自動(dòng)控制原理 課件 第3章 控制系統(tǒng)的時(shí)域分析法

第3章控制系統(tǒng)的時(shí)域分析法3.1時(shí)域分析基礎(chǔ)

3.2一階系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能分析

3.3二階系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能分析3.4高階系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能分析3.5線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析3.6線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差分析本章要點(diǎn)：⑴典型輸入信號(hào)及系統(tǒng)時(shí)域性能指標(biāo)。⑵一階、二階系統(tǒng)和高階系統(tǒng)的時(shí)域數(shù)學(xué)模型及動(dòng)態(tài)性能分析。⑶控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析。⑷控制系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差分析。⑴了解時(shí)域分析法的特點(diǎn)；掌握典型輸入信號(hào)的特點(diǎn)和時(shí)域性能指標(biāo)的含義。⑵掌握一階、二階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型、階躍響應(yīng)的特點(diǎn)及動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)的計(jì)算；理解主導(dǎo)極點(diǎn)、偶極子的概念，會(huì)估算高階系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)。⑶理解穩(wěn)定性的概念及穩(wěn)定條件；能熟練運(yùn)用穩(wěn)定判據(jù)判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性并進(jìn)行有關(guān)參數(shù)分析計(jì)算。⑷理解穩(wěn)態(tài)誤差的概念，明確終值定理的應(yīng)用條件；掌握系統(tǒng)的型別和靜態(tài)誤差系數(shù)的概念；掌握計(jì)算穩(wěn)態(tài)誤差的方法，理解減小或消除穩(wěn)態(tài)誤差的措施。學(xué)習(xí)目標(biāo)：本章重點(diǎn)：⑴典型輸入信號(hào)及時(shí)域性能指標(biāo)定義。⑵一階、二階系統(tǒng)和高階系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能分析。⑶控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析及穩(wěn)定判據(jù)的應(yīng)用。⑷控制系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的計(jì)算及減小或消除穩(wěn)態(tài)誤差的措施。

控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型建立之后，可以采用各種不同的方法對(duì)系統(tǒng)的性能進(jìn)行分析研究。經(jīng)典控制理論中，常用的分析方法有時(shí)域分析法、根軌跡分析法和頻域分析法。其中時(shí)域分析法是對(duì)一個(gè)特定的輸入信號(hào)，通過(guò)拉普拉斯變換法求取系統(tǒng)的輸出響應(yīng)，根據(jù)系統(tǒng)響應(yīng)直接在時(shí)間域中對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分析的方法。此方法具有直觀、準(zhǔn)確、物理概念清晰，能提供系統(tǒng)時(shí)間響應(yīng)的全部信息等優(yōu)點(diǎn)，是以后學(xué)習(xí)根軌跡法和頻域法的基礎(chǔ)。第3章控制系統(tǒng)的時(shí)域分析法3.1時(shí)域分析基礎(chǔ)

一個(gè)控制系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)不僅取決于系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，而且還與系統(tǒng)的初始狀態(tài)以及輸入信號(hào)有關(guān)。為了求解系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)，必須了解輸入信號(hào)(即外作用)的解析表達(dá)式。然而，控制系統(tǒng)的實(shí)際輸入信號(hào)往往是未知的，為了便于對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分析，常需要一些輸入函數(shù)作為測(cè)試信號(hào)。選取的測(cè)試信號(hào)應(yīng)具有下列特點(diǎn)。(1)能反映系統(tǒng)工作時(shí)的實(shí)際情況。(2)易于在實(shí)驗(yàn)室中獲得。(3)數(shù)學(xué)表達(dá)形式簡(jiǎn)單，以便分析和處理。3.1.1典型輸入信號(hào)

在控制工程中，通常選用的典型輸入信號(hào)有階躍信號(hào)、斜坡信號(hào)、加速度信號(hào)、脈沖信號(hào)和正弦信號(hào)等。1.階躍信號(hào)

階躍信號(hào)表示信號(hào)的瞬間突變過(guò)程，如圖3-1-1所示，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為

式中，R為一常量，當(dāng)

R=1時(shí)，稱為單位階躍信號(hào)，記為1(t)。在實(shí)際系統(tǒng)中電源的接通、開關(guān)的轉(zhuǎn)換、指令的轉(zhuǎn)變、負(fù)荷的突變等，均可視為階躍信號(hào)。

階躍信號(hào)的拉普拉斯變換為2.斜坡信號(hào)

斜坡信號(hào)表示由零值開始隨時(shí)間

t作線性增長(zhǎng)的信號(hào)，如圖3-1-2所示，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為

斜坡信號(hào)的微分即為階躍函數(shù)，表示斜坡信號(hào)的速度變化。當(dāng)

R=1時(shí)，稱為單位斜坡信號(hào)。某些隨動(dòng)系統(tǒng)中位置作等速移動(dòng)的指令信號(hào)、數(shù)控機(jī)床加工斜面時(shí)的進(jìn)給指令等可視為斜坡信號(hào)。

斜坡信號(hào)的拉普拉斯變換為3.加速度信號(hào)

加速度信號(hào)如圖3-1-3所示，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為

加速度信號(hào)的一次微分為斜坡信號(hào)，二次微分為階躍信號(hào)。當(dāng)R

=

1時(shí)，稱為單位加速度信號(hào)。

加速度信號(hào)的拉普拉斯變換為4.脈沖信號(hào)

脈沖信號(hào)可視為一個(gè)持續(xù)時(shí)間極短的信號(hào)，如圖3-1-4所示，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為其中

h為脈沖寬度，

A等于脈沖面積。若對(duì)脈沖寬度

h取趨于零的極限，則有及

當(dāng)

時(shí)，稱此脈沖函數(shù)為理想單位脈沖函數(shù)，記

為。理想單位脈沖信號(hào)的拉普拉斯變換為5.正弦信號(hào)

正弦信號(hào)也是常用的典型輸入信號(hào)之一。正弦信號(hào)如圖3-1-5所示，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為海浪對(duì)艦艇的擾動(dòng)力、伺服振動(dòng)臺(tái)的輸入指令、電源的波動(dòng)、電源及機(jī)械振動(dòng)的噪聲等，均可視為正弦信號(hào)。其中

為正弦信號(hào)的振幅(幅值)，

為正弦信號(hào)的角頻率。

正弦信號(hào)的拉普拉斯變換為3.1.2動(dòng)態(tài)過(guò)程與穩(wěn)態(tài)過(guò)程

在典型輸入信號(hào)作用下，任何一個(gè)控制系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)都由動(dòng)態(tài)過(guò)程和穩(wěn)態(tài)過(guò)程兩部分組成。1.動(dòng)態(tài)過(guò)程

動(dòng)態(tài)過(guò)程又稱為過(guò)渡過(guò)程、暫態(tài)過(guò)程或瞬態(tài)過(guò)程，是指系統(tǒng)在典型輸入信號(hào)作用下，輸出量從初始狀態(tài)到接近最終狀態(tài)的響應(yīng)過(guò)程。由于系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和參數(shù)選擇不同，動(dòng)態(tài)過(guò)程一般表現(xiàn)為衰減、發(fā)散或等幅振蕩形式。顯然，一個(gè)可以實(shí)際運(yùn)行的控制系統(tǒng)，其動(dòng)態(tài)過(guò)程必須是衰減的，換句話說(shuō)，系統(tǒng)必須是穩(wěn)定的。動(dòng)態(tài)過(guò)程除提供系統(tǒng)穩(wěn)定性的信息外，還可以提供響應(yīng)速度及阻尼情況等信息，這些信息用動(dòng)態(tài)性能描述。3.1.2動(dòng)態(tài)過(guò)程與穩(wěn)態(tài)過(guò)程2.穩(wěn)態(tài)過(guò)程

穩(wěn)態(tài)過(guò)程又稱穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，是指系統(tǒng)在典型輸入信號(hào)作用下，當(dāng)時(shí)間t趨于無(wú)窮時(shí)，系統(tǒng)的輸出狀態(tài)。表征系統(tǒng)輸出量最終復(fù)現(xiàn)輸入量的程度，提供系統(tǒng)有關(guān)穩(wěn)態(tài)精度的信息，用穩(wěn)態(tài)性能描述。3.1.3時(shí)域性能指標(biāo)1.動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)

一般認(rèn)為，階躍輸入對(duì)系統(tǒng)而言是較為嚴(yán)峻的工作狀態(tài)。如果系統(tǒng)在階躍信號(hào)作用下的動(dòng)態(tài)性能滿足要求，那么系統(tǒng)在其他形式的信號(hào)作用下，其動(dòng)態(tài)性能也是令人滿意的。故通常以階躍響應(yīng)來(lái)衡量系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。對(duì)于圖3-1-6所示的單位階躍響應(yīng)曲線，其動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)定義如下。(1)延遲時(shí)間

：指響應(yīng)曲線第一次到達(dá)終值的

所需要的時(shí)間。

(2)上升時(shí)間

：指響應(yīng)曲線由終值的

上升到終值的

所需要的時(shí)間。對(duì)有振蕩的系統(tǒng)，定義為從零開始第一次上升到終值所需要的時(shí)間。

(3)

峰值時(shí)間

：指響應(yīng)曲線超過(guò)終值達(dá)到第一個(gè)峰值(即最大峰值)所需要的時(shí)間。

(4)調(diào)節(jié)時(shí)間

：指響應(yīng)曲線到達(dá)并保持在終值

或

誤差帶內(nèi)所需要的最短時(shí)間。(5)超調(diào)量

：指在響應(yīng)過(guò)程中，超出終值

的最大偏離量與終值的百分比，即上述各種性能指標(biāo)中，

、

和

反映了動(dòng)態(tài)過(guò)程的快速性；

反映了動(dòng)態(tài)過(guò)程的平穩(wěn)性；而

則是同時(shí)反映系統(tǒng)快速性和阻尼程度的綜合性指標(biāo)。2.穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo)

穩(wěn)態(tài)誤差

是描述系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)性能的指標(biāo)，是指當(dāng)時(shí)間

趨于無(wú)窮時(shí)，系統(tǒng)輸出響應(yīng)的期望值與實(shí)際值之差，即

穩(wěn)態(tài)誤差

反映了控制系統(tǒng)復(fù)現(xiàn)或跟蹤輸入信號(hào)的能力，是系統(tǒng)控制精度或抗擾動(dòng)能力的一種度量。3.2一階系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能分析

凡是由一階微分方程描述的系統(tǒng)稱為一階系統(tǒng)。一些控制元部件及簡(jiǎn)單的系統(tǒng)，如

網(wǎng)絡(luò)、發(fā)電機(jī)勵(lì)磁控制系統(tǒng)、室溫調(diào)節(jié)系統(tǒng)和水位控制系統(tǒng)等，都可視為一階系統(tǒng)。有些高階系統(tǒng)的特性，常可用一階系統(tǒng)的特性來(lái)近似表征。3.2.1一階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型一階系統(tǒng)的微分方程為式中，r(t)

和

c(t)

分別為系統(tǒng)的輸入信號(hào)和輸出信號(hào)；

T為時(shí)間常數(shù)，具有時(shí)間“秒”的量綱。在零初始條件下對(duì)式兩邊取拉普拉斯變換，可得傳遞函數(shù)為相應(yīng)一階系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖3-2-1所示。1.一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)

下面分析一階系統(tǒng)在典型輸入信號(hào)作用下的時(shí)間響應(yīng)，設(shè)系統(tǒng)的初始條件為零。3.2.2一階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)設(shè)輸入信號(hào)為單位階躍函數(shù)

，其拉普拉斯變換為

，則系統(tǒng)輸出的拉普拉斯變換為

對(duì)上式兩邊取拉普拉斯反變換，可得一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為。圖3-2-2一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線

由式可見，響應(yīng)由穩(wěn)態(tài)分量1和瞬態(tài)分量

兩部分組成。當(dāng)時(shí)間

時(shí)，瞬態(tài)分量衰減為零，穩(wěn)態(tài)輸出為1。顯然，單位階躍響應(yīng)曲線是一條由零開始，按指數(shù)規(guī)律上升并最終趨于1的曲線，如圖3-2-2所示。一階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)具有以下兩個(gè)重要特征。表3-2-1時(shí)間常數(shù)T與輸出值的對(duì)應(yīng)關(guān)系(1)時(shí)間常數(shù)

是表征系統(tǒng)響應(yīng)特性的唯一參數(shù)，它與輸出值的對(duì)應(yīng)關(guān)系如表3-2-1所示。根據(jù)這一特點(diǎn)，可用實(shí)驗(yàn)方法測(cè)定一階系統(tǒng)的時(shí)間常數(shù)，或判定所測(cè)系統(tǒng)是否屬于一階系統(tǒng)。(2)響應(yīng)曲線的斜率初始值等于

，即上式表明，一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)如果以初始速度等速上升至穩(wěn)態(tài)值1時(shí)，所需要的時(shí)間恰好為

。這一特點(diǎn)為用實(shí)驗(yàn)方法求取系統(tǒng)的時(shí)間常數(shù)

提供了依據(jù)。

根據(jù)動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)定義，可知一階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)沒有超調(diào)量

和峰值時(shí)間

，其主要?jiǎng)討B(tài)性能指標(biāo)為調(diào)節(jié)時(shí)間

，由于

時(shí)，輸出響應(yīng)可達(dá)穩(wěn)態(tài)值的

，

時(shí)，輸出響應(yīng)可達(dá)穩(wěn)態(tài)值的

，故一般取(取

誤差帶)(取

誤差帶)顯然，時(shí)間常數(shù)

越小，調(diào)節(jié)時(shí)間

越小，響應(yīng)過(guò)程的快速性也越好。圖3-2-3反饋系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖例3-1已知原系統(tǒng)傳遞函數(shù)為

，現(xiàn)采用如圖3-2-3所示的負(fù)反饋方式，欲將反饋系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時(shí)間減小為原來(lái)的十分之一，并且保證原放大倍數(shù)不變，試確定參數(shù)

和

的取值。解：依題意可知原系統(tǒng)的時(shí)間常數(shù)

T=

0.5s，放大倍數(shù)K=10

。要求采用負(fù)反饋后系統(tǒng)的時(shí)間常數(shù)為T'=0.5

x

0.1

=

0.05，放大倍數(shù)K'=10。由結(jié)構(gòu)圖可知，反饋系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為應(yīng)有

解得

，

。

2.一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)

設(shè)輸入信號(hào)為理想單位脈沖函數(shù)

，其拉普拉斯變換為

，則系統(tǒng)輸出量的拉普拉斯變換式為。對(duì)上式兩邊求拉普拉斯反變換，可得一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為

相應(yīng)的響應(yīng)曲線如圖3-2-4所示。由圖可見，一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為一單調(diào)衰減的指數(shù)曲線，其斜率初始值為

圖3-2-4一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)曲線3.一階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)對(duì)上式兩邊求拉普拉斯反變換，可得一階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)為

設(shè)輸入信號(hào)為理想單位脈沖函數(shù)

，其拉普拉斯變換為

，則系統(tǒng)輸出量的拉普拉斯變換式為。由式(3-2-7)可見，響應(yīng)由穩(wěn)態(tài)分量

和瞬態(tài)分量

兩部分組成。當(dāng)時(shí)

，瞬態(tài)分量衰減為零，而穩(wěn)態(tài)分量是一個(gè)與輸入斜坡函數(shù)斜率相同但時(shí)間滯后

的斜坡函數(shù)。單位斜坡響應(yīng)曲線如圖3-2-5所示。由圖可見，一階系統(tǒng)在跟蹤單位斜坡輸入信號(hào)時(shí)，在位置上存在穩(wěn)態(tài)誤差，其值正好等于時(shí)間常數(shù)

。

圖3-2-5一階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)曲線4.一階系統(tǒng)的單位加速度響應(yīng)對(duì)上式兩邊求拉普拉斯反變換，可得一階系統(tǒng)的單位加速度響應(yīng)為

設(shè)輸入信號(hào)為理想單位脈沖函數(shù)

，其拉普拉斯變換為

，則系統(tǒng)輸出量的拉普拉斯變換式為。將一階系統(tǒng)在典型輸入作用下的輸出響應(yīng)歸納如表3-2-2所示。3.2.3一階系統(tǒng)的重要特性表3-2-1時(shí)間常數(shù)T與輸出值的對(duì)應(yīng)關(guān)系由表3-2-2得到如下結(jié)論：(1)一階系統(tǒng)只有時(shí)間常數(shù)

這一特征參數(shù)。在一定的輸入信號(hào)作用

下，時(shí)間響應(yīng)由時(shí)間常數(shù)

唯一確定。(2)比較一階系統(tǒng)對(duì)脈沖、階躍、斜坡和加速度輸入信號(hào)的響應(yīng)，可以發(fā)現(xiàn)有如下關(guān)系上式表明，系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)微分(或積分)的響應(yīng)，就等于系統(tǒng)對(duì)該輸入信號(hào)響應(yīng)的微分(或積分)，該結(jié)論適用于任何線性定常連續(xù)系統(tǒng)。因此，研究線性定常連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng)時(shí)，不必對(duì)每種輸入信號(hào)的響應(yīng)都進(jìn)行計(jì)算或求解，只要求解出其中一種響應(yīng)，便可通過(guò)上述關(guān)系求出其他響應(yīng)。因此，在以后對(duì)二階和高階系統(tǒng)的討論中，主要研究系統(tǒng)的階躍響應(yīng)。3.2.4MATLAB實(shí)現(xiàn)在MATLAB中，提供了求取各種連續(xù)系統(tǒng)時(shí)間響應(yīng)的函數(shù)，其調(diào)用格式如下y=step(num,den,t)%當(dāng)不帶輸出變量y時(shí)，step命令可直接繪制階躍響應(yīng)曲線。其中num和den分別為系統(tǒng)傳遞函數(shù)的分子和分母多項(xiàng)式的系數(shù)按降冪排列構(gòu)成的系數(shù)行向量。t為選定的仿真時(shí)間向量，一般可由t=0:step:end等步長(zhǎng)地產(chǎn)生，可缺省。y=impulse(num,den,t)%當(dāng)不帶輸出變量y時(shí)，impulse命令可直接繪制脈沖響應(yīng)曲線。t用于設(shè)定仿真時(shí)間，可缺省。y=lsim(num,den,u,t,x0)%當(dāng)不帶輸出變量y時(shí)，lsim命令可直接繪制任意輸入響應(yīng)曲線。其中u表示輸入，t用于設(shè)定仿真時(shí)間，可缺省，x0用于設(shè)定初始狀態(tài)，缺省時(shí)為0。解：MATLAB程序如下。clc;clearnum=[1];den=[11];sys=tf(num,den);t=0:0.01:5;subplot(2,2,1);step(sys,t);gridxlabel('t');ylabel('c(t)');title('stepresponse');subplot(2,2,2);impulse(sys,t);grid例3-1已知原系統(tǒng)傳遞函數(shù)為

，試用MATLAB繪制系統(tǒng)在單位階躍、單位脈沖、單位斜坡和單位加速度輸入時(shí)的輸出響應(yīng)曲線。xlabel('t');ylabel('c(t)');title('impulseresponse');subplot(2,2,3);lsim(sys,t,t,0);gridxlabel('t');ylabel('c(t)');title('rampresponse');subplot(2,2,4);lsim(sys,1/2.*t.^2,t,0)xlabel('t');ylabel('c(t)');title('accelerationresponse');grid;運(yùn)行結(jié)果如圖3-2-6所示。圖3-2-6一階系統(tǒng)輸出響應(yīng)曲線3.3二階系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能分析

凡是由二階微分方程描述的系統(tǒng)，稱為二階系統(tǒng)?？刂乒こ讨卸A系統(tǒng)應(yīng)用非常廣泛，如無(wú)源

網(wǎng)絡(luò)、彈簧-質(zhì)量塊-阻尼器機(jī)械位移系統(tǒng)、忽略電樞電感的電動(dòng)機(jī)等都是典型的二階系統(tǒng)。許多高階系統(tǒng)在一定的條件下，常?？梢越瞥啥A系統(tǒng)。因此，深入研究二階系統(tǒng)的性能，具有重要的實(shí)際意義。3.3.1二階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型二階系統(tǒng)的微分方程為在零初始條件下對(duì)上式兩邊取拉普拉斯變換，可得二階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為式中，r(t)

和

c(t)

分別為分別為二階系統(tǒng)的輸入量和輸出量，T為時(shí)間常數(shù)，單位為s，

為阻尼比(或相對(duì)阻尼系數(shù))，無(wú)量綱。引入?yún)?shù)

，稱作二階系統(tǒng)的自然頻率(或無(wú)阻尼振蕩頻率)，單位為

，則式可寫為

上式為二階系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式，相應(yīng)結(jié)構(gòu)圖如圖3-3-1所示。顯然，二階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)取決于

和

這兩個(gè)特征參數(shù)。圖3-3-1二階系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖二階系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為閉環(huán)特征根為由式可見，閉環(huán)特征根的性質(zhì)與阻尼比

有關(guān)。當(dāng)

為不同值時(shí)，所對(duì)應(yīng)的單位階躍響應(yīng)有不同的形式。3.3.2二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)當(dāng)

時(shí)，系統(tǒng)處于無(wú)阻尼狀態(tài)。系統(tǒng)閉環(huán)特征根為一對(duì)共軛純虛根設(shè)輸入信號(hào)為單位階躍函數(shù)，則系統(tǒng)輸出量的拉普拉斯變換式為

兩邊取拉普拉斯反變換，求得單位階躍響應(yīng)為

上式表明，無(wú)阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為等幅振蕩形式，振蕩角頻率為

。

1.無(wú)阻尼

二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)設(shè)輸入信號(hào)為單位階躍函數(shù)，則系統(tǒng)輸出量的拉普拉斯變換式為

2.欠阻尼

二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)當(dāng)

時(shí)，系統(tǒng)處于欠阻尼狀態(tài)。閉環(huán)特征根為一對(duì)共軛復(fù)根其中

為阻尼振蕩頻率。上式兩邊取拉普拉斯反變換，可得單位階躍響應(yīng)為

式中，

稱為阻尼角。阻尼角

與阻尼比

及閉環(huán)特征根之間對(duì)應(yīng)關(guān)系如圖3-3-2所示。

圖3-3-2

與

及閉環(huán)特征根的對(duì)應(yīng)關(guān)系可見，欠阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)由穩(wěn)態(tài)分量和瞬態(tài)分量?jī)刹糠纸M成。穩(wěn)態(tài)分量為1，瞬態(tài)分量是一個(gè)隨時(shí)間增長(zhǎng)而衰減的正弦振蕩過(guò)程，其衰減速度取決于

值的大小，振蕩頻率為阻尼振蕩頻率

。當(dāng)

時(shí)，瞬態(tài)分量衰減為零，穩(wěn)態(tài)輸出為1。設(shè)輸入信號(hào)為單位階躍函數(shù)，則系統(tǒng)輸出量的拉普拉斯變換式為

3.臨界阻尼

二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)當(dāng)

時(shí)，系統(tǒng)處于臨界阻尼狀態(tài)。系統(tǒng)閉環(huán)特征根為一對(duì)相等的負(fù)實(shí)根兩邊取拉普拉斯反變換，求得單位階躍響應(yīng)為

可見，臨界阻尼

二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)是穩(wěn)態(tài)值為1的無(wú)振蕩單調(diào)上升過(guò)程。為便于計(jì)算，令

當(dāng)

時(shí)，系統(tǒng)處于過(guò)阻尼狀態(tài)。閉環(huán)特征根為兩個(gè)不相等的負(fù)實(shí)數(shù)根，即4.過(guò)阻尼

二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)稱

為過(guò)阻尼二階系統(tǒng)的時(shí)間常數(shù)，且有

。設(shè)輸入信號(hào)為單位階躍函數(shù)，則系統(tǒng)輸出量的拉普拉斯變換式為

可見，過(guò)阻尼

二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)包含兩個(gè)單調(diào)衰減的指數(shù)項(xiàng)，響應(yīng)是非振蕩的。兩邊取拉普拉斯反變換，可得單位階躍響應(yīng)為圖3-3-3為二階系統(tǒng)在不同阻尼比時(shí)的單位階躍響應(yīng)曲線。由圖可見，

越小，系統(tǒng)響應(yīng)振蕩越激烈。當(dāng)

時(shí)，

變成單調(diào)上升的為非振蕩過(guò)程。

圖3-3-3二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線3.3.3二階系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)1.欠阻尼二階系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)(1)上升時(shí)間tr根據(jù)上升時(shí)間的定義，令

c(tr)=1，得即

由于

，只能

，由此得

因此上升時(shí)間為

由式可見，當(dāng)阻尼比

一定時(shí)，阻尼角

不變，上升時(shí)間

與

成反比；而當(dāng)阻尼振蕩頻率

一定時(shí)，阻尼比越小，上升時(shí)間越短。(2)峰值時(shí)間tp峰值時(shí)間是指響應(yīng)曲線第一次達(dá)到峰值所對(duì)應(yīng)的時(shí)間。將式(3-3-7)對(duì)求導(dǎo)，并令其為零，可得即

整理得

當(dāng)

時(shí)，

。根據(jù)峰值時(shí)間定義，應(yīng)取

，

即有輸出量的最大值為根據(jù)超調(diào)量定義有

由于

(3)超調(diào)量因此超調(diào)量為上式表明，超調(diào)量

僅是阻尼比

的函數(shù)，與無(wú)阻尼振蕩頻率

無(wú)關(guān)。與的關(guān)系如圖3-3-4所示，由圖可見，阻尼比越大，超調(diào)量越小，反之亦然。一般地，當(dāng)

取時(shí)，相應(yīng)超調(diào)量為

。圖3-3-4

和

的關(guān)系(4)調(diào)節(jié)時(shí)間

tr調(diào)節(jié)時(shí)間

是指輸出量

與穩(wěn)態(tài)值

之間的偏差達(dá)到允許范圍(一般

取

或

)且不再超出的最短時(shí)間，即欠阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)的包絡(luò)線為

，響應(yīng)曲線總是在上、下包絡(luò)線之間，如圖3-3-5所示。為簡(jiǎn)便起見，往往采用

的包絡(luò)線近似代替

，并考慮到

，則兩邊取自然對(duì)數(shù)得

由上式表明，調(diào)節(jié)時(shí)間與閉環(huán)極點(diǎn)的實(shí)部數(shù)值成反比，即閉環(huán)極點(diǎn)距虛軸的距離越遠(yuǎn)，系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時(shí)間越短。

分別取

或

，并考慮到較小的阻尼比

時(shí)，

，則(取

誤差帶)(取

誤差帶)圖3-3-5調(diào)節(jié)時(shí)間的近似計(jì)算圖3-3-6

與

的關(guān)系曲線值得注意的是，采用包絡(luò)線代替實(shí)際響應(yīng)估算調(diào)節(jié)時(shí)間，所得結(jié)果略偏保守。圖3-3-6給出了當(dāng)

時(shí)，調(diào)節(jié)時(shí)間

與阻尼比

之間的關(guān)系曲線。對(duì)于

誤差帶，當(dāng)

時(shí)，調(diào)節(jié)時(shí)間最短，即快速性最好，同時(shí)超調(diào)量約為

，平穩(wěn)性也較好，故稱

為最佳阻尼比。

上面求得的

和

與二階系統(tǒng)特征參數(shù)

和

之間的關(guān)系是分析二階系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的基礎(chǔ)。若已知

和

的值，則可以計(jì)算出各個(gè)性能指標(biāo)。另一方面，也可以根據(jù)對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能要求，由性能指標(biāo)確定二階系統(tǒng)的特征參數(shù)

和

。

圖3-3-7二階系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖例3-3已知二階系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖3-3-7所示。當(dāng)輸入信號(hào)為單位階躍函數(shù)時(shí)，試計(jì)算系統(tǒng)響應(yīng)的上升時(shí)間、峰值時(shí)間、調(diào)節(jié)時(shí)間和超調(diào)量。系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為

解：將其與二階系統(tǒng)標(biāo)準(zhǔn)式相比較，可得因此

圖3-3-8系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖及單位階躍響應(yīng)曲線例3-4已知某二階系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖及單位階躍響應(yīng)曲線分別如圖3-3-8(a)、圖3-3-8(b)所示，試確定系統(tǒng)參數(shù)

、

和

。解：系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為

由拉普拉斯變換終值定理可得

求得

。由解得

，

。與二階系統(tǒng)傳遞函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)式比較，得

因此有

,

。

2.過(guò)阻尼二階系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)當(dāng)

時(shí)，過(guò)阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)是從0到1的單調(diào)上升過(guò)程，超調(diào)量

為0，用調(diào)節(jié)時(shí)間

即可描述系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。然而，由式(3-3-9)確定的表達(dá)式比較困難。一般可由式(3-3-9)取相對(duì)變量

及

經(jīng)計(jì)算機(jī)解算后制成曲線或表格以供查用。圖3-3-9是取5%誤差帶的調(diào)節(jié)時(shí)間特性曲線，根據(jù)已知的及值在圖3-3-9上可以查出相應(yīng)的

。

圖3-3-9過(guò)阻尼二階系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時(shí)間特性曲線由圖3-3-9可以看出，當(dāng)T1

=T2

即

的臨界情況，調(diào)節(jié)時(shí)間

ts

=4.75T1

；當(dāng)T1

>4T2

即過(guò)阻尼二階系統(tǒng)第二個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)的數(shù)值比第一個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)的數(shù)值大四倍以上時(shí)，系統(tǒng)可等效為具有

閉環(huán)極點(diǎn)的一階系統(tǒng)，此時(shí)取調(diào)節(jié)時(shí)間

，相對(duì)誤差不超過(guò)10%。在控制工程中，通常都希望控制系統(tǒng)具有適度的阻尼、較快的響應(yīng)速度和較短的調(diào)節(jié)時(shí)間。因此二階控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)，一般取

，使系統(tǒng)處于欠阻尼狀態(tài)。對(duì)于一些不允許出現(xiàn)超調(diào)，例如液體控制系統(tǒng)，超調(diào)會(huì)導(dǎo)致液體溢出，或大慣性(例如加熱裝置)的控制系統(tǒng)，則可取

，使系統(tǒng)處于過(guò)阻尼狀態(tài)。

通過(guò)前面二階系統(tǒng)各項(xiàng)動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)的計(jì)算式可以看出，各指標(biāo)之間是有矛盾的。例如上升時(shí)間和超調(diào)量，即響應(yīng)速度和阻尼程度不能同時(shí)達(dá)到滿意的結(jié)果。因此為了兼顧響應(yīng)的快速性和平穩(wěn)性以及系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能要求，必須研究其他控制方式，以改善二階系統(tǒng)的性能。比例-微分控制和測(cè)速反饋是常用的兩種改善二階系統(tǒng)性能的方法。3.3.4二階系統(tǒng)性能的改善1.比例-微分控制比例-微分控制的二階系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖3-3-10所示。圖中

為誤差信號(hào)，

為微分時(shí)間常數(shù)。圖3-3-10比例-微分控制系統(tǒng)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為閉環(huán)傳遞函數(shù)為相應(yīng)開環(huán)增益為等效阻尼比為則以上分析可見，引入比例-微分控制后，系統(tǒng)的無(wú)阻尼振蕩頻率

不變，等效阻尼比加大

，從而使系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時(shí)間縮短，超調(diào)量減小，改善了系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。另外由上式可以看出，引入比例-微分控制后，系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)出現(xiàn)了附加閉環(huán)零點(diǎn)

。閉環(huán)零點(diǎn)的存在，將會(huì)使系統(tǒng)響應(yīng)速度加快，削弱“阻尼”的作用，因此選擇微分時(shí)間常數(shù)

時(shí)，要折中考慮閉環(huán)零點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)速度和阻尼程度的影響。2.測(cè)速反饋控制圖3-3-11測(cè)速反饋控制系統(tǒng)測(cè)速反饋控制的二階系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖3-3-11所示，圖中

為誤差信號(hào)，

為輸出量的速度反饋系數(shù)。開環(huán)傳遞函數(shù)為閉環(huán)傳遞函數(shù)為相應(yīng)開環(huán)增益為等效阻尼比為則由以上分析可見，引入測(cè)速反饋控制后，同樣使系統(tǒng)的無(wú)阻尼振蕩頻率

不變、等效阻尼比增大

，從而達(dá)到了改善系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的目的。

由于測(cè)速反饋沒有附加閉環(huán)零點(diǎn)的影響，因此與比例-微分控制對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的改善程度是不同的。此外測(cè)速反饋的加入，會(huì)使系統(tǒng)開環(huán)增益降低，在3.6節(jié)中將會(huì)看到，這使得系統(tǒng)在跟蹤斜坡輸入時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差有所增加。因此在設(shè)計(jì)測(cè)速反饋控制系統(tǒng)時(shí)，一般可適當(dāng)增大原系統(tǒng)的開環(huán)增益，以補(bǔ)償測(cè)速反饋控制引起的開環(huán)增益損失。3.兩種控制方案的比較綜上所述，比例-微分控制與測(cè)速反饋控制都可以改善二階系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能，但是二者改善系統(tǒng)性能的機(jī)理及應(yīng)用場(chǎng)合是不同的，現(xiàn)簡(jiǎn)述如下。(1)比例-微分環(huán)節(jié)位于系統(tǒng)的輸入端，微分作用對(duì)輸入噪聲有明顯的放大作用。當(dāng)輸入端噪聲嚴(yán)重時(shí)，不宜選用比例-微分控制。由于微分器的輸入信號(hào)是低能量的誤差信號(hào)，要求比例-微分控制具有足夠的放大作用，為了不明顯惡化信噪比，需選用高質(zhì)量的前置放大器；測(cè)速反饋控制對(duì)輸入端噪聲有濾波作用，同時(shí)測(cè)速發(fā)電機(jī)的輸入信號(hào)能量水平較高，因此對(duì)系統(tǒng)組成元件沒有過(guò)高的質(zhì)量要求，使用場(chǎng)合比較廣泛。(2)比例-微分控制對(duì)系統(tǒng)的開環(huán)增益和無(wú)阻尼振蕩頻率均無(wú)影響；測(cè)速反饋控制雖不影響無(wú)阻尼振蕩頻率，但會(huì)降低開環(huán)增益，使得系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差有所增加，然而測(cè)速反饋控制能削弱內(nèi)部回路中被包圍部件的非線性特性、參數(shù)漂移等不利因素的影響。(3)比例-微分控制相當(dāng)于在系統(tǒng)中加入了實(shí)零點(diǎn)，可以加快上升時(shí)間。在相同阻尼比的條件下，比例-微分控制系統(tǒng)的超調(diào)量大于測(cè)速反饋控制系統(tǒng)的超調(diào)量。(4)從實(shí)現(xiàn)角度看，比例-微分控制的線路結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，成本較低；而測(cè)速反饋控制部件則較昂貴。例3-5某一位置隨動(dòng)系統(tǒng)如圖3-3-12(a)所示，其中

。在該系統(tǒng)中引入測(cè)速反饋控制，其結(jié)構(gòu)圖如圖3-3-12(b)所示，若要系統(tǒng)的等效阻尼比為

，試確定反饋系數(shù)

的值，并計(jì)算系統(tǒng)在引入測(cè)速反饋控制前后的調(diào)節(jié)時(shí)間和超調(diào)量。圖3-3-12位置隨動(dòng)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖解：由圖3-3-12(a)可得原系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為

與二階系統(tǒng)標(biāo)準(zhǔn)式相比較，可得已知等效阻尼比

，當(dāng)

時(shí)，即未引入測(cè)速反饋控制的系統(tǒng)調(diào)節(jié)時(shí)間和超調(diào)量分別為則當(dāng)

時(shí)，即引入測(cè)速反饋控制的系統(tǒng)調(diào)節(jié)時(shí)間和超調(diào)量分別為上述計(jì)算表明，引入測(cè)速反饋控制后，系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時(shí)間減小、超調(diào)量下降，動(dòng)態(tài)性能得到明顯改善。解：MATLAB程序如下。clc;cleart=[0:0.2:25];k=[10,0.5,0.09];fori=1:length(k)num=k(i);den=[1,1,0];G=tf(num,den);例3-6某一位置隨動(dòng)系統(tǒng)如圖3-3-12(a)所示，試用MATLAB繪制開環(huán)增益分別為10,0.5,0.09時(shí)系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線。3.3.5MATLAB實(shí)現(xiàn)sys=feedback(G,1,-1);step(sys,t);holdon;endgtext('k=10');gtext('k=0.5');gtext('k=0.09');xlabel('t');ylabel('c(t)');title('stepresponse');gridon執(zhí)行該程序，運(yùn)行結(jié)果如圖3-3-13所示。由圖可見，降低開環(huán)增益K能使阻尼比增大，超調(diào)量下降，可改善系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能，但開環(huán)增益K降低太多，系統(tǒng)成為過(guò)阻尼二階系統(tǒng)，過(guò)渡過(guò)程過(guò)于緩慢，這也是不希望的。圖3-3-13單位階躍響應(yīng)曲線例3-7某控制系統(tǒng)如圖3-3-14(a)所示，其中K=5，T=1.67s。分別采用比例-微分和測(cè)速反饋控制，系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖3-3-14(b)和3-3-14(c)所示，其中Kt

=

0.38。試?yán)肕ATLAB對(duì)比分析系統(tǒng)在單位階躍輸入作用下的性能。圖3-3-14系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖解：MATLAB程序如下。clc;cleart=[0:0.1:20];num=[5];den=[1.6710];G0=tf(num,den);sys0=feedback(G0,1,-1);step(sys0,'r:',t);holdonnum1=[0.381];den1=[1];G1=tf(num1,den1);sys1=feedback(G0*G1,1,-1);step(sys1,'b-',t);holdonsys2=feedback(G0,G1,-1);step(sys2,'k--',t);holdonlegend('原系統(tǒng)','引入比例-微分','引入測(cè)速反饋');xlabel('t/s');ylabel('c(t)');title('stepresponse');gridon執(zhí)行該程序，運(yùn)行結(jié)果如圖3-3-15所示，同時(shí)記錄各系統(tǒng)的性能指標(biāo)如表3-3-2所示?？梢钥闯?，采用比例-微分和測(cè)速反饋控制后，系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時(shí)間減小、超調(diào)量下降，系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能得到明顯改善。由于引入比例-微分控制后，系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)出現(xiàn)了附加零點(diǎn)，使得在相同阻尼比的條件下，比例-微分控制系統(tǒng)的超調(diào)量大于測(cè)速反饋控制系統(tǒng)的超調(diào)量。圖3-3-15各系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線表3-3-2各系統(tǒng)的性能指標(biāo)3.4高階系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能分析凡是由三階或三階以上微分方程描述的系統(tǒng)，稱為高階系統(tǒng)。在控制工程中，幾乎所有的控制系統(tǒng)都是高階系統(tǒng)。確定高階系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)是比較復(fù)雜的，工程上常利用閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)的概念對(duì)高階系統(tǒng)進(jìn)行近似分析或直接應(yīng)用MATLAB軟件進(jìn)行高階系統(tǒng)分析。3.4.1高階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型高階系統(tǒng)的微分方程式為設(shè)初始條件為零，對(duì)上式兩邊取拉普拉斯變換，可求出系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)。式中，

；

為系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)；

為系統(tǒng)的閉環(huán)零點(diǎn)。

設(shè)閉環(huán)系統(tǒng)

n個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)中，有

n1

個(gè)實(shí)數(shù)極點(diǎn)，n2

對(duì)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)，且閉環(huán)極點(diǎn)互不相等。由于一對(duì)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)形成一個(gè)

s

的二階項(xiàng)，因此，式(3-4-2)的因式包括一階項(xiàng)和二階項(xiàng)，故3.4.2高階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)

當(dāng)輸入為單位階躍信號(hào)時(shí)，高階系統(tǒng)輸出量的拉普拉斯變換式為

將上式展開成部分分式，可得其中，A0

為

C(s)

在原點(diǎn)處的留數(shù)，

Al

為

C(s)

在實(shí)數(shù)極點(diǎn)sl

處的留數(shù)，其值為Bk

和Ck

為與

C(s)

在閉環(huán)復(fù)數(shù)極點(diǎn)

處的留數(shù)有關(guān)的常系數(shù)

對(duì)式(3-4-5)兩邊取拉普拉斯反變換，可得高階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為根據(jù)式(3-4-6)可以得到以下結(jié)論。(1)高階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)包含穩(wěn)態(tài)分量和瞬態(tài)分量?jī)刹糠?。其中穩(wěn)態(tài)分量A0

與時(shí)間

t

無(wú)關(guān)，瞬態(tài)分量與時(shí)間

t

有關(guān)，包括指數(shù)項(xiàng)、正弦和余弦項(xiàng)。(2)若所有閉環(huán)極點(diǎn)都分布在

s左半平面，即如果所有實(shí)數(shù)極點(diǎn)為負(fù)值，所有共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)具有負(fù)實(shí)部，當(dāng)時(shí)間t

趨于無(wú)窮大時(shí)，瞬態(tài)分量衰減為零，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)輸出為A0

，這種情況高階系統(tǒng)是穩(wěn)定的。穩(wěn)定是系統(tǒng)能正常工作的首要條件，有關(guān)這方面的內(nèi)容，將在3.5節(jié)中作較詳細(xì)的闡述。(3)瞬態(tài)分量衰減的快慢取決于閉環(huán)極點(diǎn)離虛軸的距離。閉環(huán)極點(diǎn)離虛軸越遠(yuǎn)，相應(yīng)瞬態(tài)分量衰減越快，對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)影響越小。反之，閉環(huán)極點(diǎn)離虛軸越近，相應(yīng)的瞬態(tài)分量衰減越慢，對(duì)動(dòng)態(tài)響應(yīng)影響越大。(4)瞬態(tài)分量的幅值（即部分分式系數(shù)）與閉環(huán)極點(diǎn)、零點(diǎn)在s平面中的位置有關(guān)。若某極點(diǎn)離原點(diǎn)很遠(yuǎn)，那么相應(yīng)瞬態(tài)分量幅值很??；若某極點(diǎn)靠近閉環(huán)零點(diǎn)又遠(yuǎn)離原點(diǎn)及其他極點(diǎn)，相應(yīng)瞬態(tài)分量的幅值也很小。工程上常把處于這種情況的閉環(huán)零點(diǎn)、極點(diǎn)，稱之為偶極子。偶極子對(duì)瞬態(tài)分量影響較小的現(xiàn)象，稱之為零、極點(diǎn)相消；若某極點(diǎn)遠(yuǎn)離零點(diǎn)又接近原點(diǎn)，相應(yīng)瞬態(tài)分量幅值大，對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)影響較大。3.4.3高階系統(tǒng)的分析方法

由以上高階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的求解過(guò)程和討論可知，對(duì)高階系統(tǒng)的分析是十分煩瑣的事情。為簡(jiǎn)單和方便起見，在控制工程中常常利用下面介紹的閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)對(duì)高階系統(tǒng)進(jìn)行近似分析。實(shí)踐表明，這種近似分析方法是行之有效的。

對(duì)于穩(wěn)定的高階系統(tǒng)，如果存在離虛軸最近的閉環(huán)極點(diǎn)，且其附近沒有閉環(huán)零點(diǎn)，而其他閉環(huán)極點(diǎn)又遠(yuǎn)離虛軸，那么距虛軸最近的閉環(huán)極點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的瞬態(tài)分量，隨時(shí)間的推移衰減緩慢，在系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)過(guò)程中起主導(dǎo)作用，這樣的閉環(huán)極點(diǎn)稱為閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)。除閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)外，其他閉環(huán)極點(diǎn)由于其對(duì)應(yīng)的瞬態(tài)分量隨時(shí)間的推移迅速衰減，對(duì)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)過(guò)程影響甚微，因而統(tǒng)稱為非主導(dǎo)極點(diǎn)。實(shí)際工程中，一般非主導(dǎo)極點(diǎn)的實(shí)部比閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)的實(shí)部大6倍以上時(shí)，則非主導(dǎo)極點(diǎn)的作用可以忽略。有時(shí)甚至比主導(dǎo)極點(diǎn)的實(shí)部大2～3倍的非主導(dǎo)極點(diǎn)也可忽略不計(jì)。

在對(duì)高階系統(tǒng)進(jìn)行分析時(shí)，常根據(jù)閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)的概念將高階系統(tǒng)近似為一、二階系統(tǒng)進(jìn)行分析。同樣，在設(shè)計(jì)高階系統(tǒng)時(shí)，也常常利用主導(dǎo)極點(diǎn)的概念選擇系統(tǒng)參數(shù)，使系統(tǒng)具有一對(duì)共軛主導(dǎo)極點(diǎn)，以便于近似地按二階系統(tǒng)的性能指標(biāo)設(shè)計(jì)系統(tǒng)。

若高階系統(tǒng)不滿足應(yīng)用閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)的條件，則高階系統(tǒng)不能近似為一、二階系統(tǒng)。這時(shí)高階系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)過(guò)程必須具體求解。應(yīng)當(dāng)指出，利用MATLAB軟件，可以很容易求出高階系統(tǒng)的輸出響應(yīng)及繪制出相應(yīng)的響應(yīng)曲線，這給高階系統(tǒng)的分析和設(shè)計(jì)帶來(lái)了方便。解：這是一個(gè)三階系統(tǒng)，可以求得三個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)分別為該系統(tǒng)的實(shí)數(shù)極點(diǎn)與復(fù)數(shù)極點(diǎn)距離虛軸距離之比為10.5，故復(fù)數(shù)極點(diǎn)可視為閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)，因此該三階系統(tǒng)可以用具有這一對(duì)復(fù)數(shù)極點(diǎn)的二階系統(tǒng)近似。近似的二階系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為

例3-8某控制系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為

試估算系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)

和

。由二階系統(tǒng)性能指標(biāo)計(jì)算公式，可求出

注意近似后的二階系統(tǒng)應(yīng)與原高階系統(tǒng)具有相同的閉環(huán)增益，以保證階躍響應(yīng)終值相同。將其與二階系統(tǒng)標(biāo)準(zhǔn)式相比較，可得

，

。

解：MATLAB程序如下。clc;cleart=[0:0.1:25];tf1=tf([0,2.688],conv([1,4.2],[1,0.8,0.64]));step(tf1,'b-',t);holdon;tf2=tf(0.64,[1,0.8,0.64]);step(tf2,'r--',t);legend('原系統(tǒng)階躍響應(yīng)','降階系統(tǒng)階躍響應(yīng)');xlabel('t/s');ylabel('c(t)');title('stepresponse')gridon例3-9利用MATLAB繪制例3-8降階前后系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線，并比較降階前后系統(tǒng)的性能指標(biāo)。3.4.4MATLAB實(shí)現(xiàn)執(zhí)行命令后，運(yùn)行結(jié)果如圖3-4-1所示，同時(shí)記錄降階前后系統(tǒng)的性能指標(biāo)如表3-4-1所示。可以看出，當(dāng)系統(tǒng)存在一對(duì)閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)時(shí)，三階系統(tǒng)可降階為二階系統(tǒng)進(jìn)行分析，其結(jié)果不會(huì)帶來(lái)太大的誤差。圖3-4-1單位階躍響應(yīng)曲線表3-4-1降階前后系統(tǒng)的性能指標(biāo)解：clc;clearnum=[1,7,24,24];den=[1,10,35,50,24,0];[r,p,k]=residue(num,den)例3-10某控制系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為試應(yīng)用MATLAB求解該系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)表達(dá)式。當(dāng)輸入為單位階躍信號(hào)時(shí)，系統(tǒng)輸出量的拉普拉斯變換式為

MATLAB程序如下。執(zhí)行該程序，運(yùn)行結(jié)果為r=-1.00002.0000-1.0000-1.00001.0000p=-4.0000-3.0000-2.0000-1.00000k=[]即系統(tǒng)輸出量的部分分式展開式為因此該系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)時(shí)域表達(dá)式為3.5線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

穩(wěn)定是控制系統(tǒng)的重要性能，也是系統(tǒng)能夠正常運(yùn)行的首要條件。分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并提出確保系統(tǒng)穩(wěn)定的條件，是自動(dòng)控制理論的基本任務(wù)之一。本節(jié)主要研究線性系統(tǒng)穩(wěn)定的概念、穩(wěn)定的充要條件和穩(wěn)定的代數(shù)判定方法等內(nèi)容。3.5.1穩(wěn)定性的概念

為了建立穩(wěn)定性的概念，首先通過(guò)一個(gè)直觀的例子來(lái)說(shuō)明穩(wěn)定的含義。

圖3-5-1(a)表示小球在一個(gè)光滑的凹面里，原平衡位置為A，在外界擾動(dòng)作用下，小球偏離了原平衡位置A，當(dāng)外界擾動(dòng)消失后，小球在重力和阻力的作用下，經(jīng)過(guò)來(lái)回幾次減幅擺動(dòng)，最終可以回到原平衡位置A，稱具有這種特性的平衡是穩(wěn)定的。反之，若小球處于圖3-5-1(b)所示的平衡位置B，在外界擾動(dòng)作用下偏離了原平衡位置B，當(dāng)外界擾動(dòng)消失后，無(wú)論經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間，小球也不可能再回到原平衡位置B，稱具有這種特性的平衡是不穩(wěn)定的。

通過(guò)上面關(guān)于穩(wěn)定性的直觀示例可以看出，任何系統(tǒng)在擾動(dòng)作用下都會(huì)偏離平衡狀態(tài)，產(chǎn)生初始偏差。當(dāng)擾動(dòng)消失后，若系統(tǒng)能以足夠的準(zhǔn)確度恢復(fù)到原來(lái)的平衡狀態(tài)，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的；若系統(tǒng)在擾動(dòng)作用消失后不能恢復(fù)原來(lái)的平衡狀態(tài)，且偏差越來(lái)越大，則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。由此可知，穩(wěn)定性是表征系統(tǒng)在擾動(dòng)消失后自身的一種恢復(fù)能力，因而它是系統(tǒng)的一種固有特性。對(duì)于線性系統(tǒng)來(lái)講，其穩(wěn)定性僅取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，而與初始條件及外作用無(wú)關(guān)。3.5.2線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件即輸出增量收斂于原平衡點(diǎn)，則線性系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

設(shè)線性系統(tǒng)在零初始條件下，作用一個(gè)理想單位脈沖

，這時(shí)系統(tǒng)的輸出增量為脈沖響應(yīng)

。這相當(dāng)于系統(tǒng)在擾動(dòng)信號(hào)作用下，輸出信號(hào)偏離原平衡點(diǎn)的問題。若

時(shí)，脈沖響應(yīng)(3-5-1)

由于理想單位脈沖

的拉普拉斯變換等于1，所以系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)即為閉環(huán)傳遞函數(shù)的拉普拉斯反變換。如同3.4節(jié)所假設(shè)的那樣，若系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)有

個(gè)實(shí)數(shù)極點(diǎn)，

對(duì)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)，且閉環(huán)極點(diǎn)彼此不等，系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為

綜上所述，線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的所有根均具有負(fù)實(shí)部，也就是說(shuō)，系統(tǒng)的全部閉環(huán)極點(diǎn)都位于s左半平面。

由式可見，當(dāng)且僅當(dāng)系統(tǒng)的特征根全部具有負(fù)實(shí)部時(shí)，式(3-5-1)才成立，即系統(tǒng)穩(wěn)定；若特征根中有一個(gè)或一個(gè)以上正實(shí)部根，脈沖響應(yīng)c(t)

趨于發(fā)散，表明系統(tǒng)不穩(wěn)定；若特征根中具有一個(gè)或一個(gè)以上零實(shí)部根，而其余的特征根均具有負(fù)實(shí)部，脈沖響應(yīng)

c(t)

趨于常數(shù)，或趨于等幅振蕩，則系統(tǒng)臨界穩(wěn)定，在工程上認(rèn)為是不穩(wěn)定的。3.5.3勞斯穩(wěn)定判據(jù)由線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件可知，只要能夠求出系統(tǒng)的全部特征根，就可以判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。但對(duì)于三階或三階以上特征方程，求根是比較困難的。勞斯(E.J.Routh)于1877年提出了由特征方程的系數(shù)，直接利用代數(shù)方法判別特征根的分布位置，以此判別系統(tǒng)是否穩(wěn)定，這就是勞斯穩(wěn)定判據(jù)。設(shè)線性系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為1.穩(wěn)定的必要條件線性系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件是閉環(huán)特征方程各項(xiàng)系數(shù)均為正數(shù)。這是因?yàn)橐粋€(gè)具有實(shí)系數(shù)的s

多項(xiàng)式，總可以分解成一次和二次因子，即

和

，式中

a、b

和c都是實(shí)數(shù)。一次因子具有實(shí)根，而二次因子則是復(fù)根。只有當(dāng)b

和

c都是正值時(shí)，因子

才能具有負(fù)實(shí)部的根。所有因子中的常數(shù)

a、b

和

c都是正值是所有根都具有負(fù)實(shí)部的必要條件。任意個(gè)只包含正系數(shù)的一次和二次因子的乘積，必然也是一個(gè)具有正系數(shù)的多項(xiàng)式。因此，閉環(huán)特征方程若缺項(xiàng)或具有負(fù)的系數(shù)，系統(tǒng)便是不穩(wěn)定的。2.勞斯判據(jù)

如果閉環(huán)特征方程中所有系數(shù)均為正值，根據(jù)特征方程的系數(shù)編制勞斯表如表3-5-1所示。勞斯表的前兩行系數(shù)由特征方程系數(shù)組成，第一行由特征方程的第1,3,5,…項(xiàng)系數(shù)組成，第二行由特征方程的第2,4,6,…項(xiàng)系數(shù)組成，以后各行系數(shù)按表3-5-1逐行計(jì)算，直到計(jì)算到第(n

+1)行為止，而勞斯表第

(n

+1)行系數(shù)只有一個(gè)，恰好等于特征方程最后一項(xiàng)系數(shù)

a0。在計(jì)算勞斯表的過(guò)程中，可以用一個(gè)正整數(shù)去除或乘某一整行系數(shù)，這樣不會(huì)改變所得結(jié)論。

表3-5-1勞斯表

勞斯穩(wěn)定判據(jù)指出，系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是勞斯表第一列系數(shù)均為正數(shù)，若出現(xiàn)零或負(fù)數(shù)，系統(tǒng)不穩(wěn)定，且第一列系數(shù)符號(hào)改變的次數(shù)就是特征方程中正實(shí)部根的個(gè)數(shù)。解：列勞斯表為由于勞斯表第一列系數(shù)出現(xiàn)負(fù)數(shù)，故該系統(tǒng)不穩(wěn)定，且第一列系數(shù)符號(hào)改變了兩次，因此特征方程有兩個(gè)正實(shí)部根。例3-11已知線性系統(tǒng)的特征方程為

，試用勞斯穩(wěn)定判據(jù)分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。在列勞斯表時(shí)，可能遇到下面兩種特殊情況。(1)勞斯表中某一行第一個(gè)系數(shù)為零，其他系數(shù)不為零或不全為零。這時(shí)計(jì)算勞斯表下一行的第一個(gè)系數(shù)時(shí)，將出現(xiàn)無(wú)窮大而使勞斯表無(wú)法繼續(xù)進(jìn)行，解決的辦法是用一個(gè)很小的正數(shù)

來(lái)代替這個(gè)零元素，使勞斯表繼續(xù)運(yùn)算下去。觀察勞斯表第一列系數(shù)，若

的上下系數(shù)均為正數(shù)，則說(shuō)明系統(tǒng)特征方程存在純虛根；若

的上下系數(shù)的符號(hào)不同，則符號(hào)改變的次數(shù)為特征方程正實(shí)部根的個(gè)數(shù)。解：列勞斯表為例3-12已知線性系統(tǒng)的特征方程為

，試用勞斯穩(wěn)定判據(jù)分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。由于

是很小的正數(shù)，所以

為負(fù)數(shù)，勞斯表第一列系數(shù)符號(hào)改變了兩次。因此，系統(tǒng)不穩(wěn)定，特征方程有兩個(gè)正實(shí)部根。(2)勞斯表中某行系數(shù)均為零。這種情況下勞斯表的計(jì)算工作也由于出現(xiàn)無(wú)窮大系數(shù)而無(wú)法繼續(xù)進(jìn)行。為了解決這個(gè)問題，可以利用全零行的上一行系數(shù)構(gòu)造一個(gè)輔助方程，再將輔助方程對(duì)復(fù)變量

s

求導(dǎo)一次后的系數(shù)代替全零行的系數(shù)，使勞斯表繼續(xù)運(yùn)算下去。輔助方程的解就是原特征方程的部分特征根，這部分特征根對(duì)稱于原點(diǎn)，可能為一對(duì)共軛純虛根或者兩個(gè)大小相等符號(hào)相反的實(shí)根或者對(duì)稱于實(shí)軸的兩對(duì)共軛復(fù)數(shù)根。解：列勞斯表為例3-13已知線性系統(tǒng)的特征方程為

，試用勞斯穩(wěn)定判據(jù)分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。輔助方程將輔助方程求導(dǎo)一次，得由勞斯表可知，第一列系數(shù)均為正值，表明系統(tǒng)沒有在右半平面的特征根。求解輔助方程，得到兩對(duì)大小相等、符號(hào)相反的特征根為

。顯然，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。3.勞斯穩(wěn)定判據(jù)的應(yīng)用(1)確定使系統(tǒng)穩(wěn)定的參數(shù)取值范圍勞斯穩(wěn)定判據(jù)除了可以判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性外，還可以用來(lái)確定使系統(tǒng)穩(wěn)定的參數(shù)取值范圍。例3-14某系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖3-5-2所示，試確定使系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)的

K取值范圍。解：系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為閉環(huán)特征方程為列勞斯表為根據(jù)勞斯穩(wěn)定判據(jù)，系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件為因此系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)K的取值范圍是

。(2)確定系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性勞斯穩(wěn)定判據(jù)解決了系統(tǒng)絕對(duì)穩(wěn)定性問題，但不能表明特征根距虛軸的遠(yuǎn)近。如果一個(gè)系統(tǒng)的特征根緊靠虛軸，盡管是在s左半平面，滿足穩(wěn)定條件，但動(dòng)態(tài)過(guò)程將具有緩慢的非周期特性或強(qiáng)烈的振蕩特性，甚至?xí)捎谙到y(tǒng)內(nèi)部參數(shù)的微小變化，使特征根轉(zhuǎn)移到s右半平面，導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定。為了保證系統(tǒng)有一定的穩(wěn)定裕度，且具有良好的動(dòng)態(tài)性能，希望特征根在s

左半平面且與虛軸有一定的距離。為此，可在s左半平面作一條

的直線，而

是系統(tǒng)特征根與虛軸之間的最小距離，通常稱為穩(wěn)定裕量，然后將

代入原特征方程，得到以s1為變量的新特征方程，對(duì)新特征方程應(yīng)用勞斯穩(wěn)定判據(jù)，判斷特征根是否位于

直線的左半部分，

即具有

以上的穩(wěn)定裕量。整理后得列勞斯表為根據(jù)勞斯穩(wěn)定判據(jù)，系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件為例3-15

對(duì)于例3-14系統(tǒng)，若要使系統(tǒng)具有

以上的穩(wěn)定裕量，試確定

K的取值范圍。解：將

代人原系統(tǒng)的特征方程，得因此，當(dāng)K滿足

，系統(tǒng)具有

以上的穩(wěn)定裕量。

僅僅通過(guò)調(diào)整參數(shù)無(wú)法穩(wěn)定的系統(tǒng)，稱為結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定系統(tǒng)。不穩(wěn)定的系統(tǒng)是不能夠工作的，必須從結(jié)構(gòu)上對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行改造，使系統(tǒng)滿足穩(wěn)定的條件。3.5.4結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定系統(tǒng)及其改進(jìn)圖3-5-3所示系統(tǒng)是一個(gè)結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定系統(tǒng)。該系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為由于閉環(huán)特征方程缺項(xiàng)，即

s一次項(xiàng)系數(shù)為零，故該系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，并且無(wú)論怎樣改變

K

和

Tm

的數(shù)值，都不能使系統(tǒng)穩(wěn)定。這是一個(gè)結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定系統(tǒng)，必須改變系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)才可能使之穩(wěn)定。令

，系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為1.改變積分環(huán)節(jié)的性質(zhì)用反饋環(huán)節(jié)

KH

包圍積分環(huán)節(jié)即可改變積分性質(zhì)。如圖3-5-4(a)所示，被包圍后的小閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為消除結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定常采用以下兩種方法：一種是設(shè)法改變積分環(huán)節(jié)的性質(zhì)；另一種是引入比例-微分控制，以填補(bǔ)特征方程的缺項(xiàng)。可見，積分環(huán)節(jié)已被改變成慣性環(huán)節(jié)。這樣，電動(dòng)機(jī)及減速器中的積分性質(zhì)也被改變了。用反饋環(huán)節(jié)KH

包圍電動(dòng)機(jī)及減速器，如圖3-5-4(b)所示，被包圍后小閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為特征方程不再缺項(xiàng)，只要適當(dāng)選擇參數(shù)，便可以使系統(tǒng)穩(wěn)定。需要指出，通過(guò)改變積分環(huán)節(jié)性質(zhì)的方法可以改善系統(tǒng)的穩(wěn)定性，但改變了系統(tǒng)的型別，降低了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能。關(guān)于這個(gè)問題，在3.6節(jié)會(huì)有進(jìn)一步的闡述。若將圖3-5-3所示的結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定系統(tǒng)的積分環(huán)節(jié)

用反饋環(huán)節(jié)

包圍后，系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程變?yōu)?.引入比例-微分環(huán)節(jié)若在3-5-3所示的結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定系統(tǒng)的前向通路中引入比例-微分環(huán)節(jié)，如圖3-5-4所示。系統(tǒng)的特征方程為根據(jù)勞斯穩(wěn)定判據(jù)，該系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是可見，引入比例-微分環(huán)節(jié)，適當(dāng)選擇參數(shù)便可以使系統(tǒng)穩(wěn)定。判斷線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性，最直接的方法是求出系統(tǒng)的所有特征根，根據(jù)特征根是否位于左半平面確定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。MATLAB提供了求解特征根的函數(shù)roots()，其調(diào)用格式為p=roots(den)%求解系統(tǒng)特征根，其中den為特征多項(xiàng)式降冪排列的系數(shù)行向量；p為特征根。另外，MATLAB中的pzmap()函數(shù)可用于繪制系統(tǒng)的零極點(diǎn)圖，其調(diào)用格式為pzmap(num,den)%繪制系統(tǒng)的零極點(diǎn)圖，num和den分別為系統(tǒng)傳遞函數(shù)的分子和分母多項(xiàng)式的系數(shù)按降冪排列構(gòu)成的系數(shù)行向量。零極點(diǎn)圖中的極點(diǎn)用“x”表示，零點(diǎn)用“o”表示。[p,z]=pzmap(num,den)%該調(diào)用格式不繪制系統(tǒng)的零極點(diǎn)圖，而是返回系統(tǒng)的零極點(diǎn)，其作用與tf2zp()函數(shù)相同。3.5.5MATLAB實(shí)現(xiàn)解：MATLAB程序如下。clc;clearnum=[1,5,6];den=[12176];p=roots(den)pzmap(num,den)例3-16某系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為

，

判斷該系統(tǒng)的穩(wěn)定性。執(zhí)行該程序，運(yùn)行結(jié)果為圖3-5-6零極點(diǎn)分布圖p=0.6160+1.6011i0.6160-1.6011i-2.3727+0.0000i-0.8592+0.0000i由運(yùn)行結(jié)果及零極點(diǎn)分布圖3-5-6可以看出，該系統(tǒng)有兩個(gè)負(fù)實(shí)根和一對(duì)具有正實(shí)部的共軛復(fù)數(shù)根，因此系統(tǒng)不穩(wěn)定。3.6線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差分析

在控制系統(tǒng)的分析與設(shè)計(jì)中，穩(wěn)態(tài)誤差是一項(xiàng)重要的性能指標(biāo)，它是系統(tǒng)控制精度或抗擾動(dòng)能力的一種度量，通常稱為穩(wěn)態(tài)性能。控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)的任務(wù)之一是盡量減小系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，或者使穩(wěn)態(tài)誤差小于某一容許值。本節(jié)主要討論線性控制系統(tǒng)由于系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)、輸入作用形式和類型所產(chǎn)生的原理性穩(wěn)態(tài)誤差，不包括由于元件的不靈敏區(qū)、機(jī)械間隙、零點(diǎn)漂移、老化等原因所引起的附加穩(wěn)態(tài)誤差。3.6.1誤差與穩(wěn)態(tài)誤差的定義假設(shè)控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖3-6-1(a)所示，經(jīng)過(guò)等效變換可以化為圖3-6-1(b)的形式，系統(tǒng)的誤差通常有以下兩種定義方法。圖3-6-1控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖及等效變換圖1.誤差的定義(1)從輸入端定義：系統(tǒng)的誤差定義為輸入信號(hào)

與反饋信號(hào)

之差，即由圖3-6-1(a)可得用這種方法定義的誤差，又稱為偏差。由于它是可以測(cè)量的，因而在應(yīng)用中具有實(shí)際意義。(2)從輸出端定義：系統(tǒng)的誤差定義為輸出量的期望值

和實(shí)際值

之差，即由圖3-6-1(b)可得按輸出端定義的誤差，在系統(tǒng)性能指標(biāo)的提法中經(jīng)常使用，但在實(shí)際系統(tǒng)中有時(shí)無(wú)法測(cè)量，因而一般只有數(shù)學(xué)意義。顯然，兩種誤差定義之間存在如下關(guān)系對(duì)單位反饋系統(tǒng)而言，由于

，兩種誤差定義的方法是一致的。本書除了特別說(shuō)明外，之后討論的誤差都是按輸入端定義的誤差。2.穩(wěn)態(tài)誤差的定義對(duì)于一個(gè)穩(wěn)定的系統(tǒng)，當(dāng)時(shí)間

時(shí)，系統(tǒng)的誤差稱為穩(wěn)態(tài)誤差

，以

表示，即如果有理函數(shù)

sE(s)的極點(diǎn)均位于s左半平面(包括坐標(biāo)原點(diǎn))，則可根據(jù)拉普拉斯變換終值定理，求得系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為對(duì)于圖3-6-1(a)所示系統(tǒng)，在輸入信號(hào)R(s)

作用下的誤差傳遞函數(shù)為系統(tǒng)的誤差為穩(wěn)態(tài)誤差為上式表明，穩(wěn)態(tài)誤差既與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)有關(guān)，也與外作用的形式有關(guān)。注意到

的分母與閉環(huán)傳遞函數(shù)

的分母相同，都是閉環(huán)特征方程式，所以應(yīng)用終值定理的條件實(shí)際上包含系統(tǒng)必須穩(wěn)定。這樣的要求是和物理概念一致的，對(duì)于不穩(wěn)定的系統(tǒng)來(lái)講，系統(tǒng)無(wú)法進(jìn)入穩(wěn)態(tài)，求穩(wěn)態(tài)誤差就沒有意義。3.6.2控制系統(tǒng)的型別由于穩(wěn)態(tài)誤差與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)有關(guān)，這里介紹一種控制系統(tǒng)按開環(huán)傳遞函數(shù)中串聯(lián)積分環(huán)節(jié)個(gè)數(shù)來(lái)分類的方法。設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為其中，K為系統(tǒng)的開環(huán)增益，v為系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)中所含積分環(huán)節(jié)的個(gè)數(shù)。通常根據(jù)v

的數(shù)值定義系統(tǒng)的型別，稱

v=0,

1,

2，…的系統(tǒng)分別為

0型、

Ⅰ型、Ⅱ型等系統(tǒng)。由于當(dāng)

v>

2

時(shí)，對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性是不利的，因此除航天控制系統(tǒng)外，Ⅲ型及Ⅲ型以上的系統(tǒng)幾乎不采用。1.單位階躍輸入下面分別討論在幾種典型輸入信號(hào)作用下，不同類型系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差3.6.3典型輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差當(dāng)

r(t)=1(t)時(shí)，則

，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差為其中

稱為靜態(tài)位置誤差系數(shù)。對(duì)于0型系統(tǒng)，對(duì)于Ⅰ型和Ⅱ型系統(tǒng)，由此可見，對(duì)于階躍輸入，0型系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為有限值，且穩(wěn)態(tài)誤差隨開環(huán)增益

K的增大而減??；Ⅰ型及以上系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為零。習(xí)慣上常把系統(tǒng)在階躍輸入作用下沒有穩(wěn)態(tài)誤差的系統(tǒng)稱為無(wú)差系統(tǒng)，反之則稱為有差系統(tǒng)。因此，0型系統(tǒng)為有差系統(tǒng)，Ⅰ型及以上系統(tǒng)為無(wú)差系統(tǒng)。2.單位斜坡輸入當(dāng)

r(t)=t

時(shí)，則

，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差為其中

稱為靜態(tài)速度誤差系數(shù)。對(duì)于0型系統(tǒng)，對(duì)于Ⅰ型系統(tǒng)，對(duì)于Ⅱ型系統(tǒng)，由此可見，0型系統(tǒng)不能跟蹤斜坡輸入信號(hào)；Ⅰ型系統(tǒng)雖然能跟蹤斜坡輸入信號(hào)，但存在穩(wěn)態(tài)誤差，穩(wěn)態(tài)誤差隨開環(huán)增益

K的增大而減??；Ⅱ型及以上系統(tǒng)，穩(wěn)態(tài)時(shí)系統(tǒng)能準(zhǔn)確跟蹤斜坡輸入信號(hào)，穩(wěn)態(tài)誤差為零。3.單位加速度輸入由此可見，0型和Ⅰ型系統(tǒng)均不能跟蹤加速度輸入信號(hào)，Ⅱ型系統(tǒng)能跟蹤加速度輸入信號(hào)，但存在穩(wěn)態(tài)誤差。與前面情況類似，加速度誤差是指系統(tǒng)在加速度信號(hào)作用下，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)輸出與輸入之間的位置誤差。當(dāng)

時(shí)，則

，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差為其中

稱為靜態(tài)加速度誤差系數(shù)。對(duì)于0型和Ⅰ型系統(tǒng),對(duì)于Ⅱ型系統(tǒng)，表3-6-1列出了各型系統(tǒng)在典型輸入信號(hào)作用下的靜態(tài)誤差系數(shù)和穩(wěn)態(tài)誤差。

表3-6-1揭示了控制系統(tǒng)在輸入信號(hào)作用下穩(wěn)態(tài)誤差隨系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)及輸入形式變化的規(guī)律。即在輸入一定時(shí)，增大開環(huán)增益

K，可以減小穩(wěn)態(tài)誤差；提高系統(tǒng)型別，可以消除穩(wěn)態(tài)誤差。