湖北省2025屆高三數(shù)學下學期開學診斷性考試試卷

Page31湖北省2024屆高三數(shù)學下學期開學診斷性考試試卷本試題卷共5頁，滿分150分，考試用時120分鐘.留意事項：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上相應的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號；回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試題卷和答題卡一并交回.★?？荚図槷敗镆弧雾椷x擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題列出的四個選項中，只有一項符合題意，錯選、不選、多選均不得分.1.已知，集合，集合，若，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【詳解】因為，故設(shè)，此時，令，則的解，其中故為的兩個根，故，所以，解得，故選B.2.歐拉公式（為自然對數(shù)的底數(shù)，為虛數(shù)單位）是瑞士聞名數(shù)學家歐拉獨創(chuàng)的，是英國科學期刊《物理世界》評比出的十大最宏大的公式之一.依據(jù)歐拉公式可知，復數(shù)的虛部為A. B. C. D.【答案】C【詳解】復數(shù)ii的虛部為．故選C．3.如圖，在三棱錐，是以AC為斜邊的等腰直角三角形，且，，二面角的大小為，則三棱錐的外接球表面積為（）A. B. C. D.【答案】B【詳解】依據(jù)題意，作出圖形，如圖所示，因為是以AC為斜邊的等腰直角三角形，所以的外心在中點，設(shè)為，設(shè)的外心為，中點為，，因為，所以必在連線上，則，即，因為兩平面交線為，為平面所在圓面中心，所以，，又因為二面角的大小為，，所以，所以，錐體外接球半徑，則三棱錐的外接球表面積為，故選：B4.已知是方程的兩根，有以下四個命題：甲：；乙：；丙：；?。?假如其中只有一個假命題，則該命題是（）A.甲 B.乙 C.丙 D.丁【答案】B【詳解】因為是方程的兩根，所以，則甲：；丙：.若乙?丁都是真命題，則，所以，，兩個假命題，與題意不符，所以乙?丁一真一假，假設(shè)丁是假命題，由丙和甲得，所以，即，所以，與乙不符，假設(shè)不成立；假設(shè)乙是假命題，由丙和甲得，又，所以，即與丙相符，假設(shè)成立；故假命題是乙，故選：．5.如圖為正方體ABCD﹣A1B1C1D1，動點M從B1點動身，在正方體表面沿逆時針方向運動一周后，再回到B1的運動過程中，點M與平面A1DC1的距離保持不變，運動的路程x與l＝MA1+MC1+MD之間滿意函數(shù)關(guān)系l＝f（x），則此函數(shù)圖象大致是（）A. B.C. D.【答案】C【詳解】由于點M與平面A1DC1的距離保持不變，且從B1點動身，因此點M沿著運動.設(shè)點P為B1C的中點，當M從B1到P時，如圖所示在平面A1B1CD內(nèi)，作點A1關(guān)于B1B的對稱點A′，則MA1+MD＝MA′+MD，由圖象可知，當M從B1到P時，MA1+MD是減小的，MC1是由大變小的，所以當M從B1到P時，l＝MA1+MC1+MD是漸漸減小的，故解除B，D；因為PC1是定值，MC1，函數(shù)是減函數(shù)，類似雙曲線形式，所以C正確；故選：C6.若正實數(shù)a，b滿意，且，則下列不等式肯定成立的是（）A. B. C. D.【答案】D【詳解】因為，為單調(diào)遞增函數(shù)，故，由于，故，或，當時，，此時；，故；，；當時，，此時，，故；，；故ABC均錯誤；D選項，，兩邊取自然對數(shù)，，因為不管，還是，均有，所以，故只需證即可，設(shè)（且），則，令（且），則，當時，，當時，，所以，所以在且上恒成立，故（且）單調(diào)遞減，因為，所以，結(jié)論得證，D正確故選：D7.已知，，．若，則的最小值為（）A.0 B. C.1 D.【答案】D【詳解】令，依題意，，而，則，因，則有點C在半徑為1，所含圓心角為的扇形的弧上，如圖，因，則表示直線上的點Q與直線上的點P間距離，、分別是點C到點Q，P的距離，因此，表示三點Q，P，C兩兩距離的和，作點C關(guān)于直線OA對稱點N，關(guān)于直線OB對稱點M，連MN交OA，OB分別于點F，E，連FC，EC，ON，OM，則有，令，則，，于是得，而，由余弦定理得，因此，，對于直線上隨意點Q、直線上隨意點P，連接CQ，NQ，QP，CP，PM，PN，則，，當且僅當點Q與F重合且點P與點E重合時取“=”，從而得，所以的最小值為.故選：D8.對于數(shù)列，定義為數(shù)列“加權(quán)和”，已知某數(shù)列的“加權(quán)和”，記數(shù)列的前n項和為，若對隨意的恒成立，則實數(shù)p的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【詳解】由，∴時,，∴，∴，時，也成立，∴，∴數(shù)列的前n項和為：，∵對隨意的恒成立，∴，即，即，即，即，即對隨意的恒成立，當時，對隨意的恒成立，因為，∴，所以，當時，恒成立，，當時，對隨意的恒成立，因為，∴，所以，綜上可得：實數(shù)p的取值范圍為．故選：A．二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題列出的四個選項中，有多項符合題意，全選得5分，漏選得2分，錯選、不選均不得分.9.已知隨機變量的取值為不大于的非負整數(shù)，它的概率分布列為……其中滿意，且．定義由生成的函數(shù)，為函數(shù)的導函數(shù)，為隨機變量的期望．現(xiàn)有一枚質(zhì)地勻稱的正四面體型骰子，四個面分別標有1，2，3，4個點數(shù)，這枚骰子連續(xù)拋擲兩次，向下點數(shù)之和為，此時由生成的函數(shù)為，則（）A. B.C. D.【答案】CD【詳解】解：因為，則，，令時，，故選項A錯誤，選項C正確；連續(xù)拋擲兩次骰子，向下點數(shù)之和為，則的分布列為：故選項B錯誤；選項D正確.故選：CD.10.已知定義在上的函數(shù)滿意，則下列不等式肯定正確的是（）A. B.C. D.【答案】AD【詳解】由，得，設(shè)，則,設(shè)，則在上為增函數(shù),且，則當時，，此時，此時函數(shù)為增函數(shù)；當時，，此時，此時函數(shù)為減函數(shù)，故由，即，A正確；由，得，即，B錯誤；與不在一個單調(diào)區(qū)間上，C中算式無法比較大小，C錯誤；由，得，即，D正確．故選：AD11.如圖，在直三棱柱中，，，為的中點，過的截面與棱、分別交于點、，則下列說法中正確的是（）A.存在點，使得B.線段長度取值范圍是C.當點與點重合時，四棱錐的體積為D.設(shè)截面、、的面積分別為、、，則的最小值為【答案】BC【解析】【詳解】因為平面，，以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，則、、、、、、、設(shè)點、，其中，.對于A選項，若存在點，使得，且，，，解得，不合乎題意，A錯；對于B選項，設(shè)，其中、，即，即，可得，，則，所以，，B對；對于C選項，當點與點重合時，，則，此時點為的中點，如下圖所示：在直三棱柱中，四邊形為矩形，則且，、分別為、的中點，則且，所以，且，同理且，且，所以，，故幾何體為三棱臺，，，，，因此，，C對；對于D選項，，，則點到直線的距離為，，則點到直線的距離為，所以，，故，當且僅當時，等號成立，故的最小值為，D錯.故選：BC.12.已知拋物線的焦點為，準線為，過點且斜率大于0的直線交拋物線于兩點（其中在的上方），為坐標原點，過線段的中點且與軸平行的直線依次交直線于點.則（）A.若，則直線的斜率為B.C.若是線段的三等分點，則直線的斜率為D.若不是線段的三等分點，則肯定有【答案】ABC【詳解】拋物線焦點為，設(shè)直線方程為，，，由得，由韋達定理可知，，，因為，則可得,且，，所以，即，且，解得，得，所以，且所以，故A正確,又因為，，故直線方程為，又因為共線，所以，，同理可得，，，所以，,即，故B正確.若是線段的三等分點，則,，，又，，，，所以，解得，，故C正確.由，得，即，所以，，又，所以，，所以，當時，,故D錯誤.故選:ABC.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.正三角形中，為中點，為三角形內(nèi)滿意的動點，則最小值為______.【答案】【詳解】不妨設(shè)正三角形的邊長為，以為坐標原點，正方向為軸，可建立如圖所示平面直角坐標系，則，，，設(shè)，則，，，，，即，點軌跡為：，；當時，，；當時，令，則表示與連線的斜率，設(shè)直線與圓相切，則圓心到直線距離，解得：或，，則當時，取得最小值，；綜上所述：的最小值為.故答案為：.14.已知雙曲線的左右焦點分別為F1，F(xiàn)2，若C與直線有交點，且雙曲線上存在不是頂點的P，使得，則雙曲線離心率取值范圍范圍為___________.【答案】【詳解】雙曲線C與直線有交點，則，，解得，雙曲線上存在不是頂點的P，使得，則點在右支上，設(shè)與軸交于點，由對稱性，所以，所以，，所以，由得，所以，又中，，，所以，即，綜上，．故答案為：．15.已知集合，對于集合的兩個非空子集，，若，則稱為集合的一組“互斥子集”.記集合的全部“互斥子集”的組數(shù)為（視與為同一組“互斥子集”）.那么______.【答案】【詳解】依據(jù)題意，隨意一個元素只能在集合之一中，則這個元素在集合中，共有種；其中為空集種數(shù)為，為空集的種數(shù)為個，故可得均為非空子集的種數(shù)為，又因為與為同一組“互斥子集，故.故答案為：.【點睛】本題考查集合新定義，涉及排列組合的求解，屬綜合中檔題.16.已知關(guān)于的不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為________.【答案】【詳解】易知，將原不等式變形：，，可得，即，其中.設(shè)，則，原不等式等價于.當時，原不等式明顯成立；當時，因為在上遞增，恒成立，設(shè)，則，所以在遞減，遞增，所以的最小值為，故.故答案為：四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17.在中，設(shè)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿意.（1）求證：；（2）求的最小值.【答案】（1）證明見解析（2）【小問1詳解】證明：在中，由已知及余弦定理，得，即,由正弦定理，得，又，故.∵，∴,∵，∴，故.【小問2詳解】由（1）得，∴，，由（1），得，當且僅當時等號成立，所以當時，的最小值為.18.如圖，在幾何體中，平面平面，.四邊形為矩形.在四邊形中，，，.（1）點在線段上，且，是否存在實數(shù)，使得？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.（2）點在線段上，求直線與平面所成角的正弦值的取值范圍.【答案】（1）存在實數(shù)，使得，且的值為（2）【小問1詳解】解：因為四邊形為矩形，所以.因為平面平面，平面平面，平面，所以平面不妨設(shè)，則.以為原點，所在直線為軸，所在直線為軸，過D與AB平行的直線為y軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，所以，，，，所以，.因為，所以，解得.故存在實數(shù)，使得，且的值為【小問2詳解】解：設(shè)平面的法向量，則，即，不妨取，則.設(shè)，，則，.直線與平面所成的角為，則.…令，當時，；當時，.所以.故直線與平面所成角的正弦值的取值范圍為.19.若正項數(shù)列的前項和滿意.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若對于隨意的，都有成立，求的最大值.【答案】（1）（2）【小問1詳解】時，，且，解得，（舍去），，，化簡可得時，，，，，，，累加可得，，又，故時，，當時，上式也成立，所以，又因為，所以，所以，，，時，適合該式，故.【小問2詳解】由（1）得，（此處不等關(guān)系是因為：，故，當且僅當時取等號，而，故上式中等號取不到），，，因為，所以，即，所以，即，所以數(shù)列是遞減數(shù)列，所以，因為，都有成立，所以.20.某企業(yè)安排新購買100臺設(shè)備，并將購買的設(shè)備安排給100名年齡不同（視為技術(shù)水平不同）的技工加工一批模具，因技術(shù)水平不同而加工出的產(chǎn)品數(shù)量不同，故產(chǎn)生的經(jīng)濟效益也不同.若用變量x表示不同技工的年齡，變量y為相應的效益值（元），依據(jù)以往統(tǒng)計閱歷，他們的工作效益滿意最小二乘法，且y關(guān)于x的線性回來方程為.（1）試預料一名年齡為52歲的技工運用該設(shè)備所產(chǎn)生的經(jīng)濟效益；（2）試依據(jù)r的值推斷運用該批設(shè)備的技工人員所產(chǎn)生的效益與技工年齡的相關(guān)性強弱（，則認為y與x線性相關(guān)性很強；，則認為y與x線性相關(guān)性不強）；（3）若這批設(shè)備有A，B兩道獨立運行的生產(chǎn)工序，且兩道工序出現(xiàn)故障的概率依次是0.02，0.03.若兩道工序都沒有出現(xiàn)故障，則生產(chǎn)成本不增加；若A工序出現(xiàn)故障，則生產(chǎn)成本增加2萬元；若B工序出現(xiàn)故障，則生產(chǎn)成本增加3萬元；若A，B兩道工序都出現(xiàn)故障，則生產(chǎn)成本增加5萬元.求這批設(shè)備增加的生產(chǎn)成本的期望.參考數(shù)據(jù)：；參考公式：回來直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為，，，.【答案】（1）元（2）很強（3）萬元【解析】【小問1詳解】當時，.所以預料一名年齡為歲的技工運用該設(shè)備所產(chǎn)生的經(jīng)濟效益為元【小問2詳解】由題得，所以，所以.因為，所以與線性相關(guān)性很強.所以運用該批設(shè)備的技工人員所產(chǎn)生的的效益與技工年齡的相關(guān)性強.【小問3詳解】設(shè)增加的生產(chǎn)成本為（萬元)，則的可能取值為，，，.，，，.所以（萬元)，所以這批設(shè)備增加的生產(chǎn)成本的期望為萬元.21.已知橢圓一個頂點，以橢圓的四個頂點為頂點的四邊形面積為．（1）求橢圓E的方程；（2）過點P(0，-3)的直線l斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點B，C，直線AB，AC分別與直線交y=-3交于點M，N，當|PM|+|PN|≤15時，求k的取值范圍．【答案】（1）；（2）．【詳解】（1）因為橢圓過，故，因為四個頂點圍成的四邊形的面積為，故，即，故橢圓的標準方程為：.（2）設(shè)，因為直線的斜率存在，故，故直線，令，則，同理.直線，由可得，故，解得或.又，故，所以又故即，綜上，或.22.已知函數(shù).（1）探討極值點的個數(shù)；（2）若有兩個極值點，且，證明:.【答案】（1）見解析（2）見解析【小問1詳解】,則,明顯不是的零點,令,則,在單調(diào)遞減,在（0,1）單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增.當時