2025屆湖北省部分高中高三上學期11月期中聯(lián)考數(shù)學試題（含答案解析）

2024年秋季普通高中11月份高三年級階段性聯(lián)考數(shù)學本試卷共4頁，19題.全卷滿分150分.考試用時120分鐘.★?？荚図樌镒⒁馐马棧?.答題前，先將自己的姓名?準考證號?考場號?座位號填寫在試卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.寫在試卷?草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.3.非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區(qū)域內.寫在試卷?草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.4.考試結束后，請將答題卡上交.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.在復平面內，與復數(shù)對應的點位于A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】應用復數(shù)除法的運算法則，簡化復數(shù)，最后確定復數(shù)對應的點的位置.【詳解】,復數(shù)對應的點為，它在第四象限，故本題選D.【點睛】本題考查通過復數(shù)除法運算法則，化簡后判斷復數(shù)對應的點的位置.2.已知，則的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由誘導公式求解．【詳解】，故選：B．3.已知，且，則與的夾角為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由垂直可得數(shù)量積為0，再根據(jù)數(shù)量積運算律化簡得，由夾角公式得解.【詳解】因為，且，所以，解得，所以，而,所以故選：B4.已知曲線在點處切線在軸上的截距為，則的值為（）A.1 B.0 C. D.【答案】C【解析】【分析】利用導數(shù)的幾何意義計算切線方程即可.【詳解】易知，時，所以曲線在點處的切線方程為：，顯然有，即.故選：C5.暑假期間某校5名學生計劃去黃岡旅游，體驗黃岡的風俗與文化.現(xiàn)有黃梅東山問梅村?羅田天堂寨?黃州的東坡赤壁三個景區(qū)可供選擇若每名學生只去一個景區(qū)，且恰有2人前往黃梅東山問梅村，則不同的游覽方案種數(shù)為（）A.40 B.90 C.80 D.160【答案】C【解析】【分析】先選2人去黃梅東山問梅村，剩下的3人任意安排去其它兩個景區(qū).【詳解】先選2人去黃梅東山問梅村，剩下的3人任意安排去其它兩個景區(qū)，所有游覽方案種數(shù)為：，故選：C6.已知函數(shù)的最小正周期為，將的圖象向右平移個單位后得到函數(shù)的圖象，若為偶函數(shù)，則正實數(shù)的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)周期性求得，根據(jù)圖象平行結合偶函數(shù)性質可得，即可得結果.【詳解】因為，若函數(shù)的最小正周期為，且，則，解得，可得，將的圖象向右平移個單位后得到函數(shù)的圖象，則，可得，解得，可知當時，正實數(shù)取得最小值.故選：B.7.英國生物統(tǒng)計學家高爾頓設計了高爾頓釘板來研究隨機現(xiàn)象.如圖是一個高爾頓釘板的設計圖，每一黑點表示釘在板上的一顆釘子，它們彼此的距離均相等，上一層的每一顆釘子恰好位于下一層兩顆打子的正中間，小球每次下落，將隨機的向兩邊等概率的下落.數(shù)學課堂上，老師向學生們介紹了高爾頓釘板放學后，愛動腦的小明設計了一個不一樣的“高爾頓釘板”，它使小球在從釘板上一層的兩顆釘子之間落下后砸到下一層的釘子上時，向左下落的概率為向右下落的概率的2倍.當有大量的小球依次滾下時，最終都落入釘板下面的5個不同位置.若一個小球從正上方落下，經過5層釘板最終落到4號位置的概率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】向左下落的概率為向右下落的概率的2倍，所以向左下落的概率為，向右下落的概率為，在下落過程中除去第一次，剩下四次始終保證向左一次，向右三次才能最終落到4號位置.由二項分布的概念計算概率即可.【詳解】向左下落的概率為向右下落的概率的2倍.所以向左下落的概率為，向右下落的概率為，若第一次向左下落，則下落的過程中剩下的四次中向左一次，向右三次才能最終落到4號位置，故此時概率為：，若第一次向右下落，則下落的過程中剩下的四次中向左一次，向右三次才能最終落到4號位置，故此時概率為：，故經過5層釘板最終落到4號位置的概率是.故選：A8.是定義在上的函數(shù)，為的導函數(shù)，若方程在上至少有3個不同的解，則稱為上的“波浪函數(shù)”.已知定義在上的函數(shù)為“波浪函數(shù)”，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由列方程，分離常數(shù)，然后利用構造函數(shù)法，結合導數(shù)來求得的取值范圍.【詳解】，，，顯然不滿足上式，所以，令，則，在上單調遞增，在區(qū)間2,3上單調遞減，且，畫出的圖像，可知：.故選：D【點睛】易錯點睛：導數(shù)符號分析的準確性：在求解f′x的符號變化時，容易因導數(shù)計算錯誤導致對單調性的判斷錯誤.圖像繪制中的誤差：在通過函數(shù)圖像判斷解的個數(shù)時，容易因為圖像繪制不夠精確或未充分考慮極值點位置，導致解的個數(shù)判斷錯誤.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項是符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對得部分分，有錯選的得0分.9.下列結論中正確的有（）A.已知，若，則；B.某學生次考試的數(shù)學成績分別為：，則這次數(shù)學成績的第百分位數(shù)為；C.已知的平均值為，則的平均值為；D.已知為兩個隨機事件，若，則.【答案】ACD【解析】【分析】利用正態(tài)分布的性質求得的值判斷選項A；利用百分位數(shù)定義求得第百分位數(shù)判斷選項B；利用平均數(shù)定義求得的平均值判斷選項C；利用條件概率公式求得的值判斷選項D.【詳解】選項A:，若，則故，A正確；選項B：由，可得這次數(shù)學成績的第百分位數(shù)為第與第個數(shù)據(jù)的平均數(shù)，B錯誤；選項C:的平均值為，則，則，故的平均值為，C正確；選項D:若，則，則，則，D正確.故選：ACD10.已知正實數(shù)滿足，下列結論中正確的是（）A.的最大值是 B.的最小值是C.的最小值是3 D.的最小值為【答案】BCD【解析】【分析】對于A項，直接應用均值不等式求出的最大值即可求解；對于B項：應用，對直接應用均值不等式即可求解；對于C項：構造展開再應用均值不等式即可求解；對于D項：將消去再應用均值不等式求解即可.【詳解】解：對于A項：因為，所以，則（當且僅當時取等號），故A錯誤；對于B項：因為（當且僅當時取等號），故B正確；對于C項：因為，所以，因為，所以（當且僅當時取等號），故C正確；對于D項：（當且僅當時取等號），故D正確.故選：BCD.11.高斯被譽為“數(shù)學王子”，是世界上偉大數(shù)學家.用他名字定義的函數(shù)（表示不超過的最大整數(shù)）稱為高斯函數(shù).已知正項數(shù)列的前項和為，且，令，則下列結論正確的有（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)與的關系，化簡可得，判斷A，B；再由裂項相消法求判斷C；利用放縮法判斷D.【詳解】對于A，B，，所以當時，，又，則，所以，故A錯，B對；對于C，，，，故C對；對于D，，，當時，，，，故D對；故選：BCD.【點睛】關鍵點點睛：此題解題的關鍵是正確理解高斯函數(shù)，根據(jù)遞推式，從而可歸納出通項公式，進而可求得答案.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知函數(shù)，則______.【答案】【解析】【分析】求導函數(shù)，令，代入運算求解即可.【詳解】因為，則，令，可得，解得.故答案為：.13.已知的角的對邊分別為，且，若，則__.【答案】【解析】【分析】先利用三角形面積公式結合余弦定理得到之間的關系，進而求得的值.【詳解】中，由，可得又，則，由余弦定理，可得整理得，故14.已知函數(shù)在區(qū)間上存在零點，則的取值范圍為__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)有零點轉化為，構造函數(shù)，求導數(shù)，利用單調性得出值域即可.【詳解】，令，當時，，當時，在上單調遞減，在2,3上單調遞增，，，則，所以.故答案為：四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.已知，函數(shù).（1）求的單調遞減區(qū)間；（2）在中，若，求和長.【答案】（1）（2），或【解析】【分析】（1）根據(jù)向量的數(shù)量積公式、二倍角公式及輔助角公式將化簡為，然后利用三角函數(shù)的性質，即可求得的單調減區(qū)間；（2）根據(jù)題意，先求出角，再結合三角形面積公式和余弦定理即可得解.【小問1詳解】由∴fx減區(qū)間為；【小問2詳解】，所以又，根據(jù)余弦定理，或.16.已知是公差不為0的等差數(shù)列，，且，，成等比數(shù)列，數(shù)列滿足：，且.（1）求和的通項公式；（2）若為數(shù)列的前項和，求.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件結合等差、等比數(shù)列的基本公式即可求出的通項公式，運用構造法求的通項公式.（2）先確定，利用錯位相減法即可求出.【小問1詳解】設的公差為，因為，，成等比數(shù)列，所以，即，整理有：，解得（舍），所以，；因，所以，又，，所以為首項為，公比為的等比數(shù)列，所以，【小問2詳解】因為，①，②兩式相減，得：，所以.17.東風學校有甲乙兩個食堂，學校后勤服務中心為了調查學生對兩個食堂的滿意度，隨機調查300名學生.設表示事件“學生喜歡去甲食堂”，表示事件“調查的學生是男生”.若.調查的是男生調查的是女生合計喜歡去甲食堂

喜歡去乙食堂

合計

（1）完成上列列聯(lián)表，并根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，判斷學生喜歡去哪個食堂與性別是否有關？（2）為了答謝參與調查的學生，學校后勤服務中心從參與調查的300名學生中按性別分層抽樣的方法選15名幸運學生參與抽獎活動，并為他們準備了15張獎券，其中一等獎獎券有3張，二等獎獎券有5張，三等獎獎券有7張，每人抽取一張.設15名幸運學生中男生抽中一等獎的人數(shù)為，寫出的分布列，并計算.附：0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【答案】（1）列聯(lián)表見解析，學生喜歡去哪個食堂與性別有關（2）分布列見解析，【解析】【分析】（1）根據(jù)概率求相應人數(shù)，完善列聯(lián)表，求，并與臨界值對比分析；（2）求男、女生人數(shù)，可知，結合超幾何分布求分布列和期望.【小問1詳解】因為，即被調查的學生中男生有140人，女生有160人，且，即男生中喜歡去乙食堂的有80人，喜歡去甲食堂的有60人，又因為，則，，即被調查的學生中喜歡去甲食堂的有160人.調查的是男生調查是女生合計喜歡去甲食堂60100160喜歡去乙食堂8060140合計140160300零假設：假設學生喜歡去哪個食堂與性別無關.，根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，我們推斷不成立，即認為學生喜歡去哪個食堂與性別有關，此推斷犯錯誤的概率不大0.001.【小問2詳解】根據(jù)男女生人數(shù)之比可知，被抽取的15人中男生7人，女生8人，且，則有：，，所以X的分布列為：X0123P.18.已知函數(shù).（1）討論的單調性；（2）當時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍；（3）證明：.【答案】（1）答案見解析（2）（3）證明見解析【解析】【分析】（1）求得，然后對進行分類討論，從而求得的單調區(qū)間.（2）先求得，然后利用構造函數(shù)法，結合導數(shù)求得實數(shù)的取值范圍.（3）根據(jù)（2）的結論，利用賦值法來證得不等式成立.【小問1詳解】的定義域為,，.當時，恒成立，在單調遞增；.當時，有兩根，但兩根均為負數(shù)，當時，單調遞增，.當時，有兩正根和，當時，在單調遞增；當時，在單調遞減；當時在單調遞增；綜上所述：當時，增區(qū)間為；當時，增區(qū)間為和；減區(qū)間為.【小問2詳解】，令，則在上單調遞增，，若，則在上單調遞增，，與題意相符；若，則，所以必存在，使得當時，單調遞減，從而使得當時，，與題意相矛盾；綜上：.【小問3詳解】由（2）知，當時，（僅當時取等號），，令，則有：；，得證.【點睛】方法點睛：導數(shù)與單調性分析法：通過求導數(shù)，分析函數(shù)的單調性和增減區(qū)間，是判斷函數(shù)行為的基礎方法.利用導數(shù)符號分析，可以清晰地得到函數(shù)的單調性區(qū)間.構造函數(shù)法求取值范圍：利用構造函數(shù)的方法來確定參數(shù)的取值范圍，是一種行之有效的方法.在分析單調性時，結合導數(shù)來得出明確的區(qū)間結論.19.馬爾科夫鏈是一種隨機過程，它具有馬爾科夫性質，也稱為“無記憶性”，即一個系統(tǒng)在某時刻的狀態(tài)僅與前一時刻的狀態(tài)有關.為了讓學生體驗馬爾科夫性質，數(shù)學老師在課堂上指導學生做了一個游戲.他給小明和小美各一個不透明的箱子，每個箱子中都有個紅球和1個白球，這些球除了顏色不同之外，其他的物質特征完全一樣規(guī)定“兩人同時從各自的箱子中取出一個球放入對方的箱子中”