《材料力學(xué)》課件第1章

第1章

緒

論1.1材料力學(xué)的任務(wù)與研究對象1.2材料力學(xué)的基本假設(shè)1.3外力與內(nèi)力1.4應(yīng)力與應(yīng)變1.5桿件變形的基本形式1.1材料力學(xué)的任務(wù)與研究對象1.1.1材料力學(xué)的任務(wù)實踐表明：構(gòu)件的變形與作用力有關(guān)。當作用力過大時構(gòu)件將產(chǎn)生顯著塑性變形或發(fā)生斷裂，這在工程中是不允許的。為了保證機械或工程結(jié)構(gòu)能夠安全、正常工作，構(gòu)件應(yīng)有足夠的能力承擔相應(yīng)的載荷。為此，一般需要滿足如下三方面的要求。

(1)強度要求：在規(guī)定載荷作用下構(gòu)件不應(yīng)發(fā)生破壞。這里所指的破壞，不僅是指構(gòu)件在外力作用下的斷裂，還包含構(gòu)件產(chǎn)生過大的塑性變形，如儲氣罐在工作時不應(yīng)發(fā)生爆裂。強度是指構(gòu)件抵抗破壞的能力。

(2)剛度要求：在規(guī)定載荷作用下構(gòu)件不應(yīng)發(fā)生過大的彈性變形，如機床主軸若產(chǎn)生過大彈性變形會影響加工精度。（剛度是指構(gòu)件抵抗彈性變形的能力。）

(3)穩(wěn)定性要求：在規(guī)定載荷作用下構(gòu)件應(yīng)保持其原有的平衡狀態(tài)。受壓的細長桿件，如千斤頂?shù)穆輻U、內(nèi)燃機的挺桿等，當壓力增大到一定值時會突然變彎。穩(wěn)定性是指構(gòu)件保持其原有平衡狀態(tài)的能力。

在工程中，一般構(gòu)件都應(yīng)滿足上述三個要求，但對某一個具體構(gòu)件往往又有所側(cè)重。如儲氣罐主要要求保證強度，車床主軸主要要求具備足夠的剛度，受壓的細長桿則要求足夠的穩(wěn)定性。此外，對某些特殊構(gòu)件可能還有相反的要求，例如為了防止超載，當載荷超出某一范圍時，安全銷應(yīng)立即破壞。又如為了降低振動沖擊，車輛的緩沖彈簧應(yīng)有較大的彈性變形等。在設(shè)計構(gòu)件時，不僅要滿足上述三方面的安全性要求，還應(yīng)盡可能選用合適的材料，減少材料的用量，以降低成本或減輕重量。也就是說，設(shè)計構(gòu)件時既要考慮安全性，又要考慮經(jīng)濟性。安全性要求選用優(yōu)質(zhì)材料或增大橫截面尺寸，經(jīng)濟性要求盡可能使用廉價材料或減小橫截面尺寸，這兩個要求是彼此矛盾的。材料力學(xué)的任務(wù)就是在滿足強度、剛度和穩(wěn)定性要求的前提下，以最經(jīng)濟的代價，為構(gòu)件確定合理的截面形狀和尺寸，選擇合適的材料，為設(shè)計構(gòu)件提供必要的理論基礎(chǔ)和計算方法。1.1.2材料力學(xué)的研究對象

工程中有各種形狀的構(gòu)件，按照其幾何特征，主要可分為桿件、板件和塊。

一個方向的尺寸遠大于其他兩個方向尺寸的構(gòu)件，稱為桿件（見圖1-1）。桿件是工程中最常見、最基本的構(gòu)件。梁、軸、柱等均屬桿類構(gòu)件。圖1-1桿件橫截面的幾何中心稱為形心，各橫截面形心的連線稱為桿件的軸線。橫截面與軸線相互正交。軸線為直線的桿稱為直桿；軸線為曲線的桿稱為曲桿。所有橫截面形狀和尺寸相同的桿稱為等截面桿；橫截面的形狀和尺寸不完全相同的桿稱為變截面桿。

一個方向的尺寸遠小于其他兩個方向尺寸的構(gòu)件，稱為板件（見圖1-2）。平分板件厚度的幾何面，稱為中面。中面為平面的板件稱為板（見圖1-2(a)），中面為曲面的板件稱為殼（見圖1-2(b)）。薄壁容器等均屬此類構(gòu)件。圖1-2三個方向幾何尺寸相近的構(gòu)件稱為塊。

材料力學(xué)的主要研究對象是桿，以及由若干桿組成的簡單桿系，同時也研究一些形狀與受力均比較簡單的板、殼、塊。至于一般較復(fù)雜的桿系與板殼問題，則屬于結(jié)構(gòu)力學(xué)與彈性力學(xué)的研究范疇。工程中的大部分構(gòu)件屬于桿件，桿件分析的原理與方法是分析其他形式構(gòu)件的基礎(chǔ)。 1.2材料力學(xué)的基本假設(shè)

構(gòu)件在外力作用下會產(chǎn)生變形，制造構(gòu)件的材料稱為變形固體。變形固體的性質(zhì)是多方面的，從不同角度研究問題，側(cè)重面也有所不同。在研究構(gòu)件的強度、剛度、穩(wěn)定性問題時，為了抽象出力學(xué)模型，掌握與研究問題有關(guān)的主要因素，略去一些次要因素，材料力學(xué)對變形固體做出如下基本假設(shè)：(1)連續(xù)性假設(shè)：假設(shè)組成固體的物質(zhì)毫無間隙地充滿了固體的幾何空間。實際上，組成固體的粒子之間存在著空隙(圖1-3是球墨鑄鐵的顯微組織，圖1-4是普通碳素鋼的顯微組織，圖1-5是優(yōu)質(zhì)碳素鋼的顯微組織)。但這種空隙的大小與構(gòu)件尺寸相比極其微小，可以忽略不計，于是就認為固體在其整個體積內(nèi)是連續(xù)的。這樣，構(gòu)件內(nèi)的一些力學(xué)量（例如各點的位移）可用坐標的連續(xù)函數(shù)來表示，對這些函數(shù)可進行坐標增量為無限小的極限分析。圖1-3圖1-4圖1-5應(yīng)該指出，連續(xù)性不僅存在于構(gòu)件變形前，而且存在于變形后，即構(gòu)件內(nèi)變形前相鄰的質(zhì)點變形后仍保持鄰近，既不產(chǎn)生新的空隙或空洞，也不出現(xiàn)重疊現(xiàn)象。所以，上述假設(shè)也稱為變形連續(xù)性假設(shè)。(2)均勻性假設(shè):假設(shè)固體內(nèi)各點處具有完全相同的力學(xué)性能。材料在外力作用下所表現(xiàn)的性能，稱為材料的力學(xué)性能。就工程中使用最多的金屬材料來說，組成金屬的各晶粒的力學(xué)性能并不完全相同。但構(gòu)件或構(gòu)件的任何一部分都包含了無數(shù)晶粒，而且無規(guī)則地排列，固體的力學(xué)性能是各晶粒力學(xué)性能的統(tǒng)計平均值，所以可認為各部分的力學(xué)性能是均勻的。這樣，如果從固體中取出一部分，不論大小，也不論從何處取出，其力學(xué)性能總是相同的。

上述兩種假設(shè)可統(tǒng)稱為均勻連續(xù)性假設(shè)。以此假設(shè)為基礎(chǔ)，研究構(gòu)件的強度、剛度、穩(wěn)定性問題所得出的結(jié)論是滿足工程要求的。而對于發(fā)生在晶粒大小范圍內(nèi)的力學(xué)問題，均勻連續(xù)性假設(shè)不成立。(3)各向同性假設(shè)：假設(shè)材料沿各個方向具有完全相同的力學(xué)性能。沿各個方向具有相同力學(xué)性能的材料稱為各向同性材料。例如玻璃為典型的各向同性材料。金屬的各個晶粒均屬于各向異性體，但由于金屬構(gòu)件所含晶粒極多，而且晶粒的排列也是完全無序的，因此，在各個方向上力學(xué)性質(zhì)趨于相同，宏觀上可將金屬視為各向同性材料。在今后的討論中一般都將變形固體假定為各向同性的。綜上所述，在材料力學(xué)中，一般將實際材料看做是連續(xù)、均勻和各向同性的可變形固體。實踐表明，在此基礎(chǔ)上所建立的理論與分析結(jié)果，與大多數(shù)工程材料制成的構(gòu)件的實際情況相吻合，符合工程要求。

但是，上述假設(shè)并不適用于所有材料,竹子、木材、膠合板及某些人工合成材料的宏觀力學(xué)性能就是各向異性的，沿各個方向力學(xué)性能不同的材料稱為各向異性材料。某些高強度或超高強度材料對缺陷具有較強的敏感性，考慮這些材料制成的構(gòu)件的強度時，便不能采用均勻連續(xù)性假設(shè)。 1.3外力與內(nèi)力

1.外力及其分類

研究某一構(gòu)件時，該構(gòu)件以外的其他物體作用在該構(gòu)件上的力稱為外力。

按外力的作用方式，可將作用在構(gòu)件上的外力分為表面力和體積力。表面力是作用于物體表面的力，又可分為分布力和集中力。分布力是連續(xù)作用于物體表面的力，如作用于油缸內(nèi)壁上的油壓力等。有些分布力是沿桿件軸線作用的，如樓板對屋梁的作用力。若外力分布面積遠小于物體的表面尺寸，或沿桿件軸線分布范圍遠小于軸線長度，就可將其視為作用于一點的集中力，如車輪對鋼軌的壓力，軸承對軸的支承力等。體積力是連續(xù)分布于物體內(nèi)各點的力，如物體的自重和慣性力等。按載荷隨時間變化的情況又可將外力分為靜載荷與動載荷。載荷緩慢地由零增加到某一定值，以后即保持不變，或變動不顯著，這種載荷稱為靜載荷。如機器緩慢地放置在基礎(chǔ)上，機器的重量對基礎(chǔ)的作用便是靜載荷。若載荷隨時間的變更而變化，這種載荷稱為動載荷。隨時間交替變化的載荷稱為交變載荷，物體的運動在短時內(nèi)突然改變所引起的載荷稱為沖擊載荷。

材料在靜載荷和動載荷作用下的性能頗不相同，分析方法也迥異。因為靜載荷問題比較簡單，所建立的理論和方法又可作為解決動載荷問題的基礎(chǔ)，所以，先研究靜載荷問題，后研究動荷問題。2.內(nèi)力與截面法

構(gòu)件即使不受外力作用，內(nèi)部各質(zhì)點之間仍然存在著相互作用力。構(gòu)件受到外力作用產(chǎn)生變形時，構(gòu)件內(nèi)部各質(zhì)點之間的相對位置將發(fā)生變化，同時各質(zhì)點間的相互作用力也將發(fā)生改變。材料力學(xué)中的內(nèi)力，是指在外力作用下構(gòu)件各質(zhì)點間相互作用力的改變量，即“附加內(nèi)力”。這樣，內(nèi)力隨外力的增加而增加，達到一定限度時就會引起構(gòu)件失效，因而內(nèi)力與構(gòu)件的破壞、變形密切相關(guān)。為了顯示內(nèi)力，假想地用一個m-m截面將構(gòu)件分為Ⅰ、Ⅱ兩部分，如圖1-6

(a)所示。任取其中一部分作為研究對象（如Ⅰ），將Ⅱ?qū)Β竦淖饔糜媒孛嫔系膬?nèi)力來代替。由均勻連續(xù)性假設(shè)可知，內(nèi)力在橫截面上是連續(xù)分布的。這些分布力構(gòu)成一空間任意力系，見圖1-6(b)，將其向截面形心C簡化后可得一主矢F和一主矩M，稱其為該截面上的內(nèi)力。本書中用粗體表示力矢量，用普通字體表示力的大小。原構(gòu)件在外力作用下處于平衡狀態(tài)，Ⅰ部分也應(yīng)處于平衡狀態(tài)，作用于其上的外力與橫截面上的內(nèi)力F、M構(gòu)成一平衡力系。根據(jù)靜平衡方程即可確定m-m截面上的內(nèi)力。

上述用截面假想地將構(gòu)件分為兩部分，以顯示并確定內(nèi)力的方法稱為截面法?？蓪⑵錃w納為以下三個步驟：(1)截：欲確定構(gòu)件某一截面上的內(nèi)力時，假想地用一平面將構(gòu)件沿該截面分為兩部分。(2)取：取其中任一部分為研究對象，棄去另一部分，并用作用于截面上的內(nèi)力代替棄去部分對留下部分的作用。(3)算：對留下的部分建立靜平衡方程，確定該截面上的內(nèi)力。圖1-6

例1-1

某搖臂鉆床如圖1-7(a)所示，承受載荷F作用。試確定m-m截面上的內(nèi)力。圖1-7

解

（1）截：沿m-m截面假想地將立柱截開。

（2）取：取上半部分為研究對象，并選取Oxy坐標系，如圖1-7(b)所示。

（3）算：整個鉆床處于平衡狀態(tài)，上半部分在載荷及內(nèi)力作用下亦應(yīng)處于平衡狀態(tài)。列出靜平衡方程為求得內(nèi)力FN和M分別為

求出的內(nèi)力是m-m截面上分布內(nèi)力系向O點簡化的結(jié)果。 1.4應(yīng)力與應(yīng)變

1.應(yīng)力

前面所求出的桿件橫截面上的內(nèi)力是分布內(nèi)力系向截面形心簡化的結(jié)果。它說明了截面上的內(nèi)力與作用在桿件上的外力的平衡關(guān)系，但不能說明分布內(nèi)力系在截面內(nèi)某一點處的強弱程度。顯然構(gòu)件的變形和破壞，不僅取決于內(nèi)力的大小，還取決于內(nèi)力的分布狀況。為此引入內(nèi)力集度即應(yīng)力的概念。設(shè)在圖1-8(a)所示受力構(gòu)件的m-m截面上，圍繞C點取一微小面積ΔA，ΔA上內(nèi)力的合力為ΔF。則ΔF與ΔA的比值稱為ΔA上的平均應(yīng)力，并用pm表示，即（1-1）

一般情況下，內(nèi)力在截面上并非均勻分布，平均應(yīng)力的大小、方向?qū)㈦S所取ΔA的大小不同而變化。當ΔA→0時，平均應(yīng)力的極限值稱為C點的內(nèi)力集度，或總應(yīng)力p，即（1-2）

總應(yīng)力p的方向就是當ΔA→0時ΔF的極限方向。在國際單位制中，應(yīng)力的單位為Pa（帕），1Pa=1N/m

2。由于這個單位太小，使用起來不方便，通常用MPa（兆帕）表示，1MPa＝106Pa＝106N/m2=1N/mm2。

通常將總應(yīng)力p沿截面的法向與切向分解為兩個量（見圖1-8(b)）。沿截面法向的應(yīng)力分量稱為正應(yīng)力，用σ表示；沿截面切向的應(yīng)力分量稱為切應(yīng)力，用τ表示。顯然有圖1-82.應(yīng)變

假想將構(gòu)件分割成許多微小的單元體。構(gòu)件受力后不僅各單元體的位置發(fā)生改變，而且單元體棱邊的長度發(fā)生改變（見圖1-9(a)），相鄰棱邊間的夾角也發(fā)生改變（見圖1-9(b)）。圖1-9設(shè)棱邊ka的原長為Δs，長度改變量為Δu，則Δu與Δs的比值稱為棱邊ka的平均線應(yīng)變，用εm表示，即（1-4）

一般情況下，棱邊ka各點處的變形程度并不相同。為了精確地描述k點沿棱邊ka方向的變形情況，應(yīng)選取無限小的單元體進行研究，由此可得平均線應(yīng)變的極限值：（1-5）稱其為k點處沿棱邊ka方向的線應(yīng)變。采用同樣方法，還可確定k點處沿其他方向的線應(yīng)變。

當單元體變形時，相鄰棱邊間的夾角一般也會發(fā)生改變。微體相鄰棱邊所夾直角的改變量（見圖1-9(b)）稱為切應(yīng)變，用γ表示。切應(yīng)變的單位為弧度（rad）。

由定義可以看出線應(yīng)變與切應(yīng)變均是量綱為1的量。

構(gòu)件的整體變形是構(gòu)成構(gòu)件的微體局部變形組合的結(jié)果，而微體的局部變形則可用線應(yīng)變與切應(yīng)變來度量。

例1-2兩邊固定的矩形薄板如圖1-10所示。變形后ab和ad兩邊保持為直線。a點沿垂直方向向下移動0.025mm。試求ab邊的平均線應(yīng)變和ab、ad兩邊夾角的變化量。

解

ab邊的平均線應(yīng)變?yōu)樽冃魏骯b和ad兩邊的夾角變化量為由于γ非常微小，顯然有圖1-101.5桿件變形的基本形式工程中很多構(gòu)件都可簡化