一輪復(fù)習(xí)-直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)

直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)直線和平面的位置關(guān)系復(fù)習(xí)1直線在平面內(nèi)直線與平面相交直線與平面平行2021/6/272線面垂直大橋的橋柱與水面的位置關(guān)系2021/6/273思考1直線和平面垂直旗桿與地面中的直線的位置關(guān)系如何？2021/6/274將一本書打開直立在桌面上，觀察書脊（想象成一條直線）與桌面的位置關(guān)系呈什么狀態(tài)？此時(shí)書脊與每頁書和桌面的交線的位置關(guān)系如何？思考22021/6/275思考3一條直線與一平面垂直的特征是什么？特征：直線垂直于平面內(nèi)的任意一條直線．BAC2021/6/276直線和平面垂直如果直線l

與平面

內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們說直線l

與平面

互相垂直.定義平面的垂線直線l

的垂面垂足平面內(nèi)任意一條直線2021/6/277如果一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的無數(shù)條直線，那么這條直線是否與這個(gè)平面垂直？思考4lα2021/6/278線面垂直的判定判定定理一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直．作用：判定直線與平面垂直．直線與平面垂直直線與直線垂直思想：2021/6/279例2已知：正方體中，AC是面對(duì)角線，BD'是與AC異面的體對(duì)角線.求證：AC⊥BD'ABDCA′B′CD′′2021/6/2710證明：連接BD因?yàn)檎襟wABCD-A'B'C'D'所以DD‘⊥平面ABCD又因?yàn)樗砸驗(yàn)锳C、BD為對(duì)角線所以AC⊥BD因?yàn)镈D'∩BD=D所以AC⊥平面D'DB所以AC⊥BD'ABDCA′B′C′D′2021/6/2711例3在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA=AB，D為PB的中點(diǎn)，求證：AD⊥PC.PABCD2021/6/2712如圖，直四棱柱（側(cè)棱與底面垂直的棱柱稱為直棱柱）中，底面四邊形滿足什么條件時(shí)，？答：底面四邊形ABCD對(duì)角線相互垂直．探究2021/6/2713直線與平面垂直的判定定理可簡述為“線線垂直，則線面垂直”通過直線間的垂直，推證直線與平面垂直，即將直線與平面的垂直關(guān)系（空間問題）轉(zhuǎn)化為直線間的垂直關(guān)系（平面問題）.思想方法2021/6/2714前面討論了直線與平面垂直的問題，那么直線與平面不垂直時(shí)情況怎么樣呢？問題提出2021/6/2715直線與平面所成的角2021/6/2716線面角相關(guān)概念αP斜線PA與平面

所成的角為

PABl平面的斜線A斜足A斜線PA在平面內(nèi)的射影垂足BB平面的垂線2021/6/27171.斜線與平面所成的角是指斜線和它在平面上的射影所成的角2.平面的垂線與平面所成的角為直角3.一條直線與平面平行或在平面內(nèi)，則這條直線與平面所成的角的00角一條直線與平面所成的角的取值范圍是2021/6/2718例1在正方體ABCD-A1B1C1D1中.（1）求直線A1B和平面ABCD所成的角；（2）求直線A1B和平面A1B1CD所成的角.D1ABA1CB1C1DO2021/6/2719例2如圖，AB為平面

的一條斜線，B為斜足，AO⊥平面

，垂足為O，直線BC在平面

內(nèi)，已知∠ABC=60°，

OBC=45°，求斜線AB和平面α所成的角.ABCOαD2021/6/2720如圖，∠BAD為斜線AB與平面α所成的角，AC為平面α內(nèi)的一條直線，那么∠BAD與∠BAC的大小關(guān)系如何？DαCAB∠BAD〈∠BACE解：作BOAD于O，BEAC于E，則BD<BEsinBAD<sinBAC思考1o2021/6/2721平面與平面垂直的判定概念直線上的一點(diǎn)將直線分割成兩部分，每一部分都叫做射線.平面上的一條直線將平面分割成兩部分，每一部分叫半平面.半平面半平面射線射線2021/6/2723概念從一點(diǎn)出發(fā)的兩條射線，構(gòu)成平面角.同樣,從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角.這條直線叫做二面角的棱，這兩個(gè)半平面叫做二面角的面.

m記為：二面角

-m-記作

AOBABO2021/6/2724二面角的圖示2021/6/2725二面角的記號(hào)（1）以直線為棱，以為半平面的二面角記為：（2）以直線AB為棱，以為半平面的二面角記為：AB2021/6/2726如何用平面角來表示二面角的大??？探究lαβOABlαβOAB二面角

-l-2021/6/2727二面角的平面角

以二面角的棱上任意一點(diǎn)為頂點(diǎn)，在兩個(gè)面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角.平面角∠AOB即為二面角α-AB-β的2021/6/2728

注意：二面角的平面角必須滿足：

（1）角的頂點(diǎn)在棱上.（2）角的兩邊分別在兩個(gè)面內(nèi).（3）角的邊都要垂直于二面角的棱.2021/6/2729二面角的取值范圍0度角180度角lαβ00~18002021/6/2730例1.在正方體中，找出二面角C1-AB-C的平面角，并指出大小.端點(diǎn)2021/6/2731例2在正方體ABCD-A1B1C1D1中，求二面角B1-AC-B的正切值.AA1BCDB1C1D1O2021/6/2732小結(jié)二面角的平面角的作法：1.定義法：根據(jù)定義作出來.2.作垂面：作與棱垂直的平面與兩半平面的交線得到.3.應(yīng)用三垂線定理：應(yīng)用三垂線定理或其逆定理作出來.oABoAoABB2021/6/2733平面與平面垂直的判定第2課時(shí)平面與平面垂直的判定定義一般地，兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個(gè)平面互相垂直.αβaAb

記為

2021/6/2735

判定定理：如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直．αβaA面面垂直線面垂直線線垂直2021/6/2736例1如圖，⊙O在平面α內(nèi)，AB是⊙O的直徑，PA⊥α，C為圓周上不同于A、B的任意一點(diǎn)，求證：平面PAC⊥平面PBC.PABCO2021/6/2737證明:2021/6/2738例2在四面體ABCD中，已知AC⊥BD,∠

BAC=∠CAD=45°，∠BAD=60°，求證：平面ABC⊥平面ACD.ABCDE2021/6/2739

例3如圖，四棱錐P-ABCD的底面為矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AD，M為AB的中點(diǎn)，求證：平面PMC⊥平面PCD.PABCDMEF2021/6/2740請(qǐng)問哪些平面互相垂直的,為什么?探究：ABCD2021/6/2741直線與平面垂直的性質(zhì)直線與平面垂直的判定定理是什么？復(fù)習(xí)直線與平面垂直的定義是什么？aαa

2021/6/2743思考1如圖，長方體ABCD—A1B1C1D1中，棱AA1，BB1，CC1，DD1所在直線與底面ABCD的位置關(guān)系如何？它們彼此之間具有什么位置關(guān)系？AA1BCDB1C1D12021/6/2744思考2如果直線a，b都垂直于同一條直線l，那么直線a，b的位置關(guān)系如何？ablablab

l相交平行異面2021/6/2745思考3如果直線a，b都垂直于平面α，那么a與b一定平行嗎？2021/6/2746垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行直線與平面垂直的性質(zhì)定理2021/6/2747平面與平面垂直的性質(zhì)復(fù)習(xí)1αβlαβlγ兩個(gè)平面相互垂直三個(gè)平面兩兩垂直2021/6/2749兩個(gè)平面垂直的判定

判定定理：如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直．復(fù)習(xí)2αβl2021/6/2750

1.黑板所在平面與地面所在平面垂直，在黑板上是否存在直線與地面垂直？若存在，怎樣畫線？αβ思考？2021/6/2751

兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)性質(zhì)定理：兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直.面面垂直線面垂直αβaAl2021/6/2752結(jié)論BαβA如果兩個(gè)平面互相垂直，那么經(jīng)過一個(gè)平面內(nèi)一點(diǎn)且垂直于另一個(gè)平面的直線，必在這個(gè)平面內(nèi).2021/6/2753例1.如圖，已知α⊥β，a⊥β，a，試判斷直線l與平面α的位置關(guān)系，并說明理由.αβAbal2021/6/2754例2如圖，四棱錐P-ABCD的底面是矩形，AB=2，

,側(cè)面PAB是等邊三角形，且側(cè)面PAB⊥底面ABCD.