江蘇省泰州2024-2025高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期初調(diào)研考試試題

江蘇省泰州2024-2025高三上學(xué)期期初調(diào)研考試數(shù)學(xué)試卷時(shí)間：120分鐘滿分：150分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【分析】化簡(jiǎn)集合B，利用并集概念及運(yùn)算即可得到結(jié)果.【詳解】由題意可得：又∴故選：C【點(diǎn)睛】本題考查并集的概念及運(yùn)算，考查分式不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題.2.已知復(fù)數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】B【分析】依據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算，得到，再依據(jù)復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)閯t，所以故選:B.3.已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，成等差數(shù)列，則數(shù)列的公比（）A.1或 B.或 C. D.【答案】A【分析】依據(jù)等差中項(xiàng)的性質(zhì)及等比數(shù)列通項(xiàng)公式計(jì)算可得.【詳解】∵，，成等差數(shù)列，∴，即，整理得，即，∵，∴，解得或.故選：A．4.若雙曲線的焦距為6，則該雙曲線的離心率為（）A. B. C.3 D.【答案】A【分析】干脆求出k，即可求出離心率.【詳解】因?yàn)闉殡p曲線，所以，化為標(biāo)準(zhǔn)方程為：.由焦距為6可得：，解得：k=1.所以雙曲線為.所以雙曲線的離心率為.故選：A5.向量旋轉(zhuǎn)具有反映點(diǎn)與點(diǎn)之間特別對(duì)應(yīng)關(guān)系的特征，在電子信息傳導(dǎo)方面有重要應(yīng)用.平面對(duì)量旋轉(zhuǎn)公式在中學(xué)數(shù)學(xué)中用于求旋轉(zhuǎn)相關(guān)點(diǎn)的軌跡方程具有明顯優(yōu)勢(shì)，已知對(duì)隨意平面對(duì)量，把繞其起點(diǎn)沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角得到向量，叫做把點(diǎn)B繞點(diǎn)A沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角得到點(diǎn)P.已知平面內(nèi)點(diǎn)，點(diǎn)，把點(diǎn)B繞點(diǎn)A沿順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)后得到點(diǎn)P，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】D【分析】先求出的坐標(biāo)，再依據(jù)旋轉(zhuǎn)角求出的坐標(biāo)，然后設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，解出即可.【詳解】解：由題意可知，把點(diǎn)繞點(diǎn)A逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，得到點(diǎn)，設(shè)，則，所以，解得，，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，故選：D.6.已知，則（）A. B. C. D.【答案】C【分析】依據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出，再依據(jù)利用兩角和的余弦公式計(jì)算可得.【詳解】解：因?yàn)?，所以，又，所以，所以故選：C7.已知函數(shù)（，）的部分圖象如圖所示，則的值為（）A. B. C. D.【答案】C【分析】利用給定圖象求出，進(jìn)而求出即得函數(shù)解析式，再代入求解作答.【詳解】由，，得，由，又，得，視察圖象知，，解得，則，因此，，所以．故選：C8.若關(guān)于的方程有三個(gè)不等的實(shí)數(shù)解，且，其中，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則的值為（）A.e B.e2 C.e+1 D.【答案】B【分析】令，則有，令函數(shù)，畫出其圖象，結(jié)合圖象可得關(guān)于的方程肯定有兩個(gè)實(shí)根，且，，即可求解．【詳解】解：由關(guān)于的方程，令，則有，令函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，其圖象如下：要使關(guān)于的方程有3個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，，，且，結(jié)合圖象可得關(guān)于的方程肯定有兩個(gè)實(shí)根，，且，，由韋達(dá)定理知，，，，又，可得，故選：B．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解答的關(guān)鍵是通過(guò)換元，將較困難的方程轉(zhuǎn)化為一元二次方程，再利用導(dǎo)數(shù)工具說(shuō)明函數(shù)的單調(diào)性.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知，，，下列結(jié)論正確的是（）A.的最小值為9 B.的最小值為C.最小值為 D.的最小值為【答案】AD【分析】依據(jù)基本不等式、二次函數(shù)的性質(zhì)和對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)推斷各選項(xiàng)即可.【詳解】因?yàn)?，，，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，取得最小值9，故A正確；，依據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)，時(shí)，取得最小值，故B錯(cuò)誤；因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以，即最大值，故C錯(cuò)誤；，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，此時(shí)取得最小值，故D正確．故選：AD．10.“天宮課堂”是為發(fā)揮中國(guó)空間站的綜合效益，推出的首個(gè)太空科普教化品牌.為了解學(xué)生對(duì)“天宮課堂”的寵愛(ài)程度，某學(xué)校從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取200名學(xué)生進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，得到以下數(shù)據(jù)，則（）寵愛(ài)天宮課堂不寵愛(ài)天宮課堂男生8020女生7030參考公式及數(shù)據(jù)：①，.②當(dāng)時(shí)，.A.從這200名學(xué)生中任選1人，已知選到的是男生，則他寵愛(ài)天宮課堂的概率為B.用樣本的頻率估計(jì)概率，從全校學(xué)生中任選3人，恰有2人不寵愛(ài)天宮課堂的概率為C.依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為寵愛(ài)天宮課堂與性別沒(méi)有關(guān)聯(lián)D.對(duì)抽取的寵愛(ài)天宮課堂的學(xué)生進(jìn)行天文學(xué)問(wèn)測(cè)試，男生的平均成果為80，女生的平均成果為90，則參與測(cè)試的學(xué)生成果的均值為85【答案】BC【分析】依據(jù)古典概型的概率公式推斷A，首先求出樣本中寵愛(ài)天宮課堂的頻率，再依據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式推斷B，計(jì)算出卡方，即可推斷C，依據(jù)平均公式推斷D.【詳解】對(duì)于A：從這200名學(xué)生中任選1人，已知選到的是男生，則他寵愛(ài)天宮課堂的概率，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：樣本中寵愛(ài)天宮課堂的頻率，從全校學(xué)生中任選3人，恰有2人不寵愛(ài)天宮課堂的概率，故B正確；對(duì)于C：因?yàn)?，所以依?jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為寵愛(ài)天宮課堂與性別沒(méi)有關(guān)聯(lián)，故C正確；對(duì)于D：抽取的寵愛(ài)天宮課堂的學(xué)生男、女生人數(shù)分別為、，又男生的平均成果為，女生的平均成果為，所以參與測(cè)試的學(xué)生成果的均值為，故D錯(cuò)誤；故選：BC11.（多選題）如圖，正方體的棱長(zhǎng)為，線段上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，，且，以下結(jié)論正確的有（）A.B.點(diǎn)到平面的距離為定值C.三棱錐的體積是正方體體積的D.異面直線，所成的角為定值【答案】ABC【分析】由線面垂直推出異面直線垂直可推斷A；由點(diǎn)到平面的距離可推斷B；運(yùn)用三棱錐的體積公式可推斷C；依據(jù)異面直線所成角的定義推斷D.【詳解】解：對(duì)于，依據(jù)題意，，，且，所以平面，而平面，所以，所以正確；對(duì)于，到平面距離是定值，所以點(diǎn)到的距離為定值，所以正確；對(duì)于，三棱錐的體積為，三棱錐的體積是正方體體積的，所以正確；對(duì)于，當(dāng)點(diǎn)E在處，F(xiàn)為的中點(diǎn)時(shí)，異面直線AE，BF所成的角是，當(dāng)在的中點(diǎn)時(shí)，F(xiàn)在的位置，異面直線AE，BF所成的角是，明顯兩個(gè)角不相等，命題錯(cuò)誤；故選：．12.已知，則（）A. B. C. D.【答案】ABC【分析】將變?yōu)榻Y(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，推斷A;構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，利用其單調(diào)性結(jié)合圖象推斷x,y的范圍，利用余弦函數(shù)單調(diào)性，推斷B;利用正弦函數(shù)的單調(diào)性推斷C，結(jié)合余弦函數(shù)的單調(diào)性，推斷D.【詳解】由題意，，得，，，∴，∴，A對(duì)；，令，即有，令，在上遞減，在上遞增，因?yàn)?，∴，作出函?shù)以及大致圖象如圖：則，∴，結(jié)合圖象則，∴，∴，B對(duì)；結(jié)合以上分析以及圖象可得，∴，且，∴，C對(duì)；由C的分析可知，，在區(qū)間上，函數(shù)不是單調(diào)函數(shù)，即不成立，即不成立，故D錯(cuò)誤；故選：ABC．【點(diǎn)睛】本題綜合考查了有條件等式下三角函數(shù)值比較大小問(wèn)題，設(shè)計(jì)指數(shù)函數(shù)性質(zhì)，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及三角函數(shù)的性質(zhì)等，難度較大，解答時(shí)要留意構(gòu)造函數(shù)，數(shù)形結(jié)合，綜合分析，進(jìn)行解答.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知“”是假命題,則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_______.【答案】【分析】求出命題的否定，由原命題為假命題，得命題的否定為真命題，參變分別得到，構(gòu)造函數(shù)求在所給區(qū)間上的最小值.【詳解】解：由題意可知，是真命題對(duì)恒成立，令令則；令則；即在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增；故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查依據(jù)命題的真假求參數(shù)的取值范圍，關(guān)鍵是將問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，屬于中檔題.14.數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)是__________.【答案】【分析】先依據(jù)從小到大，排序，計(jì)算第三和第四個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)即為所求.【詳解】先依據(jù)從小到大排序：，共12個(gè)數(shù)據(jù)，.第3，4個(gè)數(shù)據(jù)分別為則第25百分位數(shù)為，故答案為：.15.已知隨機(jī)變量，其中，則___________.【答案】0.2【分析】由聽(tīng)從的分布類型可干脆求出，，從而求出，再依據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，又因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，且，又因?yàn)?，所以，所?故答案為：0.2.16.定義在實(shí)數(shù)集上的偶函數(shù)滿意，則____________.【答案】【分析】，令，則，進(jìn)一步可得函數(shù)的周期為4，，解方程即可.【詳解】因?yàn)?，所以，即，即，令，則，所以故函數(shù)的周期為4，所以，又因?yàn)槭桥己瘮?shù)，則為偶函數(shù)，又因?yàn)?，所以，即，解得，又，即，?故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查抽象函數(shù)周期性，涉及到函數(shù)的奇偶性等學(xué)問(wèn)，考查學(xué)生邏輯推理實(shí)力與數(shù)學(xué)運(yùn)算求解實(shí)力，是一道有肯定難度的題.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.在中，（1）求；（2）若的面積為，求的周長(zhǎng)．【答案】（1）（2）【分析】(1)應(yīng)用三角恒等變換,正弦定理化簡(jiǎn)已知等式,結(jié)合,可得值,即得的值;(2)由題意利用三角形面積公式可求的值,進(jìn)而可求的值,由余弦定理可求的值,即可求解的周長(zhǎng)的值.【小問(wèn)1詳解】由,及正弦定理得，即得，又因?yàn)橹?，所以,又因?yàn)?所以即．又，故．【小問(wèn)2詳解】由題意，，故，即，故，由余弦定理，解得.故三角形的周長(zhǎng)為18.已知等差數(shù)列和等比數(shù)列滿意.（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）記，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）（2）【分析】（1）依據(jù)條件列出方程組，求出公差和公比，得到通項(xiàng)公式；（2）先求出，利用裂項(xiàng)相消法求出.【小問(wèn)1詳解】設(shè)公差為公比為，則，解得；.【小問(wèn)2詳解】∵，∴.19.如圖1，在中，，，，P是邊的中點(diǎn)，現(xiàn)把沿折成如圖2所示的三棱錐，使得.（1）求證：平面⊥平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【分析】（1）依據(jù)余弦定理、勾股定理的逆定理，結(jié)合線面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理進(jìn)行證明即可；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量夾角公式進(jìn)行求解即可.【小問(wèn)1詳解】在圖1中作，交于，連接，∵，，，P是邊的中點(diǎn)，∴，∴是等邊三角形，∴，，在中，由余弦定理得，在圖2中，∵，∴，∴．又平面，平面，，∴平面，又平面，∴平面⊥平面；【小問(wèn)2詳解】以O(shè)為原點(diǎn)，以、、為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：則，∴，，設(shè)平面ABC的法向量為，，∵平面，∴為平面的一個(gè)法向量，∴，由圖可知二面角為銳角，∴二面角的余弦值為．20.現(xiàn)有甲、乙、丙、丁等6人去參與新冠疫苗的接種排隊(duì)，有A、B、C、D4個(gè)不同的窗口供排隊(duì)等候接種，每個(gè)窗口至少有一位同學(xué)等候．（1）求甲、乙兩人在不同窗口等候的概率；（2）設(shè)隨機(jī)變量X表示在窗口A排隊(duì)等候的人數(shù)，求隨機(jī)變量X的期望．【答案】（1）（2）【分析】（1）先利用排列組合求出事務(wù)得總數(shù)及甲乙排在一起的狀況得數(shù)量，再依據(jù)古典概型及對(duì)立事務(wù)得概率公式即可得解；（2）先寫出隨機(jī)變量的取值，再求出對(duì)應(yīng)隨機(jī)變量的概率，再依據(jù)期望公式進(jìn)行求解．【小問(wèn)1詳解】解：總數(shù)為，其中甲乙排在一起的狀況為：，故甲、乙兩人在不同窗口等候的概率為；【小問(wèn)2詳解】解：可取，，，，所以.21.已知橢圓的左右頂點(diǎn)為A、B，直線l：.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，圓G過(guò)點(diǎn)O、B交直線l于M、N兩點(diǎn)，直線AM、AN分別交橢圓于P、Q.（1）記直線AM，AN的斜率分別為、，求的值；（2）證明直線PQ過(guò)定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)坐標(biāo).【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析，【分析】（1）首先設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，依據(jù)，利用斜率公式表示；（2）當(dāng)直線PQ的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理表示，從而得到與的關(guān)系，計(jì)算定點(diǎn)坐標(biāo)，并驗(yàn)證當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，也過(guò)此定點(diǎn).【小問(wèn)1詳解】由已知可得MN為圓G的直徑，所以，則，依據(jù)題意不妨設(shè)，，則，所以，所以.【小問(wèn)2詳解】證明：當(dāng)直線PQ的斜率存在時(shí)，設(shè)直線PQ的方程為，，，聯(lián)立，得，所以，，，所以，所以，即，或，當(dāng)時(shí)，直線l的方程為，過(guò)定點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，直線l的方程為，過(guò)定點(diǎn)，舍去.當(dāng)直線PQ斜率不存在時(shí)，，，，直線方程是與橢圓方程聯(lián)立得，同理得，此時(shí)直線PQ的方程是，過(guò)定點(diǎn)，綜上可知，直線PQ過(guò)定點(diǎn)，該定點(diǎn)坐標(biāo)是.22.已知函數(shù)，既存在極大值，又存在微小值.（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，、分別為的極大值點(diǎn)和微小值點(diǎn)，且，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由已知可得，分析可知方程有兩個(gè)不等的實(shí)根，解方程，可得出關(guān)于的不等式，即可得解；（2）求得，，可得出，，由已知可得，構(gòu)造函數(shù)，其中，分、兩種狀況探討，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，驗(yàn)證不等式對(duì)隨意的是否恒成立，綜合可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【小問(wèn)1詳解】解：由可得，因?yàn)楹瘮?shù)既存在極大值，又存在微小值，則必有