《移碼與浮點表示》課件

移碼與浮點表示計算機如何存儲和表示數(shù)字？移碼和浮點表示是兩種常用的數(shù)字表示方法。數(shù)制的表示十進制十進制使用0到9這十個數(shù)字。每個數(shù)字的位置代表一個權(quán)值，從右到左依次為1、10、100等。二進制二進制使用0和1這兩個數(shù)字。每個數(shù)字的位置代表一個權(quán)值，從右到左依次為1、2、4、8等。十六進制十六進制使用0到9以及A到F共16個數(shù)字。每個數(shù)字的位置代表一個權(quán)值，從右到左依次為1、16、256等。八進制八進制使用0到7這八個數(shù)字。每個數(shù)字的位置代表一個權(quán)值，從右到左依次為1、8、64等。位權(quán)和二進制位在計算機中，數(shù)字是以二進制形式存儲的。每個二進制位都有一個對應(yīng)的位權(quán)，它表示該位的值乘以2的冪次方。例如，十進制數(shù)10可以表示為二進制數(shù)1010，其中最高位的位權(quán)為23，最低位的位權(quán)為20。因此，1010可以表示為1×23+0×22+1×21+0×20=8+2=10。移碼的表示及特點移碼表示將真值加上一個常數(shù)得到移碼。常數(shù)的大小等于該數(shù)的最高位的值乘以2的n次方，其中n為該數(shù)的位數(shù)。特點符號位和數(shù)值位統(tǒng)一便于比較大小便于溢出判斷移碼算術(shù)運算1加法運算移碼加法與普通二進制加法相同，直接相加，最高位進位舍棄。2減法運算將減數(shù)的移碼轉(zhuǎn)換為補碼，然后與被減數(shù)的移碼進行加法運算。3乘法運算移碼乘法與普通二進制乘法相同，直接相乘，最后根據(jù)符號位進行調(diào)整。4除法運算移碼除法與普通二進制除法相同，直接相除，最后根據(jù)符號位進行調(diào)整。移碼算術(shù)運算是在移碼表示的基礎(chǔ)上進行的，它具有以下特點：運算規(guī)則簡單、便于硬件實現(xiàn)、適合于計算機內(nèi)部進行數(shù)據(jù)處理。補碼的表示及特點表示范圍補碼能夠表示負數(shù)，擴展了計算機的表示范圍，可以處理正負數(shù)運算。符號位最高位作為符號位，0代表正數(shù)，1代表負數(shù)，簡化了運算邏輯。運算方便補碼運算規(guī)則簡單，加減運算統(tǒng)一，不需要區(qū)分正負數(shù)，方便計算機處理。溢出判斷補碼運算可以利用最高位的進位判斷運算結(jié)果是否溢出，方便錯誤處理。補碼算術(shù)運算1加法運算直接將兩個補碼相加2減法運算將減數(shù)的補碼取反加一，并與被減數(shù)相加3溢出判斷符號位是否發(fā)生變化，如果變化則發(fā)生溢出補碼算術(shù)運算基于二進制運算，通過對補碼進行加減運算來實現(xiàn)算術(shù)運算。由于符號位也參與運算，無需特殊處理負數(shù)的加減運算，簡化了計算機的硬件設(shè)計。浮點數(shù)的表示符號位表示浮點數(shù)的正負性，0代表正數(shù)，1代表負數(shù)。指數(shù)部分表示浮點數(shù)的基數(shù)部分，決定浮點數(shù)的范圍。尾數(shù)部分表示浮點數(shù)的有效數(shù)字部分，決定浮點數(shù)的精度。浮點數(shù)的標準表示1符號位表示數(shù)值的正負，用一位二進制位表示，0表示正數(shù)，1表示負數(shù)。2指數(shù)位表示浮點數(shù)的指數(shù)，用若干位二進制位表示，決定數(shù)值的范圍。3尾數(shù)位表示浮點數(shù)的有效數(shù)字，用若干位二進制位表示，決定數(shù)值的精度。浮點數(shù)的表示范圍浮點數(shù)的表示范圍受到指數(shù)部分的位數(shù)限制，影響著可以表示的最大和最小值。10^38最大值單精度浮點數(shù)的最大值約為3.4×10^3810^-38最小值單精度浮點數(shù)的最小值約為1.4×10^-4510^308最大值雙精度浮點數(shù)的最大值約為1.8×10^30810^-308最小值雙精度浮點數(shù)的最小值約為4.9×10^-324浮點數(shù)的精度有限的位數(shù)浮點數(shù)使用有限的位數(shù)來表示小數(shù)部分。舍入誤差精度受限，導致舍入誤差，影響計算結(jié)果的準確性。影響因素浮點數(shù)的精度受指數(shù)位和尾數(shù)位的位數(shù)影響。浮點數(shù)的運算對階將兩個浮點數(shù)的階碼調(diào)整到一致，使它們的尾數(shù)能夠進行加減運算。尾數(shù)運算對階完成后，根據(jù)運算符進行尾數(shù)的加減乘除運算。規(guī)格化運算結(jié)果可能出現(xiàn)非規(guī)格化的形式，需要將其規(guī)格化，確保結(jié)果的正確性和精度。舍入由于浮點數(shù)的表示精度有限，運算結(jié)果可能需要舍入，以保證結(jié)果的有效性。浮點數(shù)的舍入錯誤1精度限制浮點數(shù)表示的精度有限，導致舍入誤差。2舍入模式不同的舍入模式會導致結(jié)果略微不同，如四舍五入或向下取整。3累積誤差多次運算后，舍入誤差會累積，可能導致最終結(jié)果嚴重偏差。浮點數(shù)的上溢和下溢上溢當浮點數(shù)的值超過了其表示范圍的最大值時，就會發(fā)生上溢。例如，在單精度浮點數(shù)中，如果計算結(jié)果超過了3.402823×1038，則會發(fā)生上溢。下溢當浮點數(shù)的值小于了其表示范圍的最小值時，就會發(fā)生下溢。例如，在單精度浮點數(shù)中，如果計算結(jié)果小于了1.175494×10-38，則會發(fā)生下溢。浮點數(shù)標準的發(fā)展1早期浮點數(shù)標準早期浮點數(shù)標準通常由不同的計算機廠商定義，導致程序移植性和數(shù)據(jù)交換問題。2IEEE754標準1985年，IEEE754標準成為浮點數(shù)表示的行業(yè)標準，解決兼容性和精度問題。3擴展和改進近年來，隨著對更高精度和性能的需求，IEEE754標準不斷擴展和改進，以滿足新興應(yīng)用。IEEE754浮點數(shù)標準統(tǒng)一標準IEEE754標準，也被稱為“浮點數(shù)標準”，由美國電氣與電子工程師協(xié)會（IEEE）制定。廣泛采用該標準被幾乎所有現(xiàn)代計算機系統(tǒng)所采用，為浮點數(shù)的表示和運算提供了統(tǒng)一規(guī)范。精度與范圍標準定義了單精度（32位）和雙精度（64位）兩種格式，分別提供不同的精度和表示范圍。運算規(guī)則標準還規(guī)定了浮點數(shù)的各種運算規(guī)則，包括加、減、乘、除以及特殊值處理等。IEEE754單精度浮點數(shù)符號位單精度浮點數(shù)使用1位表示符號，其中0表示正數(shù)，1表示負數(shù)。指數(shù)位使用8位來存儲指數(shù)，采用移碼表示，偏移量為127。尾數(shù)位使用23位存儲尾數(shù)，采用規(guī)格化表示，隱含的最高位始終為1。IEEE754雙精度浮點數(shù)符號位表示數(shù)值的正負，占1位。指數(shù)位表示浮點數(shù)的指數(shù)部分，占11位。尾數(shù)位表示浮點數(shù)的尾數(shù)部分，占52位。中間值和舍入模式11.舍入模式舍入模式?jīng)Q定了如何處理浮點數(shù)運算過程中產(chǎn)生的中間值，例如，將一個數(shù)四舍五入到最近的浮點數(shù)。22.舍入方向舍入方向可以是向上、向下、向零、向偶數(shù)等，不同的舍入方向會導致不同的結(jié)果。33.中間值在浮點數(shù)運算中，中間值是指在最終結(jié)果產(chǎn)生之前生成的臨時數(shù)值。44.舍入精度舍入精度是指舍入模式應(yīng)用于中間值的程度，例如，舍入到小數(shù)點后幾位。浮點數(shù)的運算法則浮點數(shù)加法對階，尾數(shù)相加，規(guī)格化。浮點數(shù)減法將減數(shù)符號取反，轉(zhuǎn)為加法運算。浮點數(shù)乘法尾數(shù)相乘，階碼相加，規(guī)格化。浮點數(shù)除法尾數(shù)相除，階碼相減，規(guī)格化。浮點數(shù)加法運算1對階將兩個浮點數(shù)的階碼對齊2尾數(shù)相加將對階后的兩個浮點數(shù)的尾數(shù)相加3規(guī)格化將結(jié)果規(guī)格化，保證尾數(shù)的最高位為14舍入將結(jié)果舍入到指定的精度浮點數(shù)加法運算的過程類似于整數(shù)加法運算，但需要額外的步驟來處理階碼和尾數(shù)的差異。例如，將兩個浮點數(shù)1.234e+2和5.678e+1相加。首先，對階，將兩個浮點數(shù)的階碼對齊，得到1.234e+2和0.5678e+2。然后，將兩個浮點數(shù)的尾數(shù)相加，得到1.8018e+2。最后，將結(jié)果規(guī)格化，得到1.8018e+2。浮點數(shù)減法運算1對階將兩個操作數(shù)的指數(shù)部分對齊，使它們具有相同的指數(shù)，以便于進行減法運算。2尾數(shù)相減對階完成后，對兩個操作數(shù)的尾數(shù)部分進行減法運算。3規(guī)格化減法運算的結(jié)果可能需要進行規(guī)格化，以確保結(jié)果滿足浮點數(shù)的標準表示形式。浮點數(shù)乘法運算1符號位異號則結(jié)果為負，同號則結(jié)果為正2尾數(shù)相乘將兩個尾數(shù)相乘，并對結(jié)果進行規(guī)格化3階碼相加將兩個階碼相加，并加上兩個尾數(shù)相乘后產(chǎn)生的進位4舍入處理由于結(jié)果可能會超出浮點數(shù)的表示范圍，需要進行舍入處理浮點數(shù)的乘法運算比較復雜，需要考慮符號位、尾數(shù)、階碼等多個因素。由于浮點數(shù)的表示范圍和精度有限，在進行乘法運算時，可能會出現(xiàn)舍入錯誤或溢出錯誤。浮點數(shù)除法運算對階將兩個浮點數(shù)的指數(shù)部分調(diào)整到一致，以便進行除法運算。尾數(shù)相除將兩個浮點數(shù)的尾數(shù)部分進行除法運算，得到結(jié)果的尾數(shù)部分。指數(shù)運算將結(jié)果的指數(shù)部分根據(jù)除法運算規(guī)則進行計算，得出結(jié)果的指數(shù)部分。規(guī)格化對結(jié)果的尾數(shù)部分進行規(guī)格化處理，使其滿足浮點數(shù)的表示規(guī)范。浮點數(shù)的特殊值零浮點數(shù)表示的零值可以是正零或負零，由符號位決定。它們在數(shù)值上相等，但表示不同的極值或邊界情況。無窮大浮點數(shù)表示的無窮大，用于表示超出浮點數(shù)表示范圍的數(shù)值，例如除以零或計算結(jié)果超過了浮點數(shù)的最大值。NaNNaN表示“非數(shù)字”，用于表示無法表示為有效數(shù)值的結(jié)果，例如0除以0或計算結(jié)果超出浮點數(shù)的最大值。特殊值的應(yīng)用特殊值在浮點數(shù)的計算和處理中扮演重要角色，例如在異常檢測、邊界處理、數(shù)據(jù)分析等方面。浮點數(shù)的比較精度限制浮點數(shù)的精度有限，可能導致比較結(jié)果不精確，例如兩個接近的浮點數(shù)可能會被視為相等。特殊值NaN和無窮大等特殊值需要特殊處理，比較時要謹慎。比較方法直接比較，但可能導致精度問題使用容差值，比較兩個浮點數(shù)之間的差值是否小于容差值使用特定函數(shù)，例如`isclose()`或`allclose()`浮點數(shù)的應(yīng)用科學計算用于表示非常大的數(shù)字或非常小的數(shù)字，例如天體物理學、量子物理學。圖形處理用于表示像素的顏色、位置、大小等信息，例如圖像處理、計算機圖形學。金融領(lǐng)域用于表示貨幣金額、利率、投資回報率等信息，例如股票交易、銀行業(yè)務(wù)。人工智能用于表示神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的參數(shù)，例如機器學習、深度學習。浮點數(shù)的優(yōu)缺點優(yōu)點廣泛應(yīng)用于科學計算、圖形處理等領(lǐng)域，效率高。可表示很大的范圍，方便處理各種數(shù)據(jù)。缺點精度有限，存在舍入誤差。無法準確表示某些數(shù)值，可能導致結(jié)果偏差。浮點數(shù)的發(fā)展趨勢11.精度提高未來浮點數(shù)將繼續(xù)提高精度，更準確地表示真實世界的數(shù)字。22.擴展范圍浮點數(shù)表示范圍將進一步擴展，以處理更大的數(shù)字和更小的數(shù)字。33.硬件加速隨著硬件技術(shù)的進步，浮點數(shù)運算將得到加速，提高效率和性能。44.標準統(tǒng)一浮點數(shù)標準將更加統(tǒng)一，減少不同平臺之間的數(shù)據(jù)兼容性問題。總結(jié)與思考移碼和補碼移碼和補碼是計算機中重