自動控制原理 課件 第3章 控制系統(tǒng)的時域分析法

第3章控制系統(tǒng)的時域分析法3.1時域分析基礎

3.2一階系統(tǒng)的動態(tài)性能分析

3.3二階系統(tǒng)的動態(tài)性能分析3.4高階系統(tǒng)的動態(tài)性能分析3.5線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析3.6線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差分析本章要點：⑴典型輸入信號及系統(tǒng)時域性能指標。⑵一階、二階系統(tǒng)和高階系統(tǒng)的時域數(shù)學模型及動態(tài)性能分析。⑶控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析。⑷控制系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差分析。⑴了解時域分析法的特點；掌握典型輸入信號的特點和時域性能指標的含義。⑵掌握一階、二階系統(tǒng)的數(shù)學模型、階躍響應的特點及動態(tài)性能指標的計算；理解主導極點、偶極子的概念，會估算高階系統(tǒng)動態(tài)性能指標。⑶理解穩(wěn)定性的概念及穩(wěn)定條件；能熟練運用穩(wěn)定判據(jù)判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性并進行有關參數(shù)分析計算。⑷理解穩(wěn)態(tài)誤差的概念，明確終值定理的應用條件；掌握系統(tǒng)的型別和靜態(tài)誤差系數(shù)的概念；掌握計算穩(wěn)態(tài)誤差的方法，理解減小或消除穩(wěn)態(tài)誤差的措施。學習目標：本章重點：⑴典型輸入信號及時域性能指標定義。⑵一階、二階系統(tǒng)和高階系統(tǒng)的動態(tài)性能分析。⑶控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析及穩(wěn)定判據(jù)的應用。⑷控制系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的計算及減小或消除穩(wěn)態(tài)誤差的措施。

控制系統(tǒng)的數(shù)學模型建立之后，可以采用各種不同的方法對系統(tǒng)的性能進行分析研究。經(jīng)典控制理論中，常用的分析方法有時域分析法、根軌跡分析法和頻域分析法。其中時域分析法是對一個特定的輸入信號，通過拉普拉斯變換法求取系統(tǒng)的輸出響應，根據(jù)系統(tǒng)響應直接在時間域中對系統(tǒng)進行分析的方法。此方法具有直觀、準確、物理概念清晰，能提供系統(tǒng)時間響應的全部信息等優(yōu)點，是以后學習根軌跡法和頻域法的基礎。第3章控制系統(tǒng)的時域分析法3.1時域分析基礎

一個控制系統(tǒng)的時間響應不僅取決于系統(tǒng)本身的結構和參數(shù)，而且還與系統(tǒng)的初始狀態(tài)以及輸入信號有關。為了求解系統(tǒng)的時間響應，必須了解輸入信號(即外作用)的解析表達式。然而，控制系統(tǒng)的實際輸入信號往往是未知的，為了便于對系統(tǒng)進行分析，常需要一些輸入函數(shù)作為測試信號。選取的測試信號應具有下列特點。(1)能反映系統(tǒng)工作時的實際情況。(2)易于在實驗室中獲得。(3)數(shù)學表達形式簡單，以便分析和處理。3.1.1典型輸入信號

在控制工程中，通常選用的典型輸入信號有階躍信號、斜坡信號、加速度信號、脈沖信號和正弦信號等。1.階躍信號

階躍信號表示信號的瞬間突變過程，如圖3-1-1所示，其數(shù)學表達式為

式中，R為一常量，當

R=1時，稱為單位階躍信號，記為1(t)。在實際系統(tǒng)中電源的接通、開關的轉(zhuǎn)換、指令的轉(zhuǎn)變、負荷的突變等，均可視為階躍信號。

階躍信號的拉普拉斯變換為2.斜坡信號

斜坡信號表示由零值開始隨時間

t作線性增長的信號，如圖3-1-2所示，其數(shù)學表達式為

斜坡信號的微分即為階躍函數(shù)，表示斜坡信號的速度變化。當

R=1時，稱為單位斜坡信號。某些隨動系統(tǒng)中位置作等速移動的指令信號、數(shù)控機床加工斜面時的進給指令等可視為斜坡信號。

斜坡信號的拉普拉斯變換為3.加速度信號

加速度信號如圖3-1-3所示，其數(shù)學表達式為

加速度信號的一次微分為斜坡信號，二次微分為階躍信號。當R

=

1時，稱為單位加速度信號。

加速度信號的拉普拉斯變換為4.脈沖信號

脈沖信號可視為一個持續(xù)時間極短的信號，如圖3-1-4所示，其數(shù)學表達式為其中

h為脈沖寬度，

A等于脈沖面積。若對脈沖寬度

h取趨于零的極限，則有及

當

時，稱此脈沖函數(shù)為理想單位脈沖函數(shù)，記

為。理想單位脈沖信號的拉普拉斯變換為5.正弦信號

正弦信號也是常用的典型輸入信號之一。正弦信號如圖3-1-5所示，其數(shù)學表達式為海浪對艦艇的擾動力、伺服振動臺的輸入指令、電源的波動、電源及機械振動的噪聲等，均可視為正弦信號。其中

為正弦信號的振幅(幅值)，

為正弦信號的角頻率。

正弦信號的拉普拉斯變換為3.1.2動態(tài)過程與穩(wěn)態(tài)過程

在典型輸入信號作用下，任何一個控制系統(tǒng)的時間響應都由動態(tài)過程和穩(wěn)態(tài)過程兩部分組成。1.動態(tài)過程

動態(tài)過程又稱為過渡過程、暫態(tài)過程或瞬態(tài)過程，是指系統(tǒng)在典型輸入信號作用下，輸出量從初始狀態(tài)到接近最終狀態(tài)的響應過程。由于系統(tǒng)結構和參數(shù)選擇不同，動態(tài)過程一般表現(xiàn)為衰減、發(fā)散或等幅振蕩形式。顯然，一個可以實際運行的控制系統(tǒng)，其動態(tài)過程必須是衰減的，換句話說，系統(tǒng)必須是穩(wěn)定的。動態(tài)過程除提供系統(tǒng)穩(wěn)定性的信息外，還可以提供響應速度及阻尼情況等信息，這些信息用動態(tài)性能描述。3.1.2動態(tài)過程與穩(wěn)態(tài)過程2.穩(wěn)態(tài)過程

穩(wěn)態(tài)過程又稱穩(wěn)態(tài)響應，是指系統(tǒng)在典型輸入信號作用下，當時間t趨于無窮時，系統(tǒng)的輸出狀態(tài)。表征系統(tǒng)輸出量最終復現(xiàn)輸入量的程度，提供系統(tǒng)有關穩(wěn)態(tài)精度的信息，用穩(wěn)態(tài)性能描述。3.1.3時域性能指標1.動態(tài)性能指標

一般認為，階躍輸入對系統(tǒng)而言是較為嚴峻的工作狀態(tài)。如果系統(tǒng)在階躍信號作用下的動態(tài)性能滿足要求，那么系統(tǒng)在其他形式的信號作用下，其動態(tài)性能也是令人滿意的。故通常以階躍響應來衡量系統(tǒng)的動態(tài)性能。對于圖3-1-6所示的單位階躍響應曲線，其動態(tài)性能指標定義如下。(1)延遲時間

：指響應曲線第一次到達終值的

所需要的時間。

(2)上升時間

：指響應曲線由終值的

上升到終值的

所需要的時間。對有振蕩的系統(tǒng)，定義為從零開始第一次上升到終值所需要的時間。

(3)

峰值時間

：指響應曲線超過終值達到第一個峰值(即最大峰值)所需要的時間。

(4)調(diào)節(jié)時間

：指響應曲線到達并保持在終值

或

誤差帶內(nèi)所需要的最短時間。(5)超調(diào)量

：指在響應過程中，超出終值

的最大偏離量與終值的百分比，即上述各種性能指標中，

、

和

反映了動態(tài)過程的快速性；

反映了動態(tài)過程的平穩(wěn)性；而

則是同時反映系統(tǒng)快速性和阻尼程度的綜合性指標。2.穩(wěn)態(tài)性能指標

穩(wěn)態(tài)誤差

是描述系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)性能的指標，是指當時間

趨于無窮時，系統(tǒng)輸出響應的期望值與實際值之差，即

穩(wěn)態(tài)誤差

反映了控制系統(tǒng)復現(xiàn)或跟蹤輸入信號的能力，是系統(tǒng)控制精度或抗擾動能力的一種度量。3.2一階系統(tǒng)的動態(tài)性能分析

凡是由一階微分方程描述的系統(tǒng)稱為一階系統(tǒng)。一些控制元部件及簡單的系統(tǒng)，如

網(wǎng)絡、發(fā)電機勵磁控制系統(tǒng)、室溫調(diào)節(jié)系統(tǒng)和水位控制系統(tǒng)等，都可視為一階系統(tǒng)。有些高階系統(tǒng)的特性，?？捎靡浑A系統(tǒng)的特性來近似表征。3.2.1一階系統(tǒng)的數(shù)學模型一階系統(tǒng)的微分方程為式中，r(t)

和

c(t)

分別為系統(tǒng)的輸入信號和輸出信號；

T為時間常數(shù)，具有時間“秒”的量綱。在零初始條件下對式兩邊取拉普拉斯變換，可得傳遞函數(shù)為相應一階系統(tǒng)的結構圖如圖3-2-1所示。1.一階系統(tǒng)的單位階躍響應

下面分析一階系統(tǒng)在典型輸入信號作用下的時間響應，設系統(tǒng)的初始條件為零。3.2.2一階系統(tǒng)的時間響應設輸入信號為單位階躍函數(shù)

，其拉普拉斯變換為

，則系統(tǒng)輸出的拉普拉斯變換為

對上式兩邊取拉普拉斯反變換，可得一階系統(tǒng)的單位階躍響應為。圖3-2-2一階系統(tǒng)的單位階躍響應曲線

由式可見，響應由穩(wěn)態(tài)分量1和瞬態(tài)分量

兩部分組成。當時間

時，瞬態(tài)分量衰減為零，穩(wěn)態(tài)輸出為1。顯然，單位階躍響應曲線是一條由零開始，按指數(shù)規(guī)律上升并最終趨于1的曲線，如圖3-2-2所示。一階系統(tǒng)單位階躍響應具有以下兩個重要特征。表3-2-1時間常數(shù)T與輸出值的對應關系(1)時間常數(shù)

是表征系統(tǒng)響應特性的唯一參數(shù)，它與輸出值的對應關系如表3-2-1所示。根據(jù)這一特點，可用實驗方法測定一階系統(tǒng)的時間常數(shù)，或判定所測系統(tǒng)是否屬于一階系統(tǒng)。(2)響應曲線的斜率初始值等于

，即上式表明，一階系統(tǒng)的單位階躍響應如果以初始速度等速上升至穩(wěn)態(tài)值1時，所需要的時間恰好為

。這一特點為用實驗方法求取系統(tǒng)的時間常數(shù)

提供了依據(jù)。

根據(jù)動態(tài)性能指標定義，可知一階系統(tǒng)的階躍響應沒有超調(diào)量

和峰值時間

，其主要動態(tài)性能指標為調(diào)節(jié)時間

，由于

時，輸出響應可達穩(wěn)態(tài)值的

，

時，輸出響應可達穩(wěn)態(tài)值的

，故一般取(取

誤差帶)(取

誤差帶)顯然，時間常數(shù)

越小，調(diào)節(jié)時間

越小，響應過程的快速性也越好。圖3-2-3反饋系統(tǒng)的結構圖例3-1已知原系統(tǒng)傳遞函數(shù)為

，現(xiàn)采用如圖3-2-3所示的負反饋方式，欲將反饋系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時間減小為原來的十分之一，并且保證原放大倍數(shù)不變，試確定參數(shù)

和

的取值。解：依題意可知原系統(tǒng)的時間常數(shù)

T=

0.5s，放大倍數(shù)K=10

。要求采用負反饋后系統(tǒng)的時間常數(shù)為T'=0.5

x

0.1

=

0.05，放大倍數(shù)K'=10。由結構圖可知，反饋系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為應有

解得

，

。

2.一階系統(tǒng)的單位脈沖響應

設輸入信號為理想單位脈沖函數(shù)

，其拉普拉斯變換為

，則系統(tǒng)輸出量的拉普拉斯變換式為。對上式兩邊求拉普拉斯反變換，可得一階系統(tǒng)的單位脈沖響應為

相應的響應曲線如圖3-2-4所示。由圖可見，一階系統(tǒng)的單位脈沖響應為一單調(diào)衰減的指數(shù)曲線，其斜率初始值為

圖3-2-4一階系統(tǒng)的單位脈沖響應曲線3.一階系統(tǒng)的單位斜坡響應對上式兩邊求拉普拉斯反變換，可得一階系統(tǒng)的單位斜坡響應為

設輸入信號為理想單位脈沖函數(shù)

，其拉普拉斯變換為

，則系統(tǒng)輸出量的拉普拉斯變換式為。由式(3-2-7)可見，響應由穩(wěn)態(tài)分量

和瞬態(tài)分量

兩部分組成。當時

，瞬態(tài)分量衰減為零，而穩(wěn)態(tài)分量是一個與輸入斜坡函數(shù)斜率相同但時間滯后

的斜坡函數(shù)。單位斜坡響應曲線如圖3-2-5所示。由圖可見，一階系統(tǒng)在跟蹤單位斜坡輸入信號時，在位置上存在穩(wěn)態(tài)誤差，其值正好等于時間常數(shù)

。

圖3-2-5一階系統(tǒng)的單位斜坡響應曲線4.一階系統(tǒng)的單位加速度響應對上式兩邊求拉普拉斯反變換，可得一階系統(tǒng)的單位加速度響應為

設輸入信號為理想單位脈沖函數(shù)

，其拉普拉斯變換為

，則系統(tǒng)輸出量的拉普拉斯變換式為。將一階系統(tǒng)在典型輸入作用下的輸出響應歸納如表3-2-2所示。3.2.3一階系統(tǒng)的重要特性表3-2-1時間常數(shù)T與輸出值的對應關系由表3-2-2得到如下結論：(1)一階系統(tǒng)只有時間常數(shù)

這一特征參數(shù)。在一定的輸入信號作用

下，時間響應由時間常數(shù)

唯一確定。(2)比較一階系統(tǒng)對脈沖、階躍、斜坡和加速度輸入信號的響應，可以發(fā)現(xiàn)有如下關系上式表明，系統(tǒng)對輸入信號微分(或積分)的響應，就等于系統(tǒng)對該輸入信號響應的微分(或積分)，該結論適用于任何線性定常連續(xù)系統(tǒng)。因此，研究線性定常連續(xù)系統(tǒng)的響應時，不必對每種輸入信號的響應都進行計算或求解，只要求解出其中一種響應，便可通過上述關系求出其他響應。因此，在以后對二階和高階系統(tǒng)的討論中，主要研究系統(tǒng)的階躍響應。3.2.4MATLAB實現(xiàn)在MATLAB中，提供了求取各種連續(xù)系統(tǒng)時間響應的函數(shù)，其調(diào)用格式如下y=step(num,den,t)%當不帶輸出變量y時，step命令可直接繪制階躍響應曲線。其中num和den分別為系統(tǒng)傳遞函數(shù)的分子和分母多項式的系數(shù)按降冪排列構成的系數(shù)行向量。t為選定的仿真時間向量，一般可由t=0:step:end等步長地產(chǎn)生，可缺省。y=impulse(num,den,t)%當不帶輸出變量y時，impulse命令可直接繪制脈沖響應曲線。t用于設定仿真時間，可缺省。y=lsim(num,den,u,t,x0)%當不帶輸出變量y時，lsim命令可直接繪制任意輸入響應曲線。其中u表示輸入，t用于設定仿真時間，可缺省，x0用于設定初始狀態(tài)，缺省時為0。解：MATLAB程序如下。clc;clearnum=[1];den=[11];sys=tf(num,den);t=0:0.01:5;subplot(2,2,1);step(sys,t);gridxlabel('t');ylabel('c(t)');title('stepresponse');subplot(2,2,2);impulse(sys,t);grid例3-1已知原系統(tǒng)傳遞函數(shù)為

，試用MATLAB繪制系統(tǒng)在單位階躍、單位脈沖、單位斜坡和單位加速度輸入時的輸出響應曲線。xlabel('t');ylabel('c(t)');title('impulseresponse');subplot(2,2,3);lsim(sys,t,t,0);gridxlabel('t');ylabel('c(t)');title('rampresponse');subplot(2,2,4);lsim(sys,1/2.*t.^2,t,0)xlabel('t');ylabel('c(t)');title('accelerationresponse');grid;運行結果如圖3-2-6所示。圖3-2-6一階系統(tǒng)輸出響應曲線3.3二階系統(tǒng)的動態(tài)性能分析

凡是由二階微分方程描述的系統(tǒng)，稱為二階系統(tǒng)?？刂乒こ讨卸A系統(tǒng)應用非常廣泛，如無源

網(wǎng)絡、彈簧-質(zhì)量塊-阻尼器機械位移系統(tǒng)、忽略電樞電感的電動機等都是典型的二階系統(tǒng)。許多高階系統(tǒng)在一定的條件下，常?？梢越瞥啥A系統(tǒng)。因此，深入研究二階系統(tǒng)的性能，具有重要的實際意義。3.3.1二階系統(tǒng)的數(shù)學模型二階系統(tǒng)的微分方程為在零初始條件下對上式兩邊取拉普拉斯變換，可得二階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為式中，r(t)

和

c(t)

分別為分別為二階系統(tǒng)的輸入量和輸出量，T為時間常數(shù)，單位為s，

為阻尼比(或相對阻尼系數(shù))，無量綱。引入?yún)?shù)

，稱作二階系統(tǒng)的自然頻率(或無阻尼振蕩頻率)，單位為

，則式可寫為

上式為二階系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的標準形式，相應結構圖如圖3-3-1所示。顯然，二階系統(tǒng)的時間響應取決于

和

這兩個特征參數(shù)。圖3-3-1二階系統(tǒng)結構圖二階系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為閉環(huán)特征根為由式可見，閉環(huán)特征根的性質(zhì)與阻尼比

有關。當

為不同值時，所對應的單位階躍響應有不同的形式。3.3.2二階系統(tǒng)的單位階躍響應當

時，系統(tǒng)處于無阻尼狀態(tài)。系統(tǒng)閉環(huán)特征根為一對共軛純虛根設輸入信號為單位階躍函數(shù)，則系統(tǒng)輸出量的拉普拉斯變換式為

兩邊取拉普拉斯反變換，求得單位階躍響應為

上式表明，無阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應為等幅振蕩形式，振蕩角頻率為

。

1.無阻尼

二階系統(tǒng)的單位階躍響應設輸入信號為單位階躍函數(shù)，則系統(tǒng)輸出量的拉普拉斯變換式為

2.欠阻尼

二階系統(tǒng)的單位階躍響應當

時，系統(tǒng)處于欠阻尼狀態(tài)。閉環(huán)特征根為一對共軛復根其中

為阻尼振蕩頻率。上式兩邊取拉普拉斯反變換，可得單位階躍響應為

式中，

稱為阻尼角。阻尼角

與阻尼比

及閉環(huán)特征根之間對應關系如圖3-3-2所示。

圖3-3-2

與

及閉環(huán)特征根的對應關系可見，欠阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應由穩(wěn)態(tài)分量和瞬態(tài)分量兩部分組成。穩(wěn)態(tài)分量為1，瞬態(tài)分量是一個隨時間增長而衰減的正弦振蕩過程，其衰減速度取決于

值的大小，振蕩頻率為阻尼振蕩頻率

。當

時，瞬態(tài)分量衰減為零，穩(wěn)態(tài)輸出為1。設輸入信號為單位階躍函數(shù)，則系統(tǒng)輸出量的拉普拉斯變換式為

3.臨界阻尼

二階系統(tǒng)的單位階躍響應當

時，系統(tǒng)處于臨界阻尼狀態(tài)。系統(tǒng)閉環(huán)特征根為一對相等的負實根兩邊取拉普拉斯反變換，求得單位階躍響應為

可見，臨界阻尼

二階系統(tǒng)的單位階躍響應是穩(wěn)態(tài)值為1的無振蕩單調(diào)上升過程。為便于計算，令

當

時，系統(tǒng)處于過阻尼狀態(tài)。閉環(huán)特征根為兩個不相等的負實數(shù)根，即4.過阻尼

二階系統(tǒng)的單位階躍響應稱

為過阻尼二階系統(tǒng)的時間常數(shù)，且有

。設輸入信號為單位階躍函數(shù)，則系統(tǒng)輸出量的拉普拉斯變換式為

可見，過阻尼

二階系統(tǒng)的單位階躍響應包含兩個單調(diào)衰減的指數(shù)項，響應是非振蕩的。兩邊取拉普拉斯反變換，可得單位階躍響應為圖3-3-3為二階系統(tǒng)在不同阻尼比時的單位階躍響應曲線。由圖可見，

越小，系統(tǒng)響應振蕩越激烈。當

時，

變成單調(diào)上升的為非振蕩過程。

圖3-3-3二階系統(tǒng)的單位階躍響應曲線3.3.3二階系統(tǒng)的動態(tài)性能指標1.欠阻尼二階系統(tǒng)的動態(tài)性能指標(1)上升時間tr根據(jù)上升時間的定義，令

c(tr)=1，得即

由于

，只能

，由此得

因此上升時間為

由式可見，當阻尼比

一定時，阻尼角

不變，上升時間

與

成反比；而當阻尼振蕩頻率

一定時，阻尼比越小，上升時間越短。(2)峰值時間tp峰值時間是指響應曲線第一次達到峰值所對應的時間。將式(3-3-7)對求導，并令其為零，可得即

整理得

當

時，

。根據(jù)峰值時間定義，應取

，

即有輸出量的最大值為根據(jù)超調(diào)量定義有

由于

(3)超調(diào)量因此超調(diào)量為上式表明，超調(diào)量

僅是阻尼比

的函數(shù)，與無阻尼振蕩頻率

無關。與的關系如圖3-3-4所示，由圖可見，阻尼比越大，超調(diào)量越小，反之亦然。一般地，當

取時，相應超調(diào)量為

。圖3-3-4

和

的關系(4)調(diào)節(jié)時間

tr調(diào)節(jié)時間

是指輸出量

與穩(wěn)態(tài)值

之間的偏差達到允許范圍(一般

取

或

)且不再超出的最短時間，即欠阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應的包絡線為

，響應曲線總是在上、下包絡線之間，如圖3-3-5所示。為簡便起見，往往采用

的包絡線近似代替

，并考慮到

，則兩邊取自然對數(shù)得

由上式表明，調(diào)節(jié)時間與閉環(huán)極點的實部數(shù)值成反比，即閉環(huán)極點距虛軸的距離越遠，系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時間越短。

分別取

或

，并考慮到較小的阻尼比

時，

，則(取

誤差帶)(取

誤差帶)圖3-3-5調(diào)節(jié)時間的近似計算圖3-3-6

與

的關系曲線值得注意的是，采用包絡線代替實際響應估算調(diào)節(jié)時間，所得結果略偏保守。圖3-3-6給出了當

時，調(diào)節(jié)時間

與阻尼比

之間的關系曲線。對于

誤差帶，當

時，調(diào)節(jié)時間最短，即快速性最好，同時超調(diào)量約為

，平穩(wěn)性也較好，故稱

為最佳阻尼比。

上面求得的

和

與二階系統(tǒng)特征參數(shù)

和

之間的關系是分析二階系統(tǒng)動態(tài)性能的基礎。若已知

和

的值，則可以計算出各個性能指標。另一方面，也可以根據(jù)對系統(tǒng)動態(tài)性能要求，由性能指標確定二階系統(tǒng)的特征參數(shù)

和

。

圖3-3-7二階系統(tǒng)結構圖例3-3已知二階系統(tǒng)的結構圖如圖3-3-7所示。當輸入信號為單位階躍函數(shù)時，試計算系統(tǒng)響應的上升時間、峰值時間、調(diào)節(jié)時間和超調(diào)量。系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為

解：將其與二階系統(tǒng)標準式相比較，可得因此

圖3-3-8系統(tǒng)結構圖及單位階躍響應曲線例3-4已知某二階系統(tǒng)的結構圖及單位階躍響應曲線分別如圖3-3-8(a)、圖3-3-8(b)所示，試確定系統(tǒng)參數(shù)

、

和

。解：系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為

由拉普拉斯變換終值定理可得

求得

。由解得

，

。與二階系統(tǒng)傳遞函數(shù)標準式比較，得

因此有

,

。

2.過阻尼二階系統(tǒng)的動態(tài)性能指標當

時，過阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應是從0到1的單調(diào)上升過程，超調(diào)量

為0，用調(diào)節(jié)時間

即可描述系統(tǒng)的動態(tài)性能。然而，由式(3-3-9)確定的表達式比較困難。一般可由式(3-3-9)取相對變量

及

經(jīng)計算機解算后制成曲線或表格以供查用。圖3-3-9是取5%誤差帶的調(diào)節(jié)時間特性曲線，根據(jù)已知的及值在圖3-3-9上可以查出相應的

。

圖3-3-9過阻尼二階系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時間特性曲線由圖3-3-9可以看出，當T1

=T2

即

的臨界情況，調(diào)節(jié)時間

ts

=4.75T1

；當T1

>4T2

即過阻尼二階系統(tǒng)第二個閉環(huán)極點的數(shù)值比第一個閉環(huán)極點的數(shù)值大四倍以上時，系統(tǒng)可等效為具有

閉環(huán)極點的一階系統(tǒng)，此時取調(diào)節(jié)時間

，相對誤差不超過10%。在控制工程中，通常都希望控制系統(tǒng)具有適度的阻尼、較快的響應速度和較短的調(diào)節(jié)時間。因此二階控制系統(tǒng)的設計，一般取

，使系統(tǒng)處于欠阻尼狀態(tài)。對于一些不允許出現(xiàn)超調(diào)，例如液體控制系統(tǒng)，超調(diào)會導致液體溢出，或大慣性(例如加熱裝置)的控制系統(tǒng)，則可取

，使系統(tǒng)處于過阻尼狀態(tài)。

通過前面二階系統(tǒng)各項動態(tài)性能指標的計算式可以看出，各指標之間是有矛盾的。例如上升時間和超調(diào)量，即響應速度和阻尼程度不能同時達到滿意的結果。因此為了兼顧響應的快速性和平穩(wěn)性以及系統(tǒng)的動態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能要求，必須研究其他控制方式，以改善二階系統(tǒng)的性能。比例-微分控制和測速反饋是常用的兩種改善二階系統(tǒng)性能的方法。3.3.4二階系統(tǒng)性能的改善1.比例-微分控制比例-微分控制的二階系統(tǒng)結構圖如圖3-3-10所示。圖中

為誤差信號，

為微分時間常數(shù)。圖3-3-10比例-微分控制系統(tǒng)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為閉環(huán)傳遞函數(shù)為相應開環(huán)增益為等效阻尼比為則以上分析可見，引入比例-微分控制后，系統(tǒng)的無阻尼振蕩頻率

不變，等效阻尼比加大

，從而使系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時間縮短，超調(diào)量減小，改善了系統(tǒng)的動態(tài)性能。另外由上式可以看出，引入比例-微分控制后，系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)出現(xiàn)了附加閉環(huán)零點

。閉環(huán)零點的存在，將會使系統(tǒng)響應速度加快，削弱“阻尼”的作用，因此選擇微分時間常數(shù)

時，要折中考慮閉環(huán)零點對系統(tǒng)響應速度和阻尼程度的影響。2.測速反饋控制圖3-3-11測速反饋控制系統(tǒng)測速反饋控制的二階系統(tǒng)結構圖如圖3-3-11所示，圖中

為誤差信號，

為輸出量的速度反饋系數(shù)。開環(huán)傳遞函數(shù)為閉環(huán)傳遞函數(shù)為相應開環(huán)增益為等效阻尼比為則由以上分析可見，引入測速反饋控制后，同樣使系統(tǒng)的無阻尼振蕩頻率

不變、等效阻尼比增大

，從而達到了改善系統(tǒng)動態(tài)性能的目的。

由于測速反饋沒有附加閉環(huán)零點的影響，因此與比例-微分控制對系統(tǒng)動態(tài)性能的改善程度是不同的。此外測速反饋的加入，會使系統(tǒng)開環(huán)增益降低，在3.6節(jié)中將會看到，這使得系統(tǒng)在跟蹤斜坡輸入時的穩(wěn)態(tài)誤差有所增加。因此在設計測速反饋控制系統(tǒng)時，一般可適當增大原系統(tǒng)的開環(huán)增益，以補償測速反饋控制引起的開環(huán)增益損失。3.兩種控制方案的比較綜上所述，比例-微分控制與測速反饋控制都可以改善二階系統(tǒng)的動態(tài)性能，但是二者改善系統(tǒng)性能的機理及應用場合是不同的，現(xiàn)簡述如下。(1)比例-微分環(huán)節(jié)位于系統(tǒng)的輸入端，微分作用對輸入噪聲有明顯的放大作用。當輸入端噪聲嚴重時，不宜選用比例-微分控制。由于微分器的輸入信號是低能量的誤差信號，要求比例-微分控制具有足夠的放大作用，為了不明顯惡化信噪比，需選用高質(zhì)量的前置放大器；測速反饋控制對輸入端噪聲有濾波作用，同時測速發(fā)電機的輸入信號能量水平較高，因此對系統(tǒng)組成元件沒有過高的質(zhì)量要求，使用場合比較廣泛。(2)比例-微分控制對系統(tǒng)的開環(huán)增益和無阻尼振蕩頻率均無影響；測速反饋控制雖不影響無阻尼振蕩頻率，但會降低開環(huán)增益，使得系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差有所增加，然而測速反饋控制能削弱內(nèi)部回路中被包圍部件的非線性特性、參數(shù)漂移等不利因素的影響。(3)比例-微分控制相當于在系統(tǒng)中加入了實零點，可以加快上升時間。在相同阻尼比的條件下，比例-微分控制系統(tǒng)的超調(diào)量大于測速反饋控制系統(tǒng)的超調(diào)量。(4)從實現(xiàn)角度看，比例-微分控制的線路結構簡單，成本較低；而測速反饋控制部件則較昂貴。例3-5某一位置隨動系統(tǒng)如圖3-3-12(a)所示，其中

。在該系統(tǒng)中引入測速反饋控制，其結構圖如圖3-3-12(b)所示，若要系統(tǒng)的等效阻尼比為

，試確定反饋系數(shù)

的值，并計算系統(tǒng)在引入測速反饋控制前后的調(diào)節(jié)時間和超調(diào)量。圖3-3-12位置隨動系統(tǒng)結構圖解：由圖3-3-12(a)可得原系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為

與二階系統(tǒng)標準式相比較，可得已知等效阻尼比

，當

時，即未引入測速反饋控制的系統(tǒng)調(diào)節(jié)時間和超調(diào)量分別為則當

時，即引入測速反饋控制的系統(tǒng)調(diào)節(jié)時間和超調(diào)量分別為上述計算表明，引入測速反饋控制后，系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時間減小、超調(diào)量下降，動態(tài)性能得到明顯改善。解：MATLAB程序如下。clc;cleart=[0:0.2:25];k=[10,0.5,0.09];fori=1:length(k)num=k(i);den=[1,1,0];G=tf(num,den);例3-6某一位置隨動系統(tǒng)如圖3-3-12(a)所示，試用MATLAB繪制開環(huán)增益分別為10,0.5,0.09時系統(tǒng)的單位階躍響應曲線。3.3.5MATLAB實現(xiàn)sys=feedback(G,1,-1);step(sys,t);holdon;endgtext('k=10');gtext('k=0.5');gtext('k=0.09');xlabel('t');ylabel('c(t)');title('stepresponse');gridon執(zhí)行該程序，運行結果如圖3-3-13所示。由圖可見，降低開環(huán)增益K能使阻尼比增大，超調(diào)量下降，可改善系統(tǒng)動態(tài)性能，但開環(huán)增益K降低太多，系統(tǒng)成為過阻尼二階系統(tǒng)，過渡過程過于緩慢，這也是不希望的。圖3-3-13單位階躍響應曲線例3-7某控制系統(tǒng)如圖3-3-14(a)所示，其中K=5，T=1.67s。分別采用比例-微分和測速反饋控制，系統(tǒng)結構如圖3-3-14(b)和3-3-14(c)所示，其中Kt

=

0.38。試利用MATLAB對比分析系統(tǒng)在單位階躍輸入作用下的性能。圖3-3-14系統(tǒng)結構圖解：MATLAB程序如下。clc;cleart=[0:0.1:20];num=[5];den=[1.6710];G0=tf(num,den);sys0=feedback(G0,1,-1);step(sys0,'r:',t);holdonnum1=[0.381];den1=[1];G1=tf(num1,den1);sys1=feedback(G0*G1,1,-1);step(sys1,'b-',t);holdonsys2=feedback(G0,G1,-1);step(sys2,'k--',t);holdonlegend('原系統(tǒng)','引入比例-微分','引入測速反饋');xlabel('t/s');ylabel('c(t)');title('stepresponse');gridon執(zhí)行該程序，運行結果如圖3-3-15所示，同時記錄各系統(tǒng)的性能指標如表3-3-2所示?？梢钥闯?，采用比例-微分和測速反饋控制后，系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時間減小、超調(diào)量下降，系統(tǒng)的動態(tài)性能得到明顯改善。由于引入比例-微分控制后，系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)出現(xiàn)了附加零點，使得在相同阻尼比的條件下，比例-微分控制系統(tǒng)的超調(diào)量大于測速反饋控制系統(tǒng)的超調(diào)量。圖3-3-15各系統(tǒng)的單位階躍響應曲線表3-3-2各系統(tǒng)的性能指標3.4高階系統(tǒng)的動態(tài)性能分析凡是由三階或三階以上微分方程描述的系統(tǒng)，稱為高階系統(tǒng)。在控制工程中，幾乎所有的控制系統(tǒng)都是高階系統(tǒng)。確定高階系統(tǒng)的動態(tài)性能指標是比較復雜的，工程上常利用閉環(huán)主導極點的概念對高階系統(tǒng)進行近似分析或直接應用MATLAB軟件進行高階系統(tǒng)分析。3.4.1高階系統(tǒng)的數(shù)學模型高階系統(tǒng)的微分方程式為設初始條件為零，對上式兩邊取拉普拉斯變換，可求出系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)。式中，

；

為系統(tǒng)的閉環(huán)極點；

為系統(tǒng)的閉環(huán)零點。

設閉環(huán)系統(tǒng)

n個閉環(huán)極點中，有

n1

個實數(shù)極點，n2

對共軛復數(shù)極點，且閉環(huán)極點互不相等。由于一對共軛復數(shù)極點形成一個

s

的二階項，因此，式(3-4-2)的因式包括一階項和二階項，故3.4.2高階系統(tǒng)的單位階躍響應

當輸入為單位階躍信號時，高階系統(tǒng)輸出量的拉普拉斯變換式為

將上式展開成部分分式，可得其中，A0

為

C(s)

在原點處的留數(shù)，

Al

為

C(s)

在實數(shù)極點sl

處的留數(shù)，其值為Bk

和Ck

為與

C(s)

在閉環(huán)復數(shù)極點

處的留數(shù)有關的常系數(shù)

對式(3-4-5)兩邊取拉普拉斯反變換，可得高階系統(tǒng)的單位階躍響應為根據(jù)式(3-4-6)可以得到以下結論。(1)高階系統(tǒng)的單位階躍響應包含穩(wěn)態(tài)分量和瞬態(tài)分量兩部分。其中穩(wěn)態(tài)分量A0

與時間

t

無關，瞬態(tài)分量與時間

t

有關，包括指數(shù)項、正弦和余弦項。(2)若所有閉環(huán)極點都分布在

s左半平面，即如果所有實數(shù)極點為負值，所有共軛復數(shù)極點具有負實部，當時間t

趨于無窮大時，瞬態(tài)分量衰減為零，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)輸出為A0

，這種情況高階系統(tǒng)是穩(wěn)定的。穩(wěn)定是系統(tǒng)能正常工作的首要條件，有關這方面的內(nèi)容，將在3.5節(jié)中作較詳細的闡述。(3)瞬態(tài)分量衰減的快慢取決于閉環(huán)極點離虛軸的距離。閉環(huán)極點離虛軸越遠，相應瞬態(tài)分量衰減越快，對系統(tǒng)動態(tài)響應影響越小。反之，閉環(huán)極點離虛軸越近，相應的瞬態(tài)分量衰減越慢，對動態(tài)響應影響越大。(4)瞬態(tài)分量的幅值（即部分分式系數(shù)）與閉環(huán)極點、零點在s平面中的位置有關。若某極點離原點很遠，那么相應瞬態(tài)分量幅值很??；若某極點靠近閉環(huán)零點又遠離原點及其他極點，相應瞬態(tài)分量的幅值也很小。工程上常把處于這種情況的閉環(huán)零點、極點，稱之為偶極子。偶極子對瞬態(tài)分量影響較小的現(xiàn)象，稱之為零、極點相消；若某極點遠離零點又接近原點，相應瞬態(tài)分量幅值大，對系統(tǒng)動態(tài)響應影響較大。3.4.3高階系統(tǒng)的分析方法

由以上高階系統(tǒng)單位階躍響應的求解過程和討論可知，對高階系統(tǒng)的分析是十分煩瑣的事情。為簡單和方便起見，在控制工程中常常利用下面介紹的閉環(huán)主導極點對高階系統(tǒng)進行近似分析。實踐表明，這種近似分析方法是行之有效的。

對于穩(wěn)定的高階系統(tǒng)，如果存在離虛軸最近的閉環(huán)極點，且其附近沒有閉環(huán)零點，而其他閉環(huán)極點又遠離虛軸，那么距虛軸最近的閉環(huán)極點所對應的瞬態(tài)分量，隨時間的推移衰減緩慢，在系統(tǒng)的動態(tài)響應過程中起主導作用，這樣的閉環(huán)極點稱為閉環(huán)主導極點。除閉環(huán)主導極點外，其他閉環(huán)極點由于其對應的瞬態(tài)分量隨時間的推移迅速衰減，對系統(tǒng)的動態(tài)響應過程影響甚微，因而統(tǒng)稱為非主導極點。實際工程中，一般非主導極點的實部比閉環(huán)主導極點的實部大6倍以上時，則非主導極點的作用可以忽略。有時甚至比主導極點的實部大2～3倍的非主導極點也可忽略不計。

在對高階系統(tǒng)進行分析時，常根據(jù)閉環(huán)主導極點的概念將高階系統(tǒng)近似為一、二階系統(tǒng)進行分析。同樣，在設計高階系統(tǒng)時，也常常利用主導極點的概念選擇系統(tǒng)參數(shù)，使系統(tǒng)具有一對共軛主導極點，以便于近似地按二階系統(tǒng)的性能指標設計系統(tǒng)。

若高階系統(tǒng)不滿足應用閉環(huán)主導極點的條件，則高階系統(tǒng)不能近似為一、二階系統(tǒng)。這時高階系統(tǒng)的動態(tài)過程必須具體求解。應當指出，利用MATLAB軟件，可以很容易求出高階系統(tǒng)的輸出響應及繪制出相應的響應曲線，這給高階系統(tǒng)的分析和設計帶來了方便。解：這是一個三階系統(tǒng)，可以求得三個閉環(huán)極點分別為該系統(tǒng)的實數(shù)極點與復數(shù)極點距離虛軸距離之比為10.5，故復數(shù)極點可視為閉環(huán)主導極點，因此該三階系統(tǒng)可以用具有這一對復數(shù)極點的二階系統(tǒng)近似。近似的二階系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為

例3-8某控制系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為

試估算系統(tǒng)的動態(tài)性能指標

和

。由二階系統(tǒng)性能指標計算公式，可求出

注意近似后的二階系統(tǒng)應與原高階系統(tǒng)具有相同的閉環(huán)增益，以保證階躍響應終值相同。將其與二階系統(tǒng)標準式相比較，可得

，

。

解：MATLAB程序如下。clc;cleart=[0:0.1:25];tf1=tf([0,2.688],conv([1,4.2],[1,0.8,0.64]));step(tf1,'b-',t);holdon;tf2=tf(0.64,[1,0.8,0.64]);step(tf2,'r--',t);legend('原系統(tǒng)階躍響應','降階系統(tǒng)階躍響應');xlabel('t/s');ylabel('c(t)');title('stepresponse')gridon例3-9利用MATLAB繪制例3-8降階前后系統(tǒng)的單位階躍響應曲線，并比較降階前后系統(tǒng)的性能指標。3.4.4MATLAB實現(xiàn)執(zhí)行命令后，運行結果如圖3-4-1所示，同時記錄降階前后系統(tǒng)的性能指標如表3-4-1所示?？梢钥闯?，當系統(tǒng)存在一對閉環(huán)主導極點時，三階系統(tǒng)可降階為二階系統(tǒng)進行分析，其結果不會帶來太大的誤差。圖3-4-1單位階躍響應曲線表3-4-1降階前后系統(tǒng)的性能指標解：clc;clearnum=[1,7,24,24];den=[1,10,35,50,24,0];[r,p,k]=residue(num,den)例3-10某控制系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為試應用MATLAB求解該系統(tǒng)的單位階躍響應表達式。當輸入為單位階躍信號時，系統(tǒng)輸出量的拉普拉斯變換式為

MATLAB程序如下。執(zhí)行該程序，運行結果為r=-1.00002.0000-1.0000-1.00001.0000p=-4.0000-3.0000-2.0000-1.00000k=[]即系統(tǒng)輸出量的部分分式展開式為因此該系統(tǒng)的單位階躍響應時域表達式為3.5線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

穩(wěn)定是控制系統(tǒng)的重要性能，也是系統(tǒng)能夠正常運行的首要條件。分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并提出確保系統(tǒng)穩(wěn)定的條件，是自動控制理論的基本任務之一。本節(jié)主要研究線性系統(tǒng)穩(wěn)定的概念、穩(wěn)定的充要條件和穩(wěn)定的代數(shù)判定方法等內(nèi)容。3.5.1穩(wěn)定性的概念

為了建立穩(wěn)定性的概念，首先通過一個直觀的例子來說明穩(wěn)定的含義。

圖3-5-1(a)表示小球在一個光滑的凹面里，原平衡位置為A，在外界擾動作用下，小球偏離了原平衡位置A，當外界擾動消失后，小球在重力和阻力的作用下，經(jīng)過來回幾次減幅擺動，最終可以回到原平衡位置A，稱具有這種特性的平衡是穩(wěn)定的。反之，若小球處于圖3-5-1(b)所示的平衡位置B，在外界擾動作用下偏離了原平衡位置B，當外界擾動消失后，無論經(jīng)過多長時間，小球也不可能再回到原平衡位置B，稱具有這種特性的平衡是不穩(wěn)定的。

通過上面關于穩(wěn)定性的直觀示例可以看出，任何系統(tǒng)在擾動作用下都會偏離平衡狀態(tài)，產(chǎn)生初始偏差。當擾動消失后，若系統(tǒng)能以足夠的準確度恢復到原來的平衡狀態(tài)，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的；若系統(tǒng)在擾動作用消失后不能恢復原來的平衡狀態(tài)，且偏差越來越大，則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。由此可知，穩(wěn)定性是表征系統(tǒng)在擾動消失后自身的一種恢復能力，因而它是系統(tǒng)的一種固有特性。對于線性系統(tǒng)來講，其穩(wěn)定性僅取決于系統(tǒng)的結構和參數(shù)，而與初始條件及外作用無關。3.5.2線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件即輸出增量收斂于原平衡點，則線性系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

設線性系統(tǒng)在零初始條件下，作用一個理想單位脈沖

，這時系統(tǒng)的輸出增量為脈沖響應

。這相當于系統(tǒng)在擾動信號作用下，輸出信號偏離原平衡點的問題。若

時，脈沖響應(3-5-1)

由于理想單位脈沖

的拉普拉斯變換等于1，所以系統(tǒng)的單位脈沖響應即為閉環(huán)傳遞函數(shù)的拉普拉斯反變換。如同3.4節(jié)所假設的那樣，若系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)有

個實數(shù)極點，

對共軛復數(shù)極點，且閉環(huán)極點彼此不等，系統(tǒng)的單位脈沖響應為

綜上所述，線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的所有根均具有負實部，也就是說，系統(tǒng)的全部閉環(huán)極點都位于s左半平面。

由式可見，當且僅當系統(tǒng)的特征根全部具有負實部時，式(3-5-1)才成立，即系統(tǒng)穩(wěn)定；若特征根中有一個或一個以上正實部根，脈沖響應c(t)

趨于發(fā)散，表明系統(tǒng)不穩(wěn)定；若特征根中具有一個或一個以上零實部根，而其余的特征根均具有負實部，脈沖響應

c(t)

趨于常數(shù)，或趨于等幅振蕩，則系統(tǒng)臨界穩(wěn)定，在工程上認為是不穩(wěn)定的。3.5.3勞斯穩(wěn)定判據(jù)由線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件可知，只要能夠求出系統(tǒng)的全部特征根，就可以判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。但對于三階或三階以上特征方程，求根是比較困難的。勞斯(E.J.Routh)于1877年提出了由特征方程的系數(shù)，直接利用代數(shù)方法判別特征根的分布位置，以此判別系統(tǒng)是否穩(wěn)定，這就是勞斯穩(wěn)定判據(jù)。設線性系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為1.穩(wěn)定的必要條件線性系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件是閉環(huán)特征方程各項系數(shù)均為正數(shù)。這是因為一個具有實系數(shù)的s

多項式，總可以分解成一次和二次因子，即

和

，式中

a、b

和c都是實數(shù)。一次因子具有實根，而二次因子則是復根。只有當b

和

c都是正值時，因子

才能具有負實部的根。所有因子中的常數(shù)

a、b

和

c都是正值是所有根都具有負實部的必要條件。任意個只包含正系數(shù)的一次和二次因子的乘積，必然也是一個具有正系數(shù)的多項式。因此，閉環(huán)特征方程若缺項或具有負的系數(shù)，系統(tǒng)便是不穩(wěn)定的。2.勞斯判據(jù)

如果閉環(huán)特征方程中所有系數(shù)均為正值，根據(jù)特征方程的系數(shù)編制勞斯表如表3-5-1所示。勞斯表的前兩行系數(shù)由特征方程系數(shù)組成，第一行由特征方程的第1,3,5,…項系數(shù)組成，第二行由特征方程的第2,4,6,…項系數(shù)組成，以后各行系數(shù)按表3-5-1逐行計算，直到計算到第(n

+1)行為止，而勞斯表第

(n

+1)行系數(shù)只有一個，恰好等于特征方程最后一項系數(shù)

a0。在計算勞斯表的過程中，可以用一個正整數(shù)去除或乘某一整行系數(shù)，這樣不會改變所得結論。

表3-5-1勞斯表

勞斯穩(wěn)定判據(jù)指出，系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是勞斯表第一列系數(shù)均為正數(shù)，若出現(xiàn)零或負數(shù)，系統(tǒng)不穩(wěn)定，且第一列系數(shù)符號改變的次數(shù)就是特征方程中正實部根的個數(shù)。解：列勞斯表為由于勞斯表第一列系數(shù)出現(xiàn)負數(shù)，故該系統(tǒng)不穩(wěn)定，且第一列系數(shù)符號改變了兩次，因此特征方程有兩個正實部根。例3-11已知線性系統(tǒng)的特征方程為

，試用勞斯穩(wěn)定判據(jù)分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。在列勞斯表時，可能遇到下面兩種特殊情況。(1)勞斯表中某一行第一個系數(shù)為零，其他系數(shù)不為零或不全為零。這時計算勞斯表下一行的第一個系數(shù)時，將出現(xiàn)無窮大而使勞斯表無法繼續(xù)進行，解決的辦法是用一個很小的正數(shù)

來代替這個零元素，使勞斯表繼續(xù)運算下去。觀察勞斯表第一列系數(shù)，若

的上下系數(shù)均為正數(shù)，則說明系統(tǒng)特征方程存在純虛根；若

的上下系數(shù)的符號不同，則符號改變的次數(shù)為特征方程正實部根的個數(shù)。解：列勞斯表為例3-12已知線性系統(tǒng)的特征方程為

，試用勞斯穩(wěn)定判據(jù)分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。由于

是很小的正數(shù)，所以

為負數(shù)，勞斯表第一列系數(shù)符號改變了兩次。因此，系統(tǒng)不穩(wěn)定，特征方程有兩個正實部根。(2)勞斯表中某行系數(shù)均為零。這種情況下勞斯表的計算工作也由于出現(xiàn)無窮大系數(shù)而無法繼續(xù)進行。為了解決這個問題，可以利用全零行的上一行系數(shù)構造一個輔助方程，再將輔助方程對復變量

s

求導一次后的系數(shù)代替全零行的系數(shù)，使勞斯表繼續(xù)運算下去。輔助方程的解就是原特征方程的部分特征根，這部分特征根對稱于原點，可能為一對共軛純虛根或者兩個大小相等符號相反的實根或者對稱于實軸的兩對共軛復數(shù)根。解：列勞斯表為例3-13已知線性系統(tǒng)的特征方程為

，試用勞斯穩(wěn)定判據(jù)分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。輔助方程將輔助方程求導一次，得由勞斯表可知，第一列系數(shù)均為正值，表明系統(tǒng)沒有在右半平面的特征根。求解輔助方程，得到兩對大小相等、符號相反的特征根為

。顯然，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。3.勞斯穩(wěn)定判據(jù)的應用(1)確定使系統(tǒng)穩(wěn)定的參數(shù)取值范圍勞斯穩(wěn)定判據(jù)除了可以判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性外，還可以用來確定使系統(tǒng)穩(wěn)定的參數(shù)取值范圍。例3-14某系統(tǒng)結構圖如圖3-5-2所示，試確定使系統(tǒng)穩(wěn)定時的

K取值范圍。解：系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為閉環(huán)特征方程為列勞斯表為根據(jù)勞斯穩(wěn)定判據(jù)，系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件為因此系統(tǒng)穩(wěn)定時K的取值范圍是

。(2)確定系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性勞斯穩(wěn)定判據(jù)解決了系統(tǒng)絕對穩(wěn)定性問題，但不能表明特征根距虛軸的遠近。如果一個系統(tǒng)的特征根緊靠虛軸，盡管是在s左半平面，滿足穩(wěn)定條件，但動態(tài)過程將具有緩慢的非周期特性或強烈的振蕩特性，甚至會由于系統(tǒng)內(nèi)部參數(shù)的微小變化，使特征根轉(zhuǎn)移到s右半平面，導致系統(tǒng)不穩(wěn)定。為了保證系統(tǒng)有一定的穩(wěn)定裕度，且具有良好的動態(tài)性能，希望特征根在s

左半平面且與虛軸有一定的距離。為此，可在s左半平面作一條

的直線，而

是系統(tǒng)特征根與虛軸之間的最小距離，通常稱為穩(wěn)定裕量，然后將

代入原特征方程，得到以s1為變量的新特征方程，對新特征方程應用勞斯穩(wěn)定判據(jù)，判斷特征根是否位于

直線的左半部分，

即具有

以上的穩(wěn)定裕量。整理后得列勞斯表為根據(jù)勞斯穩(wěn)定判據(jù)，系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件為例3-15

對于例3-14系統(tǒng)，若要使系統(tǒng)具有

以上的穩(wěn)定裕量，試確定

K的取值范圍。解：將

代人原系統(tǒng)的特征方程，得因此，當K滿足

，系統(tǒng)具有

以上的穩(wěn)定裕量。

僅僅通過調(diào)整參數(shù)無法穩(wěn)定的系統(tǒng)，稱為結構不穩(wěn)定系統(tǒng)。不穩(wěn)定的系統(tǒng)是不能夠工作的，必須從結構上對系統(tǒng)進行改造，使系統(tǒng)滿足穩(wěn)定的條件。3.5.4結構不穩(wěn)定系統(tǒng)及其改進圖3-5-3所示系統(tǒng)是一個結構不穩(wěn)定系統(tǒng)。該系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為由于閉環(huán)特征方程缺項，即

s一次項系數(shù)為零，故該系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，并且無論怎樣改變

K

和

Tm

的數(shù)值，都不能使系統(tǒng)穩(wěn)定。這是一個結構不穩(wěn)定系統(tǒng)，必須改變系統(tǒng)的結構才可能使之穩(wěn)定。令

，系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為1.改變積分環(huán)節(jié)的性質(zhì)用反饋環(huán)節(jié)

KH

包圍積分環(huán)節(jié)即可改變積分性質(zhì)。如圖3-5-4(a)所示，被包圍后的小閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為消除結構不穩(wěn)定常采用以下兩種方法：一種是設法改變積分環(huán)節(jié)的性質(zhì)；另一種是引入比例-微分控制，以填補特征方程的缺項?？梢?，積分環(huán)節(jié)已被改變成慣性環(huán)節(jié)。這樣，電動機及減速器中的積分性質(zhì)也被改變了。用反饋環(huán)節(jié)KH

包圍電動機及減速器，如圖3-5-4(b)所示，被包圍后小閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為特征方程不再缺項，只要適當選擇參數(shù)，便可以使系統(tǒng)穩(wěn)定。需要指出，通過改變積分環(huán)節(jié)性質(zhì)的方法可以改善系統(tǒng)的穩(wěn)定性，但改變了系統(tǒng)的型別，降低了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能。關于這個問題，在3.6節(jié)會有進一步的闡述。若將圖3-5-3所示的結構不穩(wěn)定系統(tǒng)的積分環(huán)節(jié)

用反饋環(huán)節(jié)

包圍后，系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程變?yōu)?.引入比例-微分環(huán)節(jié)若在3-5-3所示的結構不穩(wěn)定系統(tǒng)的前向通路中引入比例-微分環(huán)節(jié)，如圖3-5-4所示。系統(tǒng)的特征方程為根據(jù)勞斯穩(wěn)定判據(jù)，該系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是可見，引入比例-微分環(huán)節(jié)，適當選擇參數(shù)便可以使系統(tǒng)穩(wěn)定。判斷線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性，最直接的方法是求出系統(tǒng)的所有特征根，根據(jù)特征根是否位于左半平面確定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。MATLAB提供了求解特征根的函數(shù)roots()，其調(diào)用格式為p=roots(den)%求解系統(tǒng)特征根，其中den為特征多項式降冪排列的系數(shù)行向量；p為特征根。另外，MATLAB中的pzmap()函數(shù)可用于繪制系統(tǒng)的零極點圖，其調(diào)用格式為pzmap(num,den)%繪制系統(tǒng)的零極點圖，num和den分別為系統(tǒng)傳遞函數(shù)的分子和分母多項式的系數(shù)按降冪排列構成的系數(shù)行向量。零極點圖中的極點用“x”表示，零點用“o”表示。[p,z]=pzmap(num,den)%該調(diào)用格式不繪制系統(tǒng)的零極點圖，而是返回系統(tǒng)的零極點，其作用與tf2zp()函數(shù)相同。3.5.5MATLAB實現(xiàn)解：MATLAB程序如下。clc;clearnum=[1,5,6];den=[12176];p=roots(den)pzmap(num,den)例3-16某系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為

，

判斷該系統(tǒng)的穩(wěn)定性。執(zhí)行該程序，運行結果為圖3-5-6零極點分布圖p=0.6160+1.6011i0.6160-1.6011i-2.3727+0.0000i-0.8592+0.0000i由運行結果及零極點分布圖3-5-6可以看出，該系統(tǒng)有兩個負實根和一對具有正實部的共軛復數(shù)根，因此系統(tǒng)不穩(wěn)定。3.6線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差分析

在控制系統(tǒng)的分析與設計中，穩(wěn)態(tài)誤差是一項重要的性能指標，它是系統(tǒng)控制精度或抗擾動能力的一種度量，通常稱為穩(wěn)態(tài)性能。控制系統(tǒng)設計的任務之一是盡量減小系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，或者使穩(wěn)態(tài)誤差小于某一容許值。本節(jié)主要討論線性控制系統(tǒng)由于系統(tǒng)結構參數(shù)、輸入作用形式和類型所產(chǎn)生的原理性穩(wěn)態(tài)誤差，不包括由于元件的不靈敏區(qū)、機械間隙、零點漂移、老化等原因所引起的附加穩(wěn)態(tài)誤差。3.6.1誤差與穩(wěn)態(tài)誤差的定義假設控制系統(tǒng)的結構圖如圖3-6-1(a)所示，經(jīng)過等效變換可以化為圖3-6-1(b)的形式，系統(tǒng)的誤差通常有以下兩種定義方法。圖3-6-1控制系統(tǒng)的結構圖及等效變換圖1.誤差的定義(1)從輸入端定義：系統(tǒng)的誤差定義為輸入信號

與反饋信號

之差，即由圖3-6-1(a)可得用這種方法定義的誤差，又稱為偏差。由于它是可以測量的，因而在應用中具有實際意義。(2)從輸出端定義：系統(tǒng)的誤差定義為輸出量的期望值

和實際值

之差，即由圖3-6-1(b)可得按輸出端定義的誤差，在系統(tǒng)性能指標的提法中經(jīng)常使用，但在實際系統(tǒng)中有時無法測量，因而一般只有數(shù)學意義。顯然，兩種誤差定義之間存在如下關系對單位反饋系統(tǒng)而言，由于

，兩種誤差定義的方法是一致的。本書除了特別說明外，之后討論的誤差都是按輸入端定義的誤差。2.穩(wěn)態(tài)誤差的定義對于一個穩(wěn)定的系統(tǒng)，當時間

時，系統(tǒng)的誤差稱為穩(wěn)態(tài)誤差

，以

表示，即如果有理函數(shù)

sE(s)的極點均位于s左半平面(包括坐標原點)，則可根據(jù)拉普拉斯變換終值定理，求得系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為對于圖3-6-1(a)所示系統(tǒng)，在輸入信號R(s)

作用下的誤差傳遞函數(shù)為系統(tǒng)的誤差為穩(wěn)態(tài)誤差為上式表明，穩(wěn)態(tài)誤差既與系統(tǒng)的結構參數(shù)有關，也與外作用的形式有關。注意到

的分母與閉環(huán)傳遞函數(shù)

的分母相同，都是閉環(huán)特征方程式，所以應用終值定理的條件實際上包含系統(tǒng)必須穩(wěn)定。這樣的要求是和物理概念一致的，對于不穩(wěn)定的系統(tǒng)來講，系統(tǒng)無法進入穩(wěn)態(tài)，求穩(wěn)態(tài)誤差就沒有意義。3.6.2控制系統(tǒng)的型別由于穩(wěn)態(tài)誤差與系統(tǒng)的結構參數(shù)有關，這里介紹一種控制系統(tǒng)按開環(huán)傳遞函數(shù)中串聯(lián)積分環(huán)節(jié)個數(shù)來分類的方法。設系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為其中，K為系統(tǒng)的開環(huán)增益，v為系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)中所含積分環(huán)節(jié)的個數(shù)。通常根據(jù)v

的數(shù)值定義系統(tǒng)的型別，稱

v=0,

1,

2，…的系統(tǒng)分別為

0型、

Ⅰ型、Ⅱ型等系統(tǒng)。由于當

v>

2

時，對系統(tǒng)的穩(wěn)定性是不利的，因此除航天控制系統(tǒng)外，Ⅲ型及Ⅲ型以上的系統(tǒng)幾乎不采用。1.單位階躍輸入下面分別討論在幾種典型輸入信號作用下，不同類型系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差3.6.3典型輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差當

r(t)=1(t)時，則

，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差為其中

稱為靜態(tài)位置誤差系數(shù)。對于0型系統(tǒng)，對于Ⅰ型和Ⅱ型系統(tǒng)，由此可見，對于階躍輸入，0型系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為有限值，且穩(wěn)態(tài)誤差隨開環(huán)增益

K的增大而減?。虎裥图耙陨舷到y(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為零。習慣上常把系統(tǒng)在階躍輸入作用下沒有穩(wěn)態(tài)誤差的系統(tǒng)稱為無差系統(tǒng)，反之則稱為有差系統(tǒng)。因此，0型系統(tǒng)為有差系統(tǒng)，Ⅰ型及以上系統(tǒng)為無差系統(tǒng)。2.單位斜坡輸入當

r(t)=t

時，則

，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差為其中

稱為靜態(tài)速度誤差系數(shù)。對于0型系統(tǒng)，對于Ⅰ型系統(tǒng)，對于Ⅱ型系統(tǒng)，由此可見，0型系統(tǒng)不能跟蹤斜坡輸入信號；Ⅰ型系統(tǒng)雖然能跟蹤斜坡輸入信號，但存在穩(wěn)態(tài)誤差，穩(wěn)態(tài)誤差隨開環(huán)增益

K的增大而減??；Ⅱ型及以上系統(tǒng)，穩(wěn)態(tài)時系統(tǒng)能準確跟蹤斜坡輸入信號，穩(wěn)態(tài)誤差為零。3.單位加速度輸入由此可見，0型和Ⅰ型系統(tǒng)均不能跟蹤加速度輸入信號，Ⅱ型系統(tǒng)能跟蹤加速度輸入信號，但存在穩(wěn)態(tài)誤差。與前面情況類似，加速度誤差是指系統(tǒng)在加速度信號作用下，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)輸出與輸入之間的位置誤差。當

時，則

，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差為其中

稱為靜態(tài)加速度誤差系數(shù)。對于0型和Ⅰ型系統(tǒng),對于Ⅱ型系統(tǒng)，表3-6-1列出了各型系統(tǒng)在典型輸入信號作用下的靜態(tài)誤差系數(shù)和穩(wěn)態(tài)誤差。

表3-6-1揭示了控制系統(tǒng)在輸入信號作用下穩(wěn)態(tài)誤差隨系統(tǒng)結構參數(shù)及輸入形式變化的規(guī)律。即在輸入一定時，增大開環(huán)增益

K，可以減小穩(wěn)態(tài)誤差；提高系統(tǒng)型別，可以消除穩(wěn)態(tài)誤差。