適用于新教材2025版高中數(shù)學(xué)單元素養(yǎng)檢測(cè)五第十章概率新人教A版必修第二冊(cè)

PAGE單元素養(yǎng)檢測(cè)(五)(第十章)(120分鐘150分)一、單項(xiàng)選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求)1．為美化環(huán)境，從紅、黃、白、紫4種顏色的花中任選2種花種在一個(gè)花壇中，余下的2種花種在另一個(gè)花壇中，則紅色和紫色的花不在同一花壇的概率是()A．eq\f(1,3)B．eq\f(1,2)C．eq\f(2,3)D．eq\f(5,6)【解析】選C.從紅、黃、白、紫4種顏色的花中任選2種花種在一個(gè)花壇中，余下的2種花種在另一個(gè)花壇中，共有6種選法．紅色和紫色的花不在同一花壇的有4種選法，依據(jù)古典概型的概率計(jì)算公式，所求的概率為eq\f(4,6)＝eq\f(2,3).2．(2024·合肥高一檢測(cè))1742年6月7日，哥德巴赫在給大數(shù)學(xué)家歐拉的信中提出：任一大于2的偶數(shù)都可寫成兩個(gè)質(zhì)數(shù)的和．這就是聞名的“哥德巴赫猜想”，可簡(jiǎn)記為“1＋1”.1966年我國數(shù)學(xué)家陳景潤證明白“1＋2”，獲得了該探討的世界最優(yōu)成果，若在不超過20的全部質(zhì)數(shù)中，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，則兩數(shù)之和不超過20的概率是()A．eq\f(3,7)B．eq\f(4,7)C．eq\f(5,14)D．eq\f(9,14)【解析】選B.共有不超過20的全部質(zhì)數(shù)2，3，5，7，11，13，17，19共8個(gè)，從中選取2個(gè)不同的數(shù)有Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(8))＝28種，和超過20的共有(2，19)，(3，19)，(5，17)，(5，19)，(7，17)，(7，19)，(11，13)，(11，17)，(11，19)，(13，17)，(13，19)，(17，19)12種，所以兩數(shù)之和不超過20的概率是eq\f(28－12,28)＝eq\f(4,7).3．從含有3個(gè)元素的集合中任取一個(gè)子集，所取的子集是含有兩個(gè)元素的集合的概率是()A．eq\f(3,10)B．eq\f(1,12)C．eq\f(45,64)D．eq\f(3,8)【解析】選D.全部子集共8個(gè)，其中含有2個(gè)元素的有3個(gè)，所以概率為eq\f(3,8).4．某人從甲地去乙地共走了500m，途中要過一條寬為xm的河流，他不當(dāng)心把一件物品丟在途中，若物品掉在河里就找不到，若物品不掉在河里，則能找到，已知該物品能找到的概率為eq\f(4,5)，則河寬為()A．100mB．80mC．50mD．40m【解析】選A.設(shè)河寬為xm，則1－eq\f(x,500)＝eq\f(4,5)，所以x＝100.5．從一批羽毛球中任取一個(gè)，假如其質(zhì)量小于4.8g的概率是0.3，質(zhì)量不小于4.85g的概率是0.32，那么質(zhì)量在[4.8，4.85)范圍內(nèi)的概率是()A．0.62B．0.38C．0.70D．0.68【解析】選B.記“取到羽毛球的質(zhì)量小于4.8g”為事務(wù)A，“取到羽毛球的質(zhì)量不小于4.85g”為事務(wù)B，“取到羽毛球的質(zhì)量在[4.8，4.85)范圍內(nèi)”為事務(wù)C.易知事務(wù)A，B，C互斥，且A∪B∪C為必定事務(wù)．所以P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.3＋0.32＋P(C)＝1，即P(C)＝1－0.3－0.32＝0.38.6．(2024·成都高一檢測(cè))任取一個(gè)三位正整數(shù)N，則對(duì)數(shù)log2N是一個(gè)正整數(shù)的概率是()A．eq\f(1,225)B．eq\f(3,899)C．eq\f(1,300)D．eq\f(1,450)【解析】選C.三位正整數(shù)有100～999，共900個(gè)，而滿意log2N為正整數(shù)的N有27，28，29，共3個(gè)，故所求事務(wù)的概率為eq\f(3,900)＝eq\f(1,300).7．(2024·南通高一檢測(cè))拋擲一枚勻稱硬幣和一枚勻稱骰子各一次，記“硬幣正面對(duì)上”為事務(wù)A，“骰子向上的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”為事務(wù)B，則事務(wù)A，B中至少有一件發(fā)生的概率是()A．eq\f(5,12)B．eq\f(1,2)C．eq\f(7,12)D．eq\f(3,4)【解析】選D.P(A)＝eq\f(1,2)，P(B)＝eq\f(1,2)，P(eq\x\to(A))＝eq\f(1,2)，P(eq\x\to(B))＝eq\f(1,2).A，B中至少有一件發(fā)生的概率為1－P(eq\x\to(A))·P(eq\x\to(B))＝1－eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(3,4).8．一場(chǎng)5局3勝制的乒乓球?qū)官?，?dāng)甲運(yùn)動(dòng)員先勝2局時(shí)，競(jìng)賽因故中斷．已知甲、乙水平相當(dāng)，每局甲勝、乙勝的概率都為eq\f(1,2)，則這場(chǎng)競(jìng)賽的甲、乙取勝的概率比(甲∶乙)應(yīng)為()A．6∶1B．7∶1C．3∶1D．4∶1【解析】選B.甲前2局已勝，甲勝有三種狀況：①甲第3局勝為A1，P(A1)＝eq\f(1,2)；②甲第3局負(fù)、第4局勝為A2，P(A2)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,4)；③第3局、第4局甲負(fù)，第5局甲勝為A3，P(A3)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,8).故甲勝的概率為P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝eq\f(7,8)，乙勝的概率則為eq\f(1,8)．二、多項(xiàng)選擇題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，選對(duì)但不全的得2分，有選錯(cuò)的得0分)9．(2024·濟(jì)南高一檢測(cè))同時(shí)拋擲兩枚質(zhì)地勻稱的骰子，則下列說法正確的是()A．一共有36種不同的結(jié)果B．兩枚骰子向上的點(diǎn)數(shù)相同的概率是eq\f(1,6)C．兩枚骰子向上的點(diǎn)數(shù)之和為5的概率是eq\f(5,36)D．兩枚骰子向上的點(diǎn)數(shù)之差的肯定值小于4的概率為eq\f(5,6)【解析】選ABD.同時(shí)拋擲兩枚質(zhì)地勻稱的骰子，一共有6×6＝36種不同的結(jié)果，A選項(xiàng)正確；對(duì)于B選項(xiàng)，事務(wù)“兩枚骰子向上的點(diǎn)數(shù)相同”所包含的基本領(lǐng)件有：(1，1)、(2，2)、(3，3)、(4，4)、(5，5)、(6，6)，共6種不同的結(jié)果，所求概率為eq\f(6,36)＝eq\f(1,6)，B選項(xiàng)正確；對(duì)于C選項(xiàng)，事務(wù)“兩枚骰子向上的點(diǎn)數(shù)之和為5”所包含的基本領(lǐng)件有：(1，4)、(2，3)、(3，2)、(4，1)，共4種不同的結(jié)果，所求概率為eq\f(4,36)＝eq\f(1,9)，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，事務(wù)“兩枚骰子向上的點(diǎn)數(shù)之差的肯定值不小于4”所包含的基本領(lǐng)件有：(1，5)、(1，6)、(2，6)、(5，1)、(6，1)、(6，2)，共6種不同的結(jié)果，因此，事務(wù)“兩枚骰子向上的點(diǎn)數(shù)之差的肯定值小于4”的概率為1－eq\f(6,36)＝eq\f(5,6)，D選項(xiàng)正確．10．下列事務(wù)：①假如a，b是實(shí)數(shù)，那么b＋a＝a＋b；②某地1月1日刮西北風(fēng)；③當(dāng)x是實(shí)數(shù)時(shí)，x2≥0；④一個(gè)電影院某天的上座率超過50%，其中是隨機(jī)事務(wù)的有()A．①B．②C．③D．④【解析】選BD.由題意可知①③是必定事務(wù)，②④是隨機(jī)事務(wù)．11．(2024·北京高一檢測(cè))下列事務(wù)中，是隨機(jī)事務(wù)的是()A．2024年8月18日，北京市不下雨B．在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水在4℃時(shí)結(jié)冰C．甲、乙兩人進(jìn)行競(jìng)技競(jìng)賽，甲的實(shí)力遠(yuǎn)勝于乙，在一次競(jìng)賽中甲肯定獲勝D．當(dāng)圓的半徑變?yōu)樵瓉淼?倍時(shí)，圓的面積是原來的4倍【解析】選AC.A選項(xiàng)與C選項(xiàng)為隨機(jī)事務(wù)，B為不行能事務(wù)，D為必定事務(wù)．12．下列說法不正確的是()A．事務(wù)A的概率為P(A)，必有0<P(A)<1B．事務(wù)A的概率P(A)＝0.999，則事務(wù)A是必定事務(wù)C．用某種藥物對(duì)患有胃潰瘍的500名病人進(jìn)行治療，結(jié)果有380人有明顯的療效．現(xiàn)有胃潰瘍的病人服用此藥，則估計(jì)有明顯療效的可能性為76%D．某獎(jiǎng)券的中獎(jiǎng)率為50%，則某人購買此獎(jiǎng)券10張，肯定有5張中獎(jiǎng)【解析】選ABD.A不正確，因?yàn)?≤P(A)≤1；若A是必定事務(wù)，則P(A)＝1，故B不正確；對(duì)于D，獎(jiǎng)券的中獎(jiǎng)率為50%，若某人購買此獎(jiǎng)券10張，則可能會(huì)有5張中獎(jiǎng)，所以D不正確．依據(jù)頻率與概率的關(guān)系知C正確．三、填空題(本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中的橫線上)13．一個(gè)袋子中有5個(gè)紅球，3個(gè)白球，4個(gè)綠球，8個(gè)黑球，假如隨機(jī)地摸出一個(gè)球，記A＝{摸出黑球}，B＝{摸出白球}，C＝{摸出綠球}，D＝{摸出紅球}，則P(A)＝________；P(B)＝________；P(C∪D)＝________．【解析】由古典概型的算法可得P(A)＝eq\f(8,20)＝eq\f(2,5)，P(B)＝eq\f(3,20)，P(C∪D)＝P(C)＋P(D)＝eq\f(4,20)＋eq\f(5,20)＝eq\f(9,20).答案：eq\f(2,5)eq\f(3,20)eq\f(9,20)14．有一個(gè)數(shù)學(xué)難題，在半小時(shí)內(nèi)，甲能解決的概率是eq\f(1,2)，乙能解決的概率是eq\f(1,3)，兩人試圖獨(dú)立地在半小時(shí)內(nèi)解決它，則兩人都未解決的概率為________，問題得到解決的概率為________．【解析】甲、乙兩人都未能解決的概率為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))＝eq\f(1,2)×eq\f(2,3)＝eq\f(1,3)，問題得到解決就是至少有一人能解決問題．所以問題得到解決的概率為1－eq\f(1,3)＝eq\f(2,3).答案：eq\f(1,3)eq\f(2,3)15．(2024·連云港高一檢測(cè))某籃球隊(duì)員在競(jìng)賽中每次罰球的命中率相同，且在兩次罰球中至多命中一次的概率為eq\f(16,25)，則該隊(duì)員每次罰球的命中率為________．【解析】設(shè)此隊(duì)員每次罰球的命中率為P，則1－P2＝eq\f(16,25)，所以P＝eq\f(3,5)答案：eq\f(3,5)16．圣宋元寶，是中國古代錢幣之一，宋徽宗趙佶建中靖國元年(公元1101年)始鑄，是仁宗“皇宋通寶”之后又一種不以年號(hào)命名的非年號(hào)錢，種類主要有小平和折二兩種．小明同學(xué)珍藏有小平錢2枚，折二錢3枚，現(xiàn)隨機(jī)抽取2枚贈(zèng)好友，則贈(zèng)送的兩枚為不同種類的概率為________．【解析】小平錢2枚編號(hào)為a，b，折二錢3枚編號(hào)為1，2，3，則任取2枚的全部基本領(lǐng)件為：ab，a1，a2，a3，b1，b2，b3，12，13，23共10種，其中兩枚不同類的有a1，a2，a3，b1，b2，b3共6種，所求概率為P＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5).答案：eq\f(3,5)四、解答題(本大題共6個(gè)小題，共70分，解答時(shí)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)17．(10分)(2024·銀川高一檢測(cè))黨的十八大以來，習(xí)總書記在不同場(chǎng)合多次強(qiáng)調(diào)要“厲行節(jié)約，反對(duì)奢侈”，要加大宣揚(yáng)引導(dǎo)力度，大力弘揚(yáng)中華民族勤儉節(jié)約的優(yōu)秀傳統(tǒng)．某自助餐廳為響應(yīng)號(hào)召，對(duì)就餐人員用餐后的剩余食物狀況進(jìn)行調(diào)查，并實(shí)行適當(dāng)?shù)莫?jiǎng)懲措施．(1)現(xiàn)有5人用餐，相互之間都不相識(shí)．若這5人中有3男2女，從這5人中任取2人，求恰有一男一女的概率；(2)若每人每次用餐需68元，用餐后若無剩余食物，則返回5元嘉獎(jiǎng)；若剩余在0克到50克，則不獎(jiǎng)不罰；若剩余在50克到100克，則罰10元；若剩余在100克以上，則罰20元．近期調(diào)查200位來就餐人員，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表：食物剩余量(克)無剩余(0，50](50，100]100克以上人數(shù)1801262現(xiàn)有頻率當(dāng)作概率，求某人來就餐消費(fèi)的總費(fèi)用的平均值．【解析】(1)令3男分別為A，B，C，2女分別為a，b，則任取2人有AB，AC，Aa，Ab，BC，Ba，Bb，Ca，Cb，ab共10種取法，滿意一男一女的取法有Aa，Ab，Ba，Bb，Ca，Cb共6種取法，故恰有一男一女的取法的概率P＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5).(2)平均值eq\x\to(x)＝eq\f(180×63＋12×68＋6×78＋2×88,200)＝64，故消費(fèi)的平均值為64元．18．(12分)(2024·杭州高一檢測(cè))漢字是世界上最古老的文字之一，字形結(jié)構(gòu)體現(xiàn)人類追求均衡對(duì)稱、和諧穩(wěn)定的天性．如圖，三個(gè)漢字可以看成是軸對(duì)稱圖形．小敏和小慧利用“土”“口”“木”三個(gè)漢字設(shè)計(jì)一個(gè)嬉戲，規(guī)則如下：將這三個(gè)漢字分別寫在背面都相同的三張卡片上，背面朝上洗勻后抽出一張，放回洗勻后再抽出一張，若兩次抽出的漢字能構(gòu)成上下結(jié)構(gòu)的漢字(如“土”“土”構(gòu)成“圭”)，小敏獲勝，否則小慧獲勝．你認(rèn)為這個(gè)嬉戲?qū)φl有利？【解析】這個(gè)嬉戲?qū)π』塾欣看捂覒驎r(shí)，全部可能出現(xiàn)的結(jié)果如下：土口木土(土，土)(土，口)(土，木)口(口，土)(口，口)(口，木)木(木，土)(木，口)(木，木)共有9種結(jié)果，且每種結(jié)果等可能出現(xiàn)，其中能組成上下結(jié)構(gòu)的漢字的結(jié)果有4種：(土，土)，(口，口)，(木，口)，(口，木)，所以小敏獲勝的概率為eq\f(4,9)，小慧獲勝的概率為eq\f(5,9)，所以這個(gè)嬉戲?qū)π』塾欣狙a(bǔ)償訓(xùn)練】某飲料公司對(duì)一名員工進(jìn)行測(cè)試以便確定其考評(píng)級(jí)別，公司打算了兩種不同的飲料共5杯，其顏色完全相同，并且其中3杯為A飲料，另外2杯為B飲料，公司要求此員工一一品嘗后，從5杯飲料中選出3杯A飲料，若該員工3杯都選對(duì)，則評(píng)為優(yōu)秀；若3杯選對(duì)2杯，則評(píng)為良好；否則評(píng)為合格．假設(shè)此人對(duì)A和B兩種飲料沒有鑒別實(shí)力．(1)求此人被評(píng)為優(yōu)秀的概率．(2)求此人被評(píng)為良好及以上的概率．【解析】將5杯飲料編號(hào)為1，2，3，4，5，編號(hào)1，2，3表示A飲料，編號(hào)4，5表示B飲料，則從5種飲料中選出3杯的全部可能狀況為(1，2，3)，(1，2，4)，(1，2，5)，(1，3，4)，(1，3，5)，(1，4，5)，(2，3，4)，(2，3，5)，(2，4，5)，(3，4，5)，共有10種，令D表示此人被評(píng)為優(yōu)秀的事務(wù)，E表示此人被評(píng)為良好的事務(wù)，F(xiàn)表示此人被評(píng)為良好及以上的事務(wù)，則(1)P(D)＝eq\f(1,10).(2)P(E)＝eq\f(3,5)，P(F)＝P(D)＋P(E)＝eq\f(7,10).19．(12分)對(duì)某班一次測(cè)驗(yàn)成果進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，如下表所示：(1)求該班成果在[80，100]內(nèi)的概率；(2)求該班成果在[60，100]內(nèi)的概率；【解析】記該班的測(cè)試成果在[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]內(nèi)依次為事務(wù)A，B，C，D，由題意知事務(wù)A，B，C，D是彼此互斥的．(1)該班成果在[80，100]內(nèi)的概率是P(C∪D)＝P(C)＋P(D)＝0.25＋0.15＝0.4.(2)該班成果在[60，100]內(nèi)的概率是P(A∪B∪C∪D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＋P(D)＝0.17＋0.36＋0.25＋0.15＝0.93.20．(12分)連續(xù)拋擲兩顆骰子，設(shè)第一顆點(diǎn)數(shù)為m，其次顆點(diǎn)數(shù)為n，則求(1)m＋n＝7的概率；(2)m＝n的概率；(3)m·n為偶數(shù)的概率．【解析】(m，n)的總個(gè)數(shù)為36.(1)事務(wù)A＝{m＋n＝7}＝{(1，6)，(2，5)，(3，4)，(4，3)，(5，2)，(6，1)}共6個(gè)，則P(A)＝eq\f(6,36)＝eq\f(1,6).(2)事務(wù)B＝{m＝n}＝{(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)，(5，5)，(6，6)}共6個(gè)，則P(B)＝eq\f(6,36)＝eq\f(1,6).(3)事務(wù)C＝{m·n為偶數(shù)}，分為奇數(shù)×偶數(shù)，偶數(shù)×奇數(shù)，偶數(shù)×偶數(shù)3類，所以共有3×3＋3×3＋3×3＝27個(gè)．所以P(C)＝eq\f(27,36)＝eq\f(3,4).21．(12分)(2024·長(zhǎng)沙高一檢測(cè))某社區(qū)舉辦《“環(huán)保我參與”有獎(jiǎng)問答競(jìng)賽》活動(dòng)，某場(chǎng)競(jìng)賽中，甲、乙、丙三個(gè)家庭同時(shí)回答一道有關(guān)環(huán)保學(xué)問的問題．已知甲家庭回答正確這道題的概率是eq\f(3,4)，甲、丙兩個(gè)家庭都回答錯(cuò)誤的概率是eq\f(1,12)，乙、丙兩個(gè)家庭都回答正確的概率是eq\f(1,4).若各家庭回答是否正確互不影響．(1)求乙、丙兩個(gè)家庭各自回答正確這道題的概率；(2)求甲、乙、丙三個(gè)家庭中不少于2個(gè)家庭回答正確這道題的概率．【解析】(1)記“甲回答對(duì)這道題”、“乙回答對(duì)這道題”、“丙回答對(duì)這道題”分別為事務(wù)A，B，C，則P(A)＝eq\f(3,4)，且有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(P（\x\to(A)）P（\x\to(C)）＝\f(1,12),P（B）P（C）＝\f(1,4)))，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1([1－P（A）][1－P（C）]＝\f(1,12),P（B）P（C）＝\f(1,4)))，解得P(B)＝eq\f(3,8)，P(C)＝eq\f(2,3).(2)有0個(gè)家庭回答正確的概率為P0＝P(eq\x\to(A)eq\x\to(B)eq\x\to(C))＝P(eq\x\to(A))P(eq\x\to(B))P(eq\x\to(C))＝eq\f(1,4)×eq\f(5,8)×eq\f(1,3)＝eq\f(5,96)，有1個(gè)家庭回答正確的概率為P1＝P(Aeq\x\to(B)eq\x\to(C)＋eq\x\to(A)Beq\x\to(C)＋eq\x\to(A)eq\x\to(B)C)＝P(A)P(eq\x\to(B))P(eq\x\to(C))＋P(eq\x\to(A))P(B)P(eq\x\to(C))＋P(eq\x\to(A))P(eq\x\to(B))P(C)＝eq\f(3,4)×eq\f(5,8)×eq\f(1,3)＋eq\f(1,4)×eq\f(3,8)×eq\f(1,3)＋eq\f(1,4)×e