2025屆山東青島平度第三中學(xué)高三3月份第一次模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析

2025屆山東青島平度第三中學(xué)高三3月份第一次模擬考試數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請按要求用筆。3．請按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知數(shù)列為等比數(shù)列，若，且，則（）A． B．或 C． D．2．已知，是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，過點(diǎn)且垂直于軸的直線與相交于，兩點(diǎn)，若，則△的內(nèi)切圓的半徑為（）A． B． C． D．3．已知集合，則()A． B．C． D．4．百年雙中的校訓(xùn)是“仁”、“智”、“雅”、“和”.在2019年5月18日的高三趣味運(yùn)動(dòng)會(huì)中有這樣的一個(gè)小游戲.袋子中有大小、形狀完全相同的四個(gè)小球，分別寫有“仁”、“智”、“雅”、“和”四個(gè)字，有放回地從中任意摸出一個(gè)小球，直到“仁”、“智”兩個(gè)字都摸到就停止摸球.小明同學(xué)用隨機(jī)模擬的方法恰好在第三次停止摸球的概率.利用電腦隨機(jī)產(chǎn)生1到4之間（含1和4）取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，分別用1，2，3，4代表“仁”、“智”、“雅”、“和”這四個(gè)字，以每三個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，表示摸球三次的結(jié)果，經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了以下20組隨機(jī)數(shù)：141432341342234142243331112322342241244431233214344142134412由此可以估計(jì)，恰好第三次就停止摸球的概率為（）A． B． C． D．5．已知F是雙曲線（k為常數(shù)）的一個(gè)焦點(diǎn)，則點(diǎn)F到雙曲線C的一條漸近線的距離為（）A．2k B．4k C．4 D．26．已知函數(shù)，若，則下列不等關(guān)系正確的是（）A． B．C． D．7．已知雙曲線的離心率為，拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，若，則雙曲線的漸近線方程為（）A． B．C． D．8．在關(guān)于的不等式中，“”是“恒成立”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件9．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)P是C的右支上一點(diǎn)，連接與y軸交于點(diǎn)M，若（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），，則雙曲線C的漸近線方程為（）A． B． C． D．10．如圖，這是某校高三年級(jí)甲、乙兩班在上學(xué)期的5次數(shù)學(xué)測試的班級(jí)平均分的莖葉圖，則下列說法不正確的是（）A．甲班的數(shù)學(xué)成績平均分的平均水平高于乙班B．甲班的數(shù)學(xué)成績的平均分比乙班穩(wěn)定C．甲班的數(shù)學(xué)成績平均分的中位數(shù)高于乙班D．甲、乙兩班這5次數(shù)學(xué)測試的總平均分是10311．若復(fù)數(shù)，則（）A． B． C． D．2012．若為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知，則=___________，_____________________________14．設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，且，，則________．15．高三（1）班共有56人，學(xué)號(hào)依次為1，2，3，…，56，現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣的辦法抽取一個(gè)容量為4的樣本，已知學(xué)號(hào)為6，34，48的同學(xué)在樣本中，那么還有一個(gè)同學(xué)的學(xué)號(hào)應(yīng)為．16．已知，，且，則的最小值是______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù)，．（1）若曲線在點(diǎn)處的切線與直線平行，求的值；（2）若，問函數(shù)有無極值點(diǎn)？若有，請求出極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；若沒有，請說明理由．18．（12分）已知數(shù)列滿足：對一切成立.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.19．（12分）的內(nèi)角，，的對邊分別是，，，已知.（1）求角；（2）若，，求的面積.20．（12分）在中，內(nèi)角的對邊分別是，滿足條件．（1）求角；（2）若邊上的高為，求的長．21．（12分）己知，，.（1）求證：；（2）若，求證：.22．（10分）如圖，平面四邊形中，，是上的一點(diǎn)，是的中點(diǎn)，以為折痕把折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，且.（1）證明：平面平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】

根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可得，通分化簡即可.【詳解】由題意，數(shù)列為等比數(shù)列，則，又，即，所以，，.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列的性質(zhì)，考查了推理能力與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.2、B【解析】

設(shè)左焦點(diǎn)的坐標(biāo)，由AB的弦長可得a的值，進(jìn)而可得雙曲線的方程，及左右焦點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求出三角形ABF2的面積，再由三角形被內(nèi)切圓的圓心分割3個(gè)三角形的面積之和可得內(nèi)切圓的半徑.【詳解】由雙曲線的方程可設(shè)左焦點(diǎn)，由題意可得，由，可得，所以雙曲線的方程為:所以，所以三角形ABF2的周長為設(shè)內(nèi)切圓的半徑為r，所以三角形的面積，所以，解得，故選：B【點(diǎn)睛】本題考查求雙曲線的方程和雙曲線的性質(zhì)及三角形的面積的求法，內(nèi)切圓的半徑與三角形長周長的一半之積等于三角形的面積可得半徑的應(yīng)用，屬于中檔題.3、B【解析】

先由得或，再計(jì)算即可.【詳解】由得或，，,又，.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了集合的交集，補(bǔ)集的運(yùn)算，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力.4、A【解析】

由題意找出滿足恰好第三次就停止摸球的情況，用滿足恰好第三次就停止摸球的情況數(shù)比20即可得解.【詳解】由題意可知當(dāng)1，2同時(shí)出現(xiàn)時(shí)即停止摸球，則滿足恰好第三次就停止摸球的情況共有五種：142，112，241，142，412.則恰好第三次就停止摸球的概率為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了簡單隨機(jī)抽樣中隨機(jī)數(shù)的應(yīng)用和古典概型概率的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.5、D【解析】

分析可得,再去絕對值化簡成標(biāo)準(zhǔn)形式,進(jìn)而根據(jù)雙曲線的性質(zhì)求解即可.【詳解】當(dāng)時(shí),等式不是雙曲線的方程；當(dāng)時(shí),,可化為,可得虛半軸長,所以點(diǎn)F到雙曲線C的一條漸近線的距離為2.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的方程與點(diǎn)到直線的距離.屬于基礎(chǔ)題.6、B【解析】

利用函數(shù)的單調(diào)性得到的大小關(guān)系，再利用不等式的性質(zhì)，即可得答案.【詳解】∵在R上單調(diào)遞增，且，∴.∵的符號(hào)無法判斷，故與，與的大小不確定，對A，當(dāng)時(shí)，，故A錯(cuò)誤；對C，當(dāng)時(shí)，，故C錯(cuò)誤；對D，當(dāng)時(shí)，，故D錯(cuò)誤；對B，對，則，故B正確.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)的單調(diào)性、不等式性質(zhì)的運(yùn)用，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.7、A【解析】

求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，得到雙曲線的離心率，然后求解a，b關(guān)系，即可得到雙曲線的漸近線方程．【詳解】拋物線y2＝2px（p＞0）的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），則p＝2，又e＝p，所以e2，可得c2＝4a2＝a2+b2，可得：ba，所以雙曲線的漸近線方程為：y＝±．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的離心率以及雙曲線漸近線方程的求法，涉及拋物線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用．8、C【解析】

討論當(dāng)時(shí)，是否恒成立；討論當(dāng)恒成立時(shí)，是否成立，即可選出正確答案.【詳解】解：當(dāng)時(shí)，，由開口向上，則恒成立；當(dāng)恒成立時(shí)，若，則不恒成立，不符合題意，若時(shí)，要使得恒成立，則，即.所以“”是“恒成立”的充要條件.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了命題的關(guān)系，考查了不等式恒成立問題.對于探究兩個(gè)命題的關(guān)系時(shí)，一般分成兩步，若，則推出是的充分條件；若，則推出是的必要條件.9、C【解析】

利用三角形與相似得，結(jié)合雙曲線的定義求得的關(guān)系，從而求得雙曲線的漸近線方程。【詳解】設(shè)，，由，與相似，所以，即，又因?yàn)?，所以，，所以，即，，所以雙曲線C的漸近線方程為.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線幾何性質(zhì)、漸近線方程求解，考查數(shù)形結(jié)合思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力。10、D【解析】

計(jì)算兩班的平均值，中位數(shù)，方差得到正確，兩班人數(shù)不知道，所以兩班的總平均分無法計(jì)算，錯(cuò)誤，得到答案.【詳解】由題意可得甲班的平均分是104，中位數(shù)是103，方差是26.4；乙班的平均分是102，中位數(shù)是101，方差是37.6，則A，B，C正確.因?yàn)榧?、乙兩班的人?shù)不知道，所以兩班的總平均分無法計(jì)算，故D錯(cuò)誤.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了莖葉圖，平均值，中位數(shù)，方差，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.11、B【解析】

化簡得到，再計(jì)算模長得到答案.【詳解】，故.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算，復(fù)數(shù)的模，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.12、D【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算，化簡得到，再結(jié)合復(fù)數(shù)的表示，即可求解，得到答案．【詳解】由題意，根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算，可得，所對應(yīng)的點(diǎn)為位于第四象限.故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算，以及復(fù)數(shù)的幾何意義，其中解答中熟記復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，準(zhǔn)確化簡復(fù)數(shù)為代數(shù)形式是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、?196?3【解析】

由二項(xiàng)式定理及二項(xiàng)式展開式通項(xiàng)得：，令x=1，則1+a0+a1+…+a7=（1+1）×（1-2）7=-2，所以a0+a1+…+a7=-3，得解．【詳解】由二項(xiàng)式(1?2x)7展開式的通項(xiàng)得，則，令x=1,則，所以a0+a1+…+a7=?3，故答案為：?196，?3.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理及其通項(xiàng)，屬于中等題.14、【解析】

由題可得，解得，所以，，上述兩式相減可得，即，因?yàn)?，所以，即，所以?shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，所以．15、20【解析】

根據(jù)系統(tǒng)抽樣的定義將56人按順序分成4組，每組14人，則1至14號(hào)為第一組，15至28號(hào)為第二組，29號(hào)至42號(hào)為第三組，43號(hào)至56號(hào)為第四組.而學(xué)號(hào)6,34,48分別是第一、三、四組的學(xué)號(hào)，所以還有一個(gè)同學(xué)應(yīng)該是15+6-1=20號(hào),故答案為20.16、8【解析】

由整體代入法利用基本不等式即可求得最小值.【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.故的最小值為8，故答案為：8.【點(diǎn)睛】本題考查基本不等式求和的最小值，整體代入法，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）沒有，理由見解析【解析】

（1）求導(dǎo)，研究函數(shù)在x=0處的導(dǎo)數(shù)，等于切線斜率，即得解；（2）對f(x)求導(dǎo)，構(gòu)造，可證得，得到，即得解【詳解】（1）由題意得，∵曲線在點(diǎn)處的切線與直線平行，∴切線的斜率為，解得．（2）當(dāng)時(shí)，，，設(shè)，則，則函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，又函數(shù)，故恒成立，∴函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，函數(shù)不存在極值點(diǎn)．【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)在切線問題和函數(shù)極值問題中的應(yīng)用，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.18、（1）；（2）【解析】

（1）先通過求得，再由得，和條件中的式子作差可得答案；（2）變形可得，通過裂項(xiàng)求和法可得答案.【詳解】（1）①，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，②，①②得：，，適合，故；（2），.【點(diǎn)睛】本題考查法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查裂項(xiàng)求和，是基礎(chǔ)題.19、（1）（2）【解析】

（1）利用余弦定理可求，從而得到的值.（2）利用誘導(dǎo)公式和正弦定理化簡題設(shè)中的邊角關(guān)系可得，得到值后利用面積公式可求.【詳解】（1）由，得.所以由余弦定理，得.又因?yàn)椋?（2）由，得.由正弦定理，得，因?yàn)?，所?又因，所以.所以的面積.【點(diǎn)睛】在解三角形中，如果題設(shè)條件是關(guān)于邊的二次形式，我們可以利用余弦定理化簡該條件，如果題設(shè)條件是關(guān)于邊的齊次式或是關(guān)于內(nèi)角正弦的齊次式，那么我們可以利用正弦定理化簡該條件，如果題設(shè)條件是邊和角的混合關(guān)系式，那么我們也可把這種關(guān)系式轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系式或邊的關(guān)系式.20、（1）．（2）【解析】

（1）利用正弦定理的邊角互化可得，再根據(jù)，利用兩角和的正弦公式即可求解.（2）已知，由知，在中，解出即可.【詳解】（1）由正弦定理知由己知，而∴，（2）已知，則由知先求∴∴∴【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理解三角形、三角形的性質(zhì)、兩角和的正弦公式，需熟記定理與公式，屬于基礎(chǔ)題.21、（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】

（1）采用分析法論證，要證，分式化整式為，再利用立方和公式轉(zhuǎn)化為，再作差提取公因式論證.（2）由基本不等式得，再用不等式的基本性質(zhì)論證.【詳解】（1）要證，即證，即證，即證，即證，即證，該式顯然成立，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故.（2）由基本不等式得，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.將上面四式相加，可得，即.【點(diǎn)睛】本題考查證明不等式的方法、基本不等式，還考查推理論證能力以及化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題..22、（1）見解析；（2）【解析】

（1）要證平面平面，只需證平面，而，所以只需證，而由已知的數(shù)據(jù)可證得為等邊三角形，又由于是的中點(diǎn)，所以，從而可證得結(jié)論；（2）由于在中，，而平面平面，所以點(diǎn)在平面的投影恰好為的中點(diǎn)，所以如圖建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解.【詳解】（1）由，所以平面四邊形為直角梯形，設(shè)，因?yàn)?所以在中，，則，又，所以，由，所以為等邊三角形，又是的中點(diǎn)，所以，又平面，則有平面，而平面，