等差數(shù)列前n項(xiàng)和教學(xué)設(shè)計(jì)教案

等差數(shù)列前n項(xiàng)和一、教材分析“等差數(shù)列的前n項(xiàng)和”是人教版高中數(shù)學(xué)必修五第二章的內(nèi)容，這是數(shù)列的重要內(nèi)容，也是數(shù)列研究的基本問(wèn)題。它是在學(xué)生們學(xué)習(xí)了等差數(shù)列的定義與性質(zhì)之后學(xué)習(xí)的.這節(jié)內(nèi)容既是對(duì)“等差數(shù)列”的知識(shí)的運(yùn)用與鞏固，也為后面繼續(xù)數(shù)列的學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ)。二、學(xué)情分析學(xué)生們已經(jīng)靈活掌握了函數(shù)、數(shù)列等相關(guān)知識(shí)，能夠運(yùn)用知識(shí)解決基本問(wèn)題，并且在初中階段已經(jīng)學(xué)會(huì)了特殊的數(shù)列求和。三、教學(xué)目標(biāo)知識(shí)與技能：探索并掌握等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，并能簡(jiǎn)單運(yùn)用。過(guò)程與方法：在公式推導(dǎo)過(guò)程中，體驗(yàn)倒序相加的方法；體會(huì)從特殊到一般的認(rèn)知規(guī)律與分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想方法。情感與態(tài)度：通過(guò)生動(dòng)具體的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，激發(fā)學(xué)生探究的興趣和欲望，培養(yǎng)學(xué)生求真的態(tài)度，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的心理體驗(yàn)，產(chǎn)生熱愛(ài)數(shù)學(xué)的情感。四、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)及運(yùn)用，強(qiáng)調(diào)數(shù)列是一種特殊的函數(shù)模型。教學(xué)難點(diǎn)：倒序相加法；建立等差數(shù)列的模型并能解決實(shí)際問(wèn)題。五、教學(xué)過(guò)程教學(xué)步驟教師活動(dòng)學(xué)生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖復(fù)習(xí)舊知教師提問(wèn)：同學(xué)們，我們來(lái)復(fù)習(xí)前幾次課學(xué)過(guò)的關(guān)于等差數(shù)列的知識(shí)。我給大家提3個(gè)問(wèn)題：1、等差數(shù)列的定義；2、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；3、等差數(shù)列的基本性質(zhì)。接著，教師點(diǎn)學(xué)生進(jìn)行回答。學(xué)生甲：等差數(shù)列的定義是如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列。學(xué)生乙：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：a=a+(n-1)d。n 1學(xué)生丙：等差數(shù)列的基本性質(zhì)當(dāng)m+n=p+q時(shí)，有：a+a=a+a.m n p q通過(guò)讓學(xué)生復(fù)習(xí)舊知，勾起學(xué)生對(duì)等差數(shù)列基本知識(shí)的回憶，為后面等差數(shù)列前n項(xiàng)和找到知識(shí)生長(zhǎng)點(diǎn)，同時(shí)平穩(wěn)地過(guò)渡到下一環(huán)節(jié)。

引入新課教師介紹：高斯是德國(guó)數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家和物理學(xué)家，被譽(yù)為歷史上偉大的數(shù)學(xué)家之一，和阿基米德、牛頓并列，同享盛名。高斯十歲那年，教師彪特耐爾布置了一道很繁雜的計(jì)算題，要求學(xué)生把1到100的所有整數(shù)加起來(lái)，教師剛敘述完題目，高斯即刻把寫(xiě)著答案的小石板交了上去。如果要同學(xué)們來(lái)算，你能用簡(jiǎn)單的方法將它的值算出來(lái)嗎？它的算法能夠進(jìn)行推廣嗎？學(xué)生作答：1+100=2+99==50+51，所以1+2+3+…+100二[(1+100)+(2+99)…+(50+51)]=101*50=5050.高斯的這個(gè)故事相信學(xué)生已經(jīng)非常熟悉，能順利解答，也讓學(xué)生對(duì)接下來(lái)的探索有了信心。探究發(fā)現(xiàn)I教師：我們剛才算的都是具體的數(shù)據(jù)，那么，同學(xué)們看看這個(gè)又該怎么進(jìn)行解答呢？1+2+???+n=？（為了方便，我們把1+2+…+n記為Sn）同學(xué)：和據(jù)的例子奇偶來(lái)討當(dāng)n為偶二…二n+2當(dāng)n為奇Sn=Q+fn+1-1L2=（L+n）--所以Sn的W據(jù)剛限，可t論。擻時(shí)fn)-+1L2J于數(shù)時(shí)n)+(2n++——2n—1才的以想,14，S]+n—1+1、n+1兩道具體數(shù)到將n分成-n=2+(n-1)n=nG+n)；21)+…++四2n(n+1)讓同學(xué)們用分奇偶的方法來(lái)求解此題，接著很自然地讓同學(xué)們進(jìn)行思考：看看有沒(méi)有新的更簡(jiǎn)單的方法。引導(dǎo)同學(xué)們經(jīng)歷探索發(fā)現(xiàn)的這個(gè)過(guò)程，體驗(yàn)數(shù)學(xué)中的“柳暗花明又一村”的快感與喜悅。2+2 21值與n的奇偶性沒(méi)有關(guān)系.教師：同學(xué)們有沒(méi)有覺(jué)得分奇偶有點(diǎn)麻煩，我們可不可以找個(gè)簡(jiǎn)單的方法，讓

我們?cè)谶\(yùn)算的時(shí)候不用分奇偶?同學(xué)們?cè)趧偛诺倪^(guò)程中有沒(méi)有找到一點(diǎn)靈感呢？同學(xué)：……n n（n+1）Sn- 2 ，兩邊同時(shí)乘2,得至U老師通過(guò)對(duì)2Sn-n(n+1)同學(xué)們推導(dǎo)出來(lái)的公式=(n+1)+(n+1)+ +(n+1)進(jìn)行加工，很順其自然—(n+1)+(n—1+2)+?…+G+n)的得到一種更好更新的—In+(n—1)+(n—2)+…+1-+G+2+?…+n)方法，使同學(xué)們更加易于接受這個(gè)這樣，Sn我們就可以寫(xiě)成這兩方法，更能個(gè)形式的整數(shù)和相加，得到了理解這個(gè)方一個(gè)很簡(jiǎn)便的方法。法的本質(zhì)與這個(gè)很棒的方法叫做內(nèi)涵。倒序相加法，顧名思義，將式子的順序倒過(guò)來(lái)，再相加一次。教師：既然我們剛才學(xué)同學(xué)：順勢(shì)采用上習(xí)了倒序相加法，并且它對(duì)這種求和形式很有效果。那Sn=a+a-1 2卜???a+an—1 n①面講過(guò)的倒序相加法，么，我們來(lái)看看這個(gè)等差數(shù)歹列：Sn=a+a+.n n—1??a+a2 1②充分體現(xiàn)新課程標(biāo)準(zhǔn)中探究a+a+?..+a=？1 2 n設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為①+②，2Sn=nx(a1+a)n“以學(xué)生為主導(dǎo)”的理念。同時(shí)留發(fā)現(xiàn)Sn。同學(xué)們?cè)谙旅孀约哼M(jìn)行因此，Sn-(a+a)xn下課后作業(yè)，讓同學(xué)推導(dǎo)吧，我看看誰(shuí)推的又快—1 n 2II又好。們掌握這兩種方法，靈活選取合適的方法。教師：這里，我們成功地把

等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式推導(dǎo)出來(lái)，這也是我們本節(jié)課的主要內(nèi)容。在這個(gè)公式里，我們用a和a表示Sn，1 n那么，我們?cè)囍胊1和d表示它，得到的式子會(huì)是什么呢？同學(xué)們接著算算。老師在這里給大家留個(gè)小作業(yè)：請(qǐng)大家將這個(gè)一般形式的推導(dǎo)過(guò)程用分奇偶的方法進(jìn)行推導(dǎo)，看看是否和我們用倒敘相加的方法推導(dǎo)出來(lái)的結(jié)果是一樣的。同學(xué)：將通項(xiàng)公式a=a+(n—1)d帶入得到的求n 1〒八% (a+a)xn和公式Sn=-1 n ,2便可得出：n(n-1),Sn=na+ d1 2同學(xué)們將通項(xiàng)公式帶入等差數(shù)列前n項(xiàng)和的公式，得到其的另外一個(gè)表達(dá)式，讓同學(xué)們自己運(yùn)算得出結(jié)果，使學(xué)生印象深刻，知道新的公式的具體來(lái)歷。應(yīng)用舉例I教師：既然關(guān)于等差數(shù)列前n項(xiàng)和的理論知識(shí)我們已經(jīng)學(xué)習(xí)完畢，那么我們看看它在我們生活中有哪些應(yīng)用吧。2000年11月14日教育部下發(fā)了《關(guān)于在中小學(xué)實(shí)施“校校通”工程的通知》。某市據(jù)此提出了實(shí)施“校校通”工程的總目標(biāo)：從2001年起用10年時(shí)間，在全市中小學(xué)建成不同標(biāo)準(zhǔn)的校園網(wǎng)。據(jù)測(cè)算，2001年該市用于“校校通”工程的經(jīng)費(fèi)為500萬(wàn)元。為了保證工程的順利實(shí)施，計(jì)劃每年投入的資金都比上一年增加50萬(wàn)元。那么從2001年起的未來(lái)10年內(nèi)，該市在“校校通”工程中的總投入是多少？學(xué)生：解答：根據(jù)題意，從2001~2010年，該市每年投入“校校通”工程的經(jīng)費(fèi)都比上一年增加50萬(wàn)元。所以，可以建立一個(gè)等差數(shù)列{a},表示從2001年n起各年投入的資金，其中，a1=500,d=50.那么，到2010年（n=10）,投入的資金總額為s=1010X500+10x（10-DX50=7250（萬(wàn)2元）.答：從2001年~2010年，該市在“校校通”工程中的總投入是7250萬(wàn)元。給出一個(gè)等差數(shù)列求和在生活中簡(jiǎn)單的應(yīng)用，讓學(xué)生熟練公式應(yīng)用公式并且規(guī)范解題步驟。教師：已知一個(gè)等差數(shù)列{a}前10項(xiàng)和是310,n

應(yīng)用舉例二前20項(xiàng)和是1220.由這些條件能確定這個(gè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式嗎？老師要強(qiáng)調(diào)數(shù)列是一種特殊的函數(shù)模型：從函數(shù)觀(guān)點(diǎn)來(lái)看，數(shù)列就是定義域?yàn)镹*所對(duì)應(yīng)的一系列的函數(shù)值，從而數(shù)列的通項(xiàng)公式是相應(yīng)函數(shù)的解析式。當(dāng)然，數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式也是一種特殊的函數(shù)。(先讓學(xué)生自己進(jìn)行思考，在適當(dāng)必要的時(shí)候進(jìn)行一定的提示：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：(a+a)xnSn=-1 n 2n(n-1),=na+ di 2確定前n項(xiàng)和的公式，我們要不就找a和a，要不就找1 na1和d。兩個(gè)未知數(shù)需要兩個(gè)方程來(lái)求解。但是由于n的不同，a也會(huì)不同，這樣n用第一個(gè)式子的話(huà)，就會(huì)出現(xiàn)3個(gè)未知數(shù)，利用a=a+10d可以轉(zhuǎn)化成兩20 10個(gè)未知數(shù)，和直接利用第二個(gè)式子是一樣的，所以為了簡(jiǎn)便，我們直接采用第二個(gè)式子進(jìn)行計(jì)算。)解答：由題意知s=310，10s=1220，將它們帶入公式20n(n-1), ,日…Sn=na+ d，得至|1 2J10a1+45d=310,|20a+190d=1220.i1解這個(gè)關(guān)于a1與d的方程組，得到a1=4,d=6,所以Sn=4n+ x6-3n2+n.2給出等差數(shù)列求和公式的變式應(yīng)用，加深學(xué)生對(duì)求和公式的理解與記憶，同時(shí)讓學(xué)生深刻體會(huì)數(shù)列是一種特殊的函數(shù)模型的思想。本節(jié)課我們探索了等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)過(guò)程，掌握了等差數(shù)列2個(gè)

課堂小結(jié)求前n項(xiàng)和的公式，(a+a)xnSn= 1 n ,2n(n-1)7 ._Sn=na+ d；在推i 2導(dǎo)過(guò)程中了解并掌握了一個(gè)全新的方法一倒序相加法(教師可讓學(xué)生解釋具體操作步驟)；并對(duì)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式進(jìn)行了應(yīng)用。這次課我們是進(jìn)行的等差數(shù)列前n項(xiàng)和的簡(jiǎn)單應(yīng)用，下次課我們會(huì)進(jìn)行一些更有趣的變式練習(xí)。同學(xué)們可以自己先想想P44的思考題，下節(jié)課我們?cè)購(gòu)睦又姓业秸_答案.學(xué)生對(duì)倒序