立體幾何初步復(fù)習(xí)課

立體幾何初步復(fù)習(xí)課一、內(nèi)容和內(nèi)容解析.內(nèi)容人教版普通高中教科書數(shù)學(xué)必修第二冊第167頁至第171頁第八章立體幾何初步小結(jié)及復(fù)習(xí)參考題8.重點是通過分析常見幾何圖形及典型問題，梳理立體幾何初步的核/心概念、定理等內(nèi)容與思想方法.本章知謠結(jié)構(gòu)如下框圖：.內(nèi)容解析本章包括兩部分內(nèi)容，第一部分是認識基本立體圖形：包括從空間幾何體的整體觀察入手，通過認識柱、錐、臺、球等基本立體圖形的組成元素及其相互關(guān)系，認識這些圖形的幾何結(jié)構(gòu)特征，以及它們在平面上的直觀圖表示和它們的表面積和體積的計算.第二部分是認識基本圖形位置關(guān)系:主要是討論組成立體圖形的幾何元素之間的位置關(guān)系.從組成立體圖形的基本元素——點、直線、平面出發(fā)，研究平面基本性質(zhì)，認識空間點、直線、平面的位置關(guān)系，重點研究直線、平面之間的平行和垂直這兩種特殊的位置關(guān)系.因此本節(jié)課的教學(xué)重點是通過分析常見幾何圖形及典型問題，梳理立體幾何初步的核心概念、定理等內(nèi)容與思想方法，從而構(gòu)建立體幾何的核心體系.難點是分析組合體的結(jié)構(gòu)特征以及運用有關(guān)定理推理證明一些幾何元素間的位置關(guān)系.二、目標和目標解析.目標（1）在回顧與思考本章的主要內(nèi)容的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生梳理立體幾何的核心概念、定理等內(nèi)容與思想方法，構(gòu)建立體幾何的核心體系，體會研究空間圖形的基本思路：直觀感知、操作確認、推理論證、度量計算.（2）借助分析典型問題的通性通法，通過“圖”（識圖、畫圖、用圖）提升學(xué)生直觀想象素養(yǎng)，通過“寫”（圖形、文字、符號三種語言）培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理能力，通過“悟”（直觀感知、操作確認）發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象水平..目標解析（1）通過問題的形式回顧主要內(nèi)容，并不是簡單的重復(fù)，而是深入思考、歸納概括、建立知識結(jié)構(gòu)，形成研究空間圖形的基本方法.（2）借助正方體等常見幾何體模型，設(shè)計一些綜合性較強的問題讓學(xué)生自主探究，建立一套解決復(fù)雜問題的處理模式.三、教學(xué)問題診斷分析學(xué)生雖然學(xué)完了立體幾何初步的內(nèi)容，但對幾何圖形的認識基本上停留在碎片化的就題論題的表層水平，對空間元素位置關(guān)系的研究不深入，需要在一兩節(jié)復(fù)習(xí)課上以師生相互交流的方式更深入地認識立體幾何.四、教學(xué)支持條件分析觀察和展示現(xiàn)實生活中的實例與圖片“幾何畫板”的畫圖軟件，投影儀等.五、教學(xué)過程設(shè)計問題1：我們是從哪些角度入手研究基本幾何體的結(jié)構(gòu)特征的？你能用基本幾何體的結(jié)構(gòu)特征解釋身邊物體的結(jié)構(gòu)嗎？請舉例說明.我們從對空間幾何體（實物、模型、圖片等）的整體觀察入手，認識多面體、旋轉(zhuǎn)體以及一些基本幾何體（棱柱、棱錐、棱臺、圓柱、圓錐、圓臺、球）的結(jié)構(gòu)特征，研究這些幾何體的組成元素及其相互關(guān)系.例1請你從多面體角度去考察棱柱、棱錐、棱臺，埴寫下列表格,其中丹曰N*,力占3并說說蚊樣填寫的理由￡你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律嗎獨翁面張頂點數(shù)杵面數(shù)月P+F—EkK桂柱/中甲打棱錐/甲-M棱臺/中砂F師生共同總結(jié)：（1）n棱錐：F=n+1,E=2n,V=n+LV+F-E=2n棱柱與n棱臺：F=n+2,E=3n,V=2n,V+F-E=2n棱錐的本質(zhì)特征：有一個面是n邊形，其余各面是有一個公共頂點的三角形.n棱柱的本質(zhì)特征：有兩個面（均為n邊形）相互平行，其余各面是每相鄰兩個面的公共邊互相平行的四邊形面.n棱臺是用一個平行于n棱錐底面的平面去截棱錐，所得的底面與截面之間的部分.當n棱柱的一個底面“均勻”縮小變?yōu)槊娣e較小的相似底面時，變成n棱臺；繼續(xù)“均勻”縮小成一個點時，便變成n棱錐.（2）V+F-E=2這個規(guī)律是歐拉拓撲公式：V+F-E=2,其中V,F,E分別是簡單多面體的頂點個數(shù)、面數(shù)、棱的條數(shù).例2中國有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形狀多為長方體、正方體或圓柱體，但南北朝時期的官員獨孤信的印信形狀是〃半正多面體”（圖1）.半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體，它的所有頂點都在同一個正方體的表面上，半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美.圖2是圖1“半正多面體”的直觀圖.（1）請你數(shù)一數(shù)該幾何體的面數(shù)F,棱數(shù)E,頂點數(shù)V，是否有例1的規(guī)律？（2）請你說說是怎樣數(shù)出來的？說說該半正多面體的結(jié)構(gòu)特征.圖1 圖2中師生共同總結(jié)：（1）F=26,E=48,V=24,F+V-E=2（2）①該半正多面體可看成一個組合體，從上而下看，最上層與最下層是兩個全等的多面體（如圖3,圖5）,圖3多面體的下底面是正八邊形，上底面是正方形，且下底面與上底面平行，側(cè)面有四個正方形，四個正三角形；中間是正八棱柱（如圖4）.圖3 圖4 圖5口②從上下、左右、前后三個方向看，該半正多面體都具有相同的結(jié)構(gòu)，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美，也展示了南北朝時期的審美觀與幾何文化.問題2：利用斜二測畫法可以畫出空間幾何體的直觀圖.你能結(jié)合實例說出用斜二測畫法畫空間幾何體的直觀圖的基本步驟嗎？斜二測畫法畫空間幾何體的直觀圖，是用平面圖形表示空間圖形的重要方法，我們能夠根據(jù)直觀圖想象空間幾何體的形狀和結(jié)構(gòu).簡單說，斜二測畫法的規(guī)則是：橫豎不變，縱減半，平行性不變.我們可以例1中的正八棱柱為例，具體展示用斜二測畫法畫空間幾何體的直觀圖的基本步驟（如圖6）.圖5f問題3：對于空間幾何體，可以有不同的分類，你能選擇不同的分類標準對柱、錐、臺、球等空間幾何體進行分類嗎？如何計算柱、錐、臺、球的表面積和體積？你能說出柱、錐、臺、球的體積公式之間的聯(lián)系嗎？空間幾何體按照圍成它的各個面的特征（平面還是曲面）分類，可以得到多面體、旋轉(zhuǎn)體.進一步地，按照組成多面體和旋轉(zhuǎn)體的面、棱、頂點等組成要素的特征及其位置關(guān)系分類，又可以得到棱柱、棱錐、棱臺等基本的多面體以及圓柱、圓錐、圓臺、球等基本的旋轉(zhuǎn)體.棱柱、棱錐和棱臺的表面積就是組成它們的各個面的面積和，圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面與表面積可以通過側(cè)面展開為平面圖形來處理.用運動變化的觀點研究棱柱、棱錐和棱臺的體積公式之間的關(guān)系：例3如圖7,△/。聲中，= 』直線『繹過點H且界。覺設(shè)A且四繞，旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體的體積與表面積分別為外聲j如圖8,面CEF是圓而。的四分之一『。為圓心『OE?OF為半徑,。石=OF=EQE_LOF,役面QEF繞直,線。尸旋巖一周得到的幾何體的體積與表面積分別為七,S”則（ …A.、=6.凡二邑。B.匕=匕.￡甘邑心C.股"冏=叩D.匕黃匕,代金邑 4IC-4I一% "I一小圖T 圖阱分析：考慮旋轉(zhuǎn)后得到怎樣的幾何體.解析：圖7旋轉(zhuǎn)后形成的幾何體是底面圓半徑與高均為的圓柱挖去一個圓錐后的幾何體，該圓錐的頂點為圓柱下底的圓心，底面與圓柱上底面重合（如圖9中的右圖所示）.%=由二鉀=工資用=（成工+2成上）十加血&=G+也）欣*圖s旋轉(zhuǎn)后形成的幾何體是半徑為五的半球體（如圖g中的左圖所示）.〃%=/貨、名=2成工包t，=BtiR2.匕=%區(qū)＞邑”選E.4圖9打為什么這兩個幾何體的體積相等呢？課后同學(xué)們可上網(wǎng)查閱〃祖暅原理”進行更多的了解.例4如圖io,：正方體44G。的犢長為門一圖1W探究1：問以該正方體的頂點為頂點的四面體有幾種（全等的算一種）？比較這些四面體的結(jié)構(gòu)特征.展示同學(xué)們的作業(yè)，同時交流思路.四面體的四個頂點不可能在正方體的同一個面上，應(yīng)該分布在正方體的上、下兩個面上，以在下底面的頂點為標準分類考慮.歸納總結(jié)有以下四種（如圖11）:⑴ (2) ⑶ ⑷ .圖宙探究2:是否存在四個面都是直角三角形的四面體？圖1式2)中的四面體4NBC的匹:個面都是直角三角形.其中4且_1平面月BC,B<?_L平面&AE,卡探究國11中的四個四面體的表面積、體積分別相等嗎？怎揉蟠L"U)中的四，面體的體積4川經(jīng)計算得：卬.二6 =(企4])/，與二2T呼g=乖￡.口匕=匕=匕=:打\匕；w工兇*匕=匕=匕<耳.〃總結(jié)：(1)求四面體的體積一般可根據(jù)四面體的結(jié)構(gòu)特征，確定高與底面，轉(zhuǎn)化為求三棱錐的體積；圖11(4)中的四面體是正四面體(各面都是全等的正三角形)，也可通過割補法求得；定義法、轉(zhuǎn)化法、割補法等是求幾何體體積的重要方法.(2)經(jīng)計算發(fā)現(xiàn)，圖11(4)中的正四面體的體積最大，表面積最小，這也是現(xiàn)實中經(jīng)常要考慮的最優(yōu)化問題.探究4:怎樣求圖11中的四個四面體的外接球與內(nèi)切球的半徑？四個四面體的外接球與正方體的外接球相同，其一條直徑為正方體的體對斗占+白）=5如圖12，可以類比三角形內(nèi)切圓半徑的面積計算思路13V可計算出四個內(nèi)切球的半徑一q.問題4:刻畫平面的三個基本事實是立體幾何公理體系的基石，是研究空間圖形、進行邏輯推理的基礎(chǔ).實際上，三個基本事實刻畫了平面的“平”、平面的“無限延展"，你能歸納一下刻畫的方法嗎？平面的三個基本事實是按照從簡單到復(fù)雜的順序，刻畫平面的基本性質(zhì).基本事實1是從點與平面關(guān)系的角度刻畫平面的唯一存在性，基本事實2是從直線與平面關(guān)系的角度利用直線的〃直”和〃無限延伸”的屬性刻畫了平面的〃平”和〃無限延展”的屬性，基本事實3是從平面與平面關(guān)系的角度進一步說明了平面的“平”和“無限延展”的特征：由于平面是“平的”，因而它們才可能交于一條直線，否則交線就不是“直”的，而是“曲”的了，例如圓柱的側(cè)面和底面的交線就是一條曲線；另外，兩個平面相交于一條直線，直線是〃無限延伸”的，也說明平面的交點有無數(shù)個，平面是“無限延展”的.空間直線與直線，直線與平面，平面與平面之間的位置關(guān)系是從生活世界中找到模型，再根據(jù)公共點的個數(shù)、是否共面等進行邏輯分類建立起來的.例5(復(fù)習(xí)參考題8第5題)三個平面可將空間分成幾部分？請分情況說明.探究1：一個平面將空間分成兩個部分，兩個平面有幾種位置關(guān)系？它們將空間分成幾部分？圖13(1)中aP0,它們將空間分成三部分；圖13(2)中aI0=a，它們將空間分成四部分.圖1”探究2:在圖13中再增加一個平面，這三個平面可能產(chǎn)生哪些位置關(guān)系？每種位置關(guān)系可將空間分成幾部分？可能出現(xiàn)五種不同的位置關(guān)系如圖14，三個不同的平面a0Y直線abc,l.如圖14(1.3aPppy.將空間封成四舉部分j#(2)如圖14(23aPfi./Icr=^yl戶=也可推出口產(chǎn)也將空間分成六個部分送<3)如圖14(3),以1/3=J3Iy=yl亞='將空間分成六個部分，山(4》.九圖M鬻端1al8=c吊'=c7;/1a=Z?,￡?IbIc=O將空間照■成川部分3-45?如圖1415》hIjS=c,j3\y-Iq二也o聲右尸t,將空間分成七個部分■.*據(jù)究3：已知三任不同的平面％戶/兩兩相交.，設(shè)cH尸=直線?產(chǎn)工尸工直線5尸I口=直線匕，試問區(qū)有怎樣的位置關(guān)系？說明理由并畫出相應(yīng)圖形.(復(fù)習(xí)參考題3第5題改編X解析：Qal廣二直線6，j3ly=亙線”"Udcu0.0二口與「重合，或相交，或平行.。①當口與C重合時.?則由aI齊=直線<?,#1y=直線口知口UKDu；人得b工y=i7!又/I口=直線6,故仃與占重合，即平面見#:7相交于同一條直線.￥②當0與心相奈時，詆也I￡>=點Q由al產(chǎn)=直線E蠢產(chǎn)Iy=直線。知。E口仁先。已rua;故。已ylq=直線瓦又匕與仃不重合(否則,由①知仃也1c重臺與ol矛盾)*所以a.b,c相交于點O.一③當日產(chǎn)仃時？由sI/?=直線cj知cuor;由/?Iy=直線值,知沈Q9■'.（否則】若口仁or,則Hi產(chǎn)二口，從而口與c重合，產(chǎn)生矛盾次所以。尸〃產(chǎn)又因為yl叮二8%,仃uy1所以，:。//b?即出"石“仃.川綜上所述知：心仇「重合或相交于一點或互相平行（如圖14（3）（4）（5））,福探究4：理念不同平面將空間最少或最多分成多少個部分？（有興趣的同學(xué)課后穌究）.#例）6在正方體HBCD—44C]Z）l中,；二條援金4K?.G口所在直線兩兩異面目兩兩垂直，我們稱為'「三異面直線組”.川探究「試找出所有的仃三異面直線組內(nèi).好異面直線組里能否含四條或以上的棱？U圖15小'三導(dǎo)面直線組”有S組：川44.8C.CQ]?曰.CD_8]￡*B片.CD理,CR.AD；*Cq.皿&耳wUC\TD[.A%;DD^^B^BCj; .將12條分成三個共面組，側(cè)棱組4條，上底面棱組4條，下底面棱組4條，若“異面直線組”含四條或以上的棱，則至少有兩條棱在同一組，這樣兩條棱便共面，這與“異面直線組”的定義矛盾，故“異面直線組”最多有三條棱.探究2；能否有一條直線與仁三異面直線組”也｛的三條直線均相奏？若不存在，則說明理由；若存在，則這樣的直線有多少條？必存在無數(shù)條直線與“三異面直線組內(nèi)叫的三條直線均相交.美在直線X4上任職不同于點H4的一點下（如圖1於，則F在直線耳CGR外,?與直賽3c確定一個平面值wP與直線G9確定一汴平面力,窕與產(chǎn)不同./圖由Fect工/皆知*I#=直線，r目尸已？>F與直線AA^.3C.G烏不同"I月4=產(chǎn)4J與KC在平面叮內(nèi)？假設(shè),則，在平面幺DR4內(nèi)「且『9；IPAD?從而『與G0導(dǎo)面，這與工與.GQ確定平面矛盾，敵『與EC相交于一點.山同理;與JR也相交于一點.日所以,直線，與HglccQi均相交，由于P是直線上不同于點且,4的任意一點，因此這樣的直線有無數(shù)多條.。問題5:在直線、平面的位置關(guān)系中，“平行”和“垂直”是最重要的.（1）在研究這些位置關(guān)系的判定時，我們采用了哪些思想方法？以直線與平面垂直為例，總結(jié)一下研究判定的內(nèi)容、過程和方法.（2）研究這些位置關(guān)系的性質(zhì)，實際上就是要研究什么問題？以兩個平面相互垂直為例，總結(jié)一下研究性質(zhì)的內(nèi)容、過程和方法.研究“什么是空間直線、平面的垂直？”以及“空間直線、平面垂直時其要素（直線、平面）有什么確定不變關(guān)系”；確立研究空間直線、平面垂直的內(nèi)容（判定與性質(zhì)）與路徑：“化繁為簡”“以簡馭繁”“空間問題平面化”是空間元素位置關(guān)系的一般思路.我們利用直線與直線的垂直研究直線與平面的垂直，利用直線與直線垂直、直線與平面垂直研究平面與平面垂直.反過來，由直線與平面垂直又可以得到直線與直線垂直，由平面與平面垂直又可以得到直線與直線、直線與平面垂直.例7(復(fù)習(xí)參考題名第12題)在正方體々RS—4sq。中』求證自爺.〈】)：罵Q_L平面4夙7//(2)4Q與平面4耳6的交點在是丫40。］的重心.精KrcA B圖1加證明■(i)在正方傣月38—司耳G9卬，連接月加1吞藥。1_1右a.十因為刀口11平面由EiCiDh4。1匚平面山曲?￡^所以:口。1_1月e1.川因為通匚平面口田協(xié)二居9仁平面d由五媽I?？?口」所以AC」平面D1DB1.3因為當D匚平面「田為所以金?1RQ-J同理可證瓦3因為4Gu平面ABC1，平面43G=4Gl通石=4產(chǎn)所以,再少」平面48cl.」《2）連接出笈，BH,CiH?由月出尸3明二6瓦產(chǎn)相且戶CiH,因此點A為ZUSCi的外心.又—由3為正三角形?,所以日是小田5的中心；j也即?出Ci的重心.口圖1阱探究L:說明雌點H的過程.點H在線段期的什么位鼠？設(shè)用馬I4G=2，點尸為線段的片口中點「且壬面/熙1JE＞叫口。=%”在矩形B片口D中，BPIBXD=H.Q由V，1Hp:NDHB.且耳戶=BD即與H=:茂口.?我們還可以證得旗或砥￡寵畫WeG，線段耳。被平面月0口與平面4為q三等;外,如圖】即DG=GW=7?5=:百。,小131圖19#探究2:直線。耳與直線,44所成的魚太山相等？其正弦值為‘■過正方體幺BCD—44cLz的中心?？梢宰鲙讞l直線與所有住所在直線成等角？【四條，體對角線所在直線）中圖2W探究3:過正方體4RCD—4比G2的中心。作平面a,使得為￡＞，儀，試畫出平面a蔑正方體的截面，并指出該截面的形狀與大小?一可根據(jù)U“平面43c畫出截面，它經(jīng)過相應(yīng)棱的中點.該戡面是正六邊形（如圖21）,其周長為30白，面積為HI4,其中已為正方體的棱長.?：4S21P還可推得平面次將正方體等分,平面"與正方體各面所成的銳二面角大小相等,其正切值為8.，，小結(jié)：正方體（或長方體）是重要的幾何體模型，我們要深入研究正方體模型，對它進行變形，構(gòu)建出新的模型，探求各種空間位置關(guān)系或幾何模型與正方體之間的聯(lián)系，彰顯正方體的“母體”地位.課后作業(yè):1.已知邕線I與平面值3則5 ）.A.存在直線用心工使得加FF 口B,存在直線陽心愿使得用與/異面C.存在平面產(chǎn)產(chǎn)值；,使得1匚戶D.存在平面產(chǎn)，已使得fu戶心2.教材第171頁復(fù)習(xí)參考題8第13題3.教材第171頁復(fù)由參考題8第扭題4,棱長耳為1ill的正三樓柱透明容器盛有行113%當側(cè)面W4耳君水平放置時,液面與水平面的距離為力m［如圖1打當轉(zhuǎn)動容器至面4RC水平放置時，盛水恰好充涌三犢錐金一4BC（如圖2）'徭則以=yh=,f圖1 W5.教材第170頁復(fù)習(xí)參考題8第10題.6.教材第170頁復(fù)習(xí)參考題8第11題.7.教材第171頁復(fù)習(xí)參考題8第13題.8.教材第171頁復(fù)習(xí)參考題8第14題.六、目標檢測設(shè)計（時間：90分，滿分：100分）一、選擇題：本大題共8小題，每小題4分，共32分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的..下列說法錯誤的是（）.（A）一個八棱柱有10個面（B）任意n面體都可以分割成n個棱錐（C）棱臺側(cè)棱的延長線必相交于一點（D）矢邸旋轉(zhuǎn)一周一定形成一個圓柱.給出下列4個命題：①平行于同一直線的兩條直線平行；②平行于同一平面的兩條直線平行；③平行于同一直線的兩個平面平行；④平行于同一平面的兩個平面平行.其中正確的命題是（）.（A）①②（B）③④（C）①④（D）②③.給出下列4個命題：①垂直于同一直線的兩條直線平行；②垂直于同一平面的兩條直線平行；③垂直于同一直線的兩個平面平行；④垂直于同一平面的兩個平面平行.其中正確的命題是（）.（A）①②（B）③④（C）①④（D）②③.三棱錐的三條側(cè)棱兩兩互相垂直，長分別為，則這個三棱錐的體積是().1(應(yīng))~abc (B)二口加 (ci—abc ■<!))-二-口加口3 6 12 24.如圖，圓柱&T中，幺述是側(cè)面的母線，X笈是底面的直徑，C是底面圓上一點,則( ),<A),■5。_1_平面/且(?口3C_L平面用工右￥(C>WC_L平面HEO(D)；且e_i_平面a’aBv存.長方體的一條對角磐與它一個頂點處的三個面所成的角分,別為值應(yīng).則工*(A)CD/(7+CD或』+co寸了=2 (b)co/s十仃口于產(chǎn)十匕09/=1U<C?(z-hSriir/J+siify=l [d)siir二十科3-#十呂111一了=1小7-兩條異面直線與同一平