《材料力學》課件1西電社 材力 第12章-能量法

第12章能量法第12章能量法§12.1能量法概述§12.2桿件應(yīng)變能的計算§12.4莫爾定理與單位載荷法§12.3卡氏定理§12.1能量法概述返回總目錄一、能量法

利用功能原理W=Vε

來求解可變形固體的位移、變形和內(nèi)力等的方法。二、外力功（W）固體在外力作用下變形，引起力的作用點沿力作用方向位移，外力因此作功

。三、變形能或應(yīng)變能（Vε）彈性固體因變形而儲備了能量，稱為變形能或應(yīng)變能。返回四、外力功與應(yīng)變能的關(guān)系根據(jù)能量守恒原理，有：對于在靜載作用下的完全彈性體，外力從零緩慢增加到最終值，可不考慮其他能量的損失，外力在相應(yīng)位移上作的功，在數(shù)值上等于積蓄在物體內(nèi)的應(yīng)變能。返回§12.2桿件應(yīng)變能的計算

返回總目錄一、外力功在線彈性范圍內(nèi)，F(xiàn)與Δ成正比1.

F為集中力

—

Δ是線位移

說明：F與Δ均為廣義量2.

F為集中力偶

—Δ是角位移

返回1.軸向拉壓桿

二、桿件應(yīng)變能的計算

微段軸向變形

軸力在d△l上作的功

整根桿的應(yīng)變能

當FN/EA為常量時

返回2.扭轉(zhuǎn)圓軸扭轉(zhuǎn)圓軸的應(yīng)變能

當T/GIp為常量時

3.彎曲梁梁的應(yīng)變能

4.組合變形桿返回例12-1懸臂梁如圖所示已知：梁的抗彎剛度為常量試：計算梁的應(yīng)變能以及B截面的轉(zhuǎn)角返回例12-1懸臂梁如圖所示已知:梁的抗彎剛度為常量試:計算其應(yīng)變能以及B截面的轉(zhuǎn)角解：1.梁的應(yīng)變能

彎矩方程

梁的應(yīng)變能

返回例12-1懸臂梁如圖所示已知:梁的抗彎剛度為常量試:計算其應(yīng)變能以及B截面的轉(zhuǎn)角解：1.梁的應(yīng)變能

3.截面的轉(zhuǎn)角2.外力作功為由

返回例12-2已知:梁的剛度為EI，桿的剛度為EA。試求:圖示結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能。返回例12-2已知:梁的剛度為EI，桿的剛度為EA。

試求:圖示結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能。解:1.CB桿的應(yīng)變能

2.梁的應(yīng)變能CB桿的軸力3.整個結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能

彎矩方程返回例12-3圖示結(jié)構(gòu)已知：斜桿AB長2m,橫截面面積為200mm2，水平桿AC的橫截面面積為250mm2，材料的彈性摸量E=200GPa，載荷F=10kN。試求：節(jié)點A豎直方向的位移返回解：1.計算各桿件的軸力取節(jié)點A研究AF300返回2.利用能量法計算節(jié)點A的垂直位移AF300由

返回例12-4

圖示三角支架已知：兩桿的拉壓剛度均為EA試求：結(jié)點B的豎直位移ΔBV。

返回例12-4兩桿的拉壓剛度均為EA試求：結(jié)點B的豎直位移ΔBV。

解：1.桿件軸力分析用截面法,取結(jié)點B研究,畫受力圖列平衡方程返回例12-4

兩桿的拉壓剛度均為EA試求：結(jié)點B的豎直位移ΔBV。

解：1.桿件軸力分析4.計算ΔBV

由

2.支架應(yīng)變能

3.外力作功返回§12.3卡氏定理

返回總目錄可以證明，應(yīng)變能對任一載荷Fi的一階偏導數(shù)，等于Fi的作用點沿Fi作用方向的位移Δi。◆適用于梁和剛架的卡氏定理的表達式說明：1.卡氏定理中的載荷Fi與位移Δi都是廣義的；2.卡氏定理僅適用于線彈性結(jié)構(gòu)。

◆適用于桁架結(jié)構(gòu)的卡氏定理的表達式一、卡氏定理返回例12-5圖示三角支架已知：兩桿的拉壓剛度均為EA試：試用卡氏定理求結(jié)點B的豎直位移ΔBV。

返回例12-5用卡式定理求位移ΔBV

。2.兩桿軸力對F的一階偏導數(shù)解:1.桿件軸力分析(見例12-3)3.根據(jù)卡氏定理計算ΔBV

返回例12-6試:

用卡氏定理求B截面的轉(zhuǎn)角θB

返回例12-6試用卡式定理求θB。解:1.添加力偶矩Me

Me=03.根據(jù)卡氏定理計算θB2.彎矩方程及對其Me的一階偏導數(shù)返回例12-7一平面剛架如圖所示已知:各段桿的抗彎剛度均為EI，求:C截面的豎直位移ΔCV與水平位移ΔCH

返回例12-7求:ΔCV與ΔCH

解:

1.為區(qū)分兩力，2.計算ΔCV分別將兩力記為F1、F2

F1=F，

F2=F彎矩方程及其對F1的偏導數(shù)返回解:2.計算ΔCV彎矩方程及其對F1的偏導數(shù)令F1=F2=F返回解:2.計算ΔCH彎矩方程及其對F2的偏導數(shù)令F1=F2=F返回§12.4莫爾定理與單位載荷法返回總目錄一、單位載荷法（又稱莫爾積分）如圖，欲求C截面的豎直位移Δ

,若設(shè)想在梁的C截面沿豎直方向施加一單位載荷可證明

式中，M(x)——實際載荷引起的彎矩；

——虛加的單位載荷引起的彎矩。

返回對于桁架結(jié)構(gòu)對于扭轉(zhuǎn)軸

式中，F(xiàn)N——實際載荷引起的軸力——單位載荷引起的軸力

式中，T(x)——實際載荷引起的扭矩

——單位載荷引起的扭矩返回組合變形桿件說明：

◆單位載荷是廣義的，應(yīng)與待求位移相對應(yīng)。

◆以上公式，僅適用于線彈性結(jié)構(gòu)

。

二、單位載荷法的步驟

1.添加與待求位移相對應(yīng)的單位載荷；

2.分別計算單位載荷與實際載荷引起的內(nèi)力；

3.將內(nèi)力結(jié)果代入公式，計算位移。返回例12-8已知：梁的抗彎剛度為EI，試：用單位載荷法計算θB。返回例12-8試：用單位載荷法計算θB。1.在B面施加一單位力偶解:2.列彎矩方程實際載荷作用下單位載荷作用下3.B截面的轉(zhuǎn)角

返回例12-9一正方形桁架結(jié)構(gòu)如圖所示已知:5根桿的拉壓剛度EA相同，正方形邊長為l，試求:A、C兩結(jié)點之間的相對水平位移ΔA-CH

返回例12-9已知：各桿剛度為EA，正方形邊長為l，

求:A、C兩點間的相對水平位移ΔA-CH解:1.在A、C處加一對單位力實際載荷作用下單位載荷作用下2.計算各桿軸力返回例12-9已知：各桿剛度為EA，正方形邊長為l，求:A、C兩點間的相對水平位移ΔA-CH3.A、C兩點間的相對水平位移

返回例12-10

圖a所示結(jié)構(gòu)，已知AC桿的抗彎剛度為EI，BD桿的拉壓剛度為EA，試求C截面的豎直位移