和

M1A+M2A+-+MnA

最小。

如何解題呢？一下子無法著手。于是，我們先設計一個解題計劃。我們

設想，先考察n=2,3,4等特殊情形，再從中尋求其一般規(guī)律，即探求其模

式。

現(xiàn)在考察一些特殊情形：

⑴如果只有2臺機器，則易知線段M1M2上任何一點都是檢驗臺的最佳

位置（圖1—2）。

(2)如果有3臺機器，則也易知檢驗臺應放在中間的機器M2的位置處(圖

1-3)o

S1-3

(3)如果有4臺機器，則對兩端的機器Ml和M4來說，線段M1M4上任

何一點都是最佳位置；對中間的2臺機器M2和M3來說，線段M2M3上任

何一點都是最佳位置。因此，對4臺機器來說，線段M2M3(=M1M4A

M2M3)上的任何點都是最佳位置(圖1—4)。

對于5臺或6臺機器，問題也都容易解決。我們?nèi)菀鬃C明：一般地，如果

機器的臺數(shù)是奇數(shù)，則最中間那臺機器的位置就是檢驗臺的最佳位置；如果

臺數(shù)是偶數(shù)，則處在最中間的兩臺機器之間的任何點都是最佳位置。

注意，在上述問題中必須假設各機器的工作效率都是相同的。如果各機

器的效率是不同的，例如，在圖1-5中，機器M1的效率是機器M2的2倍，

機器M3的效率是機器M2的3倍，那么檢驗臺又應設在哪里？

田1-€

如果我們把機器Ml看作2臺效率與機器M2相同的機器，它們都位于點

Ml上，把機器M3看作3臺效率與機器M2相同的位于同一點M3上的機器,

那么問題就歸結(jié)為具有6臺效率相同的機器的情況，根據(jù)上述問題的結(jié)論，

線段M2M3上任何一點都是檢驗臺的最佳位置。這方法可以推廣到n臺效率

不同的機器的情形中去。

注：在解決上述問題的過程中，我們可以看到問題解決的過程一般有4

個步驟：

(1)理解問題：了解問題的條件、結(jié)論。對解決問題條件是否足夠？是

否有多余的或矛盾的條件？有時還可以畫示意圖或列表幫助理解題意。

(2)設計計劃：尋找解題思路，列出解題計劃(在本題中的解題計劃是先

考察一些特殊情形，然后尋找一般規(guī)律)。

(3)實施計劃：按計劃進行解題(若出現(xiàn)前面未注意到的問題，必須修改

計劃)。對實施過程和所得的結(jié)果必須進行檢驗。

(4)回顧：對所用的方法是否能改進？能否尋找一個新的解法？是否能

將所用的方法推廣到新問題中去？

在本題中的回顧是將各機器的工作效率相同的情形推廣到各機器效率

可以相差正整數(shù)倍的情形。

理解向魁卜-----

I

|設計計劃卜------

|實隨計劃|

我們應該充分重視問題解決之后的回顧這一環(huán)節(jié)。因為一個問題的解決

并非總是意味著模式探求過程的終結(jié)，可以繼續(xù)思考，是否還有新的解法,

原有的問題是否還能發(fā)展，是否能進一步提出新的問題。這種思維訓練將對

創(chuàng)造力的培養(yǎng)，特別對發(fā)現(xiàn)問題能力的培養(yǎng)，有重大的作用。

下面我們考慮用代數(shù)方法解檢驗臺的最佳位置問題。為了說明思路，我

們先來討論最簡單的一些情形。

如果已知效率相同的3臺機器位于x軸上，且它的所在位置的坐標如圖1

—6所示，如何用代數(shù)方法來求檢驗臺的最住位置？

設x為檢驗臺位置的坐標，則機器M「M?和M；離檢驗臺的距離分別為氐

(-2)|、|x?l|和|x-3|c于是，求檢驗臺的最佳位置實際上就是求x值，使得由

它所確定的檢驗臺到各機器的距離之和

|x-(-2)|+|x-l|+|x-3|

為最小。用函數(shù)的語言來說，設函數(shù)

f(x)=|x-(-2)|+|x-l|+|x-3|,

我們設法要從它的函數(shù)圖象上研究x取什么值時.它所對應的函數(shù)值達

到最小值。

為了畫出函數(shù)f(x)的圖象，我們考慮下面4種情形：

―,那么

f(x)=(2x)+(1?x)+(3-x)=-3x4-2

(2)-2WxWl,那么

f(x)=(x+2)+(1-x)+(3-x)=-x+6

(3)lWxW3,那么

f(x)=(x+2)+(x-l)+(3-x)=x+4

(4)x23,那么

f(x)=(x+2)+(x-l)+(x-3)=3x-2

于是，我們可以把函數(shù)f(x)寫成如下分段函數(shù)的形式：

-3x+2,x<-2

-x+6,-2<x<l

x+4,l<x<3

3x-2,實x

畫出函數(shù)f(x)的圖象(如圖I—7所示)。由圖1-7可以看到,當x=l時，S

數(shù)f(x)所對應的函數(shù)值f(l)=5達到最小值，所以x=1處為檢驗分的最佳位置。

一般地，設函數(shù)丫=f(X)在X。處的函數(shù)值是f(X。)。如果不等式f(x)2f(x0)

對于定義域內(nèi)任意x都成立，那么f(內(nèi))叫做函數(shù)y=f(x)的最小值。實際上，

上述方法就是利用函數(shù)圖象來達到求函數(shù)的最小值的目的。

現(xiàn)討論稍復雜一些的情形，即在圖1—6中機器Ml的效率是機器M2的2

倍，機器M3的效率是機器M2的3倍。這時，仍設x為檢驗臺位置的坐標，

那么求檢驗臺的最佳位置歸結(jié)為求x值使得函數(shù)

f(x)=2|x-(-2)|+|x-l|+3|x-3|

取值最小。

由于檢驗臺的最佳位置必在機器M1和M。之間，所以我們只要畫出函

數(shù)f(x)在區(qū)間[-2,3]上的圖象。于是，只考慮下面2種情形：

(l)?2Wx〈l,那么

f(x)=2(x+2)+(l?x)+3(3?x)=-2x+14

(2)lWxW3,那么

f(x)=2(x+2)+(x-l)+3(3-x)=12

因此，函數(shù)f(x)(x￡L-2,3])可以寫成

-2x+14.-2<x<l

{f(x)-12,Kx<3

畫出函數(shù)f(x)(x￡[-2,3])的圖象(如圖1—8)所示，由圖1—8可以看到,

當xG[1,3]時，函數(shù)f(x)(x[-2,3]所對應的值都達到最小值12,所以

M2和M3之間的任一點都是檢驗臺的最佳位置。

容易看到，利用代數(shù)方法可以把問題推廣到各機器的工作效率相差非整

數(shù)倍的情形中去，這里就不詳加討論了。

練習1

1.已知4臺位于x軸上的機器所在的位置如下圖1—9所示：

(1)當該4臺機器工作效率相同時，用代數(shù)方法求檢驗臺的最佳位置。

(2)當機器M1和M3的效率分別是M2的2倍和3倍，M4的效率和M?

相同時，用代數(shù)方法求檢驗臺的最佳位直。

(3)在(1)和(2)中，不利用函數(shù)圖象，直接通過函數(shù)關系式求檢驗臺的最

佳位置。

2.(1)在下列方格圖案中，你能分別找到多少正方形？

□田曲瞿

(?)M(c)(d)

田1-10

(2)在7X7的方格圖案中，你能找到多少正方形？

(3)在nXn的方格圖案中，你能找到多少正方形？

3.如圖1一11所示，工廠A2…，A,由小路(細線)與公路(粗線)相連。

在公路上設一個汽車站，要求它到各工廠的路程總和越小越好。問：

(1)車站設在哪里最好？

(2)如在P地又建一廠，并沿圖上虛線修小路，這時車站又應設在哪里最

好？

在公路1的一側(cè)從A至B有一排樓房(圖2—l)o想在公路上的任何一處拍

一張正面快照，如何選擇公路上的點，使拍攝的一排樓房的取景角最大。所

謂取景角即為NACB。

用數(shù)學的語言來說就是已知同一平面上兩點及一直線，(兩點代表一排

樓房的兩端，一直線代表公路)，兩點在直線的同側(cè)，在已知直線.上求一點C,

使AC與BC的夾角/ACB最大。

分析：兩點在1的同側(cè)，但其位置可能出現(xiàn)三種情形

(1)兩點的連線與1平行。(見圖2—1)

A、B表示一排樓房的兩個端點的冷線1表示公路，你很自然地會想到，

作線段AB的垂直平分線交1于C點，連接AC和BC,則夾角NACB最大。點C

由此而得到。

（2）兩點的連線與1垂直。（見圖2—2）

圖2-2

若還是采用上述方法，由于AB的垂直平分線與1是互相平行的，它們

的交點并不存在，所以原有的方法不能采用，下面再看第3種情形。

（3）兩點的連線與1斜交。（見圖2—3）

由圖2—3可以看到，雖然線段AB的垂直平分線與1的交點C是存在的,

但是NACBV/AC〕B,不是最大的夾角。在上述兩種情形中可以看到，利

用線段AB的垂直平分線與1的交點C,找最大夾角的方法并不一定是正確的

方法，它不適合情形（2）和（3）。那么是否在直線1上一定存在一點X,連接AX,

BX,使在這點處有NAXB最大？

讓我們設想一邊沿著直線1走，一邊看著線段AB,從直線1與A、B連線

的交點出發(fā)往右行走（如圖2—4）

在起點，面對AB的角度為0。，即X從起始位置開始向右緩緩移動，X

在起始時的NAXB=0°,而后，角度逐漸增大：到了一定的點后，往后的

趨勢是當X離起始位置越來越遠時，角度再次減少，在無窮遠處，ZAXB=

0°。在角度為0°的兩種極端情形之間。由這樣的變化趨勢可知，必定在這

兩者之間取得到最天值。因此一定存在點X,使得NAXB的值最大。

由于直線是向兩方無限沿仲，但到底在哪一點可以達到最大值？不妨在

直線1上任選一點X,該點是我們隨意取的這一息，不一定在我們所要求的最

大值的位置上。

如果這一點是最大值的位置，顯然已經(jīng)求得。

如果這一點不在最大值的位置上，那么必有另一點，在最大值位置的另

一側(cè)，在該點所討論的角度有相同的值，即是否在直線1上有另外一點X',

使/AX'B=ZAXB?

在情形⑶中根據(jù)圓的有關圓周角的一個熟知的性質(zhì)，X與X,（如果X'

存在的響。兩點必在通過A、B兩點的同一圓周上。于是讓我們通過己知

點A、B畫若干個圓。（如圖2—5）。

如果這樣一個圓與直線1交于兩點X與X,，那么同弦所對的圓周角相等，

即NAXB:NAX'Bo這個圓中弦XX,上的任意點Y一定有NAYB>N

AXB（同弦所對的圓內(nèi)角大于圓周角）。于是NAXB不是最大的角。只有與直

線1相切圓的切點M,才能使觀察AB的角度達到最大。（即圖2—5中的N

AMB）O

解：（如圖2—6所示）

設經(jīng)過A、M、B三點的圓的圓心為O,半徑為R；經(jīng)過A.X'、X、B

的圓的圓心為0',半徑為R'。則0與0'必在AB的垂直平分線上。設AB

的中點為C。

因為NAMB、NAXB是圓周角，fftfZAOB,NAO'B是圓心角,

所以NAME=gZAOB.ZAXB=^ZAO/B

在RtAACOflRtAACO;中

1,15A

$in-ZAOB=?-r-.sin-ZAO,B=^7-

4K4K

由于RVR'

又因為-NAOB與-ZAO?B都是銳角

所以g/AOB〉gNAO,B

由此可得NAMB>NAXB

這是第3種情形下的解題證明過程。而對于第2種情形同樣可以通過此題

來證明。但也可推廣到用解析幾何的解題方法來加以證明。

以直線I為x軸，A、B的連線為y軸建立直角坐標系（如圖2—7）所示。

設A點到x軸的距離（即為到直線1的距離）為a、B點到x軸的距離為b,X即為］

上的任一點，NAXB即為所求的最大的角。

設NAXO=a,NBXOB,則NAXB=B-a,0X=x

tgZ.ccB=tg(P-a)

tgB-tga

ab

x+一

因為x+—>2*7^當且僅當x■—BPx■4E時

XX

x+—有最小值=2>/ab

x

所以tgNAXB==有最大值=急

X

即當*=疝時.tg/AXB有最大值=搟言

NAXB有最大值=arctg

注：我們知道在地圖上或質(zhì)形圖上的一條等高線是連接圖上所表示地面

海拔高度相同的點而成的一條曲線。如果你想象海平面升高100米，那么漫

入海灣的一條新海岸線將隨這個新海平面的上升而出現(xiàn)，這條新的海岸線就

是高度為100米的等高線。繪圖者僅需畫幾條相等間隔的等高線，例如100

米，200米，300米，……；可以認為，在每一高度上都有一條等高線。

這樣，利用等高線就可以知道地圖上每一點的海拔高度。

類比方法：類比是比較某種類型的相似性，可以說佗是一種更確定的和

更概念性的相似。問題中的圓弧相當于“等高線”。除此之外，在足球場上,

足球運動員帶球射門(如圖2—8所示)把門框的兩邊可以看作是兩端點A、B,

運動員帶球前進所站的位置即為所求的點C,使得NACB這個射角盡可能

大。當然在比賽中運動員不可能去具體地計算這個角度的大小，只不過是相

類似的問題而已。

Q2-8

練習2

1.兩人坐在長方形桌旁，并且兩人相繼輪流往桌上平放一枚同樣大小

的硬幣，條件是硬幣一定要平放在桌面上，不能使后放的硬幣壓在先前的硬

幣上。這樣繼續(xù)下去，最后桌面上只剩下一個位置時，誰放下最后一枚，誰

就算勝了。錢就歸誰。設兩個人都是能手，先放的勝還是后放的勝？為什么？

第3題足球甲A聯(lián)賽

中國足球甲A聯(lián)賽共有12個隊參加主客場制的雙循環(huán)賽，請你回答下列

問題：

(1)一年的聯(lián)賽中共需進行幾輪比賽？

(2)一年的聯(lián)賽中共需進行幾場比賽？

(3)若每周只進行一輪比賽，要保證年內(nèi)完成聯(lián)賽，甲級隊最多可達到

多少個？

分析：所謂主客場制的雙循環(huán)賽是指任何兩個參賽的隊之間都要分別在

自己的主場與對手打一場比賽，即任何兩隊之間要比賽兩場。所以參加甲A

聯(lián)賽的每個球隊都要參加22場比賽，由于每輪中每隊最多踢一場比賽，可

知至少需22輪比賽才能完成一年的聯(lián)賽，事實上，中國足球甲A聯(lián)賽恰好22

輪完成，每輪12個甲A足球隊之間共比賽6場，所以共需進行22X6=132場

比賽。

一般地，每年有52個完整的星期，所以一年中共可進行52輪比賽，要考

慮甲A足球隊最多可達到多少個，需要知道參賽球隊數(shù)與比賽輪數(shù)間的關

系。根據(jù)比賽規(guī)則，若有n個隊參賽，每個隊都要與其余的(n-1)個球隊分別

比賽2場，所以至少2(n?l)輪比賽才能完成，下面考慮是否對于任意的自然

數(shù)n,都恰好能在2[n-l)輪完成。我們先對一些特殊情況進行分析：當n=12

時，恰好需要2(12-1)=22輪比賽,也容易驗證n=4,或6時分別能在6輪、10

輪比賽中完成整個賽程；而當n=5時，每一輪只能有4個隊參加比賽，而必

然有一個隊輪空，且為了保證賽程順利進行，每輪輪空的球隊在一個單循環(huán)

中不同，所以在一個單循環(huán)中，每個球隊恰好輪空一次，共需5輪比賽，即

整個聯(lián)賽共需10輪。下面是n=5時一種賽程安排表，從中可得到一些啟發(fā)，

設甲、乙、丙、丁、戊五隊參加比賽，隊名排在前的球隊為主場。

第一輪：甲與乙；丙與丁(戊輪空)

第二輪：甲與丙；乙與戊(丁輪空)

第三輪：甲與戊；乙與丁(丙輪空)

第四輪：甲與??；丙與戊(乙輪空)

第五輪：乙與丙；丁與戊(甲輪空)

以上為第一循環(huán)，第二循環(huán)只需改變主客場進行比賽即可。

由以上的特例，容易看到，一般地，當參賽球隊數(shù)n為偶數(shù)時，每輪中

每個球隊均能參加比賽，且每隊均需比賽2(n-1)場，所以需2(n-1)輪比賽；

當n為奇數(shù)時，每輪中必有一隊輪空，每個隊在整個聯(lián)賽中輪空2次，所以共

需2(n-1)+2=2n輪比賽才能完成一年的聯(lián)賽進程。

根據(jù)上面的結(jié)論，25個或26個球隊參加聯(lián)婁均需50輪，而27個球隊比賽

則需54輪才能完成，因此，甲級隊最多只能為26個，否則一年內(nèi)將不能完成

聯(lián)賽。

解:略。

回顧：參加比賽的球隊數(shù)與比賽輪數(shù)間的關系也可以通過分析比賽的總

場次與每輪能夠進行比賽的場次得到：

設n個隊參賽，每個隊都將在自己的主場踢(n-I)場比賽，所以整個聯(lián)賽

中共需進行n(n-I)場比賽，當n為偶數(shù)時，每輪可進行

酒比賽.比賽輪數(shù)為n(n-1)-弓)=2(n-1).當n為奇數(shù)時.

每輪只能送行亨輪比賽,總場次除以每輪場次的商為2n,所以苻

要2n輪比賽才能完成。

練習3

1.若參賽隊只有8個時，共需多少場比賽才能完成主客場制的雙循環(huán)賽,

列出一種比賽安排表，并與同學比較你們的賽程表是否一致。

2.列出參賽隊為9個時的一種雙循環(huán)賽程表。

第4題網(wǎng)球比賽

11名選手將要參加網(wǎng)球單打比賽，組委會決定采用不設種子選手的淘汰

賽方式?jīng)Q出冠軍，但對于比賽中必然會出現(xiàn)的輪空問題卻有不同的意見，

種意見認為每一輪都要保證盡可能多的運動員參加比賽，而另一種意見認為

只允許第一輪中有運動員輪空，請你就以下的三個問題分析這兩種意見的異

同點：

（1）比賽的總場次；

（2）比賽的輪數(shù);

（3）輪空人次。

分析：淘汰賽即參加比賽的選手通過抽簽，配對比賽，勝者進入下一輪,

負者則失去了比賽資格；若一輪中將要參賽的選手數(shù)為奇數(shù)，則必然有人輪

空，所以11人參加的比賽必然會出現(xiàn)輪空現(xiàn)象，并且輪空人次與比賽規(guī)則有

關。以下為了敘述方便，將第一種意見稱為“規(guī)則I”，將后一種意見稱為

“規(guī)則H”。

根據(jù)規(guī)則I,每一輪比賽最多只有一名運動員輪空，即當參加某輪比賽

的選手為奇數(shù)個時，只需選擇一名選手直接進入下一輪比賽即可，因此按規(guī)

則【進行比賽的流程圖（圖4一1）大致如下所示：

0>

0口

0口

0>

0

0>0

0

0>U

0

0=二*

0

E）4-1

由以上流程圖可看出，若采用規(guī)則I組織比賽，比賽總場次、輪數(shù)、輪

空人次分別是10、4、2。

若采用規(guī)則n組織比賽，需解決的關鍵問題是保證從第二輪起不能再出

現(xiàn)輪空現(xiàn)象。根據(jù)經(jīng)驗，在所有的體育比賽中，均為決賽中有2人

（隊）參加，半決賽時應有4人（隊）參加比賽,而9決賽應是8人（隊）

參加角逐，依此類推，在淘汰賽中若不出現(xiàn)輪空運動員，參賽人數(shù)可以表示

為2n（n￡N）的形式。因此，從第二輪起，每輪參賽人數(shù)均是2的某次幕。由

于23V11V24,所以第二輪應有23=8人參加比賽,而第一輪應有2J11=

5人輪空，并決出8人參加第二輪比賽，第三輪有22=4人參賽，最后第四輪

有2=2人參賽決出冠軍。由以上的分析可知，采用規(guī)則II的比賽流程圖（圖

4—2）可寫為如下形式：

因此，本問題的結(jié)論為：

總場次就數(shù)輪空人次

OJ!to42

OJI11045

解：略。

回顧：以上分析了11人參賽的情況，從結(jié)論可知，不論采用哪種規(guī)則,

比賽的總場次及比賽的輪數(shù)均相同，是否能得到以下更具一般性的結(jié)論：無

論多少人參賽，組委會關于輪空問題的意見分歧不能改變比賽的總場次及輪

數(shù)。

顯然上面的結(jié)論時于參賽人數(shù)為2n的情況成立，因為在這種情況下不

產(chǎn)生輪空運動員，關于輪空的分歧不對賽程產(chǎn)生影響，其中將共進行n輪比

賽,每輪比賽的場次分別為2e，2n-2,…，4,2,1場，所以無論采用哪種

規(guī)則，總場次均為+29+…+4+2+1=2%］場，即場次比參賽人數(shù)少

1,而這一結(jié)論也可由淘汰制的特點得到：淘汰賽中，每場比賽必有1人（隊）

因失利而失去比賽資格，并且只有冠軍獲得者一場未敗，所以無論多少人參

賽，總要有（參賽人數(shù)?1）個運動員被淘汰，即需要進行（參賽人數(shù)?1）場比賽,

因而比賽的場次與參賽人數(shù)有關，與輪空的安排無關。

若參賽人數(shù)P不為2n（n￡N）的形式，則一定能找到某個自然數(shù)n使2向＜

PV2n,若采用規(guī)則II,第一輪比賽后將有2句個運動員參加第二輪比賽，

所以需要進行n輪的比賽；若采用規(guī)則I,將要參加第二輪比賽的運動員數(shù)

在（2酎2,2nd］內(nèi)，第三輪時有資格參賽的人數(shù)在區(qū)間（2『3,2n］］內(nèi)，因為

最后一輪總是2人參加比賽.可以推得只需且必須n輪才能完成比賽.

由以上的分析可知，組委會的意見分歧對比賽的輪數(shù)及場次不產(chǎn)生影

響，因此選用哪一規(guī)則應根據(jù)它們遇到輪空問題時的合理性。在本問題中，

由于11人參賽，規(guī)則I與規(guī)則H相比，合理性體現(xiàn)在輪空運動員少于規(guī)則H,

但缺點在于半決賽時還有一名選手輪空，增加了參加冠亞軍決賽運動員的偶

然性。因此，我們很容易提出下面的問題：是否有這樣的參賽人數(shù)，使得在

采用規(guī)則I時輪空運動員的人次比采用規(guī)則H的多。

要回答上面的問題，應首先注意到，采用規(guī)則I組織比賽，每一輪最多

一人輪空，最后一輪時不會有人輪空，因此，輪空的總?cè)舜慰偸遣淮笥冢ū?/p>

賽輪數(shù)-1）,當且僅當每輪的參賽人數(shù)均為奇數(shù)時，輪空人次才能達到（比賽

輪數(shù)-1）。例如：共17人參賽，第二輪時乘IJ9人，第三輪時剩5人，第四輪時

剩3人，第五輪時2人參加決賽，除去最后一輪，前4輪中均有一人輪空；但

采用規(guī)則H,第二輪時應有16人參賽，所以第一輪共有15人輪空。為了得到

更一般的規(guī)律，下面考察參賽人數(shù)分別為9,10,11,12,13,14,15,

16時的輪空情況：

由上表，當參賽人數(shù)位于123,2勺時，采用規(guī)則I產(chǎn)生的輪空數(shù)不

會多于采用規(guī)則0。一般地，若有P名選手參賽，且＜P^2n(nGN),

則采用規(guī)則I,最多產(chǎn)生(n-1)人次輪空，而采用規(guī)則H,將有(2n?P)名選

手在第?輪輪空，要說明采用規(guī)則I不會產(chǎn)生比規(guī)則II多的輪空，只需考察

P=2n,2n-I,2n?2,…，2n?n+2即可，即只需考慮不大于2n且與2n最

接近的(n?l)個數(shù)。又因為P-2叩寸，兩種規(guī)則均不產(chǎn)生輪空現(xiàn)象，P-2n-1

時，兩種規(guī)則均為在第一輪有一人輪空，比賽流程圖完全一樣，所以只要考

慮P為從(2廠2)到⑵-n+2)的這(n-3)個數(shù)。當n=5時,只要考慮P為29,30

這兩種情況，n=6時，只需考慮P為62,61,60三種情況，n=7時，只需

考慮P為126,125,124,123四種情況，…。下面是以上各種情況的結(jié)

論：

由上面的結(jié)論可知：在比賽人數(shù)不多于128人時，采用規(guī)則［將在輪空

人次上體現(xiàn)出其合理性，而采用規(guī)則II,將在比賽的偶然性上體現(xiàn)出其合理

性，也就是說這兩種比賽規(guī)則各有利弊。在通常的淘汰制比賽中，一般是通

過設立種子選手的方法解決問題，即讓種子選手在第一輪輪空，非種子選手

參加第一輪比賽，種子選手人數(shù)的多少按下列原則確定：第一輪中的非種子

選手為偶數(shù)，且非種子選手數(shù)的一半與種子選手數(shù)的和為2n的形式。

注：在本問題中，用到了兩種解決數(shù)學問題常用的思想方法，即由特殊

到一般的推理思想和小型模擬實驗與理論分析相結(jié)合的方法。當遇到一個全

新的數(shù)學問題而對問題的解決束手無策時，運用這兩種方法可以使解題思路

逐漸打開，并在分析中不斷擴大問題空間，最終達到解決問題、引申問題的

目的。希望你能在完成練習3和練習4時，再次體會到運用這兩種方法所能甘

給你的幫助。

練習4

1.若22人報名參加淘汰制的網(wǎng)球單打比賽，設多少名種子選手比較好。

2.若參賽人數(shù)在129到256之間時，為了證明采用規(guī)則I不會產(chǎn)生更多

的輪空人次，應考察哪幾個數(shù)。

3.在黑板上隨意寫1995個“+”或，按以下規(guī)律擦去：每次隨

意擦去2個符號，然后按擦去同號添一個“+”，擦去異號添一個”號

的原則操作。問：(1)經(jīng)過多少次操作后不能再次進行下去。(2)最后的操作

結(jié)果與操作過程有元關系，為什么？(3)最后結(jié)果與原始狀態(tài)的“+””

符號的多少有何關系，為什么？

4.已知線段AB的端點A為紅色，B為藍色，在AB間添上n個紅或藍色

的點，將AB分成n+1條小線段，若定義一條兩端顏色不同的線段為標準線

段，問標準線段條數(shù)的奇偶性與n的大小有無關系，與添加點的顏色有何關

系？

第5題猜數(shù)游戲

古代烽火臺是戰(zhàn)爭中通訊的工具，修建一人烽火臺，可以報告有無敵人

來犯及來犯敵人的數(shù)目。假如修建6個烽火臺，以1000人為單位，6個烽火

臺可報告1000人?63000人之間的數(shù)目。報告方法如下：

如圖所示有A、B、C、D、E、F6座烽火臺，烽火臺下面依次標上數(shù)碼

32、16、8、4、2、1,現(xiàn)在是B、D、F3個烽火臺點燃了烽火，就

把這3個烽火臺下面的數(shù)目相加，16+4+1=21。說明有1000X21=21000名

敵人來犯。假如把A、D、E、F四個烽火臺點燃，由32+4+2+1=39

可知有1000X39=39000名敵人來犯。你知道以上作為發(fā)出信號的一方是

加何根據(jù)敵人來犯的人數(shù)點燃烽火臺？而作為接受信號的一方，又是如何根

據(jù)烽火臺點燃的情況來計算敵人數(shù)目的？

分析：從這6個烽火臺下面的數(shù)字可以看出，只要是1到63之間的任何

數(shù)，都能使A、B、C、D、E、F6個烽火臺的下面的數(shù)字加起來找到。烽

火臺傳數(shù)的道理是使用了二進制數(shù)。二進制數(shù)的最大優(yōu)點是可以用兩個動作

表示任何數(shù)字。用點燃烽火表示“1”，用熄滅表示“0"。二進制數(shù)每一位

都固定表示十進制的一個數(shù)(見表格)

二遺室的求位

R1M數(shù)某一

(￡±MulH

表示十進貌案

把十進制數(shù)化成二進制數(shù)往往采用連續(xù)用2短除，一直除到商等于0為

止。例如將47化成二進制數(shù)，連續(xù)用2短除。

.??????

…二1

2|3……1

得47=25+23+22+2'+2。，即47各鶯成二進制數(shù)101111,即

47([o)=lOllll2),其中下角(10)表示十進制，(2)表示二進制。

就拿此例來看，以1000人為單位，只點燃F臺，則表示的二進制數(shù)是

00000^)=1,即有1000名敵人；若把6座烽火臺全部點燃，則表示的二進制

數(shù)是111111(2尸32+16+8+4+2+1=63。即有63000名敵人。因此，6座烽

火臺能傳出前敵人數(shù)是1000人至IJ63000人。

回顧：有一種猜姓或猜年齡的游戲，也可以利用二進制數(shù)與十進制數(shù)的

轉(zhuǎn)換而得。下面介紹猜年齡的游戲。

現(xiàn)有A、B、C、D、E5張卡片，上面有被猜人的年齡數(shù)。當你把5張卡

片依次給被猜人看，當他看到卡片上有自己年齡時，就回答“有"你就記下

“1”，當他回答“無”時，你就記下“0”。若對方回答是“無有無無有”

你相應記下01001,這時你就可以按二進制數(shù)化十進制數(shù)的方法進行計算得:

0X16+1X8+0X4+0X2+1X1=9歲，說明被猜人是9歲。若又有被猜人回

答是“有有無有有"。你相應地記下11011。計算得1X16+1X8+0X4+1

義2+1義1=27歲。

13579

1113151719

2123252729

31

這5張卡片實際上是一種編碼，將年齡數(shù)按二進制數(shù)中的“1”和“0”

分別放在5張卡片中。例如15(⑼=01111.則將15分別寫在B、C、D、E4張

卡片內(nèi)即可。第一位是“0”，則在A卡片中不用寫，由此即可編出A、B、

C、D、E5張卡片中的數(shù)字了。接著，我們自然要問這5張卡片能猜到最大

年齡是幾歲？因為這5張卡片所

能表示的最大的二進制數(shù)是11111⑺=2溫2,?1=31.所以這身長

卡片最多能猜到31歲。一般地，n張卡片能表示的最大年齡是多少？應該是

2n?1歲。

由此可見，要給別人猜年齡，首先你應確定編好幾張卡片。這是由最大

年齡所決定的。設最大年齡為a,n為滿足不等式的最小自然數(shù)，見

應編n張卡片。至于每張卡片上的年齡數(shù)，則是將此十進制位數(shù)化為二進制

數(shù)有“1”的就必須將年齡數(shù)寫在卡片上。是“0”的位數(shù)就不用寫在卡片上。

注：二進制數(shù)與十進制數(shù)的轉(zhuǎn)換在現(xiàn)代科學中應用相當廣泛。例如，在

計算機中通常采用二進制數(shù)。一方面是由于二進制數(shù)的運算簡單，另一方面

是由于任何一個二進制數(shù)都是由0和1兩個數(shù)碼組成，這很容易用電子元件

來實現(xiàn)，這因為在旦學中我們可以用兩種穩(wěn)定的狀態(tài)來分別表示0和1,例

如，電燈的亮和滅，脈沖的有和無，晶體管的導通和截止等，而要找出一種

具有10種穩(wěn)定狀態(tài)的元件來表示10種不同的數(shù)字卻很困難，由于二進制數(shù)在

計算機中容易實現(xiàn)，所以在目前幾乎所有的計算機都采用二進制數(shù)。

練習5

1.通過猜年齡游戲的卡片編制過程,你能動腦筋編出百家姓的卡片嗎？

第6題加油站加油排隊

某個加油站每次只能對一種車輛加油。各種車輛的加油時間如下:

車型：大型卡車中型卡車小汽車

時間(分)：754

如果這三種車輛同時到達加汕站加汕，問加油站應該怎樣安排加油順

序，才能使總共需要的時間(加油及等候時間最??？

分析：由于加油站一次只能對一種車輛加油，所以三種車輛同時到達，

必定產(chǎn)生有兩種車輛要等候。要節(jié)省時間，必須盡量減少等候時間，而讓加

油時間短的車輛先加油，就能節(jié)省總的加油及等候時間。我們不妨計算一下

按大型卡車、中型卡車、小汽車加油順序所需總的等候時間：

7+7+7+54-5+4=35(分)

如果按大型卡車、小汽車、中型卡車的加油順序計算總的等候時間為：

7+74-7+4+4+5=34(分)

顯然，第二種方案比第一種方案好一些。如果我們把所有的加油方案一

一列舉出來，通過計算，就能找到最優(yōu)方案。對于這樣的問題是否有規(guī)律性,

利用它還能解決更一般的情形嗎？

解：由于加油時間分別為7分、5分和4分鐘，所以合理的方案是安排加

油時間短的車輛先加油，這樣其他兩種車輛的等候時間就較短，因此按小汽

車、中型卡車、大型卡車的加油順序計算總的等候時間為最少。

4+44-4+5+5+7=29(分)

回顧：如果有幾種不同類型的車輛同時到達加油站，加油的時間分別為

“、T2-Tn,則等候的總時間T為：

T=nT[+(n-1)T2+(n-2)T3-|--+Tn

要使T最少，只有當T|WT?W…W，時，T取到最小，因此必須安排加

油時間短的車輛先加油，加油房間長的車輛放在后面。

下面我們考慮將上述問題從加汕站的加汕能力方面加以推廣：

如果加油站能夠同時對兩種車輛加油，對各種車輛的加油所需時間為：

車型：重型車大卡車中型卡車小汽車微型車

時間(分)：107543

車型：摩托車

時間(分)：2

如果有上述六種不同類型的車輛同時到達，又應該如何安排加油順序

呢？

首先必須考慮分成二組，分組和編排加油順序仍然以盡量減少等候時間

為原則。第一種方案是每組各三輛車設第一組，加油時間分別為、T2、

T3,則總共需要時間為：

T(+(T)+T2)+(T)+T2+T3)=3T]+2T2+T3

同理，另一組為3L+2G+t3,六種車輛所需的總時間T為：

T=3(Tj+h)+2⑴+匕)+(13+t3)

從式子中可以看出，7+L盡可能小。因此，摩托車、微型車安排在最

前，小汽車、中型卡車其次，而大卡車及重型車安排在最后。即分成的兩組

為：

第一組：摩托車、小汽車、大卡車

第二組：微型車、中型卡車、重型車

所需總時間T為：

T=3(2+3)+2(4+5)+(7+10)=50(分)

如果按另一種方案編成四輛和二輛的兩組又如何呢？顯然時間為：

(4T|+3T2+2T3+T4)+(21)+^)=T1+3(T)+T2)

4-2(T3+t1)+(T4+t2)

與第一種方案作同樣的各析，多了一個T1,不是最節(jié)省。同樣以五輛與一輛

為兩組的所需時間更不節(jié)省了。

注：下面我們不加證明地介紹一個不等式的結(jié)論，上述問題也可看作它

的一個應用。

假設有兩組數(shù)：a-a2,???,an；b,,b2,bn,滿足：

aj^a2W…b|Cb2W…這6,我們稱：

a1b|+a2b2+a3b34-----Fanbn為順序和；

albn+a2bn—1+,,,+anbl為逆序和;

%即+%242+…+編4式1〈4i2,…，in^n,1可1，…，

jnWn)為亂序和。

在不等式中有：順序和、亂序和、逆序和。(證明從略)

在上述問題中的總時間T=nT]+(n-1)T2+…+1；的情況下，要使T最

小，取其逆序和即可,即有T|WT?W…W%

練習6

1.某加工廠加工某一批零配件，需要加工后才能送到下一道工序繼續(xù)

加工，否則只能等待。已知各種類型的零件加工時間如下：

零件類型：12345

加工時間：5540308060(單位：分)

問如何安排加工順序才能使總的等待時間最短？

2.如果這5種零件需要先后兩種工序加工，加工時間如下表，又應該如

何安排加工順序呢？

零件類型：12345

加工工序1：5040302040

加工工序2：3020608060(單位：分)

完成先后兩道工序總用了多少時間呢？

第7題蔬菜運輸方式的選擇

某公司欲將一批易壞蔬菜從A地運往B地，共有汽車、火車、直升飛機

三種運輸工具可供選擇，三種運輸工具的主要參考數(shù)據(jù)如下：

運輸工具途口速度途中費用裝卸時間裝卸費用

(千米/小時)(元/千米)(小時)(元)

汽車50821000

火車100442000

飛機2001621000

若這批蔬菜在運輸過程中的損耗為300元/小時，問采用哪種運輸方式比較

好，即運輸過程中的費用與損耗之和最小。

分析：商品的運輸過程是增加成本的過程，要想在商品的營銷中獲利最

高，必然盡可能降低其成本。對于本問題而言，若采用飛機運輸可以減少途

中時間，即減少蔬菜損耗，但租用運輸工具的費用較高；若采用火車運輸，

途中費用比較節(jié)約，但裝卸不便；而采用汽車運輸將增加途中的時間，因此

作出運輸方式的決策，主要是在減少途中費用和時間上找到合理的結(jié)合點，

盡可能減少總支出，控制成本的提高。

解：設A、B兩地間距高為s千米，則采用三種運輸工具的費用和時間可

用下表給出：

運輸工具途口費用（元）途中時間（小時）

汽車8s+1000才2

火車4s4-2000卷”

飛機16s+1000品*2

分別用5、c2sc3表示用汽車、火車、飛機運輸時的總支出，則有：

Cj-8*4-1000+(―+2)X300-14s+1600

cr2=p4s+2000+('104。)Yx300=7s+-3200

c,=16s+1000+(-^-+2)X300=1753+1600

由C]、C2、C3的表達式及S>0可知:

5VC3恒成立；

C]-與<0的解為V—^—^230

C2-C3<0的解為$>挈3150

所以可以有以r結(jié)論：

（1）當〈竽時，即AB間距高不多于

230千米時，采用汽車運輸較合理。

（2）當5=與時，c,=c,<cP即AB間足離大約為230千

米時，采用火車、汽車均可。

（3）當$>竽時，c]>與且。3〉與，即A、B間距離超過

230千米時，采用火車運輸比較合理。

回顧：由上面解決問題的過程可知，因為cl>c3不成立，所以采用直

升飛機運輸不可能成為最合理的運輸方式，事實上，飛機運輸?shù)膬?yōu)勢體現(xiàn)在

速度上，即由于減少途中時間而減少損耗，下面探討當蔬菜損耗率為多少時,

直升飛機運輸可能成為最佳的運輸方式。

設損耗率為X元/小時，則

Cj=8$+1000+（―+2）x

ca■4s+2000+（+4）x

C）=16s+1000+（菖^+2）x

要使直升飛機運輸成為最好的運輸工具，只需滿足:

fe>-Cj>0

k.，3〉。

即

?8S+.?言

-⑵+1000+（而-研+2）x>0（2）

由Q）新式2x-8）>0

200

乂>】600

由⑵衙小用”明務■煙（3）

s?400

200+2

褥800（3s-125）、1600

而不等式s+4。。>下

的解為$>竿~170（公里）

所以可以有如K結(jié)論成立

（1）當，《殍.竽時°、最小.即當AB兩地間箔離小于

170千米時,只有當損耗不小于?元/小時時,飛機運輸較合理.

⑵當〉苧,x>*言時，避小，即AB兩地間距離

不小于170千米時，當損耗率達到多少可以采用直升飛機運輸與AB兩地間

距離有關，其關系式由（3）式給出。

練習7

1.某公司準備將一批貨物用直升飛機從甲地運到乙地，在運輸過程中,

有兩種裝卸方式可供選擇，即內(nèi)部裝卸和外部裝卸。其中采用內(nèi)部裝卸方式

可以增加途中速度，減少途中時間，但裝卸時間增加I;而采用外部裝卸方式

恰好相反，可以節(jié)約裝卸時間，下面是兩種方式下的參數(shù)：

裝卸方式平均速度裝貨時間卸貨時間

（千米/小時）（小時）（小時）

內(nèi)部裝卸220ii

外部裝卸1601《

請討論如何時運輸方式進行決策。

2.某地打算建造一座總跨度為1米的橋梁，現(xiàn)在準備就造幾個橋墩問題

進行決策。在決策過程中，主要考慮以下兩個因素：（1）建造橋墩的費用，（2）

造橋所需鋼材的費用，其中，若橋墩數(shù)減少，隨著兩橋墩間跨度的增大，造

單位長度的橋梁所需鋼材將增加。如果假設任意兩個橋墩間的距離相等，造

一個橋墩的費用為p元，橋梁所用鋼材的單價為c（元/千克），橋梁的鋼材月

量與兩橋墩間距離（橋孔長）成正比例關系，比例系數(shù)為K,即若橋孔長為X

米，則鋼材需用量為KX（千克/米）。請你作出正確的決策。

3.某運輸公司欲將一批易壞物品從甲地運往乙地，其中有三種方式可

供選擇，其主要參考數(shù)據(jù)如下：

運輸方式裝卸時間裝卸費用運輸速度途中費用

（小時）（元）（千米/小時）（元/公里）

火車44001004

汽車2200506

直升飛機22002008

若這批物品的損耗為300元/小時，甲乙兩地間距離為2000公里，請問:

⑴哪種運輸方式比較合理；

（2）若物品損耗率不變，當甲、乙兩地間距離為多少時火車是最好的運

輸方式；

（3）若甲、乙兩地相距200公里，損耗率達到多少時，直升飛機運輸最好。

第8題庫存

在經(jīng)濟活動中，為了保證正常的生產(chǎn)和銷售需耍，常常要使原材料或商

品有一定的庫存量。在訂購時，大量訂購會使庫存量太多造成資金積壓，乂

要付出較高的保管費用；如果是少量訂購，會導致訂購次數(shù)增多而使訂購費

用增加（注：訂購費用不是購貨費用，只與訂購次數(shù)有關，如運輸次數(shù)增多

而產(chǎn)生的費用）。于是，就產(chǎn)生了這樣的問題，如何尋找一個最優(yōu)的訂購量,

使訂購費用及保管費用之和最小，我們把這類問題稱為庫存問題。下面我們

給出一個具體的庫存問題：

某大型商廈一年內(nèi)需要購進彩電5000臺，每臺彩電的價格為4000元，每

次訂購彩電的費用為1600元，年保管費用率為10%,（例如，一年內(nèi)平均庫

存量為150臺，一年付出的保管費用60000元，則

盛蕊=10%為年保者費用率）問每次訂購多少臺彩電，才能使訂

購費用及保管費用之和最??？

分析：假設每次訂購的貨量為X臺，開始庫存量為X臺，經(jīng)過一個周期的

正常均勻銷售后，庫存量變?yōu)榱悖@樣乂開始下一次的訂購，因

此平均庫存量為gx白，所以每年肉保管費用為:x?4000?10%元，而