云南省麗江市古城中學2025屆高考全國統考預測密卷數學試卷含解析

云南省麗江市古城中學2025屆高考全國統考預測密卷數學試卷注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知雙曲線的離心率為，拋物線的焦點坐標為，若，則雙曲線的漸近線方程為（）A． B．C． D．2．已知函數，若函數在上有3個零點，則實數的取值范圍為（）A． B． C． D．3．設，其中a，b是實數，則（）A．1 B．2 C． D．4．集合,則集合的真子集的個數是A．1個 B．3個 C．4個 D．7個5．在天文學中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述.兩顆星的星等與亮度滿足，其中星等為mk的星的亮度為Ek（k=1,2）.已知太陽的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，則太陽與天狼星的亮度的比值為()A．1010.1 B．10.1 C．lg10.1 D．10–10.16．如圖是2017年第一季度五省GDP情況圖，則下列陳述中不正確的是（）A．2017年第一季度GDP增速由高到低排位第5的是浙江省．B．與去年同期相比，2017年第一季度的GDP總量實現了增長．C．2017年第一季度GDP總量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1個D．去年同期河南省的GDP總量不超過4000億元．7．已知實數集，集合，集合，則（）A． B． C． D．8．在中，為中點，且，若，則（）A． B． C． D．9．已知復數滿足，則（）A． B． C． D．10．某裝飾公司制作一種扇形板狀裝飾品，其圓心角為120°，并在扇形弧上正面等距安裝7個發(fā)彩色光的小燈泡且在背面用導線相連(弧的兩端各一個，導線接頭忽略不計)，已知扇形的半徑為30厘米，則連接導線最小大致需要的長度為（）A．58厘米 B．63厘米 C．69厘米 D．76厘米11．若復數（）是純虛數，則復數在復平面內對應的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限12．已知定義在上的函數滿足，且當時，，則方程的最小實根的值為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．記等差數列和的前項和分別為和，若，則______.14．某班有學生52人,現將所有學生隨機編號,用系統抽樣方法,抽取一個容量為4的樣本,已知5號、31號、44號學生在樣本中,則樣本中還有一個學生的編號是__________．15．直線xsinα＋y＋2＝0的傾斜角的取值范圍是________________．16．已知拋物線的焦點為，過點且斜率為1的直線與拋物線交于點，以線段為直徑的圓上存在點，使得以為直徑的圓過點，則實數的取值范圍為________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知動圓Q經過定點，且與定直線相切（其中a為常數，且）.記動圓圓心Q的軌跡為曲線C．（1）求C的方程，并說明C是什么曲線？（2）設點P的坐標為，過點P作曲線C的切線，切點為A，若過點P的直線m與曲線C交于M，N兩點，則是否存在直線m，使得？若存在，求出直線m斜率的取值范圍；若不存在，請說明理由.18．（12分）如圖，在等腰梯形中，AD∥BC，，，，，分別為，，的中點，以為折痕將折起，使點到達點位置（平面）．（1）若為直線上任意一點，證明：MH∥平面；（2）若直線與直線所成角為，求二面角的余弦值．19．（12分）秉持“綠水青山就是金山銀山”的生態(tài)文明發(fā)展理念，為推動新能源汽車產業(yè)迅速發(fā)展，有必要調查研究新能源汽車市場的生產與銷售.下圖是我國某地區(qū)年至年新能源汽車的銷量（單位：萬臺）按季度（一年四個季度）統計制成的頻率分布直方圖.（1）求直方圖中的值，并估計銷量的中位數；（2）請根據頻率分布直方圖估計新能源汽車平均每個季度的銷售量（同一組數據用該組中間值代表），并以此預計年的銷售量.20．（12分）已知函數．（1）當時，求的單調區(qū)間．（2）設直線是曲線的切線，若的斜率存在最小值-2，求的值，并求取得最小斜率時切線的方程．（3）已知分別在，處取得極值，求證：．21．（12分）設實數滿足.（1）若，求的取值范圍；（2）若，，求證：.22．（10分）如圖所示，四棱柱中，底面為梯形，，，，，，.（1）求證：；（2）若平面平面，求二面角的余弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

求出拋物線的焦點坐標，得到雙曲線的離心率，然后求解a，b關系，即可得到雙曲線的漸近線方程．【詳解】拋物線y2＝2px（p＞0）的焦點坐標為（1，0），則p＝2，又e＝p，所以e2，可得c2＝4a2＝a2+b2，可得：ba，所以雙曲線的漸近線方程為：y＝±．故選：A．【點睛】本題考查雙曲線的離心率以及雙曲線漸近線方程的求法，涉及拋物線的簡單性質的應用．2、B【解析】

根據分段函數，分當，，將問題轉化為的零點問題，用數形結合的方法研究.【詳解】當時，，令，在是增函數，時，有一個零點，當時，，令當時，，在上單調遞增，當時，，在上單調遞減，所以當時，取得最大值，因為在上有3個零點，所以當時，有2個零點，如圖所示：所以實數的取值范圍為綜上可得實數的取值范圍為，故選：B【點睛】本題主要考查了函數的零點問題，還考查了數形結合的思想和轉化問題的能力，屬于中檔題.3、D【解析】

根據復數相等，可得，然后根據復數模的計算，可得結果.【詳解】由題可知：，即，所以則故選：D【點睛】本題考查復數模的計算，考驗計算，屬基礎題.4、B【解析】

由題意，結合集合，求得集合，得到集合中元素的個數，即可求解，得到答案．【詳解】由題意，集合，則，所以集合的真子集的個數為個，故選B．【點睛】本題主要考查了集合的運算和集合中真子集的個數個數的求解，其中作出集合的運算，得到集合，再由真子集個數的公式作出計算是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力．5、A【解析】

由題意得到關于的等式，結合對數的運算法則可得亮度的比值.【詳解】兩顆星的星等與亮度滿足,令,.故選A.【點睛】本題以天文學問題為背景,考查考生的數學應用意識?信息處理能力?閱讀理解能力以及指數對數運算.6、C【解析】

利用圖表中的數據進行分析即可求解.【詳解】對于A選項：2017年第一季度5省的GDP增速由高到低排位分別是：江蘇、遼寧、山東、河南、浙江，故A正確；對于B選項：與去年同期相比，2017年第一季度5省的GDP均有不同的增長，所以其總量也實現了增長，故B正確；對于C選項：2017年第一季度GDP總量由高到低排位分別是：江蘇、山東、浙江、河南、遼寧，2017年第一季度5省的GDP增速由高到低排位分別是：江蘇、遼寧、山東、河南、浙江，均居同一位的省有2個，故C錯誤；對于D選項：去年同期河南省的GDP總量，故D正確.故選：C.【點睛】本題考查了圖表分析，學生的分析能力，推理能力，屬于基礎題.7、A【解析】

可得集合,求出補集,再求出即可.【詳解】由,得,即,所以,所以.故選:A【點睛】本題考查了集合的補集和交集的混合運算,屬于基礎題.8、B【解析】

選取向量，為基底，由向量線性運算，求出，即可求得結果.【詳解】，，，，，.故選：B.【點睛】本題考查了平面向量的線性運算，平面向量基本定理，屬于基礎題.9、A【解析】

由復數的運算法則計算．【詳解】因為，所以故選：A．【點睛】本題考查復數的運算．屬于簡單題．10、B【解析】

由于實際問題中扇形弧長較小，可將導線的長視為扇形弧長，利用弧長公式計算即可.【詳解】因為弧長比較短的情況下分成6等分，所以每部分的弦長和弧長相差很小，可以用弧長近似代替弦長，故導線長度約為63(厘米).故選：B.【點睛】本題主要考查了扇形弧長的計算，屬于容易題.11、B【解析】

化簡復數，由它是純虛數，求得，從而確定對應的點的坐標．【詳解】是純虛數，則，，，對應點為，在第二象限．故選：B．【點睛】本題考查復數的除法運算，考查復數的概念與幾何意義．本題屬于基礎題．12、C【解析】

先確定解析式求出的函數值，然后判斷出方程的最小實根的范圍結合此時的，通過計算即可得到答案.【詳解】當時，，所以，故當時，，所以，而，所以，又當時，的極大值為1，所以當時，的極大值為，設方程的最小實根為，，則，即，此時令，得，所以最小實根為411.故選：C.【點睛】本題考查函數與方程的根的最小值問題，涉及函數極大值、函數解析式的求法等知識，本題有一定的難度及高度，是一道有較好區(qū)分度的壓軸選這題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

結合等差數列的前項和公式,可得,求解即可.【詳解】由題意,,,因為,所以.故答案為:.【點睛】本題考查了等差數列的前項和公式及等差中項的應用,考查了學生的計算求解能力,屬于基礎題.14、18【解析】

根據系統抽樣的定義和方法,所抽取的4個個體的編號成等差數列,故可根據其中三個個體的編號求出另一個個體的編號.【詳解】解：根據系統抽樣的定義和方法,所抽取的4個個體的編號成等差數列,已知其中三個個體的編號為5,31,44,故還有一個抽取的個體的編號為18,故答案為:18【點睛】本題主要考查系統抽樣的定義和方法,屬于簡單題.15、【解析】因為sinα∈[－1，1]，所以－sinα∈[－1，1]，所以已知直線的斜率范圍為[－1，1]，由傾斜角與斜率關系得傾斜角范圍是．答案：16、【解析】

由題意求出以線段AB為直徑的圓E的方程，且點D恒在圓E外，即圓E上存在點，使得，則當與圓E相切時，此時，由此列出不等式，即可求解?！驹斀狻坑深}意可得，直線的方程為，聯立方程組，可得，設，則，，設，則，，又，所以圓是以為圓心，4為半徑的圓，所以點恒在圓外．圓上存在點，使得以為直徑的圓過點，即圓上存在點，使得，設過點的兩直線分別切圓于點，要滿足題意，則，所以，整理得，解得，故實數的取值范圍為【點睛】本題主要考查了直線與拋物線位置關系的應用，以及直線與圓的位置關系的應用，其中解答中準確求得圓E的方程，把圓上存在點，使得以為直徑的圓過點，轉化為圓上存在點，使得是解答的關鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于中檔試題。三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），拋物線；（2）存在，.【解析】

（1）設，易得，化簡即得；（2）利用導數幾何意義可得，要使，只需.聯立直線m與拋物線方程，利用根與系數的關系即可解決.【詳解】（1）設，由題意，得，化簡得，所以動圓圓心Q的軌跡方程為，它是以F為焦點，以直線l為準線的拋物線.（2）不妨設.因為，所以，從而直線PA的斜率為，解得，即，又，所以軸.要使，只需.設直線m的方程為，代入并整理，得.首先，，解得或.其次，設，，則，..故存在直線m，使得，此時直線m的斜率的取值范圍為.【點睛】本題考查直線與拋物線位置關系的應用，涉及拋物線中的存在性問題，考查學生的計算能力，是一道中檔題.18、（1）見解析（2）【解析】

(1)根據中位線證明平面平面，即可證明MH∥平面；（2）以，，為，，軸建立空間直角坐標系，找到點的坐標代入公式即可計算二面角的余弦值.【詳解】（1）證明：連接，∵，，分別為，，的中點，∴，又∵平面，平面，∴平面，同理，平面，∵平面，平面，，∴平面平面，∵平面，∴平面．（2）連接，在和中，由余弦定理可得，，由與互補，，，可解得，于是，∴，，∵，直線與直線所成角為，∴，又，∴，即，∴平面，∴平面平面，∵為中點，，∴平面，如圖所示，分別以，，為，，軸建立空間直角坐標系，則，，，，．設平面的法向量為，∴，即．令，則，，可得平面的一個法向量為．又平面的一個法向量為，∴，∴二面角的余弦值為．【點睛】此題考查線面平行，建系通過坐標求二面角等知識點，屬于一般性題目.19、（1），中位數為；（2）新能源汽車平均每個季度的銷售量為萬臺，以此預計年的銷售量約為萬臺.【解析】

（1）根據頻率分布直方圖中所有矩形面積之和為可計算出的值，利用中位數左邊的矩形面積之和為可求得銷量的中位數的值；（2）利用每個矩形底邊的中點值乘以相應矩形的面積，相加可得出銷量的平均數，由此可預計年的銷售量.【詳解】（1）由于頻率分布直方圖的所有矩形面積之和為，則，解得，由于，因此，銷量的中位數為；（2）由頻率分布直方圖可知，新能源汽車平均每個季度的銷售量為（萬臺），由此預測年的銷售量為萬臺.【點睛】本題考查利用頻率分布直方圖求參數、中位數以及平均數的計算，考查計算能力，屬于基礎題.20、（1）單調遞增區(qū)間為，；單調遞減區(qū)間為；（2），；（3）證明見解析．【解析】

（1）由的正負可確定的單調區(qū)間；（2）利用基本不等式可求得時，取得最小值，由導數的幾何意義可知，從而求得，求得切點坐標后，可得到切線方程；（3）由極值點的定義可知是的兩個不等正根，由判別式大于零得到的取值范圍，同時得到韋達定理的形式；化簡為，結合的范圍可證得結論.【詳解】（1）由題意得：的定義域為，當時，，，當和時，；當時，，的單調遞增區(qū)間為，；單調遞減區(qū)間為.（2），所以（當且僅當，即時取等號），切線的斜率存在最小值，，解得：，，即切點為，從而切線方程，即：．（3），分別在，處取得極值，，是方程，即的兩個不等正根．則，解得：，且，．，，，即不等式成立．【點睛】本題考查導數在研究函數中的應用，涉及到利用導數求解函數的單調區(qū)間、導數幾何意義的應用、利