2024-2025學年上海市松江區(qū)高一上學期期中考試數(shù)學檢測試卷（附解析）

2024-2025學年上海市松江區(qū)高一上學期期中考試數(shù)學檢測試卷一、填空題(本大題共有12小題，滿分54分)考生應在答題紙相應編號的空格內直接填寫結果，1-6題每個空格填對得4分，7-12題每個空格填對得5分，否則一律得0分.1.已知集合，集合，若，則實數(shù)______.2.不等式的解集為______.3.函數(shù)的對稱中心是______.4.已知，，則用、表示______.5.若關于方程的兩實根的平方和為14，則實數(shù)的值為______.6.已知函數(shù)在區(qū)間上嚴格減，則的一個取值為______.7.若正數(shù)，滿足，則的最小值是______.8.在平面直角坐標系中，設點，，，，定義：．若點，點為直線上的動點，則的最小值為______.9.人類已進入大數(shù)據(jù)時代．目前，數(shù)據(jù)量已經從級別躍升到，乃至級別．國際數(shù)據(jù)公司的研究結果表明，2008年全球產生的數(shù)據(jù)量為，2010年增長到．若從2008年起，全球產生的數(shù)據(jù)量與年份的關系為，其中，均是正的常數(shù)，則2023年全球產生的數(shù)據(jù)量是2022年的倍．10.已知常數(shù)，函數(shù)經過點、．若，則______.11.若關于的方程有四個不同的實數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍是______.12.已知集合，集合，其中．若集合表示的區(qū)間為一個閉區(qū)間，則的取值范圍為______.二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13、14題每題4分，第15、16題每題5分）每題有且只有一個正確選項．考生應在答題紙的相應位置，將代表正確選項的小方格涂黑．13.“”是“”的（）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件 C．充要條件 D．既非充分也非必要條件14.標準的圍棋盤共19行19列，361個格點，每個格點上可能出現(xiàn)“黑”“白”“空”三種情況，因此有種不同的情況；而我國北宋學者沈括在他的著作《夢溪筆談》中，也討論過這個問題，他分析得出一局圍棋不同的變化大約有“連書萬字五十二”種，即，下列數(shù)據(jù)最接近的是（）A． B． C． D．15.已知函數(shù)，若，且，則的取值范圍是（）A． B． C． D．16.已知是平面直角坐標系中的點集．設是中兩點間的距離的最大值，是表示的圖形的面積，則（）A．， B．， C． D．三、解答題(本大題滿分78分)本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙相應編號的規(guī)定區(qū)域內寫出必要的步驟17.（本題滿分14分，第1小題6分，第2小題8分）記全集，集合.（1）若，求的取值范圍；（2）若，求的取值范圍.

18.（本題滿分14分，第1小題7分，第2小題7分）已知函數(shù)（且）.（1）若在區(qū)間上的最大值與最小值之差為2，求實數(shù)的值；（2）若函數(shù)的值域為，求使得的實數(shù)的取值范圍.

19.（本題滿分14分，第1小題6分，第2小題8分）汽車智能輔助駕駛已開始得到應用，其自動剎車的工作原理是用雷達測出車輛與前方障礙物之間的距離（并集合車速轉化為所需時間），當此距離等于報警距離時就開始報警提醒，等于危險距離時就自動剎車．若將報警時間劃分為4段，分別為準備時間、人的反應時間、系統(tǒng)反應時間、制動時間，相應的距離分別為，，，，如圖所示．當車速為（米秒），且時，通過大數(shù)據(jù)統(tǒng)計分析得到下表給出的數(shù)據(jù)（其中系數(shù)隨地面濕滑程度等路面情況而變化，．階段0．準備1．人的反應2．系統(tǒng)反應3．制動時間秒秒距離米米（1）請寫出報警距離（米與車速（米秒）之間的函數(shù)關系式；并求當，在汽車達到報警距離時，若人和系統(tǒng)均未采取任何制動措施，仍以此速度行駛的情況下，汽車撞上固定障礙物的最短時間；（2）若要求汽車不論在何種路面情況下行駛，報警距離均不超過85米，則汽車的行駛速度應限制在多少千米小時？

20.（本題滿分18分，第1小題4分，第2小題6分，第3小題8分）已知函數(shù)，其中.（1）若“存在，使得成立”是假命題，求實數(shù)的取值范圍；（2）求不等式的解集；（3）已知函數(shù)的定義域是使得解析式有意義的的集合。如果對于定義域內的任意實數(shù)，函數(shù)值均為正，求實數(shù)的取值范圍.

21.（本題滿分18分，第1小題4分，第2小題6分，第3小題8分）若函數(shù)的定義域為，且對任意，都有，則稱具有“性質”.（1）當時，判斷是否具有“性質”，并說明理由；（2）當時，證明：具有“性質”；（3）如果函數(shù)具有“性質”，求實數(shù)的取值范圍.2024-2025學年上海市松江區(qū)高一上學期期中考試數(shù)學檢測試卷一、填空題(本大題共有12小題，滿分54分)考生應在答題紙相應編號的空格內直接填寫結果，1-6題每個空格填對得4分，7-12題每個空格填對得5分，否則一律得0分.1.已知集合，集合，若，則實數(shù)______.【正確答案】0由，得到.解得（舍或0.2.不等式的解集為______.【正確答案】3.函數(shù)的對稱中心是______.【正確答案】函數(shù)，顯然函數(shù)的圖象可以由函數(shù)的圖象向右平移2個單位，再向上平移1個單位而得，而函數(shù)的圖象的對稱中心為，所以函數(shù)的圖象的對稱中心為.4.已知，，則用、表示______.【正確答案】.5.若關于方程的兩實根的平方和為14，則實數(shù)的值為______.【正確答案】設已知方程兩根為，則，所以，解得或，又，即或，所以.6.已知函數(shù)在區(qū)間上嚴格減，則的一個取值為______.【正確答案】由題意知函數(shù)是偶函數(shù)，則.7.若正數(shù)，滿足，則的最小值是______.【正確答案】4由題意可得，，當且僅當時等號成立，此時符合題意.所以的最小值為4.8.在平面直角坐標系中，設點，，，，定義.若點，點為直線上的動點，則的最小值為______.【正確答案】3設，則.9.人類已進入大數(shù)據(jù)時代.目前，數(shù)據(jù)量已經從級別躍升到，乃至級別.國際數(shù)據(jù)公司的研究結果表明，2008年全球產生的數(shù)據(jù)量為，2010年增長到.若從2008年起，全球產生的數(shù)據(jù)量與年份的關系為，其中，均是正的常數(shù)，則2023年全球產生的數(shù)據(jù)量是2022年的倍.【正確答案】1.5由題意，，所以，所以，所以2022年全球產生的數(shù)據(jù)量為，則2023年全球產生的數(shù)據(jù)量，所以2023年全球產生的數(shù)據(jù)量是2022年的倍.10.已知常數(shù)，函數(shù)經過點、若，則______.【正確答案】4函數(shù)經過點、，則，，解得，，，則，解得（負值舍去）.11.若關于的方程有四個不同的實數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍是______.【正確答案】方程有四個不同的實數(shù)解，是方程的1個根，當時方程變?yōu)棰?要使方程①有3個不為0的實數(shù)根，則函數(shù)和應有3個不同的交點，如圖，顯然不成立，當時與有一個交點，只需和有兩個交點即可，聯(lián)立，得.由，得.時和有兩個交點.綜上，關于的方程有四個不同的實數(shù)解的實數(shù)的取值范圍是.12.已知集合，集合，其中.若集合表示的區(qū)間為一個閉區(qū)間，則的取值范圍為______.【正確答案】由題意知，，則的最小值為，最大值為，所以，又因為，所以，又集合表示的區(qū)間為一個閉區(qū)間，則，化簡可得，又，解得.二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13、14題每題4分，第15、16題每題5分）每題有且只有一個正確選項.考生應在答題紙的相應位置，將代表正確選項的小方格涂黑.13.“”是“”的（）A.充分非必要條件 B.必要非充分條件 C.充要條件 D.既非充分也非必要條件【正確答案】A由，又，所以，即，充分性成立；當時，即，顯，時成立，必要性不成立；故“”是“”的充分非必要條件.故選：A.14.標準的圍棋盤共19行19列，361個格點，每個格點上可能出現(xiàn)“黑”“白”“空”三種情況，因此有種不同的情況；而我國北宋學者沈括在他的著作《夢溪筆談》中，也討論過這個問題，他分析得出一局圍棋不同的變化大約有“連書萬字五十二”種，即，下列數(shù)據(jù)最接近的是（）A. B. C. D.【正確答案】C對于，有，所以，分析選項知C中與其最接近.故選：C.15.已知函數(shù)，若，且，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【正確答案】D作出的圖象如圖所示：由，得，，可得，則，令，則，故.故選：D.16.已知是平面直角坐標系中的點集.設是中兩點間的距離的最大值，是表示的圖形的面積，則（）A.， B.， C. D.【正確答案】C集合當時，，當時，，則集合表示的圖形如下圖陰影部分所示，由圖象可知，，.故選：C.三、解答題(本大題滿分78分)本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙相應編號的規(guī)定區(qū)域內寫出必要的步驟17.（本題滿分14分，第1小題6分，第2小題8分）記全集，集合.（1）若，求的取值范圍；（2）若，求的取值范圍.【正確答案】（1）；（2）（1）.①當時，，②當時，，則，若，則，所以的取值范圍為；（2）由（1）知由，則①，②，則的取值范圍為.18.（本題滿分14分，第1小題7分，第2小題7分）已知函數(shù)（且）.（1）若在區(qū)間上的最大值與最小值之差為2，求實數(shù)的值；（2）若函數(shù)的值域為，求使得的實數(shù)的取值范圍.【正確答案】（1）；（2）（1）①當時，則.②當時，則，則實數(shù)的值為.（2）因為函數(shù)的值域為，則，，則實數(shù)的取值范圍為.19.（本題滿分14分，第1小題6分，第2小題8分）汽車智能輔助駕駛已開始得到應用，其自動剎車的工作原理是用雷達測出車輛與前方障礙物之間的距離（并集合車速轉化為所需時間），當此距離等于報警距離時就開始報警提醒，等于危險距離時就自動剎車.若將報警時間劃分為4段，分別為準備時間、人的反應時間、系統(tǒng)反應時間、制動時間，相應的距離分別為，，，，如圖所示.當車速為（米秒），且時，通過大數(shù)據(jù)統(tǒng)計分析得到下表給出的數(shù)據(jù)（其中系數(shù)隨地面濕滑程度等路面情況而變化，.階段0.準備1.人的反應2.系統(tǒng)反應3.制動時間秒秒距離米米（1）請寫出報警距離（米與車速（米秒）之間的函數(shù)關系式；并求當，在汽車達到報警距離時，若人和系統(tǒng)均未采取任何制動措施，仍以此速度行駛的情況下，汽車撞上固定障礙物的最短時間；（2）若要求汽車不論在何種路面情況下行駛，報警距離均不超過85米，則汽車的行駛速度應限制在多少千米小時？【正確答案】（1）2；（2）30（1）由題意得，所以，當時，，（秒，即此種情況下汽車撞上固定障礙物的最短時間約為2秒.（2）根據(jù)題意要求對于任意，恒成立，即對于任意，，即恒成立，由，得，所以即，解得，所以，故要求汽車不論在何種路面情況下行駛，報警距離均不超過85米，則汽車的行駛速度應限制在30千米小時.20.（本題滿分18分，第1小題4分，第2小題6分，第3小題8分）已知函數(shù)，其中.（1）若“存在，使得成立”是假命題，求實數(shù)的取值范圍；（2）求不等式的解集；（3）已知函數(shù)的定義域是使得解析式有意義的的集合。如果對于定義域內的任意實數(shù)，函數(shù)值均為正，求實數(shù)的取值范圍.【正確答案】（1）；（2）見解析；（3）（1）由題意知，對任意的，恒成立，即恒成立，①當時，符合題意，②當時，則，則實數(shù)的取值范圍.（2），當時，，當時，解集為，當時兩根為，當時，即，解集為，當時，即，解集為，當時，即，解集為.（3），①分子分母都是二次三項式，若滿足題意，則對應的圖像都是開口向上的拋物線，若分子分母對應的方程是同解方程，則，若分子分母對應的方程不是同解方程，要保證對于定義域內的任意實數(shù)，函數(shù)值均為正，則需要分子分母的判別式均小于0，即，②當時，不符合題