《電路與線性系統(tǒng)分析》課件第8章

8.1拉普拉斯變換

8.2拉氏變換的性質(zhì)與定理8.3拉普拉斯反變換8.4系統(tǒng)s域等效模型——運(yùn)算電路法

8.5系統(tǒng)函數(shù)與復(fù)頻域分析法

8.6連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的模擬

8.7

LTI連續(xù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性習(xí)題以傅氏變換為基礎(chǔ)的頻域分析法，將時(shí)域的卷積運(yùn)算轉(zhuǎn)變?yōu)轭l域的代數(shù)運(yùn)算，簡化了運(yùn)算；特別是在分析信號諧波分量、系統(tǒng)的頻率響應(yīng)、系統(tǒng)帶寬、波形失真等實(shí)際問題時(shí)有其獨(dú)到之處。不過對一些不滿足絕對可積條件的常用信號如ε(t)等，雖然其傅氏變換存在，但因帶有沖激項(xiàng)而處理不方便；尤其用傅氏變換分析系統(tǒng)響應(yīng)時(shí)，系統(tǒng)初始狀態(tài)在變換式中無法體現(xiàn)，只能求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)；另外，其反變換的積分計(jì)算也不易。而拉普拉斯變換的優(yōu)點(diǎn)之一是對信號要求不高，一般指數(shù)階信號的變換存在且簡單；之二是不但能將時(shí)域的卷積運(yùn)算轉(zhuǎn)變?yōu)榇鷶?shù)運(yùn)算，而且既能求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)，也能求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)(初始條件“自動”引入)；之三是有相對簡單的反變換方法。所以拉普拉斯變換也是分析連續(xù)LTI系統(tǒng)的重要數(shù)學(xué)工具。拉普拉斯變換也簡稱為拉氏變換(英文縮寫為LT或)。8.1拉普拉斯變換考慮到一般實(shí)際應(yīng)用的信號多為因果信號，我們先討論因果信號的拉氏變換。因果信號的拉氏變換也稱單邊拉氏變換。8.1.1單邊拉氏變換因果信號的傅氏正、反變換為式中，F(xiàn)(ω)為頻譜函數(shù)，f(t)為原函數(shù)。一些指數(shù)階函數(shù)用傅氏變換處理不方便，主要原因是這類函數(shù)不收斂，例如階躍函數(shù)ε(t)。為了使函數(shù)收斂，在進(jìn)行變換時(shí)讓原函數(shù)f(t)乘以e-σt，使得f(t)e-σt是一個(gè)衰減足夠快的函數(shù)。即有f1(t)=f(t)e-σt

式中，e-σt為衰減因子，且f1(t)滿足絕對可積條件。則(8.1-1)令s=jω+σ，式(8.1-1)可表示為

F1(ω)的傅氏反變換為(8.1-3)式(8.1-3)兩邊同乘eσt，eσt不是ω的函數(shù)，可放入積分號里，由此得到(8.1-4)已知s=jω+σ，ds=d(jω+σ)，選定σ為常量，ds=jdω，代入式(8.1-4)且積分上、下限也做相應(yīng)改變，式(8.1-4)可寫作(8.1-5)因?yàn)閑-σt的作用，式(8.1-2)與(8.1-5)是適合指數(shù)階函數(shù)的變換。又由于式(8.1-2)中的f(t)是t<0時(shí)為零的因果信號，故稱“單邊”變換。將兩式重新表示在一起，單邊拉氏變換定義為(8.1-6)式中,稱s=jω+σ為復(fù)頻率，F(xiàn)(s)為象函數(shù)，f(t)為原函數(shù)，象函數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系還可以表示為

f(t)

F(s)

或(8.1-7)s=jω+σ可以用直角坐標(biāo)的復(fù)平面(s平面)表示，σ是實(shí)軸，jω是虛軸，如圖8.1-1所示。圖8.1-1復(fù)平面由以上分析，并比較式(8.1-6)與式(7.2-4)，以及式(8.1-2)的推導(dǎo)，可知傅氏變換的基本信號元是ejωt，拉氏變換的基本信號元是est。不難表明傅氏變換與拉氏變換的關(guān)系：傅氏變換是在虛軸上(σ=0)的拉氏變換；拉氏變換是傅氏變換在s平面的推廣。雖然單邊拉普拉斯變換存在條件比傅氏變換寬，但對具體函數(shù)也有變換是否存在及在什么范圍內(nèi)變換存在的問題，由單邊拉氏變換收斂區(qū)可以解決這些問題。8.1.2單邊拉氏變換收斂區(qū)收斂區(qū)是使f(t)e-σt滿足可積的σ取值范圍，或是使f(t)的單邊拉氏變換存在的σ取值范圍。由式(8.1-3)的推導(dǎo)可見，因?yàn)閑-σt的作用，使得f(t)e-σt

在一定條件下收斂，即有(8.1-8)式中σ0叫做收斂坐標(biāo)，是實(shí)軸上的一個(gè)點(diǎn)。穿過σ0并與虛軸jω平行的直線叫做收斂邊界。收斂軸的右邊為收斂區(qū)，收斂區(qū)不包括收斂軸。一旦σ0確定，f(t)的拉氏變換的收斂區(qū)就確定了。滿足式(8.1-8)的函數(shù)稱為指數(shù)階函數(shù)。這類函數(shù)若發(fā)散，借助指數(shù)函數(shù)衰減就可以被壓下去。指數(shù)階函數(shù)的單邊拉氏變換一定存在，其收斂區(qū)由收斂坐標(biāo)σ0確定。σ0的取值與f(t)有關(guān)，具體數(shù)值由式(8.1-8)計(jì)算。根據(jù)f(t)隨時(shí)間變化的趨勢，可以給出收斂區(qū)的大致范圍：(1)f(t)是有限時(shí)寬的，σ0<-∞，如單脈沖信號；(2)f(t)是隨時(shí)間衰減的，σ0<0，例如單邊指數(shù)信號e-atε(t)(a>0)的σ0=-a，其拉氏變換的收斂區(qū)如圖8.1-2(a)所示；(3)f(t)是隨時(shí)間不變的，σ0=0，例如ε(t)、sin(ω0t)ε(t)，其拉氏變換的收斂區(qū)如圖8.1-2(b)所示；(4)f(t)是隨時(shí)間增長的，σ0>0，例如eatε(t)(a>0)的σ0=a，其拉氏變換的收斂區(qū)如圖8.1-2(c)所示。

圖8.1-2收斂區(qū)示意圖當(dāng)σ0<0時(shí)，收斂區(qū)包含虛軸jω，函數(shù)的傅氏變換存在；當(dāng)σ0>0時(shí)收斂區(qū)不包含虛軸jω，函數(shù)的傅氏變換不存在；當(dāng)σ0=0時(shí)，收斂區(qū)不包含虛軸jω，函數(shù)的傅氏變換存在，但有沖激項(xiàng)。因?yàn)橹笖?shù)階函數(shù)的單邊拉氏變換一定存在，所以一般可以不標(biāo)明收斂區(qū)。8.1.3常用函數(shù)的單邊拉氏變換我們通過求常用函數(shù)的象函數(shù)，掌握單邊拉氏變換的基本方法。

1.F(s)=F(ω)|jω=s的函數(shù)

當(dāng)拉氏變換的收斂區(qū)包括jω軸時(shí)，F(xiàn)(s)可由F(ω)直接得到，僅將F(ω)式中的jω?fù)Q為s，即

F(s)=F(ω)|jω=s(8.1-9)

例8.1-1已知f(t)=e-atε(t)(a>0)以及，求f(t)的拉氏變換。解:f(t)的收斂域如圖8.1-2(a)所示，包括jω軸，所以

2.t的指數(shù)函數(shù)eatε(t)(a為任意常數(shù))(8.1-10)利用式(8.1-10)，可以推出以下常用信號的拉氏變換。

3.t的正冪函數(shù)

即依次類推：特別地：n=1時(shí)，表8.1-1列出了常用函數(shù)的拉氏變換。表8.1-1常用函數(shù)單邊拉氏變換8.2拉氏變換的性質(zhì)與定理

本節(jié)討論單邊拉氏變換的性質(zhì)與定理。

1.線性若f1(t)

F1(s)f2(t)

F2(s)則af1(t)+b

f2(t)

aF1(s)+bF2(s)式中a、b為任意常數(shù)。(8.2-1)證線性在實(shí)際應(yīng)用中是用得最多最靈活的性質(zhì)之一，例如

2.時(shí)延(移位)特性若f(t)

(t)

F(s)則(8.2-2)證

令t-t0=x，即t=x+t0，代入上式得時(shí)延(移位)特性表明，波形在時(shí)間軸上向右平移t0，其拉氏變換應(yīng)乘以移位因子。適用時(shí)延特性的函數(shù)是f(t-t0)ε(t-t0)，而不是f(t-t0)ε(t)。要注意區(qū)分f(t)ε(t)、f(t-t0)ε(t)、f(t)ε(t-t0)、f(t-t0)ε(t-t0)的不同。

3.頻率平移(s域)若f(t)

F(s)則式中s0為復(fù)常數(shù)

證(8.2-3)例8.2-1

已知f(t)=e

atcos(

t0)

(t)，求象函數(shù)F(s)。解：方法一方法二

4.尺度變換

若f(t)

F(s)則其中a>0。

例8.2-2已知f(t)

F(s)，求f1(t)=e-t/af(t/a)的象函數(shù)F1(s)。解：先頻移

fa(t)=e

tf(t)

Fa(s)=F(s+1)后尺度f1(t)=fa(t/a)

F1(s)=aFa(as)=aF(as+1)

例8.2-3求δ(at)、ε(at)的象函數(shù)。解：

(t)

1

5.時(shí)域微分若f(t)

F(s)，則(8.2-5)式中,f(0)是f(t)在t=0時(shí)的值?？梢詫⑹?8.2-5)推廣到二階導(dǎo)數(shù)(8.2-6)式中,f(0)以及f′(0)分別為t=0時(shí)f(t)以及時(shí)的值。特別地，當(dāng)f(0)=f′(0)=0時(shí)，式(8.2-5)、(8.2-6)可分別化簡為(8.2-7a)(8.2-7b)式中，s為微分因子。

6.時(shí)域積分若f(t)u(t)

F(s)則式中f

(-1)(t)表示積分運(yùn)算，特別地，如果f(t)為因果信號，則,式(8.2-8)為(8.2-9)式中,1/s為積分因子。

7.時(shí)域卷積定理

若則

8.復(fù)頻域卷積定理若則

f1(t)

F1(s)f2(t)F2(s)(8.2-10)f1(t)

f2(t)F1(s)F2(s)f1(t)

F1(s)f2(t)F2(s)(8.2-11)表8.2-1列出了拉氏變換的性質(zhì)與定理。表8.2-1拉氏變換性質(zhì)(定理)

8.3拉普拉斯反變換

拉普拉斯反(逆)變換是將象函數(shù)F(s)變換為原函數(shù)f(t)的運(yùn)算。式(8.1-6)給出為這個(gè)公式的被積函數(shù)是一個(gè)復(fù)變函數(shù)，而積分沿著收斂區(qū)內(nèi)的直線σ-j∞→σ+j∞進(jìn)行。這個(gè)積分可以用一般的復(fù)變積分計(jì)算。但一般情況下,計(jì)算函數(shù)比計(jì)算積分更容易，因此可以利用復(fù)變函數(shù)理論中的圍線積分和留數(shù)定理求反變換。但當(dāng)象函數(shù)為有理函數(shù)時(shí)，有更簡便的是代數(shù)方法，這種方法稱為“部分分式法”。本書只討論部分分式法。當(dāng)F(s)為s的有理函數(shù)時(shí)，一般形式可表示為(8.3-1)式中，ai(i=0，1，…，n-1)，bi(i=0，1，…，m)為實(shí)常數(shù)，m，n為正整數(shù)。部分分式法的實(shí)質(zhì)是利用拉氏變換的線性特性，先將F(s)分解為若干如表3-1所示的簡單函數(shù)之和，再分別對這些簡單象函數(shù)求原函數(shù)。將分母多項(xiàng)式表示為便于分解的形式

A(s)=(s-p1)(s-p2)…(s-pn)

(8.3-2)式中，p1，p2，…，pn是A(s)=0方程式的根，也稱F(s)的極點(diǎn)。同樣分子多項(xiàng)式也可以表示為

B(s)=(s-z1)(s-z2)…(s-zm)

(8.3-3)式中，z1，z2，…，zm是B(s)=0方程式的根，也稱F(s)的零點(diǎn)。

p1，p2，…，pn既可以是各不相同的單極點(diǎn)，也可以出現(xiàn)有相同的極點(diǎn)(即有重極點(diǎn))；分母多項(xiàng)式的階次一般高于分子多項(xiàng)式(m<n)，但也有可能m≥n。下面分幾種具體情況討論F(s)分解的不同形式。

1.m<n，F(xiàn)(s)均為單極點(diǎn)

(8.3-4)式中，p1，p2，…，pn為不同數(shù)值的單極點(diǎn)，F(xiàn)(s)可分解為(8.3-5)則(8.3-6)式(8.3-6)正是F(s)的原函數(shù)，現(xiàn)在的任務(wù)就是要快速、準(zhǔn)確地確定系數(shù)k1，k2，…，kn。我們在式(8.3-5)兩邊同乘以(s-p1)，得(8.3-7)再令s=p1，則式(8.3-7)右邊除k1外，其余各項(xiàng)均為零，由此得到第一個(gè)系數(shù)k1

(8.3-8)同樣，在式(8.3-5)兩邊同乘(s-p2)，然后令s=p2，可得第二個(gè)系數(shù)

以此類推，任一極點(diǎn)pi對應(yīng)的系數(shù)ki為(8.3-9)(8.3-10)

例8.3-1已知象函數(shù)，求原函數(shù)f(t)。解：

2.m≥n，F(xiàn)(s)均為單極點(diǎn)

當(dāng)m≥n時(shí)，利用長除法將分子多項(xiàng)式的高次項(xiàng)提出，對余下的m′<n部分處理同上。對提取的sr部分(0≤r≤m-m′)，利用微分性質(zhì)：1

(t)；s

(t)；(8.3-11)s2

(t)；…例8.3-2

已知象函數(shù)，求原函數(shù)f(t)。解：

例8.3-3已知象函數(shù)，求原函數(shù)f(t)。解：一般共軛復(fù)根可將分母配成二次項(xiàng)的平方，作為整體考慮。

3.m<n，F(xiàn)(s)有二重極點(diǎn)設(shè)：(8.3-12)其中，s=p1是F(s)的二階極點(diǎn)，F(xiàn)(s)可展開為(8.3-13)式中是展開式中與極點(diǎn)p1無關(guān)的部分。面對式(8.3-13)，現(xiàn)在的任務(wù)是如何確定系數(shù)k11，k12。與前面求系數(shù)的方法相同，先在F(s)等式兩邊同乘(s-p1)2，有(8.3-14)當(dāng)s=p1時(shí)，右邊只剩k11項(xiàng)，其余各項(xiàng)為零。所以(8.3-15)求k12系數(shù)時(shí)是否還能如法炮制？在等式兩邊同乘(s-p1)，有當(dāng)s

p1時(shí)，等式右邊第一項(xiàng)，所以k12不能再用此法，為了求解k12，引入函數(shù)(8.3-16)對式(8.3-16)兩邊求導(dǎo)(8.3-17)令式(8.3-17)的s=p1，則等式右邊除了第一項(xiàng)k12外，第二項(xiàng)為0，所以，(8.3-18)剩下的E(s)/D(s)中若均為單極點(diǎn)，則用前面單極點(diǎn)的處理方法展開，如還有二重極點(diǎn)可用上面的方法處理。二重極點(diǎn)反變換式中一般項(xiàng)為(8.3-19)所以最后8.4系統(tǒng)s域等效模型——運(yùn)算電路法

根據(jù)元件上的電壓、電流關(guān)系列寫電路系統(tǒng)的微分方程，然后對方程取拉氏變換。這種方法在分析電路響應(yīng)時(shí)有許多優(yōu)點(diǎn)，但是對比較復(fù)雜的網(wǎng)絡(luò)(多網(wǎng)孔、節(jié)點(diǎn))，以及對初始條件的處理(需要標(biāo)準(zhǔn)化或等效)還有許多不便之處，我們可以用類似頻域電路的方法，簡化獲得系統(tǒng)拉氏變換方程的過程，并且可以將系統(tǒng)的初始狀態(tài){xk(0-)}直接引入，充分體現(xiàn)了拉氏變換優(yōu)越性，這種方法稱為s域等效模型法或運(yùn)算電路法。8.4.1元件的s域模型

首先討論無初始條件時(shí)電阻、電感、電容的s域模型。此時(shí)R、L、C元件的時(shí)域電壓電流關(guān)系為(8.4-1)分別對上式進(jìn)行拉氏變換，得到(8.4-2)由上式可見，如果認(rèn)為R、Ls、是復(fù)頻域阻抗，則s域的電壓電流關(guān)系滿足復(fù)頻域(廣義)的歐姆定律。這樣就可以將原來的微、積分運(yùn)算關(guān)系變?yōu)榇鷶?shù)運(yùn)算關(guān)系。式(8.4-2)所表示的電壓電流關(guān)系，可以用如圖8.4-1所示的s域網(wǎng)絡(luò)模型表示。圖8.4-1無初始條件元件的s域網(wǎng)絡(luò)模型再考慮電感、電容具有初始條件的s域模型，此時(shí)L、C時(shí)域模型如圖8.4-2所示，其電壓電流關(guān)系為(8.4-3)圖8.4-2有初始條件元件的時(shí)域模型分別對式(8.4-3)進(jìn)行拉氏變換，得到(8.4-4)式(8.4-4)所表示的電壓電流關(guān)系，可以用如圖8.4-3所示的s域網(wǎng)絡(luò)模型表示。圖8.4-3有初始條件元件的s域網(wǎng)絡(luò)模型8.4.2系統(tǒng)s域等效模型及其響應(yīng)求解

將電路中激勵(lì)、響應(yīng)以及所有元件分別用s域等效模型表示后，得到系統(tǒng)s域等效模型(運(yùn)算電路)。利用系統(tǒng)的s域等效模型，可以用類似求解直流電路的方法在s域求解響應(yīng)，最后再經(jīng)反變換得到所需的時(shí)域結(jié)果。以下舉例說明用s域等效模型求解系統(tǒng)響應(yīng)的方法。

例8.4-1電路如圖8.4-4所示，激勵(lì)為e(t)，響應(yīng)為i(t)，求其s域等效模型及響應(yīng)的s域方程。圖8.4-5例8.4-1電路的s域網(wǎng)絡(luò)模型解：s域等效模型(運(yùn)算等效電路)如圖8.4-5所示，列網(wǎng)孔的KVL方程:圖8.4-5例8.4-1電路的s域網(wǎng)絡(luò)模型由上例可見，應(yīng)用廣義電路定律，列s域電路方程求解響應(yīng)象函數(shù)與直流電路求解方法類似，計(jì)算簡便。尤其是與用微分方程求解相比，初始狀態(tài)可以等效為電源直接引入s域電路，不再需要將初始條件標(biāo)準(zhǔn)化。

例8.4-2電路如圖8.4-6所示，激勵(lì)為e(t)=ε(t)，iL(0-)=2A，求電感電壓uL(t)。解：s域等效模型如圖8.4-7所示。由圖8.4-7列KVL方程uL(t)=δ(t)-3e-2tε(t)8.5系統(tǒng)函數(shù)與復(fù)頻域分析法

輸入、輸出關(guān)系是系統(tǒng)分析的重要組成部分，系統(tǒng)函數(shù)體現(xiàn)的正是這種關(guān)系。在s域分析中，系統(tǒng)函數(shù)H(s)的作用舉足輕重，由它確定的零、極點(diǎn)集中地反映了系統(tǒng)的時(shí)域與頻域特性；它除了可以分析系統(tǒng)的時(shí)域特性外，還可以分析系統(tǒng)的頻率響應(yīng)特性、系統(tǒng)穩(wěn)定等實(shí)際問題和系統(tǒng)模擬（仿真)。8.5.1.系統(tǒng)函數(shù)H(s)系統(tǒng)函數(shù)在零狀態(tài)下定義為系統(tǒng)函數(shù)也稱轉(zhuǎn)移函數(shù)、傳輸函數(shù)、傳遞函數(shù)。由式(8.5-1)可得系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)象函數(shù)為Yzs(s)=F(s)H(s)(8.5-2)得到系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)(8.5-1)特別的，激勵(lì)為δ(t)時(shí)，系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)是單位沖激響應(yīng)f(t)=

(t)

F(s)=1

H(s)

h(t)

(8.5-4)上式表明系統(tǒng)函數(shù)與單位沖激響應(yīng)h(t)是一對拉氏變換對。8.5.2系統(tǒng)函數(shù)的零、極點(diǎn)分解二階系統(tǒng)函數(shù)的分子分母為兩個(gè)多項(xiàng)式，可得式(8.5-5)二階系統(tǒng)函數(shù)中H(s)的分母多項(xiàng)式D(s)的根p

i(i=1，2)是H(s)的極點(diǎn)，有兩個(gè)；H(s)的分子多項(xiàng)式N(s)的根zj(j=1，2)是H(s)的零點(diǎn)，最多有兩個(gè)。若H(s)是實(shí)系數(shù)的有理函數(shù)，其零、極點(diǎn)一定是實(shí)數(shù)或共軛成對的復(fù)數(shù)。

(8.5-5)

例8.5-1

已知某系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)如下，求系統(tǒng)的零、極點(diǎn)。解：極點(diǎn)為p1=-1,

p2=-3

零點(diǎn)為z1=-2

將系統(tǒng)函數(shù)的零、極點(diǎn)準(zhǔn)確地標(biāo)在s平面上，這樣的圖稱零、極點(diǎn)圖或零、極圖，其中“”表示零點(diǎn)，“×”表示極點(diǎn)。如例8.5-1的零、極點(diǎn)如圖8.5-1所示。圖8.5-1例8.5-1的零、極點(diǎn)8.5.3零、極點(diǎn)分布與時(shí)域特性

H(s)與h(t)是一對拉氏變換對，所以只要知道H(s)在s平面上的零、極點(diǎn)分布情況，就可以知道系統(tǒng)沖激響應(yīng)h(t)的變化規(guī)律。假設(shè)式(8.5-5)的兩個(gè)極點(diǎn)均為單極點(diǎn)且m<n，利用部分分式展開(8.5-6)式中,pi=σi+jωi(i=1，2)。式(8.5-6)對應(yīng)的單位沖激響應(yīng)為以j

虛軸為界，我們將s平面分為左半平面與右半平面。由極點(diǎn)在s平面的位置可知hi(t)與h(t)的變化規(guī)律。(8.5-7)

(1)pi=σi+jωi為一階極點(diǎn)。①σi>0，極點(diǎn)在s平面的右半平面，hi(t)隨時(shí)間增長；②σi<0，極點(diǎn)在s平面的左半平面，hi(t)隨時(shí)間衰減；③σi=0，極點(diǎn)在s平面的原點(diǎn)(ωi=0)或虛軸上，hi(t)對應(yīng)于階躍或等幅振蕩。

(2)pi=σi+jωi為二階或二階以上極點(diǎn)。①σi>0或σi<0時(shí)，hi(t)隨時(shí)間變化的趨勢同一階情況；②σi=0時(shí)，對應(yīng)于t的正冪函數(shù)或增幅振蕩。

(3)極點(diǎn)在s平面的位置與h(t)的變化規(guī)律。①系統(tǒng)函數(shù)H(s)的全部極點(diǎn)在左半平面，h(t)隨時(shí)間衰減趨于零；②系統(tǒng)函數(shù)H(s)有極點(diǎn)在虛軸或右半平面，h(t)不隨時(shí)間消失。從以上分析可知，由系統(tǒng)函數(shù)H(s)極點(diǎn)在s平面上的位置，便可確定h(t)的模式，判斷單位沖激響應(yīng)是隨時(shí)間增長或衰減的信號，還是一個(gè)等幅(振蕩或不變)的信號，如圖8.5-2所示。圖8.5-2零、極點(diǎn)與單位沖激響應(yīng)模式8.5.4零、極點(diǎn)分布與系統(tǒng)頻域特性由系統(tǒng)的零、極點(diǎn)分布不但可知系統(tǒng)時(shí)域響應(yīng)的模式，也可以定性了解系統(tǒng)的頻域(響)特性。因?yàn)橛煞€(wěn)定系統(tǒng)的H(s)在s平面上零、極點(diǎn)圖，可以大致地描繪出系統(tǒng)的頻響特性|H(ω)|和j(ω)。一般二階系統(tǒng)可表示為(8.5-8)取s=jω，即在s復(fù)平面中令s沿虛軸移動，得到對于任意零點(diǎn)zj(j=1，2)和極點(diǎn)pi(i=1，2)，相應(yīng)的復(fù)數(shù)因子(矢量)如圖8.5-3所示，都可以表示為零點(diǎn)與極點(diǎn)矢量，即(8.5-9)其中，Nj、Mi分別是零、極點(diǎn)矢量的模；ψj、θi分別是零、極點(diǎn)矢量與正實(shí)軸的夾角,則其中，由圖8.5-3可見，隨著ω變化，N、M長短會變化，ψ、θ也會變化。當(dāng)ω在0~∞范圍變化時(shí)，由矢量圖可以得到相應(yīng)的|H(ω)|和j(ω)曲線，再由對稱性可得到-∞~0的幅頻及相頻特性。當(dāng)系統(tǒng)函數(shù)零、極點(diǎn)數(shù)目不是很多時(shí)，利用零、極點(diǎn)矢量作定性的頻譜分析還是有其方便之處的。

例8.5-2用矢量作圖法求如圖8.5-4所示高通濾波器的幅頻、相頻特性。圖8.5-4例8.5-2高通濾波器解：式中，，零點(diǎn)z1=0，極點(diǎn)，零點(diǎn)與極點(diǎn)矢量如圖8.5-5所示圖8.5-5例8.5-2的零點(diǎn)與極點(diǎn)矢量圖

(1)幅頻特性。當(dāng)ω=0時(shí)，N1=0，所以|H(ω)|=0；隨著ω增大，N1、M1增大，且使|H(ω)|增大；當(dāng)ω趨于∞時(shí)，，使得|H(ω)|1。

(2)相頻特性j(ω)=j1-θ1。其中,j1=π/2，所以j(ω)=π/2-θ1。當(dāng)ω=0時(shí)，θ1=0，j(ω)=π/2；隨著ω增大，θ1增大，且使得j

(ω)減?。划?dāng)ω趨于∞時(shí)，θ1趨于π/2，j(ω)趨于0。

(3)由3分貝截止頻率ωC定義

20lg|H(ωC)|=-3dB或得解出

c=

幅頻、相頻特性如圖8.5-6所示。圖8.5-6例8.5-2的頻響特性為給出由零、極點(diǎn)定性繪出系統(tǒng)幅頻特性及相頻特性曲線的一般方法，先討論零、極點(diǎn)在虛軸上對幅頻、相頻特性的影響。虛軸上零、極點(diǎn)對幅頻、相頻特性的影響表現(xiàn)為：當(dāng)頻率變化至零點(diǎn)時(shí)有|H(ω)||ω=zj=0；當(dāng)頻率變化至極點(diǎn)時(shí)有|H(ω)||ω=pi=∞(非穩(wěn)定)。其相頻特性當(dāng)頻率ω通過虛軸上的零、極點(diǎn)時(shí)相位會發(fā)生±180°突跳。這種在虛軸上的零、極點(diǎn)情況是特例，具有一般意義的零、極點(diǎn)通常表示為zj=aj+jωj

，pi=aj+jωi。其中aj、aj為實(shí)部，當(dāng)aj、ai很小時(shí)，零、極點(diǎn)靠近虛軸，此時(shí)由零、極點(diǎn)定性繪出的系統(tǒng)幅頻特性及相頻特性曲線一般有以下特點(diǎn)。

(1)幅頻特性：在ω=ωi點(diǎn)，Mi=|pi|=|ai+jωi|最小，出現(xiàn)峰值；在ω=ωj點(diǎn)，Nj=|zj|=|aj+jωj|最小，出現(xiàn)谷值。

(2)相頻特性：在ω=ωi

，ω=ωj附近相位變化均加快。零、極點(diǎn)靠近虛軸時(shí)系統(tǒng)幅頻特性及相頻特性曲線如圖8.5-7所示。圖8.5-7靠近虛軸的零、極點(diǎn)頻響特性8.6連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的模擬

系統(tǒng)模擬是將描述系統(tǒng)的微分方程、系統(tǒng)函數(shù)轉(zhuǎn)變?yōu)閷?shí)際工程應(yīng)用系統(tǒng)的橋梁——將系統(tǒng)的數(shù)學(xué)表示轉(zhuǎn)變?yōu)閷?shí)際系統(tǒng)的中間環(huán)節(jié)，即將數(shù)學(xué)公式轉(zhuǎn)變?yōu)閷?shí)際應(yīng)用器件。8.6.1連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的模擬(仿真)

用系統(tǒng)的觀點(diǎn)來分析問題時(shí)，可以把系統(tǒng)看做一個(gè)“黑盒子”，不管其內(nèi)部的具體結(jié)構(gòu)、參數(shù)如何，所關(guān)心的只是輸入、輸出之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，如圖8.6-1所示。圖8.6-1系統(tǒng)的輸入、輸出表示通過實(shí)例可以證明，不同的結(jié)構(gòu)和參數(shù)的系統(tǒng)可以具有相同的輸入、輸出關(guān)系。例8.6-1分別求如圖8.6-2所示RL、RC電路的系統(tǒng)函數(shù)。圖8.6-2例8.6-1RL、RC電路解：這是兩個(gè)結(jié)構(gòu)、參數(shù)不同的一階系統(tǒng)，但由于它們的傳輸函數(shù)相同，因此它們的輸入、輸出關(guān)系完全相同，數(shù)學(xué)模型都是一階微分方程y

(t)+y(t)=f(t)二階LTI系統(tǒng)微分方程的一般形式為二階LTI系統(tǒng)微分方程的一般形式為(8.6-1)其系統(tǒng)函數(shù)為(8.6-2)要對連續(xù)LTI系統(tǒng)進(jìn)行模擬，就要對它的系統(tǒng)傳輸函數(shù)或微、積分方程進(jìn)行模擬。從上面的例子知道具有相同輸入、輸出關(guān)系的系統(tǒng)，系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)的結(jié)構(gòu)、參數(shù)不是唯一的，為此可以選擇容易實(shí)現(xiàn)的結(jié)構(gòu)進(jìn)行模擬。用三種基本運(yùn)算，就可對式(8.6-1)的運(yùn)算關(guān)系作系統(tǒng)模擬。這三種基本運(yùn)算是加法、標(biāo)量乘法與積分。它們對應(yīng)著三種基本模擬運(yùn)算器件：加法器、標(biāo)量乘法器、積分器。描述系統(tǒng)的輸入、輸出關(guān)系既可用數(shù)學(xué)方程描述，亦可由基本運(yùn)算器組成的模擬圖描述。下面先介紹基本運(yùn)算的模擬。

1.加法運(yùn)算關(guān)系

(8.6-3)加法器如圖8.6-3所示。圖8.6-3加法器

2.標(biāo)量乘法運(yùn)算關(guān)系

(8.6-4)標(biāo)量乘法器如圖8.6-4所示。圖8.6-4標(biāo)量乘法器

3.積分運(yùn)算關(guān)系積分器如圖8.6-5所示。圖8.6-5積分器基本運(yùn)算模擬的加法器、標(biāo)量乘法器、積分器有時(shí)域、復(fù)頻域兩種表示方法，所以一般模擬圖既可用時(shí)域也可用復(fù)頻域表示。因?yàn)閺?fù)頻域的系統(tǒng)函數(shù)是有理式，并且運(yùn)算簡單，因此實(shí)際系統(tǒng)模擬更常用復(fù)頻域表示。8.6.2系統(tǒng)模擬的直接(卡爾曼)形式

1.全極點(diǎn)系統(tǒng)模擬的直接形式一階系統(tǒng)的微分方程及系統(tǒng)函數(shù)表示為(8.6-6)

將一階線性系統(tǒng)的微分方程改寫為

y′(t)=f(t)-a0y(t)

(8.6-7)

將y′(t)做為積分器輸入，得到用基本運(yùn)算器組成的時(shí)域與復(fù)頻域模擬圖，如圖8.6-6所示。圖8.6-6一階系統(tǒng)模擬一階系統(tǒng)模擬的方法可推廣至全極點(diǎn)的二階系統(tǒng)模擬，其微分方程及系統(tǒng)函數(shù)為改寫微分方程

y″(t)=f(t)-a1y′(t)-a0y(t)

積分器的輸入為y″(t)，經(jīng)兩次積分得到y(tǒng)(t)，其模擬圖如圖8.6-7所示。(8.6-8)圖8.6-7無零點(diǎn)二階系統(tǒng)模擬2.二階系統(tǒng)模擬的直接(卡爾曼)形式

以上模擬實(shí)現(xiàn)了系統(tǒng)的極點(diǎn)，實(shí)際系統(tǒng)除了極點(diǎn)之外，一般還有零點(diǎn)。例如一般二階系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為(8.6-9)將上式改寫為(8.6-10)式(8.6-10)的模擬圖如圖8.6-8所示。圖8.6-8一般二階系統(tǒng)的模擬在系統(tǒng)模擬圖中，系數(shù)ai=bj=0時(shí)為開路；ai=bj=1時(shí)為短路。8.6.3其他形式的模擬復(fù)雜系統(tǒng)往往由多個(gè)子系統(tǒng)組成，常見的組合形式有子系統(tǒng)的級聯(lián)、并聯(lián)等。由于用方框圖可以簡化復(fù)雜系統(tǒng)的表示，突出系統(tǒng)的輸入、輸出關(guān)系，因此通常用方框圖表示子系統(tǒng)與系統(tǒng)的關(guān)系。

1.級(串)聯(lián)形式級(串)聯(lián)模擬實(shí)現(xiàn)方法是將H(s)分解為基本(一階)節(jié)相乘。(8.6-11)式中，H1(s)、H2(s)是H(s)的子系統(tǒng)。也有將級聯(lián)形式稱為串聯(lián)形式。式(8.6-11)表明級聯(lián)的系統(tǒng)函數(shù)是各子系統(tǒng)函數(shù)的乘積，子系統(tǒng)的級聯(lián)圖如圖8.6-9所示。圖8.6-9系統(tǒng)的級(串)聯(lián)方框圖

例8.6-2已知某系統(tǒng)函數(shù)為畫出由一階系統(tǒng)級聯(lián)的模擬圖。解：

一階系統(tǒng)級聯(lián)的模擬圖如圖8.6-10所示。圖8.6-10例8.6-2系統(tǒng)的級聯(lián)模擬圖

2.并聯(lián)模擬并聯(lián)模擬實(shí)現(xiàn)方法是對H(s)部分分式展開(8.6-12)式中，H1(s)、H2(s)是H(s)的子系統(tǒng)。

Hi(s)子系統(tǒng)模擬的基本形式同級聯(lián)模擬。整個(gè)系統(tǒng)可以看成是兩個(gè)子系統(tǒng)的疊加(并聯(lián))，其中每個(gè)子系統(tǒng)可按上面的子系統(tǒng)模擬，這種形式稱為并聯(lián)形式。子系統(tǒng)的并聯(lián)圖如圖8.6-11所示。圖8.6-11系統(tǒng)的并聯(lián)方框圖

例8.6-3已知某系統(tǒng)函數(shù)為畫出其并聯(lián)模擬圖。解：一階系統(tǒng)并聯(lián)的模擬圖如圖8.6-12所示。圖8.6-12例8.6-3系統(tǒng)的并聯(lián)模擬圖以上是系統(tǒng)的基本模擬方法，模擬方法的實(shí)現(xiàn)不同，調(diào)整的參數(shù)也有所不同。例如，直接形式(卡爾曼)可調(diào)整的是微分方程的系數(shù)ai、bj；級聯(lián)形式可調(diào)整系統(tǒng)的極點(diǎn)與零點(diǎn)；并聯(lián)形式可調(diào)整系統(tǒng)的極點(diǎn)。通?？筛鶕?jù)各種因素，選擇適當(dāng)?shù)哪M方式達(dá)到好的系統(tǒng)設(shè)計(jì)效果。8.7

LTI連續(xù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性

穩(wěn)定性是系統(tǒng)本身的性質(zhì)之一，激勵(lì)信號無關(guān)。穩(wěn)定系統(tǒng)也是一般系統(tǒng)設(shè)計(jì)的目標(biāo)之一。穩(wěn)定性的概念有幾種不同的提法，但是沒有實(shí)質(zhì)性的差別。這里給出普遍采用的穩(wěn)定系統(tǒng)定義：有界輸入產(chǎn)生有界輸出（簡稱BIBO）的系統(tǒng)。如果對有界激勵(lì)，系統(tǒng)的響應(yīng)無界，系統(tǒng)就是不穩(wěn)定的。LTI系統(tǒng)BIBO穩(wěn)定的充分必要條件是單位沖激響應(yīng)絕對可積：

式中M為一有界的實(shí)數(shù)。滿足式(8.7-1)的h(t)，一定是隨時(shí)間衰減的函數(shù)，即。LTI系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)與單位沖激響應(yīng)集中表征了系統(tǒng)特性，穩(wěn)定性也必在其中。所以既可由的不同情況，也可由H(s)的極點(diǎn)分布對系統(tǒng)穩(wěn)定性進(jìn)行分類。(8.7-1)

1.穩(wěn)定由8.5節(jié)零、極點(diǎn)分析可知，若H(s)的全部極點(diǎn)在s的左半平面(不含jω軸)，單位沖激響應(yīng)滿足

(8.7-2)系統(tǒng)穩(wěn)定。

2.不穩(wěn)定若H(s)有極點(diǎn)落在右半平面或者jω軸、原點(diǎn)處(有二階以上重極點(diǎn))，則單位沖激響應(yīng)

(8.7-3)系統(tǒng)不穩(wěn)定。

3.邊(臨)界穩(wěn)定若H(s)在原點(diǎn)或jω軸上有一階極點(diǎn)，則雖然單位沖激響應(yīng)，但|h(t)|<M，0<t<

(8.7-4)例如純LC網(wǎng)絡(luò)，其單位沖激響應(yīng)為無阻尼(等幅)的正弦振蕩。因