遼寧省大連市濱城2025屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期中‖試卷含解析

Page22遼寧省大連市濱城2024屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期中（‖）考試試卷一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知，是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則（）A.0 B.1或-1 C. D.1【答案】D【解析】【詳解】為純虛數(shù)，，即.故選：.2.已知集合，，，則C中元素的個(gè)數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【詳解】由題意，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，時(shí)，，當(dāng)，時(shí)，，即C中有三個(gè)元素，故選：C3.“”是“直線與平行”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件【答案】A【解析】【詳解】充分性：當(dāng)時(shí)，直線與即為：與，所以兩直線平行.故充分性滿意；必要性：直線與平行，則有：，解得：或.當(dāng)時(shí)，直線與即為：與，所以兩直線平行，不重合；當(dāng)時(shí)，直線與即為：與，所以兩直線平行，不重合；所以或.故必要性不滿意.故“”是“直線與平行”的充分不必要條件.故選：A4.已知函數(shù)若，則m的值為（）A. B.2 C.9 D.2或9【答案】C【解析】【詳解】∵函數(shù)，，∴或，解得.故選：C.5.將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把全部點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍(縱坐標(biāo)保持不變)得到函數(shù)的圖象，則下列說(shuō)法正確的是（）A.的最小正周期為 B.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱C.在區(qū)間上單調(diào)遞減 D.在區(qū)間上單調(diào)遞增【答案】D【解析】【詳解】函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度可得：，再把全部點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，可得，對(duì)A，的最小正周期為，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，所以不是函數(shù)的對(duì)稱軸，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，因?yàn)椋?，所函?shù)是先減再增，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，因?yàn)?，所以，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，故D正確；故選：D.6.濟(jì)南市洪家樓天主教堂于2006年5月被國(guó)務(wù)院列為全國(guó)重點(diǎn)文物愛(ài)護(hù)單位.它是典型的哥特式建筑.哥特式建筑的特點(diǎn)之一就是窗門(mén)處運(yùn)用尖拱造型，其結(jié)構(gòu)是由兩段不同圓心的圓弧組成的對(duì)稱圖形.如圖2，和所在圓的圓心都在線段AB上，若，，則的長(zhǎng)度為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【詳解】過(guò)作，設(shè)圓弧AC的圓心為O，半徑為，則，在中，，所以，，所以在直角三角形中，，所以，所以，而，所以，所以.故選：A.7.如圖，△ABC是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，D在線段BC上，且，E為線段AD上一點(diǎn)，若與的面積相等，則的值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【詳解】∵D在線段BC上，且，∴，又為線段AD上一點(diǎn)，若與的面積相等，∴，為的中點(diǎn)，如圖建立平面直角坐標(biāo)系，則，∴，∴.故選：D.8.已知數(shù)列，，，，，，，，，，…，其中每一項(xiàng)的分子和分母均為正整數(shù).第一項(xiàng)是分子與分母之和為2的有理數(shù)；接下來(lái)兩項(xiàng)是分子與分母之和為3的有理數(shù)，并且從大到小排列；再接下來(lái)的三項(xiàng)是分子與分母之和為4的有理數(shù)，并且從大到小排列，依次類推.此數(shù)列第n項(xiàng)記為，則滿意且的n的最小值為（）A.47 B.48 C.57 D.58【答案】C【解析】【詳解】將數(shù)列分組為（），（，），（，，），（，，，），…，設(shè)滿意的首次出現(xiàn)在第m組的第x個(gè)數(shù)的位置上，則，此時(shí)數(shù)列共有項(xiàng)數(shù)為，即得，解得由于，而，故，又,故符合條件的m,的最小值為11，則滿意且的n的最小值為，故選：C二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.設(shè)m，n是兩條不同直線，是平面，m，n不在內(nèi)，下列結(jié)論中正確的是（）．A.若，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則【答案】ABC【解析】【詳解】A選項(xiàng)，由于，所以存在直線且，由于，所以，所以，所以A選項(xiàng)正確.B選項(xiàng)，垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行，所以B選項(xiàng)正確.C選項(xiàng)，若，，則存在，，由于，所以，所以C選項(xiàng)正確.D選項(xiàng)，若，，則可能與平行，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：ABC10.下列不等關(guān)系中肯定成立的是（）A. B.C.， D.，【答案】ABC【解析】【詳解】A.因?yàn)椋?，故正確B.因?yàn)樵谏线f增，則，因?yàn)樵谏线f減，則，所以，故正確；C.因?yàn)?，所以，，故正確；D.當(dāng)時(shí)，，故錯(cuò)誤；故選：ABC11.過(guò)拋物線焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)（A在第一象限），M為線段AB的中點(diǎn).M在拋物線的準(zhǔn)線l上的射影為點(diǎn)N，則下列說(shuō)法正確的是（）A.的最小值為4 B.C.△NAB面積的最小值為6 D.若直線AB的斜率為，則【答案】ABD【解析】【詳解】由題意知,設(shè)直線AB方程,，聯(lián)立，可得，，故，則，故當(dāng)時(shí)，的最小值為4，故A正確；又，即M點(diǎn)縱坐標(biāo)為2m,故，當(dāng)時(shí)，軸，NF在x軸上，此時(shí);當(dāng)時(shí),，，故，綜合可知，,故B正確；又點(diǎn)N到直線AB的距離為，故，當(dāng)時(shí)，取最小值4，故C錯(cuò)誤；若直線AB的斜率為，則直線AB方程為，即，則，由于A在第一象限，故解得，故，由于同向，故，故D正確，故選：ABD12.在棱長(zhǎng)為1的正方體中，E，F(xiàn)，G分別為線段，CD，CB上的動(dòng)點(diǎn)（E，F(xiàn)，G均不與點(diǎn)C重合），則下列說(shuō)法正確的是（）A.存在點(diǎn)E，F(xiàn)，G，使得平面EFGB.存在點(diǎn)E，F(xiàn)，G，使得C.當(dāng)平面EFG時(shí)，三棱錐與C-EFG體積之和的最大值為D.記CE，CF，CG與平面EFG所成的角分別為，，，則【答案】ACD【解析】【詳解】解：如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，對(duì)于A，因?yàn)槠矫妫矫?，所以，又因，所以平面，又平面，所以，?dāng)時(shí)，，此時(shí)，要使平面EFG，只需即可，，則，則，即，當(dāng)時(shí)，，故存點(diǎn)E，F(xiàn)，G，使得平面EFG，故A正確；對(duì)于B，，則，要使，只須要即可，，，，則，故，因?yàn)?，所以，所以，所以不存在點(diǎn)E，F(xiàn)，G，使得，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)槠矫鍱FG，所以，，則，則，所以，要使最大，則，此時(shí)，所以體積之和的最大值為，故C正確；對(duì)于D，由B，，則，因?yàn)椋缘狡矫娴木嚯x滿意，所以，所以，，，所以，故D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知，則__________．【答案】【解析】【詳解】.故答案為：14.已知，分別為雙曲線的左?右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線上，若，，則雙曲線的離心率為_(kāi)__________.【答案】【解析】【詳解】不妨假設(shè)點(diǎn)P在雙曲線右支上，則，由于，，故，故，而，故，故答案為：15.已知有序數(shù)對(duì)，滿意，有序數(shù)對(duì)滿意，定義，則D的最小值為_(kāi)_________．【答案】##【解析】【詳解】對(duì)于有序數(shù)對(duì)，整理得，令，則對(duì)于有序數(shù)對(duì)，整理得，令，則，依據(jù)切線的性質(zhì)，當(dāng)取最小值時(shí)，必有，令，得到，代入，得，故點(diǎn)到直線的距離設(shè)為，即的最小值為，則所求的的最小值為故答案為：16.在高為2的直三棱柱中，AB⊥AC，若該直三棱柱存在內(nèi)切球，則底面△ABC周長(zhǎng)的最小值為_(kāi)__________.【答案】##【解析】【詳解】因?yàn)橹比庵母邽?，設(shè)內(nèi)切球的半徑為，所以，所以，又因?yàn)锳B⊥AC，所以設(shè)，所以.，因?yàn)?，所以△ABC周長(zhǎng)的最小值即為面積的最小值，而，當(dāng)且僅當(dāng)“”時(shí)取等.當(dāng)時(shí)，底面△ABC周長(zhǎng)最小，所以，所以，所以此時(shí)△ABC周長(zhǎng)的最小值：.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17.已知數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，，，成等差數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和，求證：．【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析【解析】【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，，成等差?shù)列，所以，又因?yàn)閿?shù)列的公比為2，所以，即，解得，所以．【小問(wèn)2詳解】由（1）知，則，所以，①，②①②得．所以．又因?yàn)?，所以是遞增數(shù)列，所以，所以．18.在①，②，③．這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，并解答．已知銳角三角形的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，__________，且．（1）求角C的值；（2）求a的取值范圍．注：假如選擇多個(gè)條件分別解答，那么按第一個(gè)解答計(jì)分．【答案】（1）（2）【解析】【小問(wèn)1詳解】選擇條件①．∵，∴由正弦定理，得．∵，∴，∴，∴，即，∴．∵，∴，∴．選擇條件②．由，得，∴．則由余弦定理，得．∵，∴．選擇條件③．∵，∴，結(jié)合，得．由正弦定理，得，即．則由余弦定理，得．∵，∴．【小問(wèn)2詳解】∵，∴．∵為銳角三角形，且，∴，∴．又，∴，∴．由正弦定理，得，∴，∴，∴，即a的取值范圍為．19.在底面為正三角形的三棱柱中，平面ABC⊥平面，，.（1）證明：；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【小問(wèn)1詳解】證明：因?yàn)椋?，所以，則，所以，即，因?yàn)槠矫鍭BC∥平面，平面ABC⊥平面，所以平面平面，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面，又平面，所以；【小?wèn)2詳解】解：如圖，以為原點(diǎn)，，所在直線分別為x軸，y軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，設(shè)平面的法向量為，則，即，取x=1，則，又因?yàn)閤軸⊥平面ABC，所以取平面ABC的法向量，所以，由圖可知，二面角為銳角，所以二面角的余弦值為.20.“綠水青山就是金山銀山”是時(shí)任浙江省委書(shū)記習(xí)近平同志于2005年8月15日在浙江湖州安吉考察時(shí)提出的科學(xué)論斷，2017年10月18日，該理論寫(xiě)入中共19大報(bào)告，為響應(yīng)總書(shū)記號(hào)召，我國(guó)某西部地區(qū)進(jìn)行沙漠治理，該地區(qū)有土地1萬(wàn)平方公里，其中是沙漠（其余為綠洲），從今年起，該地區(qū)進(jìn)行綠化改造，每年把原有沙漠的改造為綠洲，同時(shí)原有綠洲的被沙漠所侵蝕又變成沙漠，設(shè)從今年起第n年綠洲面積為萬(wàn)平方公里．（1）求第n年綠洲面積與上一年綠洲面積的關(guān)系；（2）推斷是否是等比數(shù)列，并說(shuō)明理由；（3）至少經(jīng)過(guò)幾年，綠洲面積可超過(guò)？【答案】(1)(2)是等比數(shù)列，理由見(jiàn)解析.(3)至少經(jīng)過(guò)6年，綠洲面積可超過(guò)60%．【解析】【詳解】（1）由題意得，所以；（2）由（1）得，∴，所以是等比數(shù)列.（3）由（2）有，又，所以，∴，即；，即，兩邊取常用對(duì)數(shù)得：，所以，∴．∴至少經(jīng)過(guò)6年，綠洲面積可超過(guò)60%．21.已知橢圓C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為和，且橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn).（1）求橢圓C的方程；（2）若，橢圓C上四點(diǎn)M，N，P，Q滿意，，求直線MN的斜率.【答案】（1）（2）【解析】【小問(wèn)1詳解】解：由題意可知，c=1，設(shè)橢圓方程為，將點(diǎn)代入橢圓方程，得，解得（舍），，所以橢圓方程為.【小問(wèn)2詳解】設(shè)，，，，，因?yàn)?，所以，即，又，都在橢圓上，所以，，即，②-①得，即……③，又，同理得……④④-③得，所以.22.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)實(shí)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【答案】（1）答案見(jiàn)解析；（2）.【解析】【詳解】解：（1）由題意知函數(shù)的定義域?yàn)?，因?yàn)椋裕佼?dāng)時(shí)，在區(qū)間上恒成立，所以函數(shù)的單調(diào)遞增