六安市霍邱縣2021年八年級(jí)下學(xué)期《數(shù)學(xué)》期中試題與參考答案

6/17六安市霍邱縣2021年八年級(jí)下學(xué)期《數(shù)學(xué)》期中試題與參考答案一、選擇題本大題共有10小題，每小題4分，共計(jì)40分。1．若式子在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是（）A．x＞﹣4 B．x＜﹣4 C．x≥﹣4 D．x≤﹣4【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件列不等式求解．【解答】解：由題意可得4+x≥0，解得：x≥﹣4，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次根式有意義的條件，理解二次根式有意義的條件（被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)）是解題關(guān)鍵．2．下列方程中，是關(guān)于x的一元二次方程的是（）A．x2+﹣3＝0 B．2x2＝0 C．x3﹣x+3＝0 D．4x2＝（2x﹣1）2【分析】根據(jù)一元二次方程的定義，只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程，判斷即可．【解答】解：A．x2+﹣3＝0不是關(guān)于x的一元二次方程，故A不符合題意；B．2x2＝0是一元二次方程，故B符合題意；C．x3﹣x+3＝0，不是一元二次方程，故C不符合題意；D．化簡(jiǎn)4x2＝（2x﹣1）2，得1﹣4x＝0，未知數(shù)最高次數(shù)是1，不是一元二次方程，故D不符合題意；故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題利用了一元二次方程的概念．只有一個(gè)未知數(shù)且未知數(shù)最高次數(shù)為2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c＝0（且a≠0）．特別要注意a≠0的條件．這是在做題過(guò)程中容易忽視的知識(shí)點(diǎn)．3．滿足下列條件的三角形中，不是直角三角形的是（）A．三內(nèi)角之比為1：2：3 B．三邊長(zhǎng)的平方之比為1：2：3 C．三邊長(zhǎng)之比為3：4：5 D．三內(nèi)角之比為3：4：5【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和勾股定理的逆定理判定是否為直角三角形．【解答】解：A、根據(jù)三角形內(nèi)角和公式，求得各角分別為30°，60°，90°，所以此三角形是直角三角形；B、三邊符合勾股定理的逆定理，所以其是直角三角形；C、32+42＝52，符合勾股定理的逆定理，所以是直角三角形；D、根據(jù)三角形內(nèi)角和公式，求得各角分別為45°，60°，75°，所以此三角形不是直角三角形；故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查勾股定理的逆定理的應(yīng)用．判斷三角形是否為直角三角形，已知三角形三邊的長(zhǎng)，只要利用勾股定理的逆定理加以判斷即可．也考查了三角形內(nèi)角和定理．4．設(shè)n為正整數(shù)，且n＜＜n+1，則n的值為（）A．5 B．6C．7 D．8【分析】首先得出＜＜，進(jìn)而求出的取值范圍，即可得出n的值．【解答】解：因?yàn)椋迹?，所?＜＜9，因?yàn)閚＜＜n+1，所以n＝8，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了估算無(wú)理數(shù)，得出＜＜是解題關(guān)鍵．5．某商品經(jīng)過(guò)連續(xù)兩次降價(jià)，銷售單價(jià)由原來(lái)200元降到162元．設(shè)平均每次降價(jià)的百分率為x，根據(jù)題意可列方程為（）A．200（1﹣x）2＝162 B．200（1+x）2＝162 C．162（1+x）2＝200 D．162（1﹣x）2＝200【分析】此題利用基本數(shù)量關(guān)系：商品原價(jià)×（1﹣平均每次降價(jià)的百分率）＝現(xiàn)在的價(jià)格，列方程即可．【解答】解：由題意可列方程是：200×（1﹣x）2＝168．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】此題考查一元二次方程的應(yīng)用最基本數(shù)量關(guān)系：商品原價(jià)×（1﹣平均每次降價(jià)的百分率）＝現(xiàn)在的價(jià)格．6．已知+＝0，那么（a+b）2021的值為（）A．1 B．0 C．﹣1 D．【分析】根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)列式求出a、b的值，然后代入代數(shù)式進(jìn)行計(jì)算即可得解．【解答】解：根據(jù)題意得，a+2＝0，b﹣1＝0，解得a＝﹣2，b＝1，所以（a+b）2021＝（﹣2+1）2021＝（﹣1）2021＝﹣1，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0時(shí)，這幾個(gè)非負(fù)數(shù)都為0．7．用配方法解一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0，配方正確的是（）A．（x﹣）2＝ B．（x﹣）2＝ C．（x﹣）2＝ D．（x﹣）2＝【分析】化二次項(xiàng)系數(shù)為1后，把常數(shù)項(xiàng)﹣右移，應(yīng)該在左右兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)﹣的一半的平方．【解答】解：由原方程，得x2﹣x＝，x2﹣x+＝+，（x﹣）2＝，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元二次方程﹣﹣配方法．配方法的一般步驟：（1）把常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)的右邊；（2）把二次項(xiàng)的系數(shù)化為1；（3）等式兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方．選擇用配方法解一元二次方程時(shí)，最好使方程的二次項(xiàng)的系數(shù)為1，一次項(xiàng)的系數(shù)是2的倍數(shù)．8．如圖所示，數(shù)軸上點(diǎn)A所表示的數(shù)為a，則a的值是（）A．﹣+1 B．﹣1 C． D．+1【分析】先根據(jù)勾股定理求出直角三角形的斜邊，即可得出選項(xiàng)．【解答】解：BC＝BA＝＝，因?yàn)閿?shù)軸上點(diǎn)A所表示的數(shù)為a，所以a＝﹣1，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了數(shù)軸和實(shí)數(shù)，勾股定理的應(yīng)用，能讀懂圖象是解此題的關(guān)鍵．9．關(guān)于x的方程（x﹣1）（x+2）＝p2（p為常數(shù)）根的情況下，下列結(jié)論中正確的是（）A．兩個(gè)正根 B．一個(gè)正根，一個(gè)負(fù)根，正根的絕對(duì)值比負(fù)根的絕對(duì)值大 C．兩個(gè)負(fù)根 D．一個(gè)正根，一個(gè)負(fù)根，正根的絕對(duì)值比負(fù)根的絕對(duì)值小【分析】方程整理為一般形式，設(shè)兩根分別為a，b，利用根與系數(shù)的關(guān)系表示出a+b與ab，判斷即可．【解答】解：設(shè)方程兩根設(shè)為a，b，方程整理得：x2+x﹣2﹣p2＝0，所以由根與系數(shù)的關(guān)系得：a+b＝﹣1＜0，ab＝﹣2﹣p2＜0，則一個(gè)正根，一個(gè)負(fù)根，正根的絕對(duì)值比負(fù)根的絕對(duì)值?。蔬x：D．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，絕對(duì)值，以及根的判別式，熟練掌握各自的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．10．如圖是用三塊正方形紙片以頂點(diǎn)相連的方式設(shè)計(jì)的“畢達(dá)哥拉斯”圖案．現(xiàn)有五種正方形紙片，面積分別是1，2，3，4，5，選取其中三塊（可重復(fù)選?。┌慈鐖D的方式組成圖案，使所圍成的三角形是面積最大的直角三角形，則選取的三塊紙片的面積分別是（）A．1，4，5 B．2，3，5 C．3，4，5 D．2，2，4【分析】根據(jù)題意可知，三塊正方形的面積中，兩個(gè)較小的面積之和等于最大的面積，再根據(jù)三角形的面積，分別計(jì)算出各個(gè)選項(xiàng)中圍成的直角三角形的面積，比較大小，即可解答本題．【解答】解：當(dāng)選取的三塊紙片的面積分別是1，4，5時(shí)，圍成的直角三角形的面積是＝，當(dāng)選取的三塊紙片的面積分別是2，3，5時(shí)，圍成的直角三角形的面積是＝；當(dāng)選取的三塊紙片的面積分別是3，4，5時(shí)，圍成的三角形不是直角三角形；當(dāng)選取的三塊紙片的面積分別是2，2，4時(shí)，圍成的直角三角形的面積是＝，因?yàn)?，所以所圍成的三角形是面積最大的直角三角形，則選取的三塊紙片的面積分別是2，3，5，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查勾股定理的逆定理，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用勾股定理的逆定理解答．二、填空題本題共有4小題，每小題5分，滿分20分。11．（5分）一元二次方程x2＝x的根x1＝0，x2＝1．【分析】先移項(xiàng)，然后利用提取公因式法對(duì)等式的左邊進(jìn)行因式分解．【解答】解：由原方程得x2﹣x＝0，整理得x（x﹣1）＝0，則x＝0或x﹣1＝0，解得x1＝0，x2＝1．故答案是：x1＝0，x2＝1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元二次方程﹣因式分解法．因式分解法就是先把方程的右邊化為0，再把左邊通過(guò)因式分解化為兩個(gè)一次因式的積的形式，那么這兩個(gè)因式的值就都有可能為0，這就能得到兩個(gè)一元一次方程的解，這樣也就把原方程進(jìn)行了降次，把解一元二次方程轉(zhuǎn)化為解一元一次方程的問(wèn)題了（數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想）．12．（5分）已知：﹣＝a﹣＝b，則ab＝6．【分析】直接化簡(jiǎn)二次根式進(jìn)而得出a，b的值求出答案．【解答】解：原式＝3﹣＝a﹣＝b，故a＝3，b＝2，則ab＝6．故答案為：6．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二次根式的加減，正確化簡(jiǎn)二次根式是解題關(guān)鍵．13．（5分）《九章算術(shù)》卷九“勾股”中記載：今有戶不知高廣，竿不知長(zhǎng)短，橫之不出四尺，縱之不出二尺，斜之適出，問(wèn)戶斜幾何，意思是：一根竿子橫放，竿比門寬長(zhǎng)出四尺；豎放，竿比門高長(zhǎng)出二尺，斜放恰好能出去，則竿長(zhǎng)是10尺．【分析】根據(jù)題中所給的條件可知，竿斜放就恰好等于門的對(duì)角線長(zhǎng)，可與門的寬和高構(gòu)成直角三角形，運(yùn)用勾股定理可求出門對(duì)角線長(zhǎng)．【解答】解：設(shè)竹竿x尺，則圖中BD＝x．BC＝BE﹣CE＝x﹣4（x＞4），CD＝CF﹣DF＝x﹣2（x＞2），又在直角三角形BCD中，∠BCD＝90°，由勾股定理得：BC2+CD2＝BD2，所以（x﹣4）2+（x﹣2）2＝x2，整理，得x2﹣12x+20＝0，因式分解，得（x﹣10）（x﹣2）＝0，解得x1＝10，x2＝2，因?yàn)閤＞4且x＞2，所以x＝10．答：竹竿為10尺．故答案為：10．【點(diǎn)評(píng)】本題考查勾股定理的運(yùn)用，正確運(yùn)用勾股定理，將數(shù)學(xué)思想運(yùn)用到實(shí)際問(wèn)題中是解答本題的關(guān)鍵．14．（5分）當(dāng)x分別取1，2，3，…，2021時(shí)，代數(shù)式﹣x+5所對(duì)應(yīng)值的總和是2032．【分析】從第四個(gè)數(shù)開始代數(shù)式的值為1，一共有2018個(gè)1，再加上7、5、3就是對(duì)應(yīng)值的總和．【解答】解：原式＝|x﹣4|﹣x﹣5，當(dāng)x＝1時(shí)，原式＝7，當(dāng)x＝2時(shí)，原式＝5，當(dāng)x＝3時(shí)，原式＝3，當(dāng)x＝4時(shí)，原式＝1，當(dāng)x＝5時(shí)，原式＝1，x＝4以后每個(gè)代數(shù)式都是1，所以有2018個(gè)1，所以2018+7+5+3＝2032，故答案為：2032．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)、規(guī)律型數(shù)字的變化類，熟練掌握二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)，其中發(fā)現(xiàn)數(shù)字變化規(guī)律是解題關(guān)鍵．三、解答題本大題共有9題，滿分90分。15．（8分）計(jì)算：（1）﹣；（2）（）（）．【分析】（1）直接化簡(jiǎn)二次根式，進(jìn)而合并得出答案；（2）直接利用平方差公式計(jì)算得出答案．【解答】解：（1）原式＝﹣2＝﹣；（2）原式＝（）2﹣（）2＝3﹣2＝1．16．（8分）解方程：x2﹣3x﹣4＝0．【分析】先把方程化為兩個(gè)因式積的形式，再求出x的值即可．【解答】解：因?yàn)樵匠炭苫癁椋海▁+1）（x﹣4）＝0，所以x+1＝0或x﹣4＝0，解得，x1＝4，x2＝﹣1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是利用因式分解法解一元二次方程，根據(jù)題意把方程化為兩個(gè)因式積的形式是解答此題的關(guān)鍵．17．（8分）下面正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)都是1，正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，請(qǐng)?jiān)趫D中畫出一個(gè)三角形，使三邊長(zhǎng)分別為3，，5，并求此三角形的面積．【分析】以直角邊為1和3構(gòu)造斜邊為，再以3和4為直角邊構(gòu)造斜邊為5，即可得到所求三角形，再根據(jù)三角形面積公式計(jì)算即可．【解答】解：如圖所示：△ABC為所求，S△ABC＝4×3﹣×3×4﹣×3×1＝4.5．18．（8分）如圖，CD⊥AD，AB＝13，BC＝12，DC＝3，AD＝4，求由線段AB，BC，CD，DA圍成的封閉圖形的面積．【分析】根據(jù)勾股定理可以求得AC的長(zhǎng)，然后根據(jù)勾股定理的逆定理可以得到△ACB的形狀，從而可以計(jì)算出由線段AB，BC，CD，DA圍成的封閉圖形的面積．【解答】解：連接AC，如圖所示，因?yàn)镈C＝3，AD＝4，CD⊥AD，所以AC＝＝＝5，因?yàn)锳B＝13，BC＝12，所以AC2+BC2＝52+122＝132＝AB2，所以△ACB是直角三角形，∠ACB＝90°，所以由線段AB，BC，CD，DA圍成的封閉圖形的面積是：＝＝30﹣6＝24，即由線段AB，BC，CD，DA圍成的封閉圖形的面積是24．【點(diǎn)評(píng)】本題考查勾股定理的逆定理、勾股定理，解答本題的關(guān)鍵是會(huì)用勾股定理的逆定理判斷三角形的形狀．19．（10分）已知：關(guān)于x的方程2x2+kx﹣1＝0．（1）求證：方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）若方程的一個(gè)根是﹣1，求另一個(gè)根及k值．【分析】若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則應(yīng)有Δ＝b2﹣4ac＞0，故計(jì)算方程的根的判別式即可證明方程根的情況，第二小題可以直接代入x＝﹣1，求得k的值后，解方程即可求得另一個(gè)根．【解答】證明：（1）因?yàn)閍＝2，b＝k，c＝﹣1所以Δ＝k2﹣4×2×（﹣1）＝k2+8，因?yàn)闊o(wú)論k取何值，k2≥0，所以k2+8＞0，即Δ＞0，所以方程2x2+kx﹣1＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．解：（2）把x＝﹣1代入原方程得，2﹣k﹣1＝0所以k＝1所以原方程化為2x2+x﹣1＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝，即另一個(gè)根為．【點(diǎn)評(píng)】本題是對(duì)根的判別式與根與系數(shù)關(guān)系的綜合考查，一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系：（1）Δ＞0?方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）Δ＝0?方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；（3）Δ＜0?方程沒有實(shí)數(shù)根．并且本題考查了一元二次方程的解的定義，已知方程的一個(gè)根求方程的另一根與未知系數(shù)是常見的題型．20．（10分）如圖，學(xué)校課外生物小組的試驗(yàn)園地的形狀是長(zhǎng)32米、寬20米的長(zhǎng)方形．為便于管理，要在中間開辟一橫兩縱共三條等寬的小道，小道以外的區(qū)域用于種植有關(guān)植物，要使種植總面積為570平方米，則小道的寬為多少米？【分析】設(shè)小道的寬為x米，則陰影部分可合成長(zhǎng)為（32﹣2x）米，寬為（20﹣x）米的矩形，利用矩形的面積公式，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解方程即可．【解答】解：設(shè)小道的寬為x米，則陰影部分可合成長(zhǎng)為（32﹣2x）米，寬為（20﹣x）米的矩形，由題意，得：（32﹣2x）（20﹣x）＝570，解得：x1＝1，x2＝35（不合題意），答：小道的寬為1米．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．21．（12分）觀察與思考：①2＝；＝；．式①驗(yàn)證：2＝＝＝＝；式②驗(yàn)證：3＝＝＝＝．（1）仿照上述式①、式②的驗(yàn)證過(guò)程，請(qǐng)寫出式③的驗(yàn)證過(guò)程；（2）猜想5＝；（3）試用含n（n為自然數(shù)，且n≥2）的等式表示這一規(guī)律，并加以驗(yàn)證．【分析】（1）根據(jù)已知算式和二次根式的性質(zhì)進(jìn)行變形即可；（2）根據(jù)已知算式得出規(guī)律，再根據(jù)得出的規(guī)律得出答案即可；（3）根據(jù)已知規(guī)律得出算式，再根據(jù)二次根式的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：（1）4＝＝＝＝；（2）5＝，故答案為：；（3）n＝；證明：n＝＝＝＝．22．（12分）某高速公路管理部門工作人員在對(duì)某段高速公路進(jìn)行安全巡檢過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)該高速公路旁的一斜坡存在落石隱患．該斜坡橫斷面示意圖如圖所示，水平線l1∥l2，點(diǎn)A、B分別在l1、l2上，斜坡AB的長(zhǎng)為18米，過(guò)點(diǎn)B作BC⊥l1于點(diǎn)C，且線段AC的長(zhǎng)為2米．（1）求該斜坡的坡高BC；（結(jié)果用最簡(jiǎn)根式表示）（2）為降低落石風(fēng)險(xiǎn)，該管理部門計(jì)劃對(duì)該斜坡進(jìn)行改造，改造后的斜坡坡角α為60°，過(guò)點(diǎn)M作MN⊥l1于點(diǎn)