2025年新高考數(shù)學一輪復習第8章重難點突破02活用隱圓的五種定義妙解壓軸題(五大題型)(學生版+解析)

重難點突破02活用隱圓的五種定義妙解壓軸題目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01方法技巧與總結(jié) 202題型歸納與總結(jié) 2題型一：隱圓的第一定義：到定點的距離等于定長 2題型二：隱圓的第二定義：到兩定點距離的平方和為定值 3題型三：隱圓的第三定義：到兩定點的夾角為90° 3題型四：隱圓的第四定義：邊與對角為定值、對角互補、數(shù)量積定值 4題型五：隱圓的第五定義：到兩定點距離之比為定值 403過關測試 6

活用隱圓的五種定義來妙解壓軸題，關鍵在于理解和運用圓的五種基本性質(zhì)。這五種定義包括：到定點的距離等于定長（定義圓）、到兩定點距離的平方和為定值、到兩定點的夾角為90°、邊與對角為定值且對角互補、到兩定點距離之比為定值。解題時，首先要識別題目中的關鍵條件，看是否符合隱圓的某一定義。一旦確定，就可以利用圓的性質(zhì)來簡化問題，如利用直徑所對的圓周角是直角、同弦所對的圓周角相等或互補等性質(zhì)。通過逆用這些性質(zhì)，可以找到隱形圓，進而利用圓的幾何特征求解。這種方法能有效轉(zhuǎn)化復雜問題，使解題過程更加清晰明了。題型一：隱圓的第一定義：到定點的距離等于定長【典例1-1】已知是單位向量，，若向量滿足，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【典例1-2】已知單位向量與向量垂直，若向量滿足，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【變式1-1】如果圓上總存在兩個點到原點的距離為，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【變式1-2】設，過定點A的動直線和過定點B的動直線交于點，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式1-3】設，過定點的動直線和過定點的動直線交于點，則的最大值是（

）A．4 B．10 C．5 D．【變式1-4】設，過定點的動直線和過定點的動直線交于點，則的值為（

）A．5 B．10 C． D．題型二：隱圓的第二定義：到兩定點距離的平方和為定值【典例2-1】在平面直角坐標系中，為兩個定點，動點在直線上，動點滿足，則的最小值為．【典例2-2】（2024·江蘇鹽城·三模）已知四點共面，，，，則的最大值為．【變式2-1】已知圓，點，設是圓上的動點，令，則的最小值為．【變式2-2】已知圓:，點，.設是圓上的動點，令，則的最小值為．【變式2-3】正方形與點在同一平面內(nèi)，已知該正方形的邊長為1，且，則的取值范圍為.題型三：隱圓的第三定義：到兩定點的夾角為90°【典例3-1】已知向量，，滿足，，與的夾角為，，則的最大值為.【典例3-2】已知向量為單位向量，且，若滿足，則的最大值是.【變式3-1】已知點，，若圓上存在點，使得，則實數(shù)的最大值是（

）A．4 B．5 C．6 D．7，【變式3-2】已知圓：和點，若圓上存在兩點，使得，則實數(shù)的取值范圍是.題型四：隱圓的第四定義：邊與對角為定值、對角互補、數(shù)量積定值【典例4-1】已知是平面向量，，若非零向量與的夾角為，向量滿足，則的最小值是.【典例4-2】設向量滿足，，，則的最大值等于()A．4 B．2 C． D．1【變式4-1】（2024·天津·一模）如圖，梯形中，,E和分別為AD與的中點，對于常數(shù)，在梯形的四條邊上恰好有8個不同的點，使得成立，則實數(shù)的取值范圍是A． B．C． D．【變式4-2】（2024·廣東廣州·一模）在平面四邊形中，連接對角線，已知，，，，則對角線的最大值為．題型五：隱圓的第五定義：到兩定點距離之比為定值【典例5-1】古希臘著名數(shù)學家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：已知平面內(nèi)兩個定點及動點，若（且），則點的軌跡是圓．后來人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓（簡稱“阿氏圓”）．在平面直角坐標系中，已知，直線，直線，若為的交點，則的最小值為（

）A． B． C． D．【典例5-2】（2024·江西贛州·模擬預測）阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學家，與歐幾里得、阿基米德并稱為亞歷山大時期數(shù)學三巨匠，他對圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的研究，阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一，指的是：已知動點M與兩定點A，B的距離之比為，那么點M的軌跡就是阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓．已知在平面直角坐標系中，圓、點和點，M為圓O上的動點，則的最大值為（

）A． B． C． D．【變式5-1】（2024·湖南·模擬預測）希臘著名數(shù)學家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名.他發(fā)現(xiàn)：“平面內(nèi)到兩個定點A，B的距離之比為定值（）的點的軌跡是圓”.后來，人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.已知在平面直角坐標系中，，若點P是滿足的阿氏圓上的任意一點，點Q為拋物線上的動點，Q在直線上的射影為R，則的最小值為（

）A． B． C． D．【變式5-2】阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學家，與歐幾里得、阿基米德被稱為亞歷山大時期數(shù)學三巨匠，他對圓錐曲線有深刻且系統(tǒng)的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圓錐曲線》一書中，阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一，指的是：已知動點與兩定點，的距離之比為，那么點的軌跡就是阿波羅尼斯圓．如動點與兩定點，的距離之比為時的阿波羅尼斯圓為．下面，我們來研究與此相關的一個問題：已知圓上的動點和定點，，則的最小值為（

）A． B． C． D．【變式5-3】（2024·全國·模擬預測）阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學家，與歐幾里得?阿基米德被稱為亞歷山大時期數(shù)學三巨匠，阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個定點的距離之比為定值，且的點的軌跡是圓，此圓被稱為“阿波羅尼斯圓”.在平面直角坐標系中，，點滿足.設點的軌跡為曲線，則下列說法錯誤的是（

）A．的方程為B．當三點不共線時，則C．在C上存在點M，使得D．若，則的最小值為1．阿波羅尼斯是古希臘著名的數(shù)學家，對圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的研究，阿波羅尼斯圓就是他的研究成果之一，指的是：已知動點M與兩定點Q，P的距離之比，那么點的軌跡就是阿波羅尼斯圓．已知動點的軌跡是阿波羅尼斯圓，其方程為，定點為軸上一點，且，若點，則的最小值為（

）A． B． C． D．2．阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學家，與歐幾里得、阿基米德被稱為亞歷山大時期數(shù)學三巨匠，他對圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的研究，主要研究成果在他的代表作《圓錐曲線》一書，阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一，指的是：已知動點M與兩個定點A、B的距離之比為（，），那么點M的軌跡就是阿波羅尼斯圓.若已知圓O：和點，點，M為圓O上的動點，則的最小值為（

）A． B．C． D．3．已知，是單位向量，，若向量滿足，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．4．如果圓上總存在兩個點到原點的距離為2，則實數(shù)的取值范圍是（

）．A． B．C． D．5．設，過定點的動直線和過定點的動直線交于點，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．6．設，過定點的動直線和過定點的動直線交于點，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．7．設向量，，滿足：，，，則的最大值為（

）A． B． C． D．8．（2024·遼寧·模擬預測）古希臘著名數(shù)學家阿波羅尼斯（約公元前262年至前190年）與歐幾里得、阿基米德齊名，著有《圓錐曲線論》八卷．平面內(nèi)兩個定點及動點，若（且），則點的軌跡是圓．后來人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓．點為圓上一動點，為圓上一動點，點，則的最小值為．9．古希臘數(shù)學家阿波羅尼斯在他的巨著《圓錐曲線論》中有一個著名的幾何問題：在平面上給定兩點A、B，動點P滿足（其中是正常數(shù)，且），則P的軌跡是一個圓，這個圓稱之為“阿波羅尼斯圓”．現(xiàn)已知兩定點，P是圓上的動點，則的最小值為．10．（2024·高三·吉林通化·期末）古希臘數(shù)學家阿波羅尼斯（約公元前262-190年)，與歐幾里得、阿基米德并稱古希臘三大數(shù)學家；他的著作《圓錐曲線論》是古代數(shù)學光輝的科學成果，它將圓錐曲線的性質(zhì)網(wǎng)絡殆盡，幾乎使后人沒有插足的余地．他發(fā)現(xiàn)“平面內(nèi)到兩個定點的距離之比為定值的點的軌跡是圓”．后來，人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓．比如在平面直角坐標系中，、，則點滿足所得點軌跡就是阿氏圓；已知點，為拋物線上的動點，點在直線上的射影為，為曲線上的動點，則的最小值為．則的最小值為．11．（2024·山東日照·一模）已知向量滿足，，則的最大值為．12．若向量，且向量，滿足，則的取值范圍是．13．如圖，△是邊長為1的正三角形，點在△所在的平面內(nèi)，且（為常數(shù)），滿足條件的點有無數(shù)個，則實數(shù)的取值范圍是．14．已知圓和點，若圓上存在兩點使得，則實數(shù)的取值范圍為．15．已知圓C：和兩點，若圓C上存在點M，使得，則m的最小值為16．已知，點，，點是圓上的動點，求的最大值、最小值及對應的點坐標．重難點突破02活用隱圓的五種定義妙解壓軸題目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01方法技巧與總結(jié) 202題型歸納與總結(jié) 2題型一：隱圓的第一定義：到定點的距離等于定長 2題型二：隱圓的第二定義：到兩定點距離的平方和為定值 5題型三：隱圓的第三定義：到兩定點的夾角為90° 8題型四：隱圓的第四定義：邊與對角為定值、對角互補、數(shù)量積定值 10題型五：隱圓的第五定義：到兩定點距離之比為定值 1203過關測試 17

活用隱圓的五種定義來妙解壓軸題，關鍵在于理解和運用圓的五種基本性質(zhì)。這五種定義包括：到定點的距離等于定長（定義圓）、到兩定點距離的平方和為定值、到兩定點的夾角為90°、邊與對角為定值且對角互補、到兩定點距離之比為定值。解題時，首先要識別題目中的關鍵條件，看是否符合隱圓的某一定義。一旦確定，就可以利用圓的性質(zhì)來簡化問題，如利用直徑所對的圓周角是直角、同弦所對的圓周角相等或互補等性質(zhì)。通過逆用這些性質(zhì)，可以找到隱形圓，進而利用圓的幾何特征求解。這種方法能有效轉(zhuǎn)化復雜問題，使解題過程更加清晰明了。題型一：隱圓的第一定義：到定點的距離等于定長【典例1-1】已知是單位向量，，若向量滿足，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】單位向量滿足，即，作，以射線OA，OB分別作為x、y軸非負半軸建立平面直角坐標系，如圖，，設，則，由得：，令，即，，其中銳角滿足，因此，當時，，當時，，所以的取值范圍是.故選：D【典例1-2】已知單位向量與向量垂直，若向量滿足，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意不妨設，設，則．∵，∴，即表示圓心為，半徑為1的圓，設圓心為P，∴．∵表示圓P上的點到坐標原點的距離，，∴的取值范圍為，故選：C．【變式1-1】如果圓上總存在兩個點到原點的距離為，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】問題可轉(zhuǎn)化為圓和圓相交，兩圓圓心距，由得，解得，即.故選：D【變式1-2】設，過定點A的動直線和過定點B的動直線交于點，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意可知，動直線經(jīng)過定點，動直線即，經(jīng)過定點，時，動直線和動直線的斜率之積為，始終垂直，時，也垂直，所以兩直線始終垂直，又P是兩條直線的交點，，．設，則，，由且，可得，，，，，，故選:D．【變式1-3】設，過定點的動直線和過定點的動直線交于點，則的最大值是（

）A．4 B．10 C．5 D．【答案】B【解析】由題意可知，動直線經(jīng)過定點，動直線即，經(jīng)過定點，因為，所以動直線和動直線始終垂直，又是兩條直線的交點，則有，，故（當且僅當時取“”，故選：C．【變式1-4】設，過定點的動直線和過定點的動直線交于點，則的值為（

）A．5 B．10 C． D．【答案】A【解析】由題意，動直線經(jīng)過定點，則，動直線變形得，則，由得，∴，故選：B．題型二：隱圓的第二定義：到兩定點距離的平方和為定值【典例2-1】在平面直角坐標系中，為兩個定點，動點在直線上，動點滿足，則的最小值為．【答案】5【解析】設點，由得：，即，即，在以為直徑的圓上，不妨設，，則，，，，其中為輔助角，令，，則，．，令，，，在，上單調(diào)遞增，故當時，取得最小值，再令，，顯然在，上單調(diào)遞增，故時，取得最小值，綜上，當，時，取得最小值25．故的最小值為5,故答案為：5．【典例2-2】（2024·江蘇鹽城·三模）已知四點共面，，，，則的最大值為．【答案】10【解析】設，由題意可得：，則：，ABC構成三角形，則：，解得：，由余弦定理：，當時，取得最大值為10.【變式2-1】已知圓，點，設是圓上的動點，令，則的最小值為．【答案】【解析】設，，，，當取得最小值時，取得最小值，由圓，則圓心，半徑，易知，則.故答案為：.【變式2-2】已知圓:，點，.設是圓上的動點，令，則的最小值為．【答案】【解析】由已知，，設Px0,y0所以，因為，所以當OP取得最小值時，取得最小值，由OP的最小值為，所以的最小值為.故答案為：.【變式2-3】正方形與點在同一平面內(nèi)，已知該正方形的邊長為1，且，則的取值范圍為.【答案】【解析】如圖，以為坐標原點，建立平面直角坐標系，則，設點，則由，得，整理得，即點的軌跡是以點為圓心，為半徑的圓，圓心M到點D的距離為，所以，所以的取值范圍是.故答案為：.題型三：隱圓的第三定義：到兩定點的夾角為90°【典例3-1】已知向量，，滿足，，與的夾角為，，則的最大值為.【答案】【解析】設，，，以所在的直線為軸，為坐標原點建立平面直角坐標系，因為，，與的夾角為，所以，，設，即，，，所以，，因為，所以，即，圓心坐標為，半徑，表示點到坐標原點的距離即為圓上的點到坐標原點的距離，因為圓心到原點的距離為，所以.故答案為：.【典例3-2】已知向量為單位向量，且，若滿足，則的最大值是.【答案】【解析】向量為單位向量，且，不妨設，令，則，即，它表示以為圓心，為半徑的圓，可知表示圓上的點到原點距離，故其最大值是.故答案為：2.【變式3-1】已知點，，若圓上存在點，使得，則實數(shù)的最大值是（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【解析】圓即為：，其圓心為（3，4），半徑為1，設AB的中點為M，因為點，，所以M（0，0），以AB為直徑的圓的方程為：，，若圓上存在點，使得，則圓C與圓M有公共點，即，解得，所以實數(shù)的最大值是6.故選：C【變式3-2】已知圓：和點，若圓上存在兩點，使得，則實數(shù)的取值范圍是.【答案】【解析】圓：，則半徑為，，如上圖，對于直線上任意一點，當均為圓的切線時最大，由題意，即時，此時為滿足題設條件的臨界點，此時有.當在臨界點之間移動時，有，即，即有：，解得：.故答案為：.題型四：隱圓的第四定義：邊與對角為定值、對角互補、數(shù)量積定值【典例4-1】已知是平面向量，，若非零向量與的夾角為，向量滿足，則的最小值是.【答案】/【解析】設，則由得，可得，由得，因此，表示圓上的點到直線上的點的距離；故其最小值為圓心到直線的距離減去半徑1，即.故答案為：【典例4-2】設向量滿足，，，則的最大值等于()A．4 B．2 C． D．1【答案】D【解析】因為，，所以,.如圖所以，設，則,,.所以，所以，所以四點共圓.不妨設為圓M，因為,所以.所以,由正弦定理可得的外接圓即圓M的直徑為.所以當為圓M的直徑時，取得最大值4.故選：A.【變式4-1】（2024·天津·一模）如圖，梯形中，,E和分別為AD與的中點，對于常數(shù)，在梯形的四條邊上恰好有8個不同的點，使得成立，則實數(shù)的取值范圍是A． B．C． D．【答案】D【解析】以的中點為坐標原點，所在的直線為軸建立平面直角坐標系，則，.當在邊上時，設，則；當在邊上時，設，則；當在邊上時，設，則；當在邊上時，設，則.綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.故選D.【變式4-2】（2024·廣東廣州·一模）在平面四邊形中，連接對角線，已知，，，，則對角線的最大值為．【答案】27【解析】畫出圖像如下圖所示，由于、為定值，故在以為弦的圓上運動，由正弦定理得，故圓心的坐標為，的最大值即為的值，也即是的值，由兩點間的距離公式有.題型五：隱圓的第五定義：到兩定點距離之比為定值【典例5-1】古希臘著名數(shù)學家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：已知平面內(nèi)兩個定點及動點，若（且），則點的軌跡是圓．后來人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓（簡稱“阿氏圓”）．在平面直角坐標系中，已知，直線，直線，若為的交點，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】當時，，此時，交點為.當時，由，斜率為，由，斜率為，，綜上，.又，直線恒過，，直線恒過，若為的交點，則，設點，所以點的軌跡是以為直徑的圓，除去點，則圓心為的中點，圓的半徑為，故的軌跡方程為，即，則有.又，易知O、Q在該圓內(nèi)，又由題意可知圓上一點滿足，取，則，滿足.下面證明任意一點都滿足，即，，又，.所以，又，所以，如圖，當且僅當三點共線，且位于之間時，等號成立即最小值為.故選：A.【典例5-2】（2024·江西贛州·模擬預測）阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學家，與歐幾里得、阿基米德并稱為亞歷山大時期數(shù)學三巨匠，他對圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的研究，阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一，指的是：已知動點M與兩定點A，B的距離之比為，那么點M的軌跡就是阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓．已知在平面直角坐標系中，圓、點和點，M為圓O上的動點，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設，令，則，由題知圓是關于點A、C的阿波羅尼斯圓，且，設點，則，整理得：，比較兩方程可得：，，，即，，點，當點M位于圖中的位置時，的值最大，最大為.故選：B.【變式5-1】（2024·湖南·模擬預測）希臘著名數(shù)學家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名.他發(fā)現(xiàn)：“平面內(nèi)到兩個定點A，B的距離之比為定值（）的點的軌跡是圓”.后來，人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.已知在平面直角坐標系中，，若點P是滿足的阿氏圓上的任意一點，點Q為拋物線上的動點，Q在直線上的射影為R，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設，則，化簡整理得，所以點的軌跡為以為圓心為半徑的圓，拋物線的焦點，準線方程為，則，當且僅當（兩點在兩點中間）四點共線時取等號，所以的最小值為.故選：D.【變式5-2】阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學家，與歐幾里得、阿基米德被稱為亞歷山大時期數(shù)學三巨匠，他對圓錐曲線有深刻且系統(tǒng)的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圓錐曲線》一書中，阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一，指的是：已知動點與兩定點，的距離之比為，那么點的軌跡就是阿波羅尼斯圓．如動點與兩定點，的距離之比為時的阿波羅尼斯圓為．下面，我們來研究與此相關的一個問題：已知圓上的動點和定點，，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖，點M在圓上，取點，連接，有，當點不共線時，，又，因此∽，則有，當點共線時，有，則，因此，當且僅當點M是線段BN與圓O的交點時取等號，所以的最小值為.故選：C【變式5-3】（2024·全國·模擬預測）阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學家，與歐幾里得?阿基米德被稱為亞歷山大時期數(shù)學三巨匠，阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個定點的距離之比為定值，且的點的軌跡是圓，此圓被稱為“阿波羅尼斯圓”.在平面直角坐標系中，，點滿足.設點的軌跡為曲線，則下列說法錯誤的是（

）A．的方程為B．當三點不共線時，則C．在C上存在點M，使得D．若，則的最小值為【答案】B【解析】設，由，得，化簡得，故A正確；當三點不共線時，，所以是的角平分線，所以，故B正確；設,則，化簡得，因為，所以C上不存在點M，使得，故C錯誤；因為，所以，所以，當且僅當在線段上時，等號成立，故D正確.故選：C.1．阿波羅尼斯是古希臘著名的數(shù)學家，對圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的研究，阿波羅尼斯圓就是他的研究成果之一，指的是：已知動點M與兩定點Q，P的距離之比，那么點的軌跡就是阿波羅尼斯圓．已知動點的軌跡是阿波羅尼斯圓，其方程為，定點為軸上一點，且，若點，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設，，所以，又，所以．因為且，所以，整理可得，又動點M的軌跡是，所以，解得，所以，又，所以，因為，所以的最小值為．故選：C．2．阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學家，與歐幾里得、阿基米德被稱為亞歷山大時期數(shù)學三巨匠，他對圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的研究，主要研究成果在他的代表作《圓錐曲線》一書，阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一，指的是：已知動點M與兩個定點A、B的距離之比為（，），那么點M的軌跡就是阿波羅尼斯圓.若已知圓O：和點，點，M為圓O上的動點，則的最小值為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】令，則，所以，整理，得，，點M位于圖中、的位置時，的值最小可得答案.設，令，則，由題知圓是關于點A、C的阿波羅尼斯圓，且，設點，則，整理得：，比較兩方程可得：，，，即，，點，當點M位于圖中、的位置時，的值最小，最小為.故選：B.3．已知，是單位向量，，若向量滿足，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】∵是單位向量，∴.∵且.∴，又∵，∴(θ是與的夾角)．又，∴，∴.根據(jù)一元二次不等式的解法，解得.故選：D.4．如果圓上總存在兩個點到原點的距離為2，則實數(shù)的取值范圍是（

）．A． B．C． D．【答案】D【解析】如果圓上總存在兩個點到原點的距離為2則圓和圓相交，又圓的圓心為，半徑為兩圓圓心距，由得，解得，即．故選：D．5．設，過定點的動直線和過定點的動直線交于點，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由已知可得動直線經(jīng)過定點，動直線經(jīng)過定點，且兩條直線互相垂直，且相交于點，所以，即，由基本不等式可得，即，可得，故選：C.6．設，過定點的動直線和過定點的動直線交于點，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意可知，動直線經(jīng)過定點，動直線，即，經(jīng)過點定點，動直線和動直線的斜率之積為，始終垂直，又是兩條直線的交點，，．設，則，，由且，可得，，，，，，，，，，故選：B．7．設向量，，滿足：，，，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意可得，，，，又，，設，，，則，，又，，、、、四點共圓，當最大時，有，為該圓的半徑，由，所以，在中，由正弦定理可得，當且僅當是的平分線時，取等號，此時的最大值為圓的直徑大小為.故選：A．8．（2024·遼寧·模擬預測）古希臘著名數(shù)學家阿波羅尼斯（約公元前262年至前190年）與歐幾里得、阿基米德齊名，著有《圓錐曲線論》八卷．平面內(nèi)兩個定點及動點，若（且），則點的軌跡是圓．后來人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓．點為圓上一動點，為圓上一動點，點，則的最小值為．【答案】9【解析】由為圓上一動點，得，由為圓上一動點，得，又.因為，所以，于是.當共線且時取得最小值，即.所以，當共線時等號成立.故答案為：9．9．古希臘數(shù)學家阿波羅尼斯在他的巨著《圓錐曲線論》中有一個著名的幾何問題：在平面上給定兩點A、B，動點P滿足（其中是正常數(shù)，且），則P的軌跡是一個圓，這個圓稱之為“阿波羅尼斯圓”．現(xiàn)已知兩定點，P是圓上的動點，則的最小值為【答案】【解析】如圖，在軸上取點，，，，，（當且僅當為與圓交點時取等號），.故答案為：.10．（2024·高三·吉林通化·期末）古希臘數(shù)學家阿波羅尼斯（約公元前262-190年)，與歐幾里得、阿基米德并稱古希臘三大數(shù)學家；他的著作《圓錐曲線論》是古代數(shù)學光輝的科學成果，它將圓錐曲線的性質(zhì)網(wǎng)絡殆盡，幾乎使后人沒有插足的余地．他發(fā)現(xiàn)“平面內(nèi)到兩個定點的距離之比為定值的點的軌跡是圓”．后來，人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓．比如在平面直角坐標系中，、，則點滿足所得點軌跡就是阿氏圓；已知點，為拋物線上的動點，點在直線上的射影為，為曲線上的動點，則的最小值為．則的最小值為．【