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文檔簡介
模塊5基本信號及信號的運(yùn)算5.1基本信號
5.2信號的運(yùn)算
本模塊小結(jié)習(xí)題5 5.1基本信號
5.1.1指數(shù)信號
1.實(shí)指數(shù)信號
實(shí)指數(shù)信號的表達(dá)式為
f(t)=Eeat
(5.1.1)
式中,a為實(shí)數(shù)。f(t)的波形與a的大小有關(guān),如圖5.1.1所示。
指數(shù)衰減信號在t<0時(shí)函數(shù)值為零,稱為單邊指數(shù)衰減信號,其表示式為
其波形如圖5.1.2所示。在電路瞬態(tài)分析中該信號用得較多。(5.1.2)圖5.1.1指數(shù)信號圖5.1.2單邊指數(shù)衰減信號
2.復(fù)指數(shù)信號
當(dāng)式(5.1.1)中的實(shí)指數(shù)因子a變?yōu)橐粡?fù)數(shù)s時(shí),函數(shù)變?yōu)閺?fù)指數(shù)信號,其表示式為
f(t)=Eest
(5.1.3)
式中,s=σ+jω。根據(jù)歐拉公式:
ejωt=cos(ωt)+jsin(ωt)
可知,復(fù)指數(shù)信號又可以表示為
f(t)=Ee(σ+jω)t=Eeσtcos(ωt)+jEeσtsin(ωt)
(5.1.4)5.1.2單位斜變信號
單位斜變信號是指從某一時(shí)刻開始隨時(shí)間正比例增長的信號,如果增長的變化率是1,就稱為單位斜變信號,通常用R(t)表示,其波形如圖5.1.3(a)所示,其表示式為
如果將起點(diǎn)移至t0處,則其波形如圖5.1.3(b)所示,稱為R(t)的時(shí)移信號,表示式為(5.1.5)(5.1.6)圖5.1.3單位斜變信號5.1.3單位階躍信號
1.單位階躍信號的定義式
單位階躍信號簡稱為階躍信號,通常用ε(t)表示,其波形如圖5.1.4(a)所示,表示式為
在t=0時(shí)刻,函數(shù)未定義,可根據(jù)實(shí)際的物理意義,定義ε(t)在t=0處的函數(shù)值為0、1、1/2等。(5.1.7)圖5.1.4單位階躍信號單位階躍信號的物理意義是:當(dāng)ε(t)為電路的電源時(shí),相當(dāng)于該電路在t=0時(shí)刻接入單位直流電源,且不再變化,其示意圖如圖5.1.5所示。圖5.1.5
ε(t)的物理意義圖5.1.4(b)、(c)分別表示將ε(t)右移至t0位置和左移至-t0位置所形成的圖形,它們的函數(shù)表達(dá)式分別是
ε(t-t0)和ε(t+t0)均稱為ε(t)的時(shí)移信號。(5.1.9)(5.1.8)
2.單位階躍信號的性質(zhì)
單位階躍信號具有截取信號的能力。所謂截取信號的能力,是指任一信號f(t)與單位階躍信號ε(t)的乘積f(t)ε(t)所表示的信號是f(t)中t>0的部分。同理,f(t)ε(t-t0)表示的信號是f(t)中t>t0的部分。
對實(shí)際問題中的信號,在確定時(shí)間以后或在有限的時(shí)間范圍內(nèi),利用階躍信號幅度值為1的特點(diǎn),就可以將這些信號用單位階躍信號及其時(shí)移信號來表示信號存在的時(shí)間范圍。
例如,單邊指數(shù)衰減信號可表示為
f(t)=Ee-atε(t)
(5.1.10)單位斜變信號可表示為
R(t)=tε(t)
(5.1.11)
比較式(5.1.10)和式(5.1.11)與式(5.1.2)和式(5.1.5)即可看出,這種表示法比分段表示的函數(shù)形式簡便得多。
應(yīng)注意單邊指數(shù)衰減信號、單位斜變信號圖像與圖5.1.6所示的函數(shù)圖的區(qū)別。圖5.1.6指數(shù)衰減函數(shù)和正比例函數(shù)又如,一般的正弦信號是定義在全時(shí)間范圍內(nèi)的(見圖5.1.7(a)),即
f(t)=sin(ωt)
(-∞<t<∞)
(5.1.12)
(1)取t>0以后的正弦信號(見圖5.1.7(b)),即
f(t)=sin(ωt)
(t>0)
(5.1.13)
即可用ε(t)去限制它的時(shí)間區(qū)間,表示為
f1(t)=sin(ωt)ε(t)
(5.1.14)
(2)取t≥t0以后的正弦信號(見圖5.1.7(c)),用ε(t)可表示為
f2(t)=sin(ωt)ε(t-t0)
(5.1.15)圖5.1.7存在于不同區(qū)間的正弦信號
3.由階躍信號組成的門信號
門信號是另一個(gè)重要的信號,常用Gτ(t)表示,其波形如圖5.1.8所示,它是寬度為τ、幅度為1的矩形脈沖,且門信號的寬度的位置是可以任意選定的。
圖5.1.8所示的門信號的表示式為(5.1.16)(5.1.17)圖5.1.8門信號
【例5.1.1】分別用門信號和階躍信號表示圖5.1.9所示的信號。
解:f1(t)=2[ε(t+1)-ε(t)]+ε(t)-ε(t-2)=2ε(t+1)-ε(t)-ε(t-2)
因T=4π, ,故圖5.1.9例5.1.1圖5.1.4單位沖激信號
1.δ(t)函數(shù)的定義式
沖激函數(shù)的定義方式有多種,現(xiàn)給出它的工程定義式:
單位沖激信號的波形如圖5.1.10(a)所示。(5.1.18)圖5.1.10沖激信號沖激函數(shù)的另一種定義式是通過對某些滿足一定條件的規(guī)則信號取廣義極限而建立起來的。例如,選取圖5.1.11所示的矩形脈沖f(t),該脈沖的寬度為τ,幅度為,面積為1。如果減小脈寬τ,則脈沖幅度必增大,但面積仍為1。當(dāng)τ趨于零時(shí),必趨于無窮大,但面積恒等于1不變。這個(gè)矩形脈沖在τ→0時(shí)的極限就是單位沖激信號δ(t)。它的數(shù)學(xué)表達(dá)式為(5.1.19)圖5.1.11沖激函數(shù)的另一種定義
2.沖激信號的主要性質(zhì)
單位沖激信號不同于其他常見的信號,它有幾個(gè)性質(zhì)比較突出。
(1)如果f(t)是一個(gè)在t=0或t=t0點(diǎn)連續(xù)且處處有界的函數(shù),則有
f(t)δ(t)=f(0)δ(t)
(5.1.20)
f(t)δ(t-t0)=f(t0)δ(t-t0)
(5.1.21)
(2)沖激函數(shù)的抽樣性(也稱篩選性)如下:(5.1.22)(5.1.23)
(3)沖激函數(shù)是偶函數(shù),即
δ(t)=δ(-t)
(5.1.24)
(4)沖激函數(shù)與階躍函數(shù)的關(guān)系如下:(5.1.25)(5.1.26)(5.1.27)
【例5.1.2】完成下列運(yùn)算。
(1)(t2-t+1)δ(t+1);
(2)e-t[δ(t)-δ(t-1)];
解:(1)(t2-t+1)δ(t+1)=3δ(t+1)
(2)e-t[δ(t)-δ(t-1)]=δ(t)-e-1δ(t-1)(3);(4)。(3)(4)
【例5.1.3】已知信號f(t)的波形如圖5.1.12所示,試求出f(t)、f'(t)的表達(dá)式,并畫出導(dǎo)函數(shù)f'(t)的波形圖。
解:
f1(t)=ε(t)-ε(t-1)+t[ε(t-1)-ε(t-2)]
f'1(t)=δ(t)-δ(t-1)+ε(t-1)-ε(t-2)+t[δ(t-1)
-δ(t-2)]
=δ(t)+(t-1)δ(t-1)-tδ(t-2)+ε(t-1)-ε(t-2)
=δ(t)-2δ(t-2)+ε(t-1)-ε(t-2)圖5.1.12例5.1.3圖一這里的計(jì)算使用了公式f(t)δ(t-t0)=f(t0)δ(t-t0)和 、 ,得
(t-1)δ(t-1)=0
-tδ(t-2)=-2δ(t-2)
又因 , ,所以
f2(t)=2[ε(t)-ε(t-1)]+ε(t-1)-ε(t-2)
f'2(t)=2[δ(t)-δ(t-1)]+δ(t-1)-δ(t-2)
=2δ(t)-δ(t-1)-δ(t-2)
可見,f'2(t)是由3個(gè)沖激信號組成的。
f'1(t)、f'2(t)的波形圖如圖5.1.13所示。圖5.1.13例5.1.3圖二由圖5.1.12和圖5.1.13可歸納出另一種求導(dǎo)函數(shù)f'(t)的更為簡捷的方法,具體步驟如下(以f1(t)為例):
(1)因
所以
(2)若已知在函數(shù)f(t)不連續(xù)點(diǎn)處的跳變值,則導(dǎo)函數(shù)f'(t)在該點(diǎn)是一個(gè)強(qiáng)度等于這個(gè)跳變值的沖激信號。
因此,函數(shù)f1(t)在不連續(xù)點(diǎn)t=0處,f1(t)的跳變值是1,則該處的導(dǎo)函數(shù)f'1(t)是一個(gè)強(qiáng)度為1的沖激信號δ(t);在不連續(xù)點(diǎn)t=2處,f1(t)的跳變值是-2,則該處的導(dǎo)函數(shù)f'1(t)是一個(gè)強(qiáng)度為-2的沖激信號-2δ(t-2)。
綜合以上兩步驟得知,導(dǎo)函數(shù)f'1(t)是由一個(gè)門信號和兩個(gè)沖激信號組成的,因此不難畫出f'1(t)的波形圖如圖5.1.13(a)所示。5.1.5正負(fù)號信號
正負(fù)號函數(shù)又稱符號函數(shù),用sgn(t)表示,其表示式為
該函數(shù)的波形圖如圖5.1.14(a)所示。
圖5.1.14(b)、(c)的表示式是
f1(t)=Esgn(t)
(5.1.29)
f2(t)=sgn(t+t0)
(5.1.30)(5.1.28)
5.2信號的運(yùn)算
5.2.1信號的和、積、微分與積分運(yùn)算
1.信號的和、積運(yùn)算
信號的和與積運(yùn)算的方法是:信號在同一瞬間的函數(shù)值之和(積)等于和(積)信號在該瞬間的函數(shù)值。這一運(yùn)算比較簡單,易于理解。
2.信號的微分與積分運(yùn)算
信號的微分運(yùn)算f'(t)已在5.1節(jié)例5.1.3中作了詳細(xì)的說明。應(yīng)該特別注意的是,在不連續(xù)點(diǎn)處的微分是一個(gè)強(qiáng)度為跳變量大小的沖激函數(shù)。信號的積分運(yùn)算定義為: ,表示從-∞到t時(shí)間內(nèi)對函數(shù)f(t)的積分,t為任一時(shí)刻,是一變量。
【例5.2.1】已知f(t)的波形如圖5.2.1(a)所示,試求出信號的微分運(yùn)算f'(t)和信號的積分運(yùn)算 ,并作出函數(shù)f'(t)和f-1(t)的波形圖。圖5.2.1例5.2.1圖
解:(1)微分運(yùn)算。因?yàn)樵?<t<2時(shí),f'(t)=0,而t=1時(shí),函數(shù)f(t)不連續(xù),其跳變量為1,所以在t=1處,導(dǎo)函數(shù)f'(t)有一個(gè)沖激強(qiáng)度為1的沖激函數(shù)δ(t-1)。在t=2處,函數(shù)f(t)也不連續(xù),其跳變量為-1,所以在t=2處,導(dǎo)函數(shù)f'(t)有一個(gè)沖激強(qiáng)度為-1的沖激函數(shù)δ(t-2)。
總結(jié)以上幾點(diǎn),可將導(dǎo)函數(shù)f'(t)的波形圖畫出,如圖5.2.1(b)所示。
(2)積分運(yùn)算。因?yàn)樵趖<1時(shí),f(t)=0,所以因?yàn)樵?<t<2時(shí),f(t)=1,所以
因?yàn)樵趖>2時(shí),f(t)=0,所以
總結(jié)以上幾點(diǎn),可將導(dǎo)函數(shù)f-1(t)的波形圖畫出,如圖5.2.1(c)所示。5.2.2信號的時(shí)移、反折、尺度運(yùn)算
1.信號的時(shí)移運(yùn)算
信號的時(shí)移運(yùn)算是指將信號f(t)表達(dá)式中的t用t±t0替換,成為f(t±t0)(t0>0),同時(shí)f(t)定義域中的t也要被t±t0替換,新信號f(t±t0)稱為原信號f(t)的時(shí)移信號。例如,圖5.1.3(b)所示的R(t-t0),圖5.1.4(b)、(c)所示的ε(t-t0)和ε(t+t0),圖5.1.10(b)、(d)所示的δ(t-t0)和Bδ(t-t0),圖5.1.14(c)所示的sgn(t+t0),均為時(shí)移信號。
由以上波形圖可知,f(t+t0)的波形比f(t)的波形在時(shí)間上超前t0,即f(t+t0)的波形是f(t)的波形沿時(shí)間軸向左平移t0;f(t-t0)的波形比f(t)的波形在時(shí)間上滯后t0,即f(t-t0)的波形是f(t)的波形沿時(shí)間軸向右平移t0。
2.信號的反折運(yùn)算
信號的反折運(yùn)算是指將信號f(t)的表達(dá)式以及定義域中的所有自變量t用-t替換,成為f(-t),新信號f(-t)稱為原信號f(t)的反折信號。
信號的反折運(yùn)算的方法是:將f(t)的波形圖沿縱軸進(jìn)行折疊(即左、右翻轉(zhuǎn)180°),就得到了反折信號f(-t)。
例如,ε(-t)的波形圖如圖5.2.2所示。圖5.2.2反折運(yùn)算
【例5.2.2】已知函數(shù)f(t)的波形圖如圖5.2.3(a)所示,試作出函數(shù)f(-t)的波形圖。
解:按照反折運(yùn)算的方法,畫出f(t)的反折運(yùn)算f(-t)的波形圖如圖5.2.3(b)所示。
信號的時(shí)移運(yùn)算和反折運(yùn)算經(jīng)常是一起應(yīng)用的,此時(shí),建議讀者按照先時(shí)移、后反折的順序運(yùn)算,這樣不易出現(xiàn)錯(cuò)誤。圖5.2.3例5.2.2圖
【例5.2.3】已知f(t)的波形圖如圖5.2.3(a)所示,試作出f(1-t)的波形圖。
解:將f(t)先進(jìn)行時(shí)移運(yùn)算,f(t)變成了f(t+1),如圖5.2.4(a)所示,然后進(jìn)行反折運(yùn)算,則f(t+1)變成了f(1-t),如圖5.2.4(b)所示。圖5.2.4例5.2.3圖
3.信號的尺度運(yùn)算
信號的尺度運(yùn)算就是將信號f(t)轉(zhuǎn)換成新信號f(at)的過程,即用新的時(shí)間變量at(a≠0)替換f(t)中的時(shí)間變量t后,所得到的新信號就是f(at)。f(at)就是f(t)經(jīng)過尺度運(yùn)算后的信號。
【例5.2.4】設(shè)信號f(t)的波形如圖5.2.5(a)所示,其數(shù)學(xué)表達(dá)式為
試作出f(2t)、f(t/2)的波形圖。圖5.2.5例5.2.4圖
解:(1)以新的時(shí)間變量2t替換f(t)中的時(shí)間變量t,可得到
據(jù)此畫出f(2t)的波形圖如圖5.2.5(b)所示。
(2)以新的時(shí)間變量替換f(t)中的時(shí)間變量t,可得到
據(jù)此畫出f(t/2)的波形圖如圖5.2.5(c)所示。
【例5.2.5】已知f(t)的波形如圖5.2.3(a)所示,試作出f(1-2t)的波形圖。
解:此例是含有尺度、時(shí)移、反折三種運(yùn)算的綜合題目。建議讀者按下列順序來進(jìn)行運(yùn)算:先時(shí)移,后反折,再尺度。這樣不易出現(xiàn)時(shí)移錯(cuò)誤,即按下列順序進(jìn)行:
f(t)→f(t+1)→f(1-t)→f(1-2t)
例5.2.3已將f(t+1)、f(1-t)的波形圖畫出,根據(jù)f(1-t)的波形圖,對其進(jìn)行尺度運(yùn)算,即可得到f(1-2t)的波形圖,如圖5.2.6所示。圖5.2.6例5.2.5圖
本模塊小結(jié)
1.基本信號
本模塊重點(diǎn)介紹了常見信號的定義式、波形、特性以及信號的基本運(yùn)算,包括指數(shù)信號、單位斜變信號、單位階躍信號、門信號、單位沖激信號和正負(fù)號信號等。
單位階躍信號和門信號均有截取信號的能力,可以用單位階躍信號及其時(shí)移信號和門信號來表示信號存在的時(shí)間范圍。
單位沖激信號的工程定義式為單位沖激信號具有以下性質(zhì):
f(t)δ(t)=f(0)δ(t)
f(t)δ(t-t0)=f(t0)δ(t-t0)
2.信號運(yùn)算
(1)信號的和、積運(yùn)算:兩信號逐點(diǎn)逐段相加(乘)作為和(積)信號在該處的函數(shù)值。
(2)微分運(yùn)算:先對f(t)求導(dǎo),然后求在不連續(xù)點(diǎn)處的導(dǎo)函數(shù),這是一個(gè)強(qiáng)度為跳變量大小的沖激函數(shù)。
(3)積分運(yùn)算:表示從-∞到t時(shí)間內(nèi)對函數(shù)f(t)積分。t為任一時(shí)刻,是一變量。
(4)時(shí)移運(yùn)算:將f(t)波形沿橫軸向右(左)平移t0就得到了f(t-t0)、f(t+t0)的波形。
(5)反折運(yùn)算:將f(t)波形以縱鈾為對稱鈾折疊(即翻轉(zhuǎn)180°)便得到了f(-t)的波形。
(6)尺度運(yùn)算:將f(t)的波形圖由原點(diǎn)擴(kuò)展(或壓縮)到原來的1/a,即得到f(at)的波形。
習(xí)題5
5.1試用門函數(shù)寫出習(xí)題5.1圖所示信號的表達(dá)式。習(xí)題5.1圖
5.2作以下各信號的波形圖。
(1)f1(t)=-t[ε(t+1)-ε(t-1)];
(2)f2(t)=sint[ε(t)-ε(t-6π)];
(3)f3(t)=(t+1)[ε(t-1)-ε(t)];
(4)f4(t)=-(t-2)[ε(t)-ε(t-1)];
(5)f5(t)=e-(t-2)ε(t-1);
(6)f6(t)=e-tε(t+1);
(7)f7(t)=e-(t-1)ε(t+1);
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