上海市七寶高中2025屆高三二診模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析

上海市七寶高中2025屆高三二診模擬考試數(shù)學(xué)試卷考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫(xiě)在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫(xiě)在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫(xiě)在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為8，則實(shí)數(shù)（）A．2 B．-2 C．-3 D．32．若復(fù)數(shù)，其中為虛數(shù)單位，則下列結(jié)論正確的是（）A．的虛部為 B． C．的共軛復(fù)數(shù)為 D．為純虛數(shù)3．若的二項(xiàng)式展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)的和為32，則正整數(shù)的值為（）A．7 B．6 C．5 D．44．體育教師指導(dǎo)4個(gè)學(xué)生訓(xùn)練轉(zhuǎn)身動(dòng)作，預(yù)備時(shí)，4個(gè)學(xué)生全部面朝正南方向站成一排.訓(xùn)練時(shí)，每次都讓3個(gè)學(xué)生“向后轉(zhuǎn)”，若4個(gè)學(xué)生全部轉(zhuǎn)到面朝正北方向，則至少需要“向后轉(zhuǎn)”的次數(shù)是（）A．3 B．4 C．5 D．65．甲、乙、丙、丁四位同學(xué)高考之后計(jì)劃去三個(gè)不同社區(qū)進(jìn)行幫扶活動(dòng)，每人只能去一個(gè)社區(qū)，每個(gè)社區(qū)至少一人.其中甲必須去社區(qū)，乙不去社區(qū)，則不同的安排方法種數(shù)為（）A．8 B．7 C．6 D．56．函數(shù)在上的最大值和最小值分別為（）A．，-2 B．，-9 C．-2，-9 D．2，-27．若的內(nèi)角滿足，則的值為（）A． B． C． D．8．已知方程表示的曲線為的圖象，對(duì)于函數(shù)有如下結(jié)論：①在上單調(diào)遞減；②函數(shù)至少存在一個(gè)零點(diǎn)；③的最大值為；④若函數(shù)和圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則由方程所確定；則正確命題序號(hào)為()A．①③ B．②③ C．①④ D．②④9．的展開(kāi)式中的系數(shù)為（）A．5 B．10 C．20 D．3010．寧波古圣王陽(yáng)明的《傳習(xí)錄》專(zhuān)門(mén)講過(guò)易經(jīng)八卦圖，下圖是易經(jīng)八卦圖（含乾、坤、巽、震、坎、離、艮、兌八卦），每一卦由三根線組成（“—”表示一根陽(yáng)線，“——”表示一根陰線）．從八卦中任取兩卦，這兩卦的六根線中恰有四根陰線的概率為（）A． B． C． D．11．已知函數(shù)，，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，若存在實(shí)數(shù)，使成立，則實(shí)數(shù)的值為（）A． B． C． D．12．過(guò)拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)F，且斜率為的直線交C于點(diǎn)M(M在x軸的上方)，l為C的準(zhǔn)線，點(diǎn)N在l上且MN⊥l，則M到直線NF的距離為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖所示，在邊長(zhǎng)為4的正方形紙片中，與相交于.剪去，將剩余部分沿，折疊，使、重合，則以、、、為頂點(diǎn)的四面體的外接球的體積為_(kāi)_______.14．已知，且，則__________．15．點(diǎn)在雙曲線的右支上，其左、右焦點(diǎn)分別為、，直線與以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心、為半徑的圓相切于點(diǎn)，線段的垂直平分線恰好過(guò)點(diǎn)，則該雙曲線的漸近線的斜率為_(kāi)_________．16．在中，，是的角平分線，設(shè)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）一年之計(jì)在于春，一日之計(jì)在于晨，春天是播種的季節(jié)，是希望的開(kāi)端．某種植戶對(duì)一塊地的個(gè)坑進(jìn)行播種，每個(gè)坑播3粒種子，每粒種子發(fā)芽的概率均為，且每粒種子是否發(fā)芽相互獨(dú)立．對(duì)每一個(gè)坑而言，如果至少有兩粒種子發(fā)芽，則不需要進(jìn)行補(bǔ)播種，否則要補(bǔ)播種．（1）當(dāng)取何值時(shí)，有3個(gè)坑要補(bǔ)播種的概率最大？最大概率為多少？（2）當(dāng)時(shí)，用表示要補(bǔ)播種的坑的個(gè)數(shù)，求的分布列與數(shù)學(xué)期望．18．（12分）隨著現(xiàn)代社會(huì)的發(fā)展，我國(guó)對(duì)于環(huán)境保護(hù)越來(lái)越重視，企業(yè)的環(huán)保意識(shí)也越來(lái)越強(qiáng).現(xiàn)某大型企業(yè)為此建立了5套環(huán)境監(jiān)測(cè)系統(tǒng)，并制定如下方案：每年企業(yè)的環(huán)境監(jiān)測(cè)費(fèi)用預(yù)算定為1200萬(wàn)元，日常全天候開(kāi)啟3套環(huán)境監(jiān)測(cè)系統(tǒng)，若至少有2套系統(tǒng)監(jiān)測(cè)出排放超標(biāo)，則立即檢查污染源處理系統(tǒng)；若有且只有1套系統(tǒng)監(jiān)測(cè)出排放超標(biāo)，則立即同時(shí)啟動(dòng)另外2套系統(tǒng)進(jìn)行1小時(shí)的監(jiān)測(cè)，且后啟動(dòng)的這2套監(jiān)測(cè)系統(tǒng)中只要有1套系統(tǒng)監(jiān)測(cè)出排放超標(biāo)，也立即檢查污染源處理系統(tǒng).設(shè)每個(gè)時(shí)間段（以1小時(shí)為計(jì)量單位）被每套系統(tǒng)監(jiān)測(cè)出排放超標(biāo)的概率均為，且各個(gè)時(shí)間段每套系統(tǒng)監(jiān)測(cè)出排放超標(biāo)情況相互獨(dú)立.（1）當(dāng)時(shí)，求某個(gè)時(shí)間段需要檢查污染源處理系統(tǒng)的概率；（2）若每套環(huán)境監(jiān)測(cè)系統(tǒng)運(yùn)行成本為300元/小時(shí)（不啟動(dòng)則不產(chǎn)生運(yùn)行費(fèi)用），除運(yùn)行費(fèi)用外，所有的環(huán)境監(jiān)測(cè)系統(tǒng)每年的維修和保養(yǎng)費(fèi)用需要100萬(wàn)元.現(xiàn)以此方案實(shí)施，問(wèn)該企業(yè)的環(huán)境監(jiān)測(cè)費(fèi)用是否會(huì)超過(guò)預(yù)算(全年按9000小時(shí)計(jì)算)？并說(shuō)明理由.19．（12分）如圖，平面四邊形為直角梯形，，，，將繞著翻折到.（1）為上一點(diǎn)，且，當(dāng)平面時(shí)，求實(shí)數(shù)的值；（2）當(dāng)平面與平面所成的銳二面角大小為時(shí)，求與平面所成角的正弦.20．（12分）設(shè)點(diǎn)，動(dòng)圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)且和直線相切.記動(dòng)圓的圓心的軌跡為曲線.（1）求曲線的方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線與曲線交于、兩點(diǎn)，且直線與軸交于點(diǎn)，設(shè)，，求證：為定值.21．（12分）記無(wú)窮數(shù)列的前項(xiàng)中最大值為，最小值為，令，則稱(chēng)是“極差數(shù)列”.（1）若，求的前項(xiàng)和；（2）證明：的“極差數(shù)列”仍是；（3）求證：若數(shù)列是等差數(shù)列，則數(shù)列也是等差數(shù)列.22．（10分）等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列{}的前項(xiàng)和為，求使成立的的最小值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】

先求的展開(kāi)式，再分類(lèi)分析中用哪一項(xiàng)與相乘，將所有結(jié)果為常數(shù)的相加，即為展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)，從而求出的值.【詳解】展開(kāi)式的通項(xiàng)為，當(dāng)取2時(shí)，常數(shù)項(xiàng)為，當(dāng)取時(shí)，常數(shù)項(xiàng)為由題知，則.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了兩個(gè)二項(xiàng)式乘積的展開(kāi)式中的系數(shù)問(wèn)題，其中對(duì)所取的項(xiàng)要進(jìn)行分類(lèi)討論，屬于基礎(chǔ)題.2、D【解析】

將復(fù)數(shù)整理為的形式，分別判斷四個(gè)選項(xiàng)即可得到結(jié)果.【詳解】的虛部為，錯(cuò)誤；，錯(cuò)誤；，錯(cuò)誤；，為純虛數(shù)，正確本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)、實(shí)部與虛部、共軛復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的分類(lèi)的知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題.3、C【解析】

由二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)，的展開(kāi)式中所有二項(xiàng)式系數(shù)和為計(jì)算．【詳解】的二項(xiàng)展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)和為，．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，掌握二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)是解題關(guān)鍵．4、B【解析】

通過(guò)列舉法，列舉出同學(xué)的朝向，然后即可求出需要向后轉(zhuǎn)的次數(shù).【詳解】“正面朝南”“正面朝北”分別用“∧”“∨”表示，利用列舉法，可得下表，原始狀態(tài)第1次“向后轉(zhuǎn)”第2次“向后轉(zhuǎn)”第3次“向后轉(zhuǎn)”第4次“向后轉(zhuǎn)”∧∧∧∧∧∨∨∨∨∨∧∧∧∧∧∨∨∨∨∨可知需要的次數(shù)為4次.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查的是求最小推理次數(shù)，一般這類(lèi)題型構(gòu)造較為巧妙，可通過(guò)列舉的方法直觀感受，屬于基礎(chǔ)題.5、B【解析】根據(jù)題意滿足條件的安排為：A（甲，乙）B（丙）C（?。籄（甲，乙）B（?。〤（丙）；A（甲，丙）B（?。〤（乙）；A（甲，丁）B（丙）C（乙）；A（甲）B（丙，?。〤（乙）；A（甲）B（丁）C（乙，丙）；A（甲）B（丙）C（丁，乙）；共7種，選B.6、B【解析】

由函數(shù)解析式中含絕對(duì)值，所以去絕對(duì)值并畫(huà)出函數(shù)圖象，結(jié)合圖象即可求得在上的最大值和最小值.【詳解】依題意，，作出函數(shù)的圖象如下所示；由函數(shù)圖像可知，當(dāng)時(shí)，有最大值，當(dāng)時(shí)，有最小值.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了絕對(duì)值函數(shù)圖象的畫(huà)法，由函數(shù)圖象求函數(shù)的最值，屬于基礎(chǔ)題.7、A【解析】

由，得到，得出，再結(jié)合三角函數(shù)的基本關(guān)系式，即可求解.【詳解】由題意，角滿足，則，又由角A是三角形的內(nèi)角，所以，所以，因?yàn)?，所?故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦函數(shù)的性質(zhì)，以及三角函數(shù)的基本關(guān)系式和正弦的倍角公式的化簡(jiǎn)、求值問(wèn)題，著重考查了推理與計(jì)算能力.8、C【解析】

分四類(lèi)情況進(jìn)行討論，然后畫(huà)出相對(duì)應(yīng)的圖象，由圖象可以判斷所給命題的真假性.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不存在圖象；（2）當(dāng)時(shí)，，此時(shí)為實(shí)軸為軸的雙曲線一部分；（3）當(dāng)時(shí)，，此時(shí)為實(shí)軸為軸的雙曲線一部分；（4）當(dāng)時(shí)，，此時(shí)為圓心在原點(diǎn)，半徑為1的圓的一部分；畫(huà)出的圖象，由圖象可得：對(duì)于①，在上單調(diào)遞減，所以①正確；對(duì)于②，函數(shù)與的圖象沒(méi)有交點(diǎn)，即沒(méi)有零點(diǎn)，所以②錯(cuò)誤；對(duì)于③，由函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性可知③錯(cuò)誤；對(duì)于④，函數(shù)和圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則中用代替，用代替，可得，所以④正確.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，函數(shù)的圖象與性質(zhì)，函數(shù)的零點(diǎn)概念，考查了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.9、C【解析】

由知，展開(kāi)式中項(xiàng)有兩項(xiàng)，一項(xiàng)是中的項(xiàng)，另一項(xiàng)是與中含x的項(xiàng)乘積構(gòu)成.【詳解】由已知，，因?yàn)檎归_(kāi)式的通項(xiàng)為，所以展開(kāi)式中的系數(shù)為.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查求二項(xiàng)式定理展開(kāi)式中的特定項(xiàng)，解決這類(lèi)問(wèn)題要注意通項(xiàng)公式應(yīng)寫(xiě)準(zhǔn)確，本題是一道基礎(chǔ)題.10、B【解析】

根據(jù)古典概型的概率求法，先得到從八卦中任取兩卦基本事件的總數(shù)，再找出這兩卦的六根線中恰有四根陰線的基本事件數(shù)，代入公式求解.【詳解】從八卦中任取兩卦基本事件的總數(shù)種，這兩卦的六根線中恰有四根陰線的基本事件數(shù)有6種，分別是（巽，坤），（兌，坤），（離，坤），（震，艮），（震，坎），（坎，艮），所以這兩卦的六根線中恰有四根陰線的概率是.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查古典概型的概率，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.11、A【解析】令f（x）﹣g（x）=x+ex﹣a﹣1n（x+1）+4ea﹣x，令y=x﹣ln（x+1），y′=1﹣=，故y=x﹣ln（x+1）在（﹣1，﹣1）上是減函數(shù)，（﹣1，+∞）上是增函數(shù)，故當(dāng)x=﹣1時(shí)，y有最小值﹣1﹣0=﹣1，而ex﹣a+4ea﹣x≥4，（當(dāng)且僅當(dāng)ex﹣a=4ea﹣x，即x=a+ln1時(shí)，等號(hào)成立）；故f（x）﹣g（x）≥3（當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)同時(shí)成立時(shí)，等號(hào)成立）；故x=a+ln1=﹣1，即a=﹣1﹣ln1．故選：A．12、C【解析】

聯(lián)立方程解得M(3，)，根據(jù)MN⊥l得|MN|＝|MF|＝4，得到△MNF是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，計(jì)算距離得到答案.【詳解】依題意得F(1,0)，則直線FM的方程是y＝(x－1)．由得x＝或x＝3.由M在x軸的上方得M(3，)，由MN⊥l得|MN|＝|MF|＝3＋1＝4又∠NMF等于直線FM的傾斜角，即∠NMF＝60°，因此△MNF是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形點(diǎn)M到直線NF的距離為故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了直線和拋物線的位置關(guān)系，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

將三棱錐置入正方體中，利用正方體體對(duì)角線為三棱錐外接球的直徑即可得到答案.【詳解】由已知，將三棱錐置入正方體中，如圖所示，，故正方體體對(duì)角線長(zhǎng)為，所以外接球半徑為，其體積為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查三棱錐外接球的體積問(wèn)題，一般在處理特殊幾何體的外接球問(wèn)題時(shí)，要考慮是否能將其置入正（長(zhǎng)）方體中，是一道中檔題.14、【解析】試題分析：因,故,所以，,應(yīng)填.考點(diǎn)：三角變換及運(yùn)用．15、【解析】如圖，是切點(diǎn)，是的中點(diǎn)，因?yàn)?，所以，又，所以，，又，根?jù)雙曲線的定義，有，即，兩邊平方并化簡(jiǎn)得，所以，因此.16、【解析】

設(shè)，，，由，用面積公式表示面積可得到，利用，即得解.【詳解】設(shè)，，，由得：，化簡(jiǎn)得，由于，故.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了解三角形綜合，考查了學(xué)生轉(zhuǎn)化劃歸，綜合分析，數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）當(dāng)或時(shí)，有3個(gè)坑要補(bǔ)播種的概率最大，最大概率為；（2）見(jiàn)解析.【解析】

（1）將有3個(gè)坑需要補(bǔ)種表示成n的函數(shù)，考查函數(shù)隨n的變化情況，即可得到n為何值時(shí)有3個(gè)坑要補(bǔ)播種的概率最大．（2）n＝1時(shí)，X的所有可能的取值為0，1，2，3，1．分別計(jì)算出每個(gè)變量對(duì)應(yīng)的概率，列出分布列，求期望即可．【詳解】（1）對(duì)一個(gè)坑而言，要補(bǔ)播種的概率，有3個(gè)坑要補(bǔ)播種的概率為.欲使最大，只需，解得，因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以當(dāng)或時(shí)，有3個(gè)坑要補(bǔ)播種的概率最大，最大概率為.（2）由已知，的可能取值為0，1，2，3，1.，所以的分布列為01231的數(shù)學(xué)期望.【點(diǎn)睛】本題考查了古典概型的概率求法，離散型隨機(jī)變量的概率分布，二項(xiàng)分布，主要考查簡(jiǎn)單的計(jì)算，屬于中檔題．18、（1）；（2）不會(huì)超過(guò)預(yù)算，理由見(jiàn)解析【解析】

（1）求出某個(gè)時(shí)間段在開(kāi)啟3套系統(tǒng)就被確定需要檢查污染源處理系統(tǒng)的概率為,某個(gè)時(shí)間段在需要開(kāi)啟另外2套系統(tǒng)才能確定需要檢查污染源處理系統(tǒng)的概率為，可得某個(gè)時(shí)間段需要檢查污染源處理系統(tǒng)的概率；（2）設(shè)某個(gè)時(shí)間段環(huán)境監(jiān)測(cè)系統(tǒng)的運(yùn)行費(fèi)用為元，則的可能取值為900，1500.求得，，求得其分布列和期望，對(duì)其求導(dǎo)，研究函數(shù)的單調(diào)性，可得期望的最大值，從而得出結(jié)論.【詳解】（1）某個(gè)時(shí)間段在開(kāi)啟3套系統(tǒng)就被確定需要檢查污染源處理系統(tǒng)的概率為,某個(gè)時(shí)間段在需要開(kāi)啟另外2套系統(tǒng)才能確定需要檢查污染源處理系統(tǒng)的概率為某個(gè)時(shí)間段需要檢查污染源處理系統(tǒng)的概率為.（2）設(shè)某個(gè)時(shí)間段環(huán)境監(jiān)測(cè)系統(tǒng)的運(yùn)行費(fèi)用為元，則的可能取值為900，1500.，令,則當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減,的最大值為,實(shí)施此方案，最高費(fèi)用為（萬(wàn)元），，故不會(huì)超過(guò)預(yù)算.【點(diǎn)睛】本題考查獨(dú)立重復(fù)事件發(fā)生的概率、期望，及運(yùn)用求導(dǎo)函數(shù)研究期望的最值，由根據(jù)期望值確定方案，此類(lèi)題目解決的關(guān)鍵在于將生活中的量轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)中和量，屬于中檔題.19、（1）；（2）.【解析】

（1）連接交于點(diǎn)，連接，利用線面平行的性質(zhì)定理可推導(dǎo)出，然后利用平行線分線段成比例定理可求得的值；（2）取中點(diǎn)，連接、，過(guò)點(diǎn)作，則，作于，連接，推導(dǎo)出，，可得出為平面與平面所成的銳二面角，由此計(jì)算出、，并證明出平面，可得出直線與平面所成的角為，進(jìn)而可求得與平面所成角的正弦值.【詳解】（1）連接交于點(diǎn)，連接，平面，平面，平面平面，，在梯形中，，則，，，，所以，；（2）取中點(diǎn)，連接、，過(guò)點(diǎn)作，則，作于，連接.為的中點(diǎn)，且，，且，所以，四邊形為平行四邊形，由于，，，，，，，為的中點(diǎn)，所以，，，同理，，，，平面，，，，為面與面所成的銳二面角，，，，，則，，，平面，平面，，，，面，為與底面所成的角，，，.在中，.因此，與平面所成角的正弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查利用線面平行的性質(zhì)求參數(shù)，同時(shí)也考查了線面角的計(jì)算，涉及利用二面角求線段長(zhǎng)度，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于中等題.20、（1）；（2）見(jiàn)解析．【解析】

（1）已知點(diǎn)軌跡是以為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的拋物線，由此可得曲線的方程；（2）設(shè)直線方程為，，則，設(shè)，由直線方程與拋物線方程聯(lián)立消元應(yīng)用韋達(dá)定理得，，由，，用橫坐標(biāo)表示出，然后計(jì)算，并代入，可得結(jié)論．【詳解】（1）設(shè)動(dòng)圓圓心，由拋物線定義知：點(diǎn)軌跡是以為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的拋物線，設(shè)其方程為，則，解得．∴曲線的方程為；（2）證明：設(shè)直線方程為，，則，設(shè)，由得，①，則，，②，由，，得，，整理得，，∴，代入②得：．【點(diǎn)睛】本題考查求曲線方程，考查拋物線的定義，考查直線與拋物線相交問(wèn)題中的定值問(wèn)題．解題方法是設(shè)而不求的思想方法，即設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)直線方程，直線方程代